第24章《圆》第16课时圆 章节复习 2025--2026学年人教版九年级数学上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第24章《圆》第16课时圆章节复习 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 知识点1：垂径定理 1. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若CD＝6，OE＝4，则⊙O的半径为　5　. 2. 如图，在⊙O中，AB为弦，半径OC⊥AB于点E.如果AB＝8，CE＝2，那么⊙O的半径为　5　. 知识点2：弧、弦、圆心角的关系 3.如图，AB为半圆的直径，C，D，E为半圆弧上的点，＝＝，∠BOE＝55°，则∠AOC的度数为　15°　. 4. 如图，A，B是半径为2的⊙O上的两点，C是的中点.若∠AOB＝120°，则四边形AOBC的周长为　8　. 知识点3：圆周角定理 5.如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠AOB＝80°，则∠C的度数为　40°　. 6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝70°，则∠BCD的度数是　110°　. 知识点4：点和圆、直线和圆的位置关系 7. ⊙O的半径为8，线段OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是　点P在⊙O内　. 8. 已知圆的直径是13 cm，圆心到某条直线的距离是6 cm，那么这条直线与该圆的位置关系是　相交　. 知识点5：切线的性质和判定 9. 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D.若∠D＝26°，求∠A的度数. 解：如图，连接OC. ∵⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°， ∴AB是⊙O的直径. ∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD. ∴∠OCD＝90°. ∵∠D＝26°， ∴∠DOC＝90°－∠D＝64°. ∴∠A＝∠DOC＝32°. 10. 如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E.求证：DE是⊙O的切线. 证明：如答图，连接OD. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°. ∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B＝60°. ∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°. ∴∠EDC＝90°－∠C＝30°. ∴∠ODE＝180°－∠ODB－∠EDC＝90°. ∴OD⊥DE. 又∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线. 知识点6： 切线长定理 11. 如图，已知PA，PB，EF分别切⊙O于点A，B，D，若PA＝15 cm，∠P＝50°，则△PEF的周长是　30　cm，∠EOF＝　65°　. 12. 如图，⊙O为四边形ABCD的内切圆，AD＝3，AB＝4，CD＝5，则BC＝　6　. 知识点7： 内切圆与外接圆　　　　　　　　　　　　　　　　 13. 边长为3 cm，4 cm，5 cm的三角形的外接圆半径等于( C ) A. 1.5 cm B. 2 cm C. 2.5 cm D. 2.4 cm 　　　　　　　　　　　　　　　　　 14. 如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D，E，F，则⊙O的面积为( A ) A. π B. 2π C. 3π D. 4π 知识点8：正多边形与圆　　　　　　　　　　　　　　　　　 15. 若一个圆内接正多边形的中心角是60°，则这个多边形是( D ) A. 正九边形 B. 正八边形 C. 正七边形 D. 正六边形　　　　　　　　　　　　　　　　 16. 一个圆的半径为4，则该圆的内接正方形的边长为( C ) A. 2 B. 2　 C. 4 D. 8 知识点9：弧长和扇形面积 17. 如图，直角尺的45°角的顶点A落在⊙O上，两边分别交⊙O于B，C两点.若⊙O的半径为2，则劣弧的长为　π　. 18. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E是CD的中点，∠CDB＝30°，CD＝6，则阴影部分面积为　4π　. 知识点10：圆锥 19. 某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的母线AB＝10 m，半径OB＝8 m，则圆锥的侧面积是　80π　m2. 20. 如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为14 cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为　28 cm　. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知的半径是，直线是的切线，则点到直线的距离是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  2.在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆一定(    ) A. 与轴相切，与轴相切 B. 与轴相切，与轴相交 C. 与轴相交，与轴相切 D. 与轴相交，与轴相交 【答案】B  3.如图，在中，，以为直径的与相切于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  4.如图，的直径，点在上，，则的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  5.如图，的直径弦于点，连接若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  6.如图，在中，弦的长为，圆心到的距离，则的半径长为  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  7.如图，是的弦，点是的中点，交于点若，的半径为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  8.如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】  本题考查了垂径定理．也考查了勾股定理以及含度的直角三角形的性质． 作于，连结，如图，根据垂径定理由得到，再利用，可计算出半径，则，接着在中根据含度的直角三角形的性质计算出，然后在中利用勾股定理计算出，即． 【解答】 解：作于，连结，如图，   ， ， ，， ， ， ， 在中， ， ， 在中， ，， 故选C． 9.如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  10.如图，中，，，以点为圆心的圆与相切，则的半径为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  二、填空题： 11.如图，，是的半径，是上一点，，，则            【答案】  12.如图，正方形的边长为，分别以，为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点，那么图中阴影部分的面积为          ． 【答案】  13.直线与相离，且的半径等于，圆心到直线的距离为，则的取值范围是          ． 【答案】  14.如图，圆锥的高是，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则圆锥的侧面积是          结果保留 【答案】  15.若圆锥的底面半径为，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是           【答案】  16.如图，在中，，，，则图中阴影部分的面积为          ． 【答案】  17.如图，点是正方形边上一动点点不与点，重合，连接，过点作交于，垂足为，连接，已知正方形的边长为，则的最小值为          ． 【答案】  18.如图，是的直径，点，在上．若，则          ． 【答案】  19.以半径为的的内接正三角形，正方形，正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是          ． 【答案】  20.在正六边形中，，是的中点，连接，则的长为          ． 【答案】  三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.如图，在中，弦，交于点，，，，，求的半径． 【答案】解：连接，，过点分别作于点，于点，易得矩形，，设，则．，，，，．  22.如图，的弦交直径于点，，若，求的长． 【答案】解：过点作于点设，，，．，，由勾股定理，得在中，由勾股定理，得，或舍去，．  23.如图，是的直径，，是的弦，过点的切线交的延长线于点若，求的度数． 【答案】解：连接．为的切线，，，在中，．，为等腰直角三角形，．  24.如图，在中，，以为圆心，长为半径的圆交于，若，，求的长． 【答案】解：如图，作于， 在中，，，，，解得，  由勾股定理得，，．   25.如图，是的切线，为切点，是的弦，过作于点若，，，求的半径和的长． 【答案】解：是的切线，，，  在中，，，，  在中，，  故的半径为，的长为．  26.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，若是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，，求的半径． 【答案】解：如图，连接． 是中弦的中点，，，  设的半径为，则的长为  在中，由勾股定理，得，即  解得的半径为．   27.如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，求，，的长． 【答案】解：根据切线长定理，设，，  根据题意，得，解得，  故，，．  28.如图，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得求证：是的切线． 【答案】证明：连接，在和中，≌又是的半径，是的切线．  29.如图，是的直径，点、在上，平分． 求证：． 延长交于点，连接交于点，过点作的切线，交的延长线于点若，，求的半径． 【答案】(1)连接AC交OD于点H．∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC．∵OD平分∠AOC，OA＝OC，∴OD⊥AC．∴OD // BC  (2)∵OE // BC，∴易得△OEF∽△BCF．∴．∴设OE＝5x，BC＝6x．∵AO＝OB，OH // BC，∴易得．∵ PB是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，∴OA＝OE＝5x，∠PBO＝90°．∵OH⊥AC，∴∠AHO＝90°．∴∠PBO＝∠AHO．又∵∠BOP＝∠HOA，∴△POB∽△AOH．∴．∴．∴．∴．∴⊙O的半径为  30.如图，是的直径，点、在上，且是线段延长线上一点，连接并延长，交射线于点的平分线交射线于点，． 求证：是的切线； 若，，求的长． 【答案】(1)连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∵BC＝CD，∴∠BAC＝∠DAC．∴∠OCA＝∠DAC．∴OC // AF．∵EH平分∠FEG，∴∠FEG＝2∠GEH．∵∠GEH＝∠H＋∠BAC，∠FEG＝∠F＋∠BAF，∴2∠H＋2∠BAC＝∠F＋∠BAF．∵∠BAF＝∠BAC＋∠DAC＝2∠BAC．∴∠F＝2∠H＝90°．∵OC // AF，∴∠OCE＝∠F＝90°，即OC⊥EF．又∵OC是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线  (2)设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝r＋2．在Rt△OCE中，由勾股定理，得OC2＋CE2＝OE2．∴r2＋42＝（r＋2）2，解得r＝3．∵OC // AF，∴△OCE∽△AFE．∴．∵ OE＝5，AE＝2r＋2＝8，OC＝3，∴  31.如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长，交于点． 求证：； 若，，求的半径． 【答案】(1)如图，连接BO并延长，交AD于点H，连接OD．∵AB＝BD，OA＝OD，∴BO垂直平分AD．∴∠BHD＝90°．∵BE为⊙O的切线，OB为⊙O的半径，∴OB⊥BE．∴∠OBE＝90°．∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°．∴∠EBH＝∠BHD＝∠HDE＝90°．∴四边形BEDH为矩形．∴∠E＝90°．∴DE⊥BE   (2)∵四边形BEDH为矩形，∴DH＝BE＝5．在Rt△BDH中，∵∠BHD＝90°，， DH＝5，∴．设⊙ O的半径为r，则， OD＝r．在Rt△ODH中，由勾股定理，得，解得．∴⊙O的半径为  32.如图，是半圆的直径，是弦延长线上一点，连接、，． 求证：是半圆的切线； 当时，求的长． 【答案】(1)∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠A＋∠ABC＝90°．∵∠D＝∠ABC，∴∠D＋∠A＝90°．∴∠ABD＝90°，即BD⊥OB．∵OB是半圆O的半径，∴BD是半圆O的切线  (2)连接OC．∵∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠ABC＝120°．∵OC＝OB，∠ABC＝60°，∴△BOC是等边三角形．∴OC＝BC＝3．∴的长为  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第24章《圆》第16课时圆章节复习 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 知识点1：垂径定理 1. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若CD＝6，OE＝4，则⊙O的半径为　 . 2. 如图，在⊙O中，AB为弦，半径OC⊥AB于点E.如果AB＝8，CE＝2，那么⊙O的半径为　　 　. 知识点2：弧、弦、圆心角的关系 3.如图，AB为半圆的直径，C，D，E为半圆弧上的点，＝＝，∠BOE＝55°，则∠AOC的度数为　　 . 4. 如图，A，B是半径为2的⊙O上的两点，C是的中点.若∠AOB＝120°，则四边形AOBC的周长为　　 　. 知识点3：圆周角定理 5.如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠AOB＝80°，则∠C的度数为　　 　. 6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝70°，则∠BCD的度数是　　 　. 知识点4：点和圆、直线和圆的位置关系 7. ⊙O的半径为8，线段OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是　　 　. 8. 已知圆的直径是13 cm，圆心到某条直线的距离是6 cm，那么这条直线与该圆的位置关系是　　 　. 知识点5：切线的性质和判定 9. 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D.若∠D＝26°，求∠A的度数. 解： 10. 如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E.求证：DE是⊙O的切线. 证明： 知识点6： 切线长定理 11. 如图，已知PA，PB，EF分别切⊙O于点A，B，D，若PA＝15 cm，∠P＝50°，则△PEF的周长 是　 　cm，∠EOF＝　　 　. 12. 如图，⊙O为四边形ABCD的内切圆，AD＝3，AB＝4，CD＝5，则BC＝　　 　. 知识点7： 内切圆与外接圆　　　　　　　　　　　　　　　　 13. 边长为3 cm，4 cm，5 cm的三角形的外接圆半径等于( ) A. 1.5 cm B. 2 cm C. 2.5 cm D. 2.4 cm 　　　　　　　　　　　　　　　　　 14. 如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D，E，F，则⊙O的面积为( ) A. π B. 2π C. 3π D. 4π 知识点8：正多边形与圆　　　　　　　　　　　　　　　　　 15. 若一个圆内接正多边形的中心角是60°，则这个多边形是( ) A. 正九边形 B. 正八边形 C. 正七边形 D. 正六边形　　　　　　　　　　　　　　　　 16. 一个圆的半径为4，则该圆的内接正方形的边长为( ) A. 2 B. 2　 C. 4 D. 8 知识点9：弧长和扇形面积 17. 如图，直角尺的45°角的顶点A落在⊙O上，两边分别交⊙O于B，C两点.若⊙O的半径为2，则劣弧的长为　 　. 18. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E是CD的中点，∠CDB＝30°，CD＝6，则阴影部分面积为　 　. 知识点10：圆锥 19. 某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的母线AB＝10 m，半径OB＝8 m，则圆锥的侧面积是　 m2. 20. 如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为14 cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为　 　. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知的半径是，直线是的切线，则点到直线的距离是(    ) A. B. C. D. 2.在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆一定(    ) A. 与轴相切，与轴相切 B. 与轴相切，与轴相交 C. 与轴相交，与轴相切 D. 与轴相交，与轴相交 3.如图，在中，，以为直径的与相切于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，的直径，点在上，，则的长是(    ) A. B. C. D. 5.如图，的直径弦于点，连接若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，弦的长为，圆心到的距离，则的半径长为  (    ) A. B. C. D. 7.如图，是的弦，点是的中点，交于点若，的半径为，则(    ) A. B. C. D. 8.如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 9.如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 10.如图，中，，，以点为圆心的圆与相切，则的半径为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.如图，，是的半径，是上一点，，，则            12.如图，正方形的边长为，分别以，为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点，那么图中阴影部分的面积为          ． 13.直线与相离，且的半径等于，圆心到直线的距离为，则的取值范围是          ． 14.如图，圆锥的高是，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则圆锥的侧面积是          结果保留 15.若圆锥的底面半径为，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是           16.如图，在中，，，，则图中阴影部分的面积为          ． 17.如图，点是正方形边上一动点点不与点，重合，连接，过点作交于，垂足为，连接，已知正方形的边长为，则的最小值为          ． 18.如图，是的直径，点，在上．若，则          ． 19.以半径为的的内接正三角形，正方形，正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是          ． 20.在正六边形中，，是的中点，连接，则的长为          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.如图，在中，弦，交于点，，，，，求的半径． 22.如图，的弦交直径于点，，若，求的长． 23.如图，是的直径，，是的弦，过点的切线交的延长线于点若，求的度数． 24.如图，在中，，以为圆心，长为半径的圆交于，若，，求的长．   25.如图，是的切线，为切点，是的弦，过作于点若，，，求的半径和的长． 26.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，若是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，，求的半径．   27.如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，求，，的长． 28.如图，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得求证：是的切线． 29.如图，是的直径，点、在上，平分． 求证：． 延长交于点，连接交于点，过点作的切线，交的延长线于点若，，求的半径． 30.如图，是的直径，点、在上，且是线段延长线上一点，连接并延长，交射线于点的平分线交射线于点，． 求证：是的切线； 若，，求的长． 31.如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长，交于点． 求证：； 若，，求的半径． 32.如图，是半圆的直径，是弦延长线上一点，连接、，． 求证：是半圆的切线； 当时，求的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$