5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦“利用函数性质判定方程解的存在性”，系统梳理函数零点概念（方程的根、函数图象与x轴交点横坐标）、零点存在定理（连续曲线端点函数值异号则区间内有零点）及零点个数判断方法（代数法、几何法、单调性结合），构建从概念到定理再到应用的学习支架。 资料通过思考辨析纠正零点概念误解，例题解析与母题探究结合，培养数学抽象与直观想象素养，如用数形结合判断零点个数。课中助力分层教学，课后分层作业帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

§1　方程解的存在性及方程的近似解 1.1　利用函数性质判定方程解的存在性 学习任务 核心素养 1．理解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的关系．(重点、易混点) 2．会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间．(重点) 3．能借助函数单调性及图象判断零点个数．(重点、难点) 1．通过对函数零点概念的学习，培养数学抽象素养． 2．通过把函数零点问题转化为对应函数图象交点的问题加以解决，培养直观想象素养． 1．函数零点的概念是什么？ 2．如何判断函数的零点？ 3．零点存在定理的内容是什么？ 4．方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间有什么联系？ 1．函数的零点概念 (1)概念：使得f (x0)＝0的数x0称为方程f (x)＝0的解，也称为函数f (x)的零点． (2)方程、函数、图象之间的关系： 函数y＝f (x)的零点就是函数y＝f (x)的图象与x轴交点的横坐标，也就是方程f (x)＝0的解． 2．零点存在定理 若函数y＝f (x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f (a)·f (b)<0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f (x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f (x)＝0至少有一个解． (1)函数的“零点”是一个点吗？ (2)若f (a)·f (b)>0，那么函数y＝f (x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？ [提示]　(1)不是，函数的“零点”是一个数，一个使f (x)＝0的实数x．实际上是函数y＝f (x)的图象与x轴交点的横坐标． (2)不一定．如y＝x2－1在区间(－2，2)上有两个零点，但f (2)·f (－2)>0． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)所有的函数都有零点． (　　) (2)若方程f (x)＝0有两个不等实数解x1，x2，则函数y＝f (x)的零点为(x1，0)，(x2，0)． (　　) (3)若函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f (a)·f (b)<0． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．函数f (x)＝log2x的零点是(　　) A．1 　 B．2 C．3 　 D．4 [答案]　A 类型1　求函数的零点 【例1】　求下列函数的零点． (1) f (x)＝x2＋7x＋6； (2) f (x)＝1－log2(x＋3)； (3) f (x)＝2x-1－3； (4) f (x)＝． [解]　(1)解方程f (x)＝x2＋7x＋6＝0， 得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6． (2)解方程f (x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1． (3)解方程f (x)＝2x-1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26． (4)解方程f (x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6． 　函数零点的两种方法 (1)代数法：求方程f (x)＝0的实数根； (2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f (x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． [跟进训练] 1．函数f (x)＝(lg x)2－lg x的零点为________． 1和10　[由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0， ∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10．] 类型2　判断函数零点所在的区间 【例2】　已知函数f (x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是(　　) A．(3，4) 　 B．(2，3) C．(1，2) 　 D．(0，1) C　[∵f (0)＝－1<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝5>0，f (3)＝23>0，f (4)＝59>0．∴f (1)·f (2)<0，此零点一定在(1，2)内．] 　确定函数f (x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f (x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f (a)·f (b)<0．若f (a)·f (b)<0，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． [跟进训练] 2．函数f (x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　) A．(－2，－1) 　 B．(－1，0) C．(0，1) 　 D．(1，2) C　[∵f (0)＝e0＋0－2＝－1<0，f (1)＝e1＋1－2＝e－1>0，∴f (0)·f (1)<0，∴f (x)在(0，1)内有零点．] 类型3　函数零点的个数问题 【例3】　判断下列函数零点的个数． (1) f (x)＝x2－x＋； (2) f (x)＝ln x＋x2－3． [解]　(1)由f (x)＝0，即x2－x＋＝0， 得Δ＝－4×＝－<0， 所以方程x2－x＋＝0没有实数根，即f (x)零点的个数为0． (2)法一：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数． 在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)． 由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而方程ln x＋x2－3＝0只有一个根，即函数y＝－3有一个零点． 法二：由于f (1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f (2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，所以f (1)·f (2)<0，又f (x)＝ln x＋x2－3的图象在(1，2)上是不间断的， 所以f (x)在(1，2)上必有零点，又f (x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个． [母题探究] 1．若本例(1)中的函数改为“f (x)＝x2＋2mx＋2m＋1”，且f (x)在区间(－1，0)和(1，2)内各有一个零点，求实数m的取值范围． [解]　函数f (x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间(－1，0)和(1，2)内， 即函数f (x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点一个在(－1，0)内，一个在(1，2)内， 根据图象列出不等式组 解得∴－<m<－， ∴实数m的取值范围是． 2．将本例(2)中的函数改为“f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2”，试判断零点的个数． [解]　法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋lg 2－2>0，∴f (x)在(0，1)上必定存在零点．又显然f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数． 故函数f (x)有且只有一个零点． 法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg (x＋1)的草图． 由图象知g(x)＝lg (x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点， 即f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2有且只有一个零点． 　判断函数零点个数的四种常用方法 (1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点． (2)画出函数y＝f (x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定y＝f (x)在(a，b)上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题． [跟进训练] 3．若abc≠0，且b2＝ac，则函数f (x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是________． 0　[∵ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac，b2＝ac，且abc≠0，∴Δ＝－3b2<0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0无实根． ∴函数f (x)＝ax2＋bx＋c无零点．] 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数f (x)＝x－1的零点是x＝1，而不是(1，0)． (　　) (2)设f (x)＝，由于f (－1)·f (1)<0，所以f (x)＝在(－1，1)内有零点． (　　) (3)若函数f (x)在(a，b)内有零点，则f (a)·f (b)<0． (　　) (4)若函数f (x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，且f (a)·f (b)<0，则f (x)在(a，b)内只有一个零点． (　　) [提示]　(1)正确．由函数零点的定义可知(1)正确． (2)错误．由于f (x)＝的图象在[－1，1]上不是连续不断的曲线，所以不能得出其有零点的结论． (3) 错误．反例：f (x)＝x2－2x，区间为(－1，3)， 则f (－1)·f (3)>0． (4)错误．反例：f (x)＝x(x－1)(x－2)，区间为(－1，3)，满足条件，但f (x)在(－1，3)内有0，1，2三个零点． [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　) A　　　　B　　　　　　C　　　　D D　[选项D中的函数图象与x轴没有交点，故该函数没有零点．] 3．函数f (x)＝2x－的零点所在的区间是(　　) A．(1，＋∞) 　 B． C． 　 D． B　[ f (1)＝2－1＝1，－2<0， 即·f (1)<0， 且f (x)的图象在内是一条连续不断的曲线， 故f (x)的零点所在的区间是．] 4．函数f (x)＝x2－5x的零点是________． 0和5　[令x2－5x＝0， 解得x1＝0或x2＝5， 所以函数f (x)＝x2－5x的零点是0和5．] 5．已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下x，f (x)的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 f (x) 15 10 －7 6 －4 －5 则函数f (x)在区间[1，6]上的零点至少有_____________________________个． 3　[由题表可知f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)· f (5)<0，又函数f (x)的图象是连续不断的曲线，故f (x)在区间[1，6]上至少有3个零点．] 课时分层作业(二十九)　利用函数性质判定方程解的存在性 一、选择题 1．函数f (x)＝2x2－4x－3的零点有(　　) A．0个 　 B．1个 C．2个 　 D．不能确定 C　[由f (x)＝0，即2x2－4x－3＝0，因为Δ＝－4×2×(－3)＝40>0．所以方程2x2－4x－3＝0有两个根，即f (x)有两个零点．] 2．函数f (x)＝4x－2x－2的零点是(　　) A．(1，0) 　 B．1 C． 　 D．－1 B　[由f (x)＝4x－2x－2＝(2x－2)(2x＋1)＝0得2x＝2，解得x＝1．] 3．已知函数f (x)＝－log2x，在下列区间中，包含f (x)零点的区间是(　　) A．(0，1) 　 B．(1，2) C．(2，4) 　 D．(4，＋∞) C　[由题意知，函数f (x)在(0，＋∞)上为减函数．f (1)＝6－0＝6＞0，f (2)＝3－1＝2＞0，f (4)＝－log24＝－2＝－＜0．由零点存在定理可知函数f (x)在区间(2，4)上必存在零点．] 4．函数f (x)＝ln x－的零点的个数是(　　) A．0 　 B．1 C．2 　 D．3 C　[ 如图，画出y＝ln x与y＝的图象，由图知y＝ln x与y＝(x>0，且x≠1)的图象有两个交点． 故函数f (x)＝ln x－的零点有2个．] 5．已知函数f (x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f (a)·f (b)＜0，则方程f (x)＝0在区间[a，b]上(　　) A．至少有一实数根 　 B．至多有一实数根 C．没有实数根 　 D．必有唯一的实数根 D　[由题意知函数f (x)为连续函数．∵f (a)·f (b)＜0，∴函数f (x)在区间[a，b]上至少有一个零点．又∵函数f (x)在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f (x)在区间[a，b]上至多有一个零点．故函数f (x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f (x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根．故选D．] 二、填空题 6．已知函数f (x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________． －3　[设函数f (x)的两个零点为x1，x2，根据函数解析式，由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－＝－2．又因为x1＝1，所以x2＝－3．] 7．函数f (x)＝x2－2x在R上的零点个数是__________________________． 3　[由题意可知，函数f (x)＝x2－2x的零点个数，等价于函数y＝2x，y＝x2的图象交点个数．如图，画出函数y＝2x，y＝x2的大致图象． 由图象可知有3个交点，即f (x)＝x2－2x有3个零点．] 8．若函数f (x)＝mx－1在(0，1)内有零点，则实数m的取值范围是________． (1，＋∞)　[ f (0)＝－1，要使函数f (x)＝mx－1在(0，1)内有零点，需f (1)＝m－1>0，即m>1．] 三、解答题 9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1) f (x)＝； (2) f (x)＝x2＋2x＋4． [解]　(1)令f (x)＝0即＝0，故x＝－3． 所以函数f (x)＝的零点是－3． (2)令f (x)＝0，即x2＋2x＋4＝0，因为Δ＝4－4×4＝－12<0，所以此方程无解，故函数f (x)＝x2＋2x＋4无零点． 10．已知函数f (x)＝2x－x2，问：方程f (x)＝0在区间[－1，0]内是否有解？为什么？ [解]　有解．因为f (－1)＝2-1－(－1)2＝－<0，f (0)＝20－02＝1>0， 且函数f (x)＝2x－x2的图象是连续曲线， 所以f (x)在区间[－1，0]内有零点，即方程f (x)＝0在区间[－1，0]内有解． 11．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是(　　) A．a>0 　 B．a≤0 C．a≥0 　 D．a<0 B　[函数y＝x2＋a存在零点，则x2＝－a有解，所以a≤0．] 12．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．f (x)＝x＋1(x∈[－2，0])的零点为(－1，0) B．f (x)＝x＋1(x∈[－2，0])的零点为－1 C．函数y＝f (x)的零点，即y＝f (x)的图象与x轴的交点 D．函数y＝f (x)的零点，即y＝f (x)的图象与x轴的交点的横坐标 BD　[根据函数零点的定义，可知f (x)＝x＋1(x∈[－2，0])的零点为－1；函数y＝f (x)的零点即y＝f (x)的图象与x轴交点的横坐标．因此，只有说法BD正确，AC错误．] 13．已知函数f (x)＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＝________，b＝________． 1　2　[∵函数f (x)＝3x＋x－5，∴f (1)＝31＋1－5＝－1<0，f (2)＝32＋2－5＝6>0，∴f (1)·f (2)<0，且函数f (x)在R上单调递增，∴f (x)的零点x0在区间(1，2)内．∴a＝1，b＝2．] 14．已知函数f (x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________． 3　0　[因为函数f (x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f (0)＝0．又因为f (－2)＝0，所以f (2)＝－f (－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0．] 15．已知函数f (x)＝lo． (1)用单调性的定义证明f (x)在定义域上是单调函数； (2)证明：f (x)有零点； (3)设f (x)的零点x0落在区间内，求正整数n的值． [解]　(1)证明：显然f (x)的定义域为(0，＋∞)． 任取x1，x2∈(0，＋∞)，不妨设x1<x2，则x2－x1>0，x1x2>0，则>0，lox2，即lox2>0，所以f (x1)－f (x2)＝(lox2)＋>0，所以f (x1)>f (x2)．故f (x)在定义域(0，＋∞)上是减函数． (2)证明：因为f (1)＝0＋＝－8<0，>0，所以f (1)·<0，又因为f (x)在区间上是连续的，所以f (x)有零点． (3) ＝log211－3>log28－3＝0， ＝log210－ ＝log2<0， 所以·<0， 所以f (x)的零点x0落在区间内．故n＝10． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $