第1章 1.2 集合的基本关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

1．下列结论正确的是(　　) A．任何集合都有子集 B．任何集合都有真子集 C．{∅}＝∅ D．{0}＝∅ 解析：A　[对于B，∅没有真子集；对于C，∅表示集合，{∅}表示集合中有∅这一元素；对于D，{0}≠∅.] 2．已知P＝{0,1}，M＝{X|X⊆P}，则P与M的关系为(　　) A．P⊆M B．P∉M C．M⊆P D．P∈M 解析：D　[M＝{X|X⊆P}＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，故P∈M.] 3．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于(　　) A．2 B．－1 C．2或－1 D．4 解析：C　[∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1.] 4．已知集合A＝(－1,4)，B＝(－∞，a)，若AB，则实数a满足(　　) A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4 解析：D　[由AB，结合数轴，得a≥4.] 5．(多选)已知集合M＝{2,4}，集合M⊆N，N是{1,2,3，4,5}的真子集，则集合N可以是(　　) A．{2,4} B．{2,3,4} C．{1,2,3,4} D．{1,2,3,4,5} 解析：ABC　[集合M＝{2,4}，集合M⊆N{1,2,3,4,5}，则集合N中至少包含2,4两个元素，又不能等于或多于{1,2,3,4,5}中的元素，所以集合N可以是{2,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．] 6．若A＝， B＝， C＝，则这三个集合间的关系是(　　) A．A⊆B⊆C B．A⊆C⊆B C．C⊆B⊆A D．C⊆A⊆B 解析：C　[依题意A＝{x|x＝，k∈Z}＝{x|x＝，k∈Z}，B＝{x|x＝，k∈Z}，C＝{x|x＝，k∈Z}＝{x|x＝，k∈Z}，而{x|x＝k＋3，k∈Z}＝Z，{偶数}＝{x|x＝2k，k∈Z}，因此集合C中的任意元素都是集合B中的元素，即有C⊆B，集合B中的每一个元素都是集合A中的元素，即B⊆A，所以C⊆B⊆A.] 7．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝　________　. 解析：∵B⊆A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.①由a2－a＋1＝3得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，满足B⊆A；当a＝2时，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，满足B⊆A.②由a2－a＋1＝a得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.当a＝1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性．综上，若B⊆A，则a＝－1或a＝2. 答案：－1或2 8．已知集合A＝{x|2ax2＋(2a－8)x＋1＝0}有且仅有两个子集，则a的取值集合为　________　. 解析：由题意，集合A＝{x|2ax2＋(2a－8)x＋1＝0}有且仅有两个子集，则集合A只有一个元素，当a＝0时，－8x＋1＝0，解得x＝，符合题意；当a≠0时，Δ＝(2a－8)2－4×2a×1＝0，解得a＝2或a＝8，当a＝2时，A＝{x|4x2－4x＋1＝0}＝，符合题意，当a＝8时，A＝{x|16x2＋8x＋1＝0}＝，符合题意．综上所述，a的取值集合为{0,2,8}． 答案：{0,2,8} 9．已知集合S＝{0,1,2,3,4,5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有　________　个，其中的一个是　______________　. 解析：因为集合S＝{0,1,2,3,4,5}，根据题意知只要有元素与之相邻，则该元素不是孤立元素，所以S中无“孤立元素”的4个元素的子集有{0,1,2,3}，{0,1,3,4}，{0,1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,4,5}，{2,3,4,5}，其中一个可以是{0,1,2,3}． 答案：6　{0,1,2,3}(答案不唯一) 10．已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数． 解：当M中含有两个元素时，M为{2,3}；当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}；所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8. 11．已知a，x∈R，集合A＝{2,4，x2－5x＋9}，B＝{3，x2＋ax＋a}，C＝{x2＋(a＋1)x－3,1}． (1)求使A＝{2,3,4}的x的值； (2)求使2∈B，BA的a，x的值； (3)求使B＝C的a，x的值． 解：(1)由集合相等的定义知x2－5x＋9＝3，解得x＝2或x＝3. (2)∵2∈B，BA，∴ 解得或经检验，均符合题意． (3)∵B＝C，∴ 解②得x＝－1或x＝1－a. 把x＝－1代入①得a＝－6； 把x＝1－a代入①得a＝－2，则x＝3. 经检验，，和，都符合题意． 12．定义集合P－Q＝{x|x＝p－q，p∈P，q∈Q}，若集合P＝{4,5,6}，Q＝{1,2,3}，则集合P－Q的所有真子集的个数为(　　) A．32　　　　B．31　　　　C．16　　　　D．15 解析：B　[由题中所给定义，可知P－Q＝{1,2,3,4,5}，∴P－Q的所有真子集的个数为25－1＝31.] 13．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}． (1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B？若存在，求出相应的a值；若不存在，试说明理由； (2)若A⊆B成立，求出相应的实数对(a，b)． 解：(1)不存在．理由如下： 若对任意的实数b都有A⊆B，则当且仅当1和2也是A中的元素时才有可能． 因为A＝{a－4，a＋4}， 所以或这都不可能， 所以这样的实数a不存在． (2)由(1)易知，当且仅当或或或时A⊆B. 解得或或或 所以所求的实数对为(5,9)，(6,10)，(－3，－7)，(－2，－6)． 14．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}． (1)若集合A＝∅，求实数a的取值范围； (2)若集合A中有且只有一个元素，求a的值及集合A. 解：(1)A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解． 若a＝0，方程有一解x＝，不合题意； 若a≠0，要使方程ax2－3x＋2＝0无解， 需Δ＝9－8a＜0，解得a＞. 综上可知，a的取值范围为. (2)当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一个根x＝，此时A＝，符合题意； 当a≠0时，需满足Δ＝9－8a＝0，解得a＝， 此时方程只有一个根x＝，即A＝，符合题意． 综上可知，a的值为0或，当a＝0时，A＝； 当a＝时，A＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$