第1章 1.1 第1课时 集合的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

1．在“①高一数学课本上的难题；②所有的正三角形；③方程x2＋2＝0的实数解”中，能够组成集合的是(　　) A．②　　　　　　　　 B．③ C．②③ D．①②③ 解析：C　[对于①，什么题是难题不能确定，故高一数学课本上的难题不能组成集合；②③可组成集合．] 2．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m为(　　) A．2 B．3 C．0或3 D．0或2或3 解析：B　[由题意，知m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3.经检验，当m＝0或m＝2时，不满足集合A中元素的互异性；当m＝3时，满足题意．综上可知，m＝3.] 3．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是(　　) A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 解析：A　[由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．] 4．下列各项中，不能组成集合的是(　　) A．所有的正数 B．等于2的数 C．接近于0的数 D．不等于0的偶数 解析：C　[“接近于0的数”中“接近”的标准不明确，故接近于0的数不能组成集合．] 5．(多选)若以集合中的三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形可能是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：ABC　[若以集合中的三个元素为边可构成一个三角形，则由集合元素的互异性可得，三个元素互不相等，即三边都不相等，排除D.] 6．(多选)已知M是同时满足下列条件的集合：①0∈M,1∈M；②若x，y∈M，则x－y∈M；③x∈M且x≠0，则∈M.下列结论中正确的有(　　) A.∈M B．－1∉M C．若x，y∈M，则x＋y∈M D．若x，y∈M，则xy∈M 解析：ACD　[由①0∈M,1∈M，则由②0－1＝－1∈M，∴1－(－1)＝2∈M,2－(－1)＝3∈M，由③得∈M，故A正确；由A可知－1∈M，故B错误；由①知0∈M，∵y∈M，∴0－y＝－y∈M，∵x∈M，∴x－(－y)∈M，即x＋y∈M，故C正确；∵x，y∈M，则x－1∈M，由③可得∈M，∈M，∴－∈M，即∈M，∴x(1－x)∈M，即x－x2∈M，∴x2∈M；由C可知当x，y∈M，x＋y∈M，∴＋＝∈M，∴当x，y∈M，可得x2，y2，，∈M，∴－＝xy∈M，故D正确．] 7．已知集合M有2个元素x,2－x，若－1∉M，则下列说法一定错误的是　________　. ①2∈M；②1∈M；③x≠3. 解析：依题意 解得x≠－1，x≠1且x≠3， 当x＝2或2－x＝2，即x＝2或0时，M中的元素为0,2，故①可能正确； 当x＝1或2－x＝1，即x＝1时，M中两元素为1,1不满足互异性，故②不正确，③显然正确． 答案：② 8．不等式x－a≥0的解集为A，若3∉A，则实数a的取值范围是　________　. 解析：因为3∉A，所以3是不等式x－a＜0的解， 所以3－a＜0，解得a＞3. 答案：a＞3 9．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合中最多含有　________　个元素，最少含有　________　个元素． 解析：∵＝|x|＝±x，－＝－x，且当x＝0时，x＝－x＝|x|＝＝－＝0，∴由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合中最多含有2个元素，最少含有1个元素． 答案：2　1 10．写出由方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解组成的集合A中的元素． 解：由方程x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，得x＝a或x＝1. ①当a＝1时，方程有两个相同的解x＝1，则集合A中只有一个元素1. ②当a≠1时，方程有两个解1和a，即集合A中有两个元素1和a. 综上可知：当a＝1时，A中元素为1；当a≠1时，A中元素为1和a. 11．已知集合A由元素a－3,2a－1，a2－4构成，且－3∈A，求实数a的值． 解：因为－3∈A， 所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3. 若a－3＝－3， 则a＝0，此时集合A中的元素有－3，－1，－4，符合题意． 若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合中的元素为－4，－3，－3，不满足集合中元素的互异性． 若a2－4＝－3，则a＝1或a＝－1(舍去)， 当a＝1时，集合中的元素为－2,1，－3，符合题意． 综上可知，a＝0，或a＝1. 12．非空有限数集S满足：若a，b∈S，则必有a2，b2，ab∈S.则满足条件且含有两个元素的数集S＝　________　.(写出一个即可) 解析：不妨设S＝{a，b}，根据题意有a2，ab，b2∈S，所以a2，b2，ab中必有两个是相等的． 若a2＝b2，则a＝－b，故ab＝－a2， 又a2＝a或a2＝b＝－a， 所以a＝0(舍去)或a＝1或a＝－1， 此时S＝{－1,1}． 若a2＝ab≠b2，则a＝0，此时b2＝b，故b＝1或b＝0(舍去)，此时S＝{0,1}．若b2＝ab≠a2，则b＝0，此时a2＝a，故a＝1或a＝0(舍去)，此时S＝{0,1}． 综上，S＝{0,1}或S＝{－1,1}． 答案：{0,1}(或{－1,1}) 13．一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义．于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”集合是不定义的概念，数学家很难回答这位渔民． 有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下鱼网，轻轻一拉，许多鱼虾在网中跳动． 数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合．” 你能理解数学家的话吗？你能有类似的现实生活中的感悟吗？ 解：由“许多鱼虾在网中跳动”，数学家高兴地说这就是集合，他生动地把鱼虾组成的总体称之为“集合”；“许多鱼虾在网中跳动”又恰好把每一条跳动的对象——鱼(虾)看为元素；“许多鱼虾在网中跳动”同时更重要的是符合了集合的三大特性：“许多鱼虾在网中跳动”明确了确定性——“在网中”；“许多鱼虾”但不可能有两条相同的“鱼(虾)”，满足了互异性；“跳动”恰说明了它们没有固定的顺序之分，吻合了“无序性”．数学家非常激动，因为他为集合的定义做了一个最生动的解释．数学来源于生活又实践于生活，从现实生活中感悟，试举一例如下： 看万山红遍，层林尽染，漫江碧透，百舸争流……这是《沁园春·长沙》里的一段秋景描写，当沉浸在这种景色中时，气势宏大的景象是“山”“林”“江”“舸”等，“同一类对象汇集在一起”造就了“万山”“层林”“漫江”“百舸”的景观，在数学中我们把它们均称作集合． 14．方程ax2＋2x＋1＝0，a∈R的根组成集合A. (1)当A中有且只有一个元素时，求a的值，并求此元素； (2)当A中至少有一个元素时，求a满足的条件． 解：(1)A中有且只有一个元素，即ax2＋2x＋1＝0有且只有一个根或有两个相等的实根．①当a＝0时，方程的根为－；②当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0，得a＝1，此时方程的两个相等的根为－1.综上，当a＝0时，集合A中的元素为－；当a＝1时，集合A中的元素为－1. (2)A中至少有一个元素，即方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实根或有两个相等实根或有一个实根． ①当方程有两个不等实根时，a≠0，且Δ＝4－4a>0，∴a<1且a≠0； ②当方程有两个相等实根时，a≠0，且Δ＝4－4a＝0，∴a＝1； ③当方程有一个实根时，a＝0， ∴2x＋1＝0，∴x＝－，符合题意． 由①②③，得当A中至少有一个元素时，a满足的条件是a≤1. 学科网（北京）股份有限公司 $$