第1章 2.2 第1课时 全称量词命题与存量词命题-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

§ 2 常用逻辑用语 2.2 全称量词与存在量词 第1课时 全称量词命题与存在量词命题 第一章 预备知识 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课堂 互动学案 随堂 步步夯实 02 03 课后 素养提升 04 课前 预习学案 01 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课程标准 素养解读 1.了解命题的概念，能判断真假 2．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义 用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，重点提升数学抽象、逻辑推理素养 [情境引入] 在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城．我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸．我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人．可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，他们说他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸． 这就是著名的“罗素理发师悖论”问题． (1)文中理发师说：“我将给所有的不给自己刮脸的人刮脸”．对“所有的”这一词语，你还能用其他词语代替吗？ 提示：任意一个，全部，每个． (2)上述词语都有什么含义？ 提示：表示某个范围的整体或全部． [知识梳理] [知识点一]　全称量词命题　 1．全称量词命题的定义 在给定集合中，断言　所有　元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题． 2．全称量词 定义 在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词 符号表示 用符号“∀”表示，读作“对任意的” [知识点二]　存在量词命题　 1．存在量词命题的定义 在给定集合中，断言　某些　元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题． 2．存在量词 定义 在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词 符号表示 用符号“∃”表示，读作“存在” 1.如何判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题？ 提示：判断一个命题是不是全称(存在)量词命题，关键看该命题是否含有全称(存在)量词，如果含有，直接判断，否则看该命题是不是省去全称(存在)量词的命题，如果是，可以把全称(存在)量词补充出来，看是否能讲通． [知识点三]　全称量词命题与存在量词命题的表示方法　 1．定义和表示方法 全称量词命题 存在量词命题 定义 含有　全称量词　的命题，叫做全称量词命题. 含有　存在量词　的命题，叫做存在量词命题． 表示 全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为：　∀x∈M，p(x)　. 存在量词命题“存在M中的元素x.p(x)成立”可用符号简记为：　∃x∈M，p(x)．　 2.本质：全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”． 3．应用：全称量词、存在量词是数学和日常生活中使用频率很高的一种逻辑用语，数学中存在大量的全称量词命题和存在量词命题． 2.全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？ 提示：元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围，p(x)表示集合M的所有元素满足的性质，也可以用q(x)，r(x)等符号表示． [预习自测] 1．将“x2＋y2≥2xy对任意实数x恒成立”改写成符号形式为(　　) A．∀x，y∈R，x2＋y2≥2xy B．∃x，y∈R，x2＋y2≥2xy C．∀x>0，y>0，x2＋y2≥2xy D．∃x<0，y<0，x2＋y2≥2xy 答案：A 2．下列命题中，不是全称量词命题的是(　　) A．任何一个实数乘以0都等于0 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 解析：D　[D选项是存在量词命题．] 3．给出下列命题： ①∀x∈R，x2>0； ②∃x∈R，x2＋x＋1≤0； ③∃a∈∁RQ，b∈∁RQ，使得a＋b∈Q. 其中真命题的个数为　________　. 解析：①当x＝0时，x2＝0，是假命题． ②x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)>0，是假命题． ③当a＝2－eq \r(2)，b＝3＋eq \r(2)时，a＋b＝5，是真命题． 答案：1 全称量词命题与存在量词命题的识别 [例1] 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的平行四边形是菱形； (3)有一个数是素数也是合数； (4)菱形的对角线相互垂直． [思路点拨]　依据全称量词命题与存在量词的概念判断． 解：(2)(3)含有存在量词“有的”“有一个”为存在量词命题，(1)(4)是省略了全称量词的全称量词命题． 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 [提醒]　全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略． [变式训练] 1．用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题： (1)不等式x2＋x＋1>0恒成立； (2)当x为有理数时，eq \f(1,3)x2＋eq \f(1,2)x＋1也是有理数； (3)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (4)有些整数既能被2整除，又能被3整除． 解：(1)∀x∈R，x2＋x＋1>0. (2)∀x∈Q，eq \f(1,3)x2＋eq \f(1,2)x＋1是有理数． (3)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解． (4)∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除． 全称量词命题、存在量词命题的真假判断 [例2] 判断下列命题的真假： (1)∃x∈Z，x3<1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N，x2>0. [思路点拨]　依命题真假的判断方法作出结论． [解]　(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1， 所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题． (2)真命题，如梯形． (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题． 全称量词命题与存在量词 命题的真假判断的技巧 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可． (2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题． [变式训练] 2．用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题并判断其真假： (1)自然数的平方大于零； (2)存在一对整数x，y，使2x＋4y＝3； (3)存在一个无理数，它的立方有理数． 解：(1)∀x∈N，x2>0，因为0也是自然数，0的平方是0.所以，全称量词命题“自然数的平方大于零”是假命题． (2)∃x，y∈Z,2x＋4y＝3.由2x＋4y＝3，得x0＋2y＝eq \f(3,2)，若x，y∈Z，则x＋2y也是整数，不可能等于eq \f(3,2)，所以，存在量词命题“存在一对整数x，y，使2x＋4y＝3”是假命题． (3)∃x∈{无理数}，x3∈Q，eq \r(3,3)是无理数，(eq \r(3,3))3＝3是有理数． 所以，存在量词命题“存在一个无理数，它的立方是有理数”是真命题． 全称量词命题、存在量词命题的应用 [例3]　(1)已知集合A＝{x|1≤x≤2}，若命题“∀x∈A，一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方”是真命题，则实数m的取值范围是　________　. (2)若命题“∃x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立”是真命题，求实数a的取值范围． [思路点拨]　(1)∀x∈A＝{x|1≤x≤2}在一次函数y＝x＋m的图象，在x轴的上方，则1＋m>0. (2)由题意，分a＝0和a≠0两种情况讨论． (1)[解析]　当1≤x≤2时，1＋m≤x＋m≤2＋m，因为一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方，所以1＋m>0，即m>－1，所以实数m的取值范围是{m|m>－1}． [答案]　{m|m>－1} (2)[解]　由题意得，关于x的方程ax2＋2x－1＝0有实数根，当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；当a≠0时，Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.综上知，实数a的取值范围是{a|a≥－1}． 利用含量词的命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围． (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决． [变式训练] 3．(1)已知对任意的x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，求实数m的取值范围； (2)已知存在实数x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，求实数m的取值范围． 解：(1)由于对任意的x∈{x|1≤x≤3}都有m≥x，故只需m大于或等于x的最大值，即m≥3. (2)由于存在实数x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，故只需m大于或等于x的最小值，即m≥1. 1．下列命题是全称量词命题的个数是(　　) ①任何实数都有平方根；②所有素数都是奇数；③有些一元二次方程无实数根；④三角形的内角和是180°. A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3 解析：D　[①②④是全称量词命题．] 2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．∃x>1，x2－2x－3＝0 B．若2x为偶数，则x∈N C．所有菱形的四条边都相等 D．π是无理数 解析：C　[对于A，是存在量词命题，故A不正确；对于B，是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确；对于C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对于D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确．] 3．下列存在量词命题是真命题的序号是　______　. ①有些不相似的三角形面积相等； ②存在实数x，使x2＋2<0； ③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大； ④有一个实数的倒数是它本身． 解析：①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋2>0，所以不存在实数x，使x2＋2<0.为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④. 答案：①③④ 4．已知命题“∃x∈R,2x2＋(a－1)x＋eq \f(1,2)≤0”是假命题，则实数a的取值范围是　________　. 解析：由题意可得“对∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋eq \f(1,2)>0恒成立”是真命题，令Δ＝(a－1)2－4<0，得－1<a<3. 答案：{a|－1<a<3} 5．是否存在整数m，使得命题“∀x≥－eq \f(1,4)，－5<3－4m<x＋1”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 解：假设存在整数m，使得命题“∀x≥－eq \f(1,4)，－5<3－4m<x＋1”是真命题． 因为当x≥－eq \f(1,4)时，x＋1≥eq \f(3,4)， 所以－5<3－4m<eq \f(3,4)，解得eq \f(9,16)<m<2. 又m为整数，所以m＝1， 故存在整数m＝1，使得命题“∀x≥－eq \f(1,4)，－5<3－4m<x＋1”是真命题． $$