第1章 2.1 第2课时 充要条件-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

§ 1 集合 1.3 集合的基本运算 第2课时 充要条件 第一章 预备知识 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课堂 互动学案 随堂 步步夯实 02 03 课后 素养提升 04 课前 预习学案 01 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课程标准 素养解读 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系 针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理知识，提炼定义，感悟思想的学习过程，提升逻辑推理素养与数学抽象素养 [情境引入] 姚明大家都认识，他说过很多很经典的话，其中有一句给我留下了很深刻的印象，他说：“努力不一定成功，但放弃一定失败”． 话语中有两组关键词：“努力”和“成功”；“放弃”和“失败”．每组中的两个词之间有什么样的逻辑关系？ 提示：一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作：p⇔q. [知识梳理] [知识点]　充要条件　 1．一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的　充分必要　条件，简称　充要　条件． 概括地说，如果p⇔q，那么p与q　互为充要　条件． 2．若p⇒q，但q⇒/ p，则称p是q的充分不必要条件． 3．若q⇒p，但p⇒/ q，则称p是q的必要不充分条件． 4．若p⇒/ q，且q⇒/ p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 5．本质：当原命题、逆命题都是真命题时，命题的条件和结论互为充要条件，是等价的． 6．应用：充要条件是数学中非常重要的概念，应用充要条件可以从不同的角度来理解、刻画很多数学内容． 1.若p是q的充要条件，则p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ 提示：正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q. 2．“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 提示：①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． [预习自测] 1．以下选项中p是q的充要条件的是(　　) A．p：3x＋2>5，q：－2x－3>－5 B．p：a>2，b<2，q：a>b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解 解析：D　[对于A，p：x>1，q：x<1，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于B，p⇒q，但q⇒/ p，所以p是q的充分不必要条件；对于C，p⇒/ q，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，显然q⇔p，所以p是q的充要条件．] 2．已知条件甲：0<x<5，条件乙：－3<x－2<3，那么甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[条件乙：－1<x<5.∴0<x<5⇒－1<x<5，但－1<x<5⇒/ 0<x<5，∴甲是乙的充分不必要条件．] 3．不等式mx2－mx－2＜0对任意x∈R恒成立的充要条件是m∈　__________　. 解析：当m＝0时，显然满足条件，当m≠0时， 由一元二次不等式恒成立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2＋8m＜0,m＜0))， 解得－8＜m＜0，综上可知，m∈(－8,0]， 所以不等式mx2－mx－2＜0对任意x∈R恒成立的充要条件是m∈(－8,0]． 答案：(－8,0] 充要条件的判断 [例1] 判断下列各题中p是q的什么条件． (1)在△ABC中，p：A>B，q：a>b； (2)p：x>1，q：x2>1； (3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3； (4)p：a<b，q：eq \f(a,b)<1. [思路点拨]　按充要条件的定义判断． [解]　(1)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则a>b，即p⇒q，反之，若a>b，则A>B，即q⇒p. 因此，p是q的充要条件． (2)由x>1可以推出x2>1即p⇒q；由x2>1，得x<－1或x>1，不一定有x>1即q⇒/ p. 因此，p是q的充分不必要条件． (3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3即p⇒/ q； 由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0即q⇒p. 因此p是q的必要不充分条件． (4)由于a<b，当b<0时，eq \f(a,b)>1； 当b>0时，eq \f(a,b)<1， 故若a<b，不一定有eq \f(a,b)<1； 当a>0，b>0，eq \f(a,b)<1时， 可以推出a<b； 当a<0，b<0，eq \f(a,b)<1时，可以推出a>b. 因此p是q的既不充分也不必要条件． 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 1．定义法(适用于较简单的命题) 若p⇒q，但q⇒/ p，则p是q的充分而不必要条件； 若q⇒p，但p⇒/ q，则p是q的必要而不充分条件； 若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件； 若p⇒/ q且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．集合法(适用于需对命题的条件或结论化简的命题)首先建立与p，q相应的集合，即p：A＝{x|p(x)}；q：B＝{x|q(x)}． 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若B⊆A，则p是q的必要条件； 若AB，则p是q的充分而不必要条件； 若BA，则p是q的必要而不充分条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若A⃘B，B⃘A，则A是B的既不充分也不必要条件． 3．传递性法(适用于多个条件之间的关系推断) 由于逻辑联结符号“⇒”“⇐”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所给的两个条件之间的相互关系． [变式训练] 1．下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：x≠0，q：x＋|x|>0； (2)p：a，b∈R，|a－b|＝|a|＋|b|，q：a，b∈R，ab<0； (3)p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两个实数根，q：x1＋x2＝－5； (4)p：A⊆B，q：A∩B＝A. 解：(1)因为由x≠0推不出x＋|x|>0， 如x＝－1时，x＋|x|＝0，所以p⇒/ q， 所以p不是q的充要条件． (2)由|a－b|＝|a|＋|b|，两边平方得a2－2ab＋b2 ＝a2＋2|ab|＋b2，即|ab|＝－ab， 得ab≤0，即“|a－b|＝|a|＋|b|”等价于“ab≤0”． 所以p⇒/ q，所以p不是q的充要条件． (3)当x1＝－1，x2＝－4时，x1＋x2＝－5， 而－1，－4不是方程x2＋5x－6＝0的两根． 所以q⇒/ p，所以p不是q的充要条件． (4)由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B，因此“A⊆B”是“A∩B＝A”成立的充要条件，即p是q的充要条件． 充要条件的证明 [例2] 求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号不相等实根的充要条件是0<m<eq \f(1,3). [思路点拨]　从充分性和必要性两个方面证明． [解]　设p：0<m<eq \f(1,3)，q：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号不相等实根． (1)充分性(p⇒q)： 因为0<m<eq \f(1,3)，所以Δ＝4－12m>0， 所以一元二次方程mx2－2x＋3＝0有两个不等的实根．设方程的两根为x1，x2， 当0<m<eq \f(1,3)时，x1＋x2＝eq \f(2,m)>0且x1x2＝eq \f(3,m)>0， 故方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根． (2)必要性(q⇒p)： 若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根． 则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ＝4－12m>0，,x1x2>0，))所以0<m<eq \f(1,3). 即方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0<m<eq \f(1,3). 综上可知，方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m<eq \f(1,3). 充要条件的证明策略 (1)准确理解题意明确证明方向． ①条件已知证明结论成立是充分性，结论已知推出条件成立是必要性． ②“p是q的充分(必要)条件”常写为“q的充分(必要)条件是p”． (2)关注证明的两个环节． 一是充分性；二是必要性．证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明． 2．已知a＋b≠0，证明：a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 证明：充分性： 若a＋b＝1， 则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0， 即充分性成立， 必要性： 若a2＋b2－a＋b＋2ab＝0， 则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0. ∵a＋b≠0，∴a＋b－1＝0， 即a＋b＝1，必要性成立， 综上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 充要条件的应用 [例3]已知p：x∈{x|－2≤x≤10}，q：x∈{x|1－m≤x≤1＋m}，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． [思路点拨]　由已知，{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，注意端点值的取舍． [解]　p：x∈{x|－2≤x≤10}， q：x∈{x|1－m≤x≤1＋m}． 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m<10，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m>－2，,1＋m≤10，)) 解得m≤3.又1－m<1＋m，所以m>0， 所以实数m的取值范围为0<m≤3. 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程或不等式求解． [变式训练] 3．已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解：设A＝{x|x<－2，或x>3}， B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－\f(m,4)))， 因为p是q的必要不充分条件， 所以BA，所以－eq \f(m,4)≤－2，即m≥8. 所以实数m的取值范围为m≥8. 1．设x∈R，则“1<x<2”是“1<x<3”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[1<x<2”⇒“1<x<3”，反之不成立． ∴“1<x<2”是“1<x<3”的充分不必要条件．] 2．(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[a2＝b2，即(a＋b)(a－b)＝0，解得a＝－b或a＝b，a2＋b2＝2ab，即(a－b)2＝0，解得a＝b，故“a2＝b2”不能推出“a2＋b2＝2ab”，充分性不成立，“a2＋b2＝2ab”能推出“a2＝b2”，必要性成立，故“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．] 3．“x≠－1”是“x2－1≠0”的　________　条件． 解析：由x2－1≠0，x≠1且x≠－1， 因为“x≠－1”是“x≠1且x≠－1”的必要不充分条件， 所以“x≠－1”是“x2－1≠0”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 4．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是　________　. 解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件， 则p⇒q，但q⇒/ p，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1. 答案：{a|a<1} 5．已知p：－1<x<3，若－a<x－1<a是p的一个必要条件，求使a>b恒成立的实数b的取值范围． 解：因为－a<x－1<a是p：－1<x<3的一个必要条件，且－a<x－1<a⇔1－a<x<1＋a， 所以{x|－1<x<3}⊆{x|1－a<x<1＋a}， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－a≤－1，,1＋a≥3，,1＋a>1－a.))解得a≥2， 则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b<2. $$