第2章 § 1 生活中的变量关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

§1　生活中的变量关系 课程标准 素养解读 1.通过生活中的实际例子，引起学生积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系，能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关系的联系与区别 2．在实际问题中找出变量之间的对应关系，深刻理解函数的概念；分段函数的概念，能够写出分段函数的解析式，画出其图象 结合实例判断变量之间的函数关系，发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理素养 [情境引入] 居民每月应缴电费y(单位：元)是用电量x(单位：kW·h)的函数，反过来，x是y的函数吗？为什么？ [知识梳理] [知识点一]　两变量之间的关系　 1．依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系． 2．非依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不会发生任何变化，那么就称这两个变量具有非依赖关系． [知识点二]　函数的关系　 如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的　每一个值　，变量y　都有唯一确定　的值和它对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． 表示两个变量关系的函数的代数式，叫函数解析式． 凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应．” 1.如何判断两个变量之间具有依赖关系？ 提示：判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，另一个变量是否随之变化． 2．在判断两个变量是否是函数关系时，如果有两个变量x1，x2都对应同一个变量y，其他每一个x都对应唯一确定的y，能否判断两个变量具有函数关系？ 提示：能，符合函数关系，可以是多对一，一对一． [知识点三]　分段函数　 在变量x的不同取值范围内，有不同的对应关系，需要用不同的解析式来表示的函数叫作分段函数． 3.分段函数是一个函数还是多个函数？ 提示：一个函数． [预习自测] 1．下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是(　　) A．y＝2x　　　　　　　　 B．y＝ C．y＝x2＋3x－1 D．y2＝x2＋5 解析：D　[D中，当x＝2时，y＝±3，即给定了一个x的值，有两个y值与之对应，因此y不是x的函数；当y＝3时，x＝±2，即给定了一个y的值，有两个x值与之对应，因此x也不是y的函数．] 2．张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则(　　) A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系 C．y是x的函数 D．x是y的函数 解析：A　[小麦总产量与种子、施肥量、水、日照时间等都有关系．] 3．(1)球的半径与表面积之间的关系是　______　关系． (2)家庭收入与支出之间的关系是　________　关系． 解析：(1)球的表面积随半径的变化而变化，且由半径唯一确定，所以是函数关系． (2)一般情况下，家庭支出随家庭收入的变化而变化，但收入一定时，支出并不唯一确定，所以是依赖关系． 答案：(1)函数　(2)依赖 　 两变量关系的判断 [例1] 下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？ (1)做自由落体运动的物体下落的距离与时间的关系； (2)商品的销售额与广告费之间的关系； (3)家庭的食品支出与电视价格之间的关系． [思路点拨]　根据依赖关系和函数关系的定义判断． [解]　(1)科学家通过实验发现，做自由落体运动的物体下落的距离(h)与时间(t)具有关系h＝gt2，其中g是常量，很显然，对于时间t在其变化范围内的每一个取值，都有唯一的下落距离h与之对应，故这两个变量存在依赖关系，且距离是时间的函数． (2)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系． (3)家庭的食品支出与电视价格之间不存在依赖关系．综上可知，(1)中的变量间存在依赖关系，且是函数关系；(2)中变量间存在依赖关系，但不是函数关系；(3)中两个变量间不存在依赖关系． 依赖关系与函数关系的判断方法与步骤 (1)对于两个变量，如果一个变量的改变影响另一个变量，则这两个变量具有依赖关系，否则不具有依赖关系． (2)如果两个变量具有依赖关系，且一个变量的确定决定另一个变量的确定，则这两个变量具有函数关系，否则不具有函数关系． [变式训练] 1．下列各组中的两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？ (1)圆的面积和它的半径长； (2)商品的价格与销售量； (3)一个人的身高与体重； (4)某同学的学习时间与其学习成绩． 解：(1)因为圆的面积S与半径r存在S＝πr2的关系，因此圆的面积与其半径长存在依赖关系，也是函数关系． (2)一般情况下，商品的价格越低，销售量越大，但只是依赖关系，不是函数关系． (3)一个人的身高与体重有一定的关系，但体重并不完全由身高来决定，还受人的胖瘦等因素的影响，因此一个人的身高与体重之间存在依赖关系，但不是函数关系． (4)某同学的学习成绩与学习时间有一定的关系，但学习成绩并不完全由学习时间而定，还受其他因素的影响，如这位同学的学习效率、智力等，因此某同学的学习时间与其学习成绩之间存在依赖关系，但不是函数关系． 综上所述，(1)(2)(3)(4)均存在依赖关系，其中仅(1)是函数关系． 变量关系的表示 [例2] 如图所示为某市一天24小时内的气温变化图，根据图象回答下列问题． (1)全天的最高气温，最低气温分别是多少？ (2)大约在什么时刻，气温为0 ℃？ (3)大约在什么时刻内，气温在0 ℃以上？ (4)变量Q是关于变量t的函数吗？ [思路点拨]　抓住图象的特征：上升、下降，以及图中数据解题． [解]　观察图象可知： (1)全天最高气温大约是9 ℃，在14时达到，全天最低气温大约是－2 ℃，在4时达到． (2)大约在8时和22时，气温为0 ℃. (3)在8时到22时之间，气温在0 ℃以上． (4)由图象可知随着时间的增加气温先降再升后降，对于时间t的每个取值，都有唯一的气温Q与之对应，所以气温Q是时间t的函数． (1)表述两变量关系的常用方法是图象法和表格法． (2)在解题过程中要尽可能地利用题目所提供的数据，充分挖掘图象以及数据、表格中包含的信息，从而将问题解决． [变式训练] 2．以下是某电视台的广告价格表(单位：元) 播出时长价格播出时间段　　 10 s 15 s 20 s 30 s 40 s 50 s 60 s 19：30～22：00 900 950 1 000 1 500 2 000 2 500 4 000 试问：广告价格与播出时间之间的关系是否是函数关系？ 解：是函数关系，因为x，y的取值范围分别是A＝{10,15,20,30,40,50,60}，B＝{900,950,1 000，1 500，2 000,2 500,4 000}，它们都是非空数集，且按照表格中给出的对应关系，对任意的x∈A，在B中都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，即y与x是函数关系． 分段函数关系 [例3] 国内某快递公司邮寄普通货物限重30 kg，从A城市到B城市的快递资费标准是：质量1 kg及以下收费12 元，以后质量每增加1 kg收费增加8元，质量不足1 kg按1 kg计算．请写出邮件的质量G kg与邮资M元的函数解析式，并画出局部图象． [思路点拨]　根据分段函数的定义，写出当定义域不同时，每一部分的解析式，然后作图． [解]　依题意知邮件的质量6 kg与邮资M元的函数解析式为M＝ 其图象如图： 形如例3中的函数，一般叫作分段函数． 解决这类问题的关键是在自变量的不同范围内因变量对应的关系不同． [变式训练] 3．小芳以200米/分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度15米/分，又匀速跑10分钟，试写出这段时间里她跑步速度y(米/分)随跑步时间x(分)变化的函数关系式，并画出图象． 解：前5分钟的速度y＝15x＋200　(0≤t≤5)； 匀速跑步10分钟，y＝200＋75＝275　(5＜x≤15)， ∴y＝ 如图： 1．下列变量之间的关系是函数关系的是(　　) A．生活质量与人的身体状况间的关系 B．某人的体重与饮食状况 C．一只60瓦的白炽灯的耗电量W与时间t D．蔬菜的价格与供应量 解析：C　[A、B、D是依赖关系，对C，W是关于t的函数．] 2．以下形式中，不能表示“y是x的函数”的是(　　) A. x 1 2 3 4 y 1 2 3 4 B. C．x2＋y2＝1 D．y＝x2 解析：C　[根据函数的定义，每一个自变量x的值，都有唯一确定的y值与之对应，选项C中，某些x的值，有两个y值与之对应，不符合函数的定义，所以正确选项为C.] 3．在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定、在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值. 所挂物体 质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 y/cm 18 20 22 24 26 28 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系，　________　是自变量，　________　是因变量； (2)当所挂物体重量为3千克时，弹簧长　________　；不挂重物时弹簧长　________　； (3)弹簧长度y与所挂物体质量x之间的关系可以用式子表示为　______________　. 解析：(1)题表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量． (2)当所挂物体重量为3千克时，弹簧长24 cm；当不挂重物时，弹簧长18 cm. (3)弹簧长度y与所挂物体质量x之间的关系可以用式子表示为y＝2x＋18(x≥0)． 答案：(1)所挂物体的质量　弹簧长度　(2)24 cm　18 cm　(3)y＝2x＋18(x≥0) 4．变量x与变量y之间的关系如表： x 0 1 2 3 4 … y 0 2 4 6 8 … (1)写出x与y的关系式：　________　； (2)当x＝2.5时，y＝　________　. 解析：(1)由表格可知y与x是正比例函数关系y＝kx，且比列系数为k＝2，所以x与y的关系式为y＝2x. (2)把x＝2.5代入y＝2x，得y＝5. 答案：(1)y＝2x　(2)5 5．一支原长为20 cm的蜡烛，点燃后，其剩余长度y(cm)与燃烧时间x(min)之前的关系如表： 燃烧时间x (min) 10 20 30 40 50 … 剩余长度y (cm) 19 18 17 16 15 … (1)表中反映的自变量是什么？因变量是什么？ (2)求出剩余长度y(cm)与燃烧时间x(min)之间的关系式． 解：(1)题中反映的自变量是燃烧时间，因变量是剩余长度． (2)由题表可知燃烧时间每增加10 min，长度减小1 cm， ∴所求关系式为y＝20－. 学科网（北京）股份有限公司 $$