第2章 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

章末归纳提升 第二章 函数 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 [网络构建] [归纳提升] 求函数的定义域 求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． (2)实际问题；求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． (3)复合函数问题 ①若f(x)的定义域为[a，b]，f[g(x)]的定义域应由a≤g(x)≤b解出； ②若f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域． 注意：①f(x)中的x与f[g(x)]中的g(x)地位相同； ②定义域所指永远是自变量x的范围． [例1] (1)函数f(x)＝eq \f(2x2,\r(1－x))＋(2x－1)0的定义域为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))　　　　　　 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) [解析]　(1)由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x>0，,2x－1≠0，))，解得x<1且x≠eq \f(1,2)，即f(x)的定义域是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)). [答案]　C (2)已知函数y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则y＝f(1－3x)的定义域为(　　) A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，3)) C．[0,1] D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1)) [解析]　由y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则x－1∈[－2,1]，即f(x)的定义域是[－2,1]，令－2≤1－3x≤1，解得0≤x≤1，即y＝f(1－3x)的定义域为[0,1]． [答案]　C [变式训练] 1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有(　　) A．7个　　　B．8个　　　C．9个　　　D．10个 解析：C　[由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数．函数解析式为y＝x2，值域为{1,4}， 当x＝±1时，y＝1； 当x＝±2时，y＝4， 则定义域可以为{1,2}，{1，－2}，{－1、2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{1，－1，－2}，{－1,2，－2}，{1，－2,2}，{1，－1,2，－2)，因此“同族函数”共有9个．] 　 求函数的解析式 求函数解析式的题型与相应的解法 (1)已知形如f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法． (2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法． (3)含f(x)与f(－x)或f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))，使用解方程组法． (4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法． [例2]　(1)已知f(eq \r(x)－1)＝x－2eq \r(x)，则f(x)的解析式为　________　. (2)设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(0)＝1，并且∀x，y∈R，都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，则f(x)＝　________　. [解析]　(1)法一：(换元法)　令t＝eq \r(x)－1，t≥－1，则x＝(t＋1)2，所以f(t)＝(t＋1)2－2(t＋1)＝t2－1(t≥－1)， 所以函数的解析式为f(x)＝x2－1(x≥－1)． 法二：(配凑法)　f(eq \r(x)－1)＝x－2eq \r(x) ＝x－2eq \r(x)＋1－1＝(eq \r(x)－1)2－1. 因为eq \r(x)－1≥－1，所以函数的解析式为f(x)＝x2－1(x≥－1)． (2)法一：由已知条件得f(0)＝1， 又f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)， 令y＝x，则f(x－y)＝f(0) ＝f(x)－x(2x－x＋1)＝1， 所以f(x)＝x2＋x＋1. 法二：令x＝0，得f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)， 即f(－y)＝1－y(－y＋1)， 将－y用x代换得f(x)＝x2＋x＋1. [答案](1)f(x)＝x2－1(x≥－1)　(2)x2＋x＋1 [变式训练] 2．(1)已知f(x＋1)＝x2－5x＋4，则f(x)＝　________　； (2)若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，则f(x)的解析式为　________　. 解析：(1)令x＋1＝t， 则x＝t－1， 因为f(x＋1)＝x2－5x＋4， 所以f(t)＝(t－1)2－5(t－1)＋4＝t2－7t＋10， 所以f(x)＝x2－7x＋10. (2)令t＝x－1，则x＝t＋1，t∈R， 原式变为3f(t)＋2f(－t)＝2(t＋1)，　① 以－t代替t，①式变为3f(－t)＋2f(t)＝2(1－t)，　② 由①②消去f(－t)得f(t)＝2t＋eq \f(2,5)， 故f(x)＝2x＋eq \f(2,5). 答案：(1)x2－7x＋10　(2)f(x)＝2x＋eq \f(2,5) 　 分段函数 1．求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验． 3．在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可． [例3]　设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r(x)，0<x<1，,2x－1，x≥1.))若f(a)＝f(a＋1)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝(　　) A．2　　　　B．4　　　　C．6　　　　D．8 [解析]　[当0<a<1时，a＋1>1， f (a)＝eq \r(a)，f (a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a， ∵f (a)＝f (a＋1)， ∴eq \r(a)＝2a，解得a＝eq \f(1,4). ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝f(4)＝2×(4－1)＝6.] [答案]　C [变式训练] 3．己知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ax2＋a，x＜0,a－3x＋1，x≥0))满足对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＜0成立，则实数a的取值范围是　__________　. 解析：因为对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＜0成立，所以f(x)在R上单调递减．所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＞0,a－3＜0,a×02＋a≥a－3×0＋1))，解得a∈[1,3)． 答案：[1,3) 函数的单调性与奇偶性 　函数单调性与奇偶性应用的常见题型 (1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性． (2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间． (3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式． (4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围． [例4]　(1)已知函数y＝f (x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f (a)≤f (2)，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤2 B．a≥－2 C．－2≤a≤2 D．a≤－2或a≥2 [解析]　因为y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)，所以，|a|≥2，得a≤－2或a≥2. [答案]　D (2)设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)＝x5＋x3＋b. ①求b的值． ②若f(x)在[0,2]上单调递增，且f(m)＋f(m－1)＞0，求实数m的取值范围． [解]　①因为函数f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，所以f(0)＝0，解得b＝0(经检验符合题意)． ②因为函数f(x)在[0,2]上是增函数，又f(x)是奇函数，所以f(x)在[－2,2]上是增函数． 因为f(m)＋f(m－1)＞0， 所以f(m－1)＞－f(m)＝f(－m)， 所以m－1＞－m，① 又需要不等式f(m)＋f(m－1)＞0在函数f(x)定义域内有意义， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2≤m≤2，,－2≤m－1≤2，))② 解①②得eq \f(1,2)＜m≤2， 所以实数m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)). [变式训练] 4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有eq \f(fa＋fb,a＋b)＞0. (1)若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系； (2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围． 解：(1)因为a＞b，所以a－b＞0， 由题意得eq \f(fa＋f－b,a－b)＞0， 所以f(a)＋f(－b)＞0， 所以f(a)＋f(－b)＞0. 又f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(－b)＝－f(b)， 所以f(a)－f(b)＞0，即f(a)＞f(b)． (2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，且为奇函数，因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0， 所以f(1＋m)≥－f(3－2m)， 即f(1＋m)≥f(2m－3)， 所以1＋m≥2m－3，所以m≤4. 所以实数m的取值范围为(－∞，4]． 函数的图象及应用 作函数图象的方法 (1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线． (2)变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转． ①平移，y＝f(x)eq \o(―----→,\s\up15(左加右减))y＝f(x±h)； y＝f(x)eq \o(―---―→,\s\up15(上加下减))y＝f(x)±k(其中h>0，k>0)． ②对称：y＝f(x) y＝f(x)y＝－f(x)； y＝f(x)＝y＝－f(－x)． 特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图． [例5]　对于函数f(x)＝x2－2|x|. (1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性； (2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值． 解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称， f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|. 则f(－x)＝f(x)， 所以f(x)是偶函数． 图象关于y轴对称． (2)f(x)＝x2－2|x| ＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－2x＝x－12－1，x≥0，,x2＋2x＝x＋12－1，x<0.)) 画出图象如图所示， 根据图象知，函数f(x)的最小值是－1.单调递增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；单调递减区间是(－∞，－1]，[0,1]． [变式训练] 5．(1)函数f(x)与g(x)的定义域均为[m，n]，它们的图象如图所示，则不等式f(x)＞g(x)的解集是(　　) A．[m，a)∪(b，e) B．(a，c)∪(e，n] C．(b，c)∪[m，a] D．(a，b)∪(c，e) 解析：A　[f(x)＞g(x)即为函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的上方的部分对应自变量的范围，由题图可知，当f(x)＞g(x)时，m≤x＜a或b＜x＜e，即不等式f(x)＞g(x)的解集是[m，a)∪(b，e)．] (2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x＞0，,0，x＝0，,x2＋mx，x＜0))是奇函数． ①求实数m的值； ②若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 解：①设任意x＜0，则－x＞0， ∴f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， ∴m＝2. ②要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增． 结合f(x)的图象(如图所示)知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－2＞－1，,a－2≤1，)) ∴1＜a≤3， 故实数a的取值范围是(1,3]． $$