第1章 1.1 第1课时 集合的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

§1　集合 1．1　集合的概念与表示 第1课时　集合的概念 课程标准 素养解读 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系 2．针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上．用符号语言刻画集合 在集合概念的形成中，经历由具体到抽象、由自然语言和图形语言到符号语言的表达过程，发展学生的数学抽象素养和数学运算素养 [情境引入] 中华人民共和国成立70周年阅兵式于2019年10月1日10：00在北京天安门广场隆重举行，阅兵编59个方(梯)队，参与人数约1.5万人，是历年来规模最大的一次． 参加阅兵式的所有女兵能否组成一个集合？ 提示：参加阅兵式的所有女兵能够组成一个集合． [知识梳理] [知识点一]　元素与集合的概念　 1．集合 2．元素 3．规定：一个集合中的任何两个元素都　不相同　.也就是说，集合中的元素没有　重复　. 4．集合中元素的特性：　确定性　、互异性和无序性． 1.集合中的元素只能是数、点、代数式吗？ 提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等． 2．某班所有的高个子男生能否构成一个集合？ 提示：某班所有的高个子男生不能构成集合，因为高个子男生没有明确的标准． [知识点二]　元素与集合的关系　 知识点 关系 概念 记法 读法 元素 与集 合的 关系 属于 如果　a是集合A 中的元素　，就说 a属于A 　a∈A　 “a属于A” 不属于 如果　a不是集合 A中的元素　，就说 a不属于A a∉A “a不属于A” 3.元素与集合之间有第三种关系吗？ 提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果． [知识点三]　常见数集及其表示方法　 1．非负整数集(自然数集)：全体非负整数的集合，记作N. 2．正整数集：非负整数集内排除0的集．记作N*或N＋. 3．整数集：全体整数的集合．记作Z. 4．有理数集：全体有理数的集合．记作Q. 5．实数集：全体实数的集合．记作R. 注：(1)自然数集包括数0. (2)非负整数集内排除0的集，记作N*或N＋. 4.N与N*(N＋)有何区别？ 提示：N＋是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N*(N＋)多一个元素0. [预习自测] 1．下列各组对象中不能构成集合的是(　　) A．某校高一(2)班的全体男生 B．某校全体学生的家长 C．李明的所有家人 D．王明的所有好朋友 答案：D 2．设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是(　　) A．0∈A　 B．a∉A 　 C．a∈A 　 D．a＝A 答案：C 3．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 　 集合的概念 [例1] 考查下列每组对象能否组成一个集合，并说明理由． (1)2024年全国高考数学试卷中的所有难题； (2)观看天宫一号与天宫二号自动交会对接的电视观众； (3)接近1的全体实数； (4)篮球比林书豪打得好的球员． [思路点拨]　根据集合元素的确定性判断． [解]　(1)试卷中的哪些题才能称为是“难题”，是无法确定的，故不能组成一个集合；(2)元素“观众”是确定的，所以能组成一个集合；(3)接近1的实数没有一个明确的标准，所以这些实数是无法确定的，不能组成一个集合；(4)哪些球员比林书豪打得好是不确定的，所以不能组成一个集合． 判断一些对象能否构成集合的方法 (1)判断每个对象是否具有确定性是判断其能否构成集合的关键． (2)判断一个对象是不是确定的，关键就是要找到一个明确的衡量标准． 提醒：注意集合中元素的互异性、无序性． [变式训练] 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．中国的所有直辖市可以组成一个集合 B．高一(1)班较胖的同学可以组成一个集合 C．正偶数的全体可以组成一个集合 D．大于2 014且小于2 024的所有整数不能组成集合 解析：AC　[B中，由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以B错误；D中的所有整数能组成集合，所以D错误．] 　 元素与集合的关系 [例2]　下列关系中正确的个数为(　　) ①∈Q；②0∉N；③π∉R；④|－4|∈Z. A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 [思路点拨]　先明确符合Q、N、R及Z的含义，再判断，0，π，|－4|与相应数集的关系． 解析：A　[①∵是无理数，∴∉Q，故①错误； ②∵0是非负整数，∴0∈N，故②错误； ③∵π是实数，∴π∈R，故③错误； ④∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故④正确．] 1．判断元素与集合关系的2种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 2．已知元素与集合的关系求参数的思路 当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素．反之，当a∉A时，结论恰恰相反． 利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验． [变式训练] 2．已知集合A的所有元素为2,4,6，若a∈A，且有6－a∈A，则a的值是　________　. 解析：若a＝2，则6－a＝4∈A，符合题意； 若a＝4，则6－a＝2∈A，符合题意； 若a＝6，则6－a＝0∉A，不符合题意． 综上可知，a的值为2或4. 答案：2或4. 集合中元素的特性 [例3]　已知集合A含有三个元素 1,0，x.若x2∈A, 求实数x的值． [思路点拨]　可令x2＝1,0或x解得x的值． [解]　若x2＝0，则x＝0，此时集合A中有两个相同元素0，不符合集合中元素的互异性，舍去． 若x2＝1，则x＝±1. 当 x＝1时，集合A中有两个相同元素1，舍去； 当x＝－1时，集合A中三个元素为1,0，－1，符合． 若x2＝x，则x＝0 或x＝1， 不符合互异性，都舍去． 综上可知：x＝－1. 根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤 [变式训练] 3．集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P与Q相等．则a＝　________　. 解析：由题意知a2＝4，即a＝±2. 答案：±2 1．下列对象能组成集合的是(　　) A．驾龄比较长的司机　　 B．上海市跑得快的汽车 C．雄安新区所有的中学生 D．北京的高楼 解析：C　[A中，“比较长”无明确标准；B中，“快”的标准不确定；D中，“高”的标准不确定．因而A、B、D中的对象均不能组成集合．对于C，雄安新区的所有中学生是确定的，能组成集合．] 2．若集合A中含有a－3与2a－1两个元素，则实数a不能取的值是(　　) A．±1　　　B．0　　　C．－2　　　D．2 解析：C　[因为集合中的元素具有互异性，所以a－3≠2a－1，所以a≠－2.] 3．给出以下关系式： ①0.3∈Q；②0∈N；③0∈Z；④0∈N＋； ⑤∈N；⑥π∈Z；⑦－5∈Z. 其中正确关系式的个数是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：A　[④⑤⑥错误，①②③⑦正确．] 4．已知集合M中有3个元素1，m＋1，m2＋4，如果5∈M，那么m＝　________　. 解析：因为5∈M，所以m＋1＝5或m2＋4＝5.若m＋1＝5，解得m＝4；若m2＋4＝5，解得m＝±1，经验证，3个值都符合题意，所以m的值为4或1或－1. 答案：4或1或－1 5．设A是由满足不等式x＜6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值． 解：因为a∈A且3a∈A， 所以解得a＜2. 又a∈N，所以a＝0或1. 学科网（北京）股份有限公司 $$