第2章 4.2 简单幂函数的图象和性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

§4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.2 简单幂函数的图象和性质 第二章 函数 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 课堂 互动学案 随堂 步步夯实 02 03 课后 素养提升 04 课前 预习学案 01 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 课程标准 素养解读 1.通过实例，了解幂函数的概念 2．结合函数y＝x、y＝x2、y＝x3、y＝xeq \f(1,2)、y＝eq \f(1,x)的图象，了解它们的变化情况及性质 3．会利用幂函数解决一些问题 通过幂函数的图象及性质提升直观想象和数学抽象素养 [情境引入] 函数f(x)＝x、f(x)＝x2、f(x)＝eq \f(1,x)，以前叫什么函数，它们有什么共同特征？ 提示：正比例函数、二次函数、反比例函数． [知识梳理] [知识点一]　幂函数的概念　 一般地，函数　y＝xα　叫做幂函数，其中　x　是自变量，　α　是常数． 1.如何判断一个函数是幂函数？ 提示：幂函数解析式的结构特征 ①指数为常数； ②底数是自变量，自变量的系数为1； ③幂xα的系数为1； ④只有1项． [知识点二]　幂函数的图象和性质　 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝xeq \f(1,2) y＝x－1 图象 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上 是增函数 x∈[0，＋∞) 是　增函数　 x∈(－∞，0] 是　减函数　 在R上的 增函数 [0，＋∞)上 增函数 x∈(0，＋∞) 是　减函数　 x∈(－∞，0) 是　减函数　 定点 (1,1) (1)本质：幂函数的图象是函数的图形表示，幂函数的性质是根据函数图象总结得到的． (2)应用：①求定义域；②求值域；③比较大小；④求单调区间． 2.通过5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？ 提示：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象． 3．当α>0时，幂函数y＝xα的图象在第一象限内有什么共同特征？ 提示：图象都是从左向右逐渐上升． [预习自测] 1．下列函数为幂函数的是(　　) ①y＝－x2；②y＝2x；③y＝xπ；④y＝(x－1)3； ⑤y＝eq \f(1,x2)；⑥y＝x2＋eq \f(1,x). A．①③⑤　　　　　 B．①②⑤ C．③⑤ D．只有⑤ 答案：C 2．下列命题中，不正确的是(　　) A．幂函数y＝x－1是奇函数 B．幂函数y＝x2是偶函数 C．幂函数y＝x既是奇函数，又是偶函数 D．y＝xeq \f(1,2)既不是奇函数又不是偶函数 答案：C 3．已知幂函数f(x)的图象过点(3,2)，则f(x)＝　________　. 解析：设f(x)＝xα，则2＝3α，∴α＝log32， ∴f(x)＝. 答案： 幂函数的概念 [例1] 函数f(x)＝(m2－m－1) 是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式． [思路点拨]　可根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m. [解]　根据幂函数定义得，m2－m－1＝1， 解得m＝2或m＝－1， 当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数； 当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求． 故f(x)＝x3. 1．判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 2．求幂函数解析式的依据及常用方法 ①依据 若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件． ②常用方法 设幂函数解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α. [变式训练] 1．函数y＝(m2－m－1) 是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，y为减函数，求实数m的值． 解：∵y＝(m2－m－1) 为幂函数． ∴m2－m－1＝1，即(m－2)(m＋1)＝0， ∴m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数， 在(0，＋∞)上是减函数， 当m＝－1时，m2－2m－3＝0，y＝x0＝1(x≠0)不是减函数． 综上所述，m＝2. 幂函数图象及其应用 [例2] 点(eq \r(2)，2)与点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))分别在幂函数f(x)、g(x)的图象上，问当x为何值时，有①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)． [思路点拨]　eq \x(根据题意求出fx，gx)⇒ eq \x(画出fx、gx图象)⇒ eq \x(根据图象分别确定x取值) [解]　设f(x)＝xα，g(x)＝xβ， 则(eq \r(2))α＝2，(－2)β ＝－eq \f(1,2)， ∴α＝2，β＝－1. ∴f(x)＝x2， g(x)＝x－1. 分别作出它们的图象如图所示， 由图象可知， ①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)； ②当x＝1时，f(x)＝g(x)； ③当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)． 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断． [变式训练] 2． 解析：根据幂函数的图象特征确定相应的图象．由第一、二、三个图象在第一象限的图象特征可知α＜0，而第一个图象关于原点对称，则为奇函数；第二个图象关于y轴对称，则为偶函数；第三个图象在y轴左侧无图象，即在(－∞，0)上无意义，因而这三个图象下方小括号内应分别填⑥④③.由第四、五、六个图象在第一象限的图象特征可知0＜α＜1，而第四个图象关于y轴对称，则为偶函数；第五个图象关于原点对称，则为奇函数；第六个图象在y轴左侧无图象，即函数在(－∞，0)上无意义，因而这三个图象下方小括号内应分别填②⑦①.最后一个图象对应的幂指数大于1，故填⑤. 答案：⑥④③②⑦①⑤ 幂函数性质及其应用 [例3]　比较下面各组数的大小： (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.5与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.5； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1. [思路点拨]　用幂函数的单调性判断． [解]　(1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又eq \f(2,5)>eq \f(1,3)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.5>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.5. (2)幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－eq \f(2,3)<－eq \f(3,5)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1. (1)利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法 (2)利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题 比较大小的两个实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小． [变式训练] 3．比较幂值大小： 1．下列幂函数中①y＝x－1；②y＝；③y＝x；④y＝x2；⑤y＝x3，其中在定义域内为增函数的个数为(　　) A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5 解析：B　[由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数．] 2．已知点(a3,2)在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则(　　) A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝ C．f(x)＝x3 D．f(x)＝ 解析：D　[∵函数f(x)＝(a－1)xb是幂函数， ∴a－1＝1，即a＝2， ∴点(8,2)在幂函数f(x)＝xb的图象上， ∴8b＝2，即b＝eq \f(1,3)，故f(x)＝xeq \f(1,3).] 3．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表： x 1 eq \f(1,2) f(x) 1 eq \f(\r(2),2) 则f(x)的单调递增区间是　________　. 解析：因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \f(\r(2),2)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α＝eq \f(\r(2),2)，即α＝eq \f(1,2)， 所以f(x)＝，f(x)的单调递增区间是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 4．设α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1，3))，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值是　________　. 解析：因为f(x)＝xα为奇函数，所以α＝－1,1,3. 又因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1. 答案：－1 5．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是 (1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)幂函数． 解：(1)若函数f(x)为正比例函数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝1，,m2＋2m≠0，)) ∴m＝1. (2)若函数f(x)为反比例函数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝－1，,m2＋2m≠0，)) ∴m＝－1， (3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1， ∴m＝－1±eq \r(2). $$