第1章 2.2 第1课时 全称量词命题与存量词命题-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

1．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x＞0；④对于任意实数x，2x＋1是奇数．下列说法正确的是(　　) A．四个命题都是真命题 B．①②是全称量词命题 C．②③是存在量词命题 D．四个命题中有两个假命题 答案：C 2．下列命题不是存在量词命题的是(　　) A．有些实数没有平方根 B．能被5整除的数也能被2整除 C．存在x∈{x|x＞3}，使x2－5x＋6＜0 D．有一个m，使2－m与|m|－3异号 解析：B　[“能除5整数的数也能被2整除”省略了“所有”．] 3．下列命题是假命题的是(　　) A．存在x∈Q，使2x－x3＝0 B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C．有的素数是偶数 D．有的有理数没有倒数 答案：B 4．“对x∈R，关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于(　　) A．∃x∈R，使得f(x)＞0成立 B．∃x∈R，使得f(x)≤0成立 C．∀x∈R，f(x)＞0成立 D．∀x∈R，f(x)≤0成立 答案：A 5．(多选)下列结论中正确的是(　　) A．∀n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 B．∀n∈N＋，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 C．∃n∈N＋，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 D．∃n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 解析：CD　[当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除， 所以A、B错误，C、D正确．] 6．(多选)下列存在量词命题中，是真命题的是(　　) A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0 B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除 C．∃x∈R，|x|<0 D．有些自然数是偶数 解析：ABD　[A中，x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．] 7．下列命题中，是全称量词命题的是　________　；是存在量词命题的是　________　. ①正方形的四条边相等； ②有两个角相等的三角形是等腰三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数． 解析：①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根都不等于0”，是全称量词命题；④是存在量词命题． 答案：①②③　④ 8．已知命题p：“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是　______________　. 解析：∵x≥3∴2x－1≥5，∴m≤5. 答案：(－∞，5] 9．若“∃x∈R，ax2＋2x＋a＜0”为真命题，则实数a的取值范围是　________　. 解析：当a≤0时命题为真；当a＞0时命题为真，必使Δ＝4－4a2＞0，即－1＜a＜1，∴a＜1. 答案：a＜1 10．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题： (1)凸n边形的外角和等于2π. (2)有一个有理数x满足x2＝3. (3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1. 解：(1)∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π， (2)∃x∈Q，x2＝3， (3)∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1. 11．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假： (1)存在这样的x，使x－2≤0； (2)矩形的对角线垂直平分； (3)三角形两边之和大于第三边； (4)有些素数是奇数． 解：(1)存在量词命题．x＝2时，x－2＝0成立．所以命题是真命题． (2)全称量词命题．邻边不相等的矩形的对角线不垂直，所以，全称量词命题“矩形的对角线垂直平分”是假命题． (3)全称量词命题．三角形中，两边之和大于第三边，所以，全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题． (4)存在量词命题.3是素数也是奇数，所以，存在量词命题“有些素数是奇数”是真命题． 12．对任意实数x，不等式2x＞m(x2＋1)恒成立，求实数m的取值范围． 解：不等式2x＞m(x2＋1)恒成立， 即不等式mx2－2x＋m＜0恒成立． (1)当m＝0时，不等式可化为－2x＜0，显然不恒成立，不合题意． (2)当m≠0时，要使不等式mx2－2x＋m＜0恒成立，则解得m＜－1. 综上可知，所求实数m的取值范围是(－∞，－1)． 13．若∀m∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围． 解：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交， 所以a∈R. (2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ′＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立． 又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.由(1)(2)同时成立，故a∈[－1,1]． 14．(多选)取整函数：[x]＝不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[3.9]＝3，[－1.5]＝－2，取整函数在现实生活中有着广泛的应用，如停车收费、出租车收费等等都是按照“取整函数”进行计费的，以下关于“取整函数”的性质是真命题的有(　　) A．∀x∈R，[2x]＝2[x] B．∃x∈R，[2x]＝2[x] C．∀x，y∈R，[x]＝[y]，则x－y＜1 D．∀x，y∈R，[x＋y]≤[x]＋[y] 解析：BC　[当x＝1.5时，[2x]＝[3]＝3，但2[x]＝2[1.5]＝2×1＝2，A错误；当x＝2时，[2x]＝[4]＝4＝2[2]＝2[x]，B正确；设[x]＝[y]＝k∈Z，则k≤x＜k＋1，k≤y＜k＋1，∴x－y＜1，C正确；x＝0.5，y＝0.6，则[x]＋[y]＝0，但[x＋y]＝[1.1]＝1＞[x]＋[y]，D错误．] 学科网（北京）股份有限公司 $$