第1章 2.1 第1课时 必要条件与充分条件-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

§ 2 常用逻辑用语 2.1 必要条件与充分条件 第1课时 必要条件与充分条件 第一章 预备知识 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课堂 互动学案 随堂 步步夯实 02 03 课后 素养提升 04 课前 预习学案 01 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课程标准 素养解读 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系 2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系 通过对充分条件、必要条件的学习和理解，体会充分条件、必要条件在数学表达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推理素养与数学抽象素养 [情境引入] 某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示． (1)A开关闭合时B灯一定亮吗？ (2)B灯亮时A开关一定闭合吗？ 提示：(1)一定亮． (2)不一定，还可能是C开关闭合． [知识梳理] [知识点一]　充分条件与必要条件　 1．定义 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p　⇒　q p　⇒/__　 q 条件 关系 p是q的 充分　条件 q是p的 必要　条件 p不是q的 充分条件 q不是p的必要条件 2.本质：当命题q⇒p是真命题时，条件p与结论q之间的逻辑称谓． 3．应用：充分条件、必要条件是两个常用的逻辑用语，数学学科中大量的命题用它们来叙述． 1.p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？ 提示：相同，都是p⇒q. 2．以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？ 提示：这五种表述形式是等价的． [知识点二]　判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系　 1．数学中的每一条　判定　定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 2．数学中的每一条　性质　定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． [预习自测] 1．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[当x＝0时，(2x－1)x＝0.当(2x－1)x＝0时，x＝eq \f(1,2)或x＝0.∴“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．] 2.eq \r(\f(a,b))＝eq \f(\r(a),\r(b))的一个充分条件是(　　) A．a≥0，b≥0　　　　　 B．a＞0，b＞0 C．a≤0，b≤0 D．a≤0，b＜0 解析：B　[当a＞0，b＞0时，eq \r(\f(a,b))＝eq \f(\r(a),\r(b))成立；而当eq \r(\f(a,b))＝eq \f(\r(a),\r(b))成立时，a≥0，b＞0.] 3．用符号“⇒”“⇒/ ”填空． (1)x2＝y2　________　x＝y； (2)内错角相等　________　两直线平行． 解析：(1)当x，y互为相反数时有x2＝y2但x≠y； (2)是平行线判定定理． 答案：(1)⇒/ 　(2)⇒ 　必要条件的判断 [例1] 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形两条对角线相等； (2)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形； (3)若eq \f(1,x)＝eq \f(1,y)，则x＝y； (4)若关于x的方程ax＋b＝0((a，b∈R)有唯一解，则a>0. [思路点拨]　找到条件和结论的关系，是判断必要条件的关键． 解：(1)等腰梯形的两条对角线相等．因此，p⇒q， 所以q是p的必要条件． (2)直角三角形不一定是等腰三角形． 因此p⇒/ q，所以q不是p的必要条件． (3)若eq \f(1,x)＝eq \f(1,y)，则x＝y是真命题． 因此p⇒q，所以q是p的必要条件． (4)命题“若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，则a>0”为假命题，因此p⇒/ q，所以q不是p的必要条件． 必要条件的两种判断方法 (1)定义法： (2)命题判断方法： 如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件． [变式训练] 1．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线相等； (2)若∠α＝60°32′，则∠α的余角是29°28′； (3)若有三条线段长分别为3 cm、4 cm和9 cm，则这三条线段能组成三角形； (4)若a和b都是偶数，则a×b是偶数． 解：(1)该命题是真命题，p⇒q，所以q是p的必要条件． (2)因为∠α＝60°32′， 所以∠α的余角为90°－60°32′＝29°28′. p⇒q，所以q是p的必要条件． (3)因为3＋4<9，所以长分别为3 cm、4 cm和9 cm的三条线段不能组成三角形，所以p⇒/ q， 所以q不是p的必要条件． (4)两个偶数的乘仍是偶数． 所以p⇒q，所以q是p的必要条件． 　充分条件的判断 [例2] 判断下列各题中，p是否是q的充分条件： (1)p：a∈Q，q：a∈R； (2)p：a<b，q：eq \f(a,b)<1； (3)p：x>1，q：x2>1； (4)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC. [思路点拨]　分清命题的条件和结论，判断是由条件推出结论，还是由结论推出条件． 解：(1)由于QR， 所以p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)由于a<b，当b<0时，eq \f(a,b)>1； 当b>0时，eq \f(a,b)<1， 因为p⇒/ q， 所以p不是q的充分条件． (3)由x>1可以推出x2>1.因此p⇒q， 所以p是q的充分条件． (4)由三角形中大角对大边可知，若∠A>∠B，则BC>AC.因此p⇒q，所以p是q的充分条件． 充分条件的两种判断方法 (1)定义法： (2)命题判断方法： 如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件． [变式训练] 2．命题“2x2－5x－3＜0”的一个充分不必要条件是(　　) A．－eq \f(1,2)＜x＜3　　　 B．－eq \f(1,2)＜x＜4 C．－3＜x＜eq \f(1,2) D．1＜x＜2 解析：D　[由2x2－5x－3＜0，可得(2x＋1)(x－3)＜0，解得－eq \f(1,2)＜x＜3.则不等式的解集为A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)＜x＜3))，因此，不等式2x2－5x－3＜0成立的一个充分不必要条件，对应的x的取值范围应该是集合A的真子集，只有选项D满足．] 3．设集合M＝{x|0<x≤2}，N＝{x|0<x≤3}，那么“a∈M”是“a∈N”的　________　条件．(填“充分”或“必要”) 解析：由题意得，M∪N＝N， 所以“a∈M”⇒“a∈N”， 所以“a∈M”是“a∈N”的充分条件． 答案：充分 充分条件与必要条件的应用 [例3]　已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． [思路点拨]　依充分条件的定义构造不等式组求解． [解]　p：3a<x<a， 即集合A＝{x|3a<x<a，a<0}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3a≥－2，,a≤3，,a<0，))解得－eq \f(2,3)≤a<0. 所以实数a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|－\f(2,3)≤a<0)). 利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 (1)化简p，q两命题． (2)根据p与q的关系(充分、必要条件)转化为集合间的关系．依据如下： p是q的充分条件 p⇒q A⊆B p是q的必要条件 q⇒p B⊆A (3)根据集合间的关系，利用集合端点的大小建立不等式组． (4)求解参数范围． 特别提醒：验证集合为∅时是否符合题意． [变式训练] 4．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？ (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？ 解：(1)若2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件． 则只要x|x<－eq \f(m,2)⊆{x|x<－1，或x>3}， 即只需－eq \f(m,2)≤－1，所以m≥2. 故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件． (2)若2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件， 则只要{x|x<－1，或x>3}⊆x|x<－eq \f(m,2)，这是不可能的． 故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件． 1．已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝eq \r(x＋6)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[由于“x2＝x＋6”，则“x＝±eq \r(x＋6)”，故“x2＝x＋6”是“x＝eq \r(x＋6)”的必要不充分条件．] 2．(多选)使不等式|x＋1|≤4成立的一个必要条件，但不是充分条件是(　　) A．2≤x≤3　　　　　 B．－6≤x≤3 C．－5≤x≤3 D．－5≤x≤4 解析：BD　[因为|x＋1|≤4⇒－5≤x≤3⇒－6≤x≤3，但－6≤x≤3⇒/ －5≤x≤3.同理－5≤x≤3⇒－5≤x≤4，但－5≤x≤4⇒/ －5≤x≤3.] 3．“a＝2”是“方程x2－4x＋a＝0有实根”的　________　条件．(用“充分”“必要”填空) 解析：方程x2－4x＋a＝0有实根，需要Δ≥0， 即a≤4， 所以当a＝2时方程有实根．所以是充分条件． 答案：充分 4．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m，且p是q的充分条件，但不是必要条件，求实数m的取值范围． 解：因为p是q的充分条件，但不是必要条件，所以p⇒q但q⇒/ p，即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m}的真子集， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10，))解得m≥9. 所以实数m的取值范围为{m|m≥9}． $$