第1章 2.2 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定 课程标准 素养解读 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 2．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 通过全称量词命题与存在量词命题的否定的学习，重点提升数学抽象、逻辑推理素养 [情境引入] 一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸．” 请问探险家该如何保命？ 提示：探险家应该说“我将被五马分尸”． 如果土人首领将探险家五马分尸，那就说明探险家说的就是真话，而说真话应该被烧死； 如果土人首领将探险家烧死，那就说明探险家说的就是假话，而说假话应该被五马分尸． 所以，土人首领怎么处置探险家都不行，只能让他活着． [知识梳理] [知识点一]　全称量词命题与存在量词命题的否定　 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定形式 ∃x∈M，綈p(x) ∀x∈M，綈p(x) 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题 1.用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？ 提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”． 2．对省略量词的命题怎样否定？ 提示：对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题．一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题． [知识点二]　常见词语的否定词语　 常见词语的否定词语 原词 等于 (＝) 大于 (>) 小于 (<) 是 都是 至多有 一个 至多有 n个 至少有 一个 否定 不等于 (≠) 不大于 (≤) 不小于 (≥) 不是 不都是 至少有 两个 至少有 (n＋1)个 一个也 没有 原词语 任意的 任意两个 所有的 能 或 否定词语 某个 某两个 某些 不能 且 [预习自测] 1．命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是　____________________________　. 解析：这是一个全称命题，其否定为∃x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3. 答案：∃x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3 2．命题“∃x∈∁RQ，x∈Q”的否定是(　　) A．∃x∈∁RQ，x3∈Q B．∃x∈∁RQ，x3∉Q C．∀x∉∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q 解析：D　[原命题的否定为：∀x∈∁RQ，x3∉Q.] 3．若命题p：∀x∈R,2x2＋1>0，则綈p是(　　) A．∀x∈R,2x2＋1≤0 B．∃x∈R,2x2＋1>0 C．∃x∈R,2x2＋1<0 D．∃x∈R,2x2＋1≤0 解析：D　[全称量词命题的否定是存在量词命题，綈p是∃x∈R,2x2＋1≤0.] 全称量词命题的否定 [例1] 写出下列全称量词命题的否定，并判断真假： (1)∀x∈R,1－2≤1； (2)所有的正方形都是矩形； (3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3； (4)正数的绝对值是它本身． [思路点拨]　∀x∈M，p(x)的否定为：∃x∈M，綈p(x)． [解]　(1)该命题的否定：∃x∈R,1－2>1， 因为∀x∈R，2≥0， 所以－2≤0,1－2≤1恒成立， 所以这是一个假命题． (2)该命题的否定：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)该命题的否定：至少存在一个x∈Z，x2的个位数等于3，因为02＝0,12＝1,22＝4,32＝9,42＝16,52＝25；62＝36，72＝49,82＝64,92＝81，……，所以这是一个假命题． (4)该命题省略了量词“所有的”，该命题是全称量词命题，它的否定：有的正数的绝对值不是它本身．这是一个假命题． 1．对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2．全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个实例即可． [变式训练] 1．写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)任何一个圆都是轴对称图形； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0. 解：(1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行． (2)其否定为：存在一个圆不是轴对称图形． (3)其否定为：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在． (4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0. 存在量词命题的否定 [例2] 写出下列存在量词命题的否定，并判断真假： (1)有些分数不是有理数； (2)∃x，y∈Z,3x－4y＝20； (3)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (4)有些梯形的对角线相等． [思路点拨]　∃x∈M，p(x)的否定为∀x∈M，綈p(x)． [解]　(1)该命题的否定：任意分数都是有理数，这是一个真命题． (2)该命题的否定：∀x，y∈Z,3x－4y≠20，当x＝4，y＝－2时，3x－4y＝20.因此这是一个假命题． (3)该命题的否定：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解，这是一个假命题． (4)该命题的否定：所有梯形的对角线不相等，如等腰梯形的对角线相等，因此这是一个假命题． 1．对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 2．存在量词命题否定后的真假判断 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． [变式训练] 2．写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x，y∈Z，使x＋y＝3. 解：(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题． (2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题． (3)命题的否定是“∀x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题． 全称量词命题、存在量词命题的否定的应用 [例3] 若命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为　________　. [思路点拨]　先写出命题的否定，然后判断． [解析]　法一：由题意，知命题“对任意实数x，使x2＋ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝a2－4×1×1≤0，解得－2≤a≤2. 法二：由题意，知命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0”是假命题．若命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0”是真命题，则Δ＝a2－4×1×1>0，解得a>2或a<－2，所求实数a的取值范围是{a|－2≤a≤2}． [答案]　{a|－2≤a≤2} 1．含有一个量词命题的否定的步骤与方法 (1)确定类型：是存在量词命题还是全称量词命题． (2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词．注意无量词的全称命题要先补回量词再否定． (3)否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等． 2．由命题真假求参数的范围的两个关注点 (1)命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化． (2)求参数范围问题，通常根据有关全称量词和存在量词命题的意义列不等式求范围． [变式训练] 3．已知命题“∃x∈{x|1≤x≤2}，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，求a的取值范围． 解：因为命题“∃x∈{x|1≤x≤2}， 使x2＋2x＋a≥0”为真命题， x∈{x|1≤x≤2}时，x2＋2x的最大值为8， 所以a≥－8时，命题“∃x∈{x|1≤x≤2}， 使x2＋2x＋a≥0”为真命题． 所以a的取值范围为{a|a≥－8}． 1．命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式綈p为(　　) A．∀x∈N，x3≤x2　 B．∃x∈N，x3>x2 C．∃x∈N，x3<x2 D．∃x∈N，x3≤x2 解析：D　[命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式是存在量词命题，∴綈p：“∃x∈N，x3≤x2”．] 2．下列结论正确的个数是(　　) ①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； ②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题； ③若p：∃x∈R，x2＋4x＋4≤0，则綈p：∀x∈R，x2＋4x＋4>0. A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3 解析：C　[①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题，故②正确；③若p：∃x∈R，x2＋4x＋4≤0，则綈p；∀x∈R，x2＋4x＋4>0，故③正确．] 3．若命题p：∀x∈R，<0，则綈p：　________________________________　. 答案：∃x∈R，>0或x－2＝0 4．某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m范围．你认为，两位同学题中m范围是否一致？　________　(填“是”“否”中的一种) 解析：∵命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”． 而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题， 则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题． ∴两位同学题中m范围是一致的． 答案：是 5．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅. (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； (2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围． 解：(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，B≠∅， 所以解得2≤m≤3. 所以，m的取值范围为[2,3]． (2)q为真，则A∩B≠∅， 因为B≠∅，所以m≥2. 所以解得2≤m≤4. 所以m的取值范围为[2,4]． 学科网（北京）股份有限公司 $$