第2章 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

[网络构建] [归纳提升] 求函数的定义域 求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． (2)实际问题；求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． (3)复合函数问题 ①若f(x)的定义域为[a，b]，f[g(x)]的定义域应由a≤g(x)≤b解出； ②若f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域． 注意：①f(x)中的x与f[g(x)]中的g(x)地位相同； ②定义域所指永远是自变量x的范围． [例1] (1)函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为(　　) A.　　　　　　 B. C. D.∪ [解析]　(1)由题意知，解得x<1且x≠，即f(x)的定义域是∪. [答案]　C (2)已知函数y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则y＝f(1－3x)的定义域为(　　) A. B. C．[0,1] D. [解析]　由y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则x－1∈[－2,1]，即f(x)的定义域是[－2,1]，令－2≤1－3x≤1，解得0≤x≤1，即y＝f(1－3x)的定义域为[0,1]． [答案]　C [变式训练] 1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有(　　) A．7个　　　B．8个　　　C．9个　　　D．10个 解析：C　[由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数．函数解析式为y＝x2，值域为{1,4}， 当x＝±1时，y＝1； 当x＝±2时，y＝4， 则定义域可以为{1,2}，{1，－2}，{－1、2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{1，－1，－2}，{－1,2，－2}，{1，－2,2}，{1，－1,2，－2)，因此“同族函数”共有9个．] 　　　求函数的解析式 　求函数解析式的题型与相应的解法 (1)已知形如f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法． (2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法． (3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f，使用解方程组法． (4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法． [例2]　(1)已知f(－1)＝x－2，则f(x)的解析式为　________　. (2)设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(0)＝1，并且∀x，y∈R，都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，则f(x)＝　________　. [解析]　(1)法一：(换元法)　令t＝－1，t≥－1，则x＝(t＋1)2，所以f(t)＝(t＋1)2－2(t＋1)＝t2－1(t≥－1)， 所以函数的解析式为f(x)＝x2－1(x≥－1)． 法二：(配凑法)　f(－1)＝x－2 ＝x－2＋1－1＝(－1)2－1. 因为－1≥－1，所以函数的解析式为f(x)＝x2－1(x≥－1)． (2)法一：由已知条件得f(0)＝1， 又f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)， 令y＝x，则f(x－y)＝f(0) ＝f(x)－x(2x－x＋1)＝1， 所以f(x)＝x2＋x＋1. 法二：令x＝0，得f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)， 即f(－y)＝1－y(－y＋1)， 将－y用x代换得f(x)＝x2＋x＋1. [答案](1)f(x)＝x2－1(x≥－1)　(2)x2＋x＋1 [变式训练] 2．(1)已知f(x＋1)＝x2－5x＋4，则f(x)＝　________　； (2)若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，则f(x)的解析式为　________　. 解析：(1)令x＋1＝t， 则x＝t－1， 因为f(x＋1)＝x2－5x＋4， 所以f(t)＝(t－1)2－5(t－1)＋4＝t2－7t＋10， 所以f(x)＝x2－7x＋10. (2)令t＝x－1，则x＝t＋1，t∈R， 原式变为3f(t)＋2f(－t)＝2(t＋1)，　① 以－t代替t，①式变为3f(－t)＋2f(t)＝2(1－t)，　② 由①②消去f(－t)得f(t)＝2t＋， 故f(x)＝2x＋. 答案：(1)x2－7x＋10　(2)f(x)＝2x＋ 　 分段函数 1．求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验． 3．在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可． [例3]　设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　) A．2　　　　B．4　　　　C．6　　　　D．8 [解析]　[当0<a<1时，a＋1>1， f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a， ∵f(a)＝f(a＋1)， ∴＝2a，解得a＝. ∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.] [答案]　C [变式训练] 3．己知函数f(x)＝满足对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有＜0成立，则实数a的取值范围是　__________　. 解析：因为对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有＜0成立，所以f(x)在R上单调递减．所以，解得a∈[1,3)． 答案：[1,3) 函数的单调性与奇偶性 　函数单调性与奇偶性应用的常见题型 (1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性． (2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间． (3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式． (4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围． [例4]　(1)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤2 B．a≥－2 C．－2≤a≤2 D．a≤－2或a≥2 [解析]　因为y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)，所以，|a|≥2，得a≤－2或a≥2. [答案]　D (2)设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)＝x5＋x3＋b. ①求b的值． ②若f(x)在[0,2]上单调递增，且f(m)＋f(m－1)＞0，求实数m的取值范围． [解]　①因为函数f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，所以f(0)＝0，解得b＝0(经检验符合题意)． ②因为函数f(x)在[0,2]上是增函数，又f(x)是奇函数，所以f(x)在[－2,2]上是增函数． 因为f(m)＋f(m－1)＞0， 所以f(m－1)＞－f(m)＝f(－m)， 所以m－1＞－m，① 又需要不等式f(m)＋f(m－1)＞0在函数f(x)定义域内有意义， 所以② 解①②得＜m≤2， 所以实数m的取值范围为. [变式训练] 4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有＞0. (1)若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系； (2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围． 解：(1)因为a＞b，所以a－b＞0， 由题意得＞0， 所以f(a)＋f(－b)＞0， 所以f(a)＋f(－b)＞0. 又f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(－b)＝－f(b)， 所以f(a)－f(b)＞0，即f(a)＞f(b)． (2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，且为奇函数，因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0， 所以f(1＋m)≥－f(3－2m)， 即f(1＋m)≥f(2m－3)， 所以1＋m≥2m－3，所以m≤4. 所以实数m的取值范围为(－∞，4]． 函数的图象及应用 　作函数图象的方法 (1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线． (2)变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转． ①平移，y＝f(x)y＝f(x±h)； y＝f(x)y＝f(x)±k(其中h>0，k>0)． ②对称：y＝f(x)y＝f(－x)； y＝f(x)y＝－f(x)； y＝f(x)＝y＝－f(－x)． 特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图． [例5]　对于函数f(x)＝x2－2|x|. (1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性； (2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值． 解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称， f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|. 则f(－x)＝f(x)， 所以f(x)是偶函数． 图象关于y轴对称． (2)f(x)＝x2－2|x| ＝ 画出图象如图所示， 根据图象知，函数f(x)的最小值是－1.单调递增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；单调递减区间是(－∞，－1]，[0,1]． [变式训练] 5．(1)函数f(x)与g(x)的定义域均为[m，n]，它们的图象如图所示，则不等式f(x)＞g(x)的解集是(　　) A．[m，a)∪(b，e) B．(a，c)∪(e，n] C．(b，c)∪[m，a] D．(a，b)∪(c，e) 解析：A　[f(x)＞g(x)即为函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的上方的部分对应自变量的范围，由题图可知，当f(x)＞g(x)时，m≤x＜a或b＜x＜e，即不等式f(x)＞g(x)的解集是[m，a)∪(b，e)．] (2)已知函数f(x)＝是奇函数． ①求实数m的值； ②若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 解：①设任意x＜0，则－x＞0， ∴f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， ∴m＝2. ②要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增． 结合f(x)的图象(如图所示)知 ∴1＜a≤3， 故实数a的取值范围是(1,3]． 学科网（北京）股份有限公司 $$