第1章 2.2 第1课时 全称量词命题与存量词命题-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

1．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x＞0；④对于任意实数x，2x＋1是奇数．下列说法正确的是(　　)

A．四个命题都是真命题

B．①②是全称量词命题

C．②③是存在量词命题

D．四个命题中有两个假命题

答案：C

2．下列命题不是存在量词命题的是(　　)

A．有些实数没有平方根

B．能被5整除的数也能被2整除

C．存在x∈{x|x＞3}，使x2－5x＋6＜0

D．有一个m，使2－m与|m|－3异号

解析：B　[“能除5整数的数也能被2整除”省略了“所有”．]

3．下列命题是假命题的是(　　)

A．存在x∈Q，使2x－x3＝0

B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0

C．有的素数是偶数

D．有的有理数没有倒数

答案：B

4．“对x∈R，关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于(　　)

A．∃x∈R，使得f(x)＞0成立

B．∃x∈R，使得f(x)≤0成立

C．∀x∈R，f(x)＞0成立

D．∀x∈R，f(x)≤0成立

答案：A

5．(多选)下列结论中正确的是(　　)

A．∀n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题

B．∀n∈N＋，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题

C．∃n∈N＋，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题

D．∃n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题

解析：CD　[当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除， 所以A、B错误，C、D正确．]

6．(多选)下列存在量词命题中，是真命题的是(　　)

A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0

B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除

C．∃x∈R，|x|<0

D．有些自然数是偶数

解析：ABD　[A中，x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．]

7．下列命题中，是全称量词命题的是　________　；是存在量词命题的是　________　.

①正方形的四条边相等；

②有两个角相等的三角形是等腰三角形；

③正数的平方根不等于0；

④至少有一个正整数是偶数．

解析：①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根都不等于0”，是全称量词命题；④是存在量词命题．

答案：①②③　④

8．已知命题p：“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是　______________　.

解析：∵x≥3∴2x－1≥5，∴m≤5.

答案：(－∞，5]

9．若“∃x∈R，ax2＋2x＋a＜0”为真命题，则实数a的取值范围是　________　.

解析：当a≤0时命题为真；当a＞0时命题为真，必使Δ＝4－4a2＞0，即－1＜a＜1，∴a＜1.

答案：a＜1

10．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题：

(1)凸n边形的外角和等于2π.

(2)有一个有理数x满足x2＝3.

(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.

解：(1)∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π，

(2)∃x∈Q，x2＝3，

(3)∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1.

11．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：