第6章 2.2 分层随机抽样-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

2．2　分层随机抽样 课程标准 素养解读 1.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围 2．了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法 在分层随机抽样的实施过程中，掌握分层随机抽样的抽样步骤，发展学生的数据分析素养 [情境引入] 　某市为调查中小学生的近视情况，在全市范围内对小学生、初中生、高中生三个群体抽样，进而了解中小学生近视的总体情况和三个群体近视情况的差异大小． (1)上述问题中总体有什么特征？ (2)采用抽签法合适吗？若不合适，应该用什么方法抽取样本？ 提示：(1)该总体中，小学生、初中生、高中生三个群体的近视情况存在着明显的差异． (2)不合适，若用抽签法，抽取的样本可能集中于某一个群体，不具有代表性．应该用分层随机抽样抽取样本． [知识梳理] [知识点]　分层随机抽样　 1．概念 分层 随机 抽样 在抽样时，将总体按其属性特征分成　互不交叉　的若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照　所占比例　随机抽取一定的个体，这种抽样方法通常叫作分层随机抽样 适用 范围 当总体是由　差异明显　的几类个体构成，并且知道每一类个体的总体中　所占的百分比　时往往采用分层随机抽样 2.本质：对于含有明显几个层的总体随机抽样的一种有效方法，就是按照一定的比例进行抽样． 3．应用：抽取样本． 1.为什么要将总体分成互不交叉的层？ 提示：在总体中由于个体之间存在着明显的差异，为了抽取的样本更合理、更具有代表性，所以将总体分成互不交叉的层，而后独立地抽取一定数量的个体． 2．某县为了解中小学生平时零花钱问题，为了节省人力、物力、财力，只在位于县城的几所中小学按小学、初中、高中在校人数分层抽取了一部分学生了解情况，你认为这样科学吗？说明理由． 提示：这种抽样不科学．因为影响学生零花钱的不只有学生的年龄，同时城镇学生和农村学生零花钱也会有区别．所以这样分层不合理． [预习自测] 1．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取　______________　名学生(　　) A．10 B．15 C．20 D．25 答案：B 2．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是(　　) A．简单随机抽样法 B．抽签法 C．随机数法 D．分层抽样法 解析：D　[男生500人中抽取25人，女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，用的是分层抽样法．] 3．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们身体状况的某项指标，按照老、中、青三个年龄层次进行分层抽样．已知在青年人中抽了18人，那么该单位抽取的样本容量为(　　) A．27 B．36 C．54 D．81 解析：B　[样本容量＝＝36.] 4．某校高一、高二、高三分别有学生1 600名，1 200名，800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为　________　. 解析：设高一、高二共抽取的学生数为n，由题意得＝， 得n＝70. 答案：70 5．一批产品中，有一级品100个，二级品60个，三级品40个，从这批产品中抽取一个容量为20的样本，应如何抽取？ 解析：采用分层抽样可按一、二、三级品的个数之比5∶3∶2，从一级品中抽取10个，从二级品中抽取6个，从三级品中抽取4个．抽取时，将一级品中100个产品按00,01,02，…，99编号；将二级品中的60个产品按00,01,02，…，59编号，将三级品中的40个产品按00,01,02，…，39编号，用随机数表法分别抽取10个，6个，4个产品，这样取得一个容量为20的样本． 对分层随机抽样概念的理解 [例1]　(1) ①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重(烘干后测定的质量)进行测量；②检测员拟对一批新生产的1 000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是(　　) A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样 B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样 C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样 D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样 (2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取，必须进行(　　) A．每层等可能抽样 B．每层可以不等可能抽样 C．所有层按同一抽样比等可能抽样 D．所有层抽取的个体数量相同 [思路点拨]　由于总体是由差异明显的几部分组成的，所以，应采用分层抽样法抽取． [解析]　(1)①乔木、灌木、草木，分类明显，可以采用分层随机抽样；②并未有明显分层特点，且样本容量较小，可以采用简单随机抽样． (2)为了保证每个个体等可能的被抽取，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取． [答案]　(1)C　(2)C 1．使用分层随机抽样的前提 分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，而层内个体间差异较小． 2．使用分层随机抽样应遵循的原则 (1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则； (2)分层随机抽样为保证每个个体等可能抽取，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本量与每层个体数量的比等于抽样比． [变式训练] 1．在下列问题中，各采用什么抽样方法抽取样本？ (1)从20台彩电中抽取4台进行质量检验； (2)光远中学有180名教职工，其中教师136名，管理人员20名，后勤服务人员24名，为征求某项意见，现从中抽取一个容量为15的样本． 解：(1)所述问题中总体中的个体数和样本容量均较少，故宜用简单随机抽样法． (2)所述问题的总体中的个体具有明显差异，即出现了3个阶层，因此适宜用分层抽样法． 分层抽样的应用 [例2]　某城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，计划抽取一个容量为21的样本，按照分层抽样方法抽取时，各种百货商店分别要抽取多少家？写出抽样过程． [思路点拨]　由题目可以获取以下主要信息： ①某城市的百货商店包括差异明显的大、中、小型商店三种； ②总体容量为210； ③样本容量为21. 解答本题应按分层抽样的步骤抽取，首先算出抽样比例，然后求出各层抽样的样本数，最后在各层抽取得到样本． [解]　(1)样本容量与总体的个体数的比为＝. (2)确定各种商店要抽取的数目， 大型：20×＝2(家)，中型：40×＝4(家)， 小型：150×＝15(家)． (3)采用简单随机抽样在各层中抽取大型：2家；中型：4家；小型：15家， 这样便得到了所要抽取的样本． 1．使用分层抽样的前提 分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小． 2．使用分层抽样应遵循的原则 (1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则； (2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比． 3．分层抽样的步骤 [变式训练] 2．一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程． 解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层随机抽样的方法． 具体过程如下： 第一步，将3万人分为5层，一个乡镇为一层． 第二步，按照抽样比求得各乡镇应抽取的人数分别为60,40,100,40,60. 第三步，采用简单随机抽样的方法，按照各层抽取的人数抽取各乡镇的样本． 第四步，将300人合到一起，即得到一个样本． 分层随机抽样中的计算问题 [例3]　(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　) A．101 B．808 C．1 212 D．2 012 (2)将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取　________　个个体． [思路点拨]　样本容量比上总体容量等于抽样比例，用抽样比例乘以各层的样本容量等于在每层抽取的个体数． [解析]　(1)因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12， 所以抽取驾驶员的抽样比为＝， 所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷＝808. (2)∵A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，又由总体中每个个体被抽到的概率相等，∴分层随机抽样应从C中抽取100×＝20(个)个体． [答案]　(1)B　(2)20 进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系 ①＝； ②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比． [变式训练] 3．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生(　　) A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人 C．20人，30人，40人 D．30人，50人，10人 解析：B　[先求抽样比＝＝，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3 600×＝30(人)，乙校抽取5 400×＝45(人)，丙校抽取1 800×＝15(人)．] 1．从一个容量为m(m≥3，m∈N)的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是，则选取分层抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是(　　) A. B. C. D. 解析：D　[因为在简单随机抽样时每个个体被抽到的可能性相等，所以选取分层抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性仍为.] 2．某班有50人，其中30名男生，20名女生，现调查平均身高，已知男、女生身高明显不同，抽取一个容量样本为10的样本，则抽出的男、女生人数之差为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：D　[抽出的男生人数为10×＝6，女生人数为10×＝4，故抽出的男、女生人数之差为6－4＝2.] 3．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少出之，问各几何？”意思是：北乡有8 758人，西乡有7 236人，南乡有8 356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡征集多少人？在上述问题中，需从西乡征集的人数大约是(　　) A．102 B．112 C．130 D．136 解析：B　[因为北乡有8 758人，西乡有7 236人，南乡有8 356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，故需从西乡征集的人数是378×≈112.] 4．一个班共有54人，其中男同学、女同学人数之比为5∶4，若采用分层抽样的方法抽取9人参加活动，则每个男同学被抽取的可能性为　________　，每个女同学被抽取的可能性为　________　. 解析：男、女每人被抽取的可能性是相同的，因为男同学共有54×＝30(人)，女同学共有54×＝24(人)，所以每个男同学被抽取的可能性为＝，每个女同学被抽取的可能性为＝. 答案：　 5．某校三个兴趣小组的学生人数分布如表(每名学生只参加一个小组). 篮球组 书画组 乐器组 高一 45 30 a 高二 15 10 20 学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，用分层随机抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，求实数a的值． 解：结合题意，得＝， 解得a＝30. 学科网（北京）股份有限公司 $$