第1章 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

[网络构建] [归纳提升] 集合的基本概念 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他集合． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． [例1]　 (1)设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数是(　　) A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7 [解析]　∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，所以x＝2,3,4,5,6,8，∴B中有6个元素． [答案]　C (2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　) A．1 B．3 C．5 D．9 [解析]　当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个． [答案]　C [变式训练] 1．(1)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0,1,2}的集合B的个数是(　　) A．1 B．3 C．4 D．6 解析：C　[易知A＝{1,2}，又A∪B＝(0,1,2}，所以集合B可以是：{0}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}．] (2)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为　________　. 解析：当m＋2＝5时，m＝3，M＝{1,5,13)，符合题意； 当m2＋4＝5时，m＝1或m＝－1，若m＝1，则M＝{1,3,5}，符合题意；若m＝－1，则m＋2＝1，不满足元素的互异性，故m＝3或1. 答案：3或1 集合的基本关系 　集合与集合之间的关系是包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素． [例2]　(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数．由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个． [答案]　D (2)设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝　________　. [解析]　由B⊆A，则x2＝4或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x2＝2x时，x＝0或x＝2(舍)， 综上所述，x＝－2或x＝0. [答案]　0或－2 (3)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是　________　. [解析]　当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠∅时，若B⊆A，如图． 则解得2<m≤4. 综上，m的取值范围为(－∞，4]． [答案]　(－∞，4] [变式训练] 2．已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m等于(　　) A．3　　　　　　　 B．2 C．2或3 D．0或2或3 解析：D　[当m＝0时，方程mx－6＝0无解，B＝∅，满足B⊆A；当m≠0时，B＝，因为B⊆A，所以＝2或＝3，解得m＝3或m＝2.] 集合的基本运算 　集合的基本运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用维恩图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏． [例3]　(1)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(　　) A．{1，－3}　　　　　 B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5} [解析]　由A∩B＝{1}，得1∈B， 所以m＝3，B＝{1,3}． [答案]　C (2)若集合A＝{x|－2<x<1)，B＝{x|x<－1，或x>3)，则A∩B＝(　　) A．{x|－2<x<－1} B．{x－2<x<3} C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3} [解析]　A∩B＝{x|－2<x<－1}． [答案]　A (3)已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，C＝{x|x<a}． ①求A∪B，(∁RA)∩B； ②若A∩C≠∅，求a的取值范围． [解]　①因为A＝{x|2≤x<7}， B＝{x|3<x<10}， 所以A∪B＝{x|2≤x<10}． 因为A＝{x|2≤x<7}， 所以∁RA＝{x|x<2，或x≥7}， 则(∁RA)∩B＝{x|7≤x<10}． ②因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x<a}， 且A∩C≠∅， 所以a>2， 所以a的取值范围是{a|a>2}． [变式训练] 3．(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝(　　) A．{1} B．{4} C．{1,3} D．{1,4} 解析：D　[由题意得，B＝{1,4,7,10}， 所以A∩B＝{1,4}．] (2)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，集合B＝{2,4}，则(∁UA)∪B＝(　　) A．{2,4,5} B．{1,3,4} C．{1,2,4} D．{2,3,4,5} 解析：A　[由题意知∁UA＝{2,5}， 所以(∁UA)∪B＝{2,4,5}．] 全称量词命题与存在量词命题 　已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制． [例4] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，判断真假，并写出它们的否定： (1)空集是任何一个非空集合的真子集； (2)∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2； (3)∃x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|<2； (4)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解． [解]　(1)该命题是全称量词命题，是真命题．该命题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集． (2)该命题是全称量词命题，是假命题． 因为4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1 ＝(x－1)2≥0， 所以当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2. 该命题的否定：∃x∈R,4x2≤2x－1＋3x2. (3)该命题是存在量词命题，是真命题． 因为当x＝1时，|x－2|＝1<2. 该命题的否定：∀x∈{－2，－1,0,1,2}， |x－2|≥2. (4)该命题是全称量词命题，是假命题． 当a≠0时，方程ax＋b＝0才恰有一解． 该命题的否定：∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解或至少有两解． [变式训练] 4．(1)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　) A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 解析：B　[量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”．] (2)(多选)在下列命题中，真命题有(　　) A．∃x∈R，x2＋x＋3＝0 B．∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数 C．∃x，y∈Z，使3x－2y＝10 D．∀x∈R，x2>|x| 解析：BC　[A中，x2＋x＋3＝2＋>0，故A是假命题；B中，x∈Q，x2＋x＋1一定是有理数，故B是真命题；C中，x＝4，y＝1时，3x－2y＝10成立，故C是真命题；对于D，当x＝0时，左边＝右边＝0，故D为假命题．] 充分条件与必要条件 　充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其特点是以高中数学的其他知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断． [例5]　若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出满足下列条件的式子，用序号填空： (1)使a，b都为0的必要条件是　________　； (2)使a，b都不为0的充分条件是　________　； (3)使a，b至少有一个为0的充要条件是　________　. [解析]　①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0； ②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正数一负数； ③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0，b为任意实数； ④ab>0⇔或即a，b同为正数或同为负数． 综上可知：(1)使a，b都为0的必要条件是①②③. (2)使a，b都不为0的充分条件是④. (3)使a，b至少有一个为0的充要条件是①. [答案]　(1)①②③　(2)④　(3)① [变式训练] 5．已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若命题p的否定是命题q的否定的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 解：由题意知p：－2≤x－3≤2， 即1≤x≤5，∴命题p的否定：x＜1或x＞5. ∵命题q：m－1≤x≤m＋1， ∴命题q的否定：x＜m－1或x＞m＋1. 又∴命题p的否定是命题q的否定的充分不必要条件， ∴或∴2≤m≤4. ∴实数m的取值范围是[2,4]． 不等式的性质及应用 不等关系与不等式的解法是高考重点考查的内容之一，在试题中多以选择题或填空题的形式考查，有时也渗透到解答题中，主要考查不等式的性质及运用． [例6] (1)如果a，b，c满足c<b<a且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是(　　) A．ab>ac　　　　　　　B．c(b－a)>0 C．cb2<ab2 D．ac(a－c)<0 [解析]　因为c<a.且ac<0，所以c<0，a>0. A成立，因为c<b，所以ac<ab，即ab>ac. B成立，因为b<a，b－a<0， 所以c(b－a)>0. C不一定成立，当b＝0时，cb2<ab2不成立． D成立，因为c<a，所以a－c>0， 所以ac(a－c)<0. [答案]　C (2)对于实数a，b，c，下列命题中正确的是(　　) A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＞b(ab≠0)，则＜ C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b [解析]　对于A，由a＞b，取a＝2，b＝－3，则a2＞b2不成立，故A错误；对于B，由a＞b(ab≠0)，取a＝1，b＝－1，则＜不成立，故B错误；对于C，当c＝0时，ac2＞bc2不成立，故C错误；对于D，因为ac2＞bc2，所以c2＞0，故ac2×＞bc2×，则a＞b，故D正确． [答案]　D (3)已知2<a<3，－2<b<－1，求ab，的取值范围． [解]　因为－2<b<－1，所以1<－b<2. 又因为2<a<3，所以2<－ab<6， 所以－6<ab<－2. 因为－2<b<－1，所以1<b2<4. 因为2<a<3，所以<<， 所以<<2. 所以ab的取值范围为－6<ab<－2，的取值范围为<<2. [变式训练] 6．(1)(多选)下列命题正确的有(　　) A．若a>1，则<1 B．若a＋c>b，则< C．对任意实数a，都有a2≥a D．若ac2>bc2，则a>b 解析：AD　[因为a>1，所以<1，所以A正确；若a＋c>b，可令a＝1，c＝1，b＝－1，则有>，故B错误；对于C，可取a＝，则a2<a，故C错误；因为ac2>bc2，所以c2>0，所以a>b，故D正确．] (2)已知a>0，b>0，且a≠b，比较＋与a＋b的大小． 解：－(a＋b)＝－b＋－a ＝＋ ＝(a2－b2) ＝(a2－b2)＝， 因为a>0，b>0，且a≠b， 所以(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0， 所以－(a＋b)>0， 即＋>a＋b. 解一元二次不等式 一元二次方程的解集及其根与系数的关系，虽在高考中不直接考查，但它是解决某些数学问题的基础，常在解题过程中用到，主要涉及到一元二次方程的解法及其根与系数的关系的应用． [例7]　解下列关于x的不等式： (1)－1<x2＋2x－1≤2； (2)m2x2＋2mx－3<0. [解]　(1)原不等式等价于 即 由①得x(x＋2)>0， 所以x<－2或x>0； 由②得(x＋3)(x－1)≤0， 所以－3≤x≤1. 将①②的解集在数轴上表示出来，如图． 求其交集得原不等式的解集为{x|－3≤x<－2，或0<x≤1}． (2)当m＝0时，－3<0恒成立，解集为R. 当m≠0时，二次项系数m2>0，Δ＝16m2>0，不等式化为(mx＋3)(mx－1)<0. 当m>0时，解集为； 当m<0时，解集为. [变式训练] 7．解下列不等式(组)： (1) (2)6－2x≤x2－3x<18. 解：(1)原不等式组可化为 即0<x<1，所以原不等式组的解集为{x|0<x<1}． (2)原不等式等价于 即 因式分解，得 所以 所以－3<x≤－2或3≤x<6. 所以不等式的解集为{x|－3<x≤－2，或3≤x<6}． 利用基本不等式求最值 　基本不等式：≤(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现． [例8]　(1)设a>0，b>0,2a＋b＝1，则＋的最小值为　________　. (2)已知a，b都是正数，且a2＋＝1，则y＝a的最大值为　________　. [解析]　(1)∵a>0，b>0，且2a＋b＝1， ∴＋＝(2a＋b) ＝4＋＋≥4＋2＝8， 当且仅当，即时等号成立． ∴＋的最小值为8. (2)∵a2＋＝1，∴2a2＋b2＝2. 又∵a是正数，b也是正数， ∴y＝a＝ ＝·≤· ＝， 当且仅当即时取等号， ∴y＝a有最大值. [答案](1)8　(2) [变式训练] 8．若x>0，y>0，且x＋2y＝5，求＋的最小值，并求出取得最小值时x，y的值． 解：因为x>0，y>0，且x＋2y＝5， 所以＋＝(x＋2y) ＝≥＝5， 当且仅当即时等号成立． 所以＋的最小值为5，此时x＝3，y＝1. 恒成立问题 对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种 (1)变更主元法 根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元． (2)分离参数法 若m<y恒成立，则m<y的最小值． 若m>y恒成立，则m>y的最大值． (3)数形结合法 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化． [例9]　设函数y＝mx2－mx－1，(1≤x≤3)，若y<－m＋5恒成立，求m的取值范围． [解]　y<－m＋5恒成立． 即m(x2－x＋1)－6<0恒成立， ∵x2－x＋1＝(x－)2＋>0， 又m(x2－x＋1)－6<0， ∴m<. ∵y＝＝在1≤x≤3上的最小值为，∴只需m<即可． ∴m的取值范围为. [变式训练] 9．设x＞0，y＞0，不等式＋＋≥0恒成立，则实数m的最小值是(　　) A．－2　　　B．2　　　C．1　　　D．－4 解析：D　[∵x＞0，y＞0，不等式＋＋≥0恒成立，即m≥－(x＋y)恒成立，∴只需m≥max，∵(x＋y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时取等号． 所以－(x＋y)≤－4.∴实数m≥－4， ∴实数m的最小值为－4.] 构建不等式模型解决实际问题 数学建模是应用数学实际问题的基本手段，在本章中体现在：(1)基本不等式的实际应用；(2)一元二次不等式的实际应用． [例10]　 某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． [解]　y＝112＋96＋100×160＝320×＋16 000≥26 240. 此时，x＝，即x＝16时，取得最小值． 最小值为26 240元．故最低造价为26 240元． [变式训练] 10．某商品的成本价80元/件，售价100元/件，每天售出100件，若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品的数量就增加x成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少10 260元，求x的取值范围． 解：(1)依题意y＝100·100， 又售价不能低于成本价， 所以100－80≥0，解得x≤2， 所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)(0≤x≤2)． (2)20(10－x)(50＋8x)≥10 260， 化简得：8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤. 又x∈[0,2]，所以x的取值范围为≤x≤2. 学科网（北京）股份有限公司 $$