第1章 1.2 集合的基本关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

1．下列结论正确的是(　　)

A．任何集合都有子集

B．任何集合都有真子集

C．{∅}＝∅

D．{0}＝∅

解析：A　[对于B，∅没有真子集；对于C，∅表示集合，{∅}表示集合中有∅这一元素；对于D，{0}≠∅.]

2．已知P＝{0,1}，M＝{X|X⊆P}，则P与M的关系为(　　)

A．P⊆M B．P∉M

C．M⊆P  D．P∈M

解析：D　[M＝{X|X⊆P}＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，故P∈M.]

3．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于(　　)

A．2  B．－1

C．2或－1  D．4

解析：C　[∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1.]

4．已知集合A＝(－1,4)，B＝(－∞，a)，若AB，则实数a满足(　　)

A．a＜4  B．a≤4

C．a＞4  D．a≥4

解析：D　[由AB，结合数轴，得a≥4.]

5．(多选)已知集合M＝{2,4}，集合M⊆N，N是{1,2,3，4,5}的真子集，则集合N可以是(　　)

A．{2,4}  B．{2,3,4}

C．{1,2,3,4}  D．{1,2,3,4,5}

解析：ABC　[集合M＝{2,4}，集合M⊆N{1,2,3,4,5}，则集合N中至少包含2,4两个元素，又不能等于或多于{1,2,3,4,5}中的元素，所以集合N可以是{2,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．]

6．若A＝，

B＝，

C＝，则这三个集合间的关系是(　　)

A．A⊆B⊆C  B．A⊆C⊆B

C．C⊆B⊆A  D．C⊆A⊆B

解析：C　[依题意A＝{x|x＝，k∈Z}＝{x|x＝，k∈Z}，B＝{x|x＝，k∈Z}，C＝{x|x＝，k∈Z}＝{x|x＝，k∈Z}，而{x|x＝k＋3，k∈Z}＝Z，{偶数}＝{x|x＝2k，k∈Z}，因此集合C中的任意元素都是集合B中的元素，即有C⊆B，集合B中的每一个元素都是集合A中的元素，即B⊆A，所以C⊆B⊆A.]

7．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝　________　.

解析：∵B⊆A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.①由a2－a＋1＝3得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，满足B⊆A；当a＝2时，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，满足B⊆A.②由a2－a＋1＝a得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.当a＝1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性．综上，若B⊆A，则a＝－1或a＝2.

答案：－1或2

8．已知集合A＝{x|2ax2＋(2a－8)x＋1＝0}有且仅有两个子集，则a的取值集合为　________　.

解析：由题意，集合A＝{x|2ax2＋(2a－8)x＋1＝0}有且仅有两个子集，则集合A只有一个元素，当a＝0时，－8x＋1＝0，解得x＝，符合题意；当a≠0时，Δ＝(2a－8)2－4×2a×1＝0，解得a＝2或a＝8，当a＝2时，A＝{x|4x2－4x＋1＝0}＝，符合题意，当a＝8时，A＝{x|16x2＋8x＋1＝0}＝，符合题意．综上所述，a的取值集合为{0,2,8}．

答案：{0,2,8}

9．已知集合S＝{0,1,2,3,4,5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有　________　个，其中的一个是　______________　.

解析：因为集合S＝{0,1,2,3,4,5}，根据题意知只要有元素与之相邻，则该元素不是孤立元素，所以S中无“孤立元素”的4个元素的子集有{0,1,2,3}，{0,1,3,4}，{0,1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,4,5}，{2,3,4,5}，其中一个可以是{0,1,2,3}．

答案：6　{0,1,2,3}(答案不唯一)

10．已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数．

解：当M中含有两个元素时，M为{2,3}；当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}；所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，