第24章《圆》第14课时 圆的综合 暑假预习课 2025--2026学年人教版九年级数学上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第24章《圆》第14课时圆的综合 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 圆中常用的辅助线： 类型 常作辅助线 图形 得出结论 遇到弦 添加弦心距，再连接过弦的端点的半径，构成直角三角形 ∵OC⊥AB， ∴AC＝BC， OB2＝OC2＋BC2 连接圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形 ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA 遇到直径 作直径所对的圆周角，得到直角或构成直角三角形 ∵AB为⊙O的直径， ∴∠C＝90° 遇到90°圆周角 连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径 ∵∠C＝90°， ∴AB为⊙O的直径 遇到一般 圆周角 连半径，构成圆心角 ∵＝， ∴∠AOB＝2∠C 连接圆周上的一点和弧的端点，构成同弧所对圆周角 ∵＝， ∴∠ABC＝∠ADC 遇到圆上 有4点时 连接相邻的点，构成圆内接四边形 ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠A＋∠C＝180°， ∠B＋∠D＝180° 遇到有切线时 作过切点的半径，即连接切点和圆心，得垂直 ∵直线AB与⊙O相切于点C， ∴OC⊥AB 遇到证明某条直线是圆的切线 若直线经过圆上的一点，则连接这点和圆心，得到半径，再证明所作半径与这条直线垂直 证明方法： ∵半径OC⊥AB， ∴直线AB是⊙O的切线 若直线与圆的公共点未确定时，则过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径 证明方法： ∵OC等于⊙O的半径， ∴直线AB是⊙O的切线 类型一：与圆的基本性质有关的综合题 1. 如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E. (1)求证：BD平分∠ABC； (2)若BC＝3，DE＝2，求⊙O的半径. (1)证明：∵BC∥OD，∴∠ODB＝∠CBD. ∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD. ∴∠OBD＝∠CBD. ∴BD平分∠ABC. (2)解：如答图W9－1，过点O作OH⊥BC于点H， 则BH＝CH＝BC＝. ∵DE⊥AB，OH⊥BC， ∴∠DEO＝∠OHB＝90°. ∵BC∥OD，∴∠DOE＝∠OBH. 在△ODE和△BOH中， ∴△ODE≌△BOH(AAS). ∴OH＝DE＝2. 在Rt△BOH中，由勾股定理，得OB＝＝＝. ∴⊙O的半径长为. 2. 如图，在四边形ABCF中，FA⊥AB，BC⊥AB，⊙O经过点A，B，C，分别交边AF，FC于点D，E，且E是的中点. (1)求证：E是FC的中点； (2)连接AE，当AB＝6，AE＝5时，求AF的长. (1)证明：如答图W9－2，连接AC. ∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°. ∴AC是⊙O的直径.∴∠AEC＝90°. ∴∠AEF＝180°－∠AEC＝90°. ∵E是的中点， ∴＝.∴∠FAE＝∠CAE. 在△AEC和△AEF中， ∴△AEC≌△AEF(ASA). ∴EC＝EF.∴E是FC的中点. (2)解：如答图W9－2，连接CD. ∵FA⊥AB，BC⊥AB， ∴∠FAB＝∠CBA＝90°. ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝∠AEC＝90°. ∴四边形ADCB是矩形. ∴CD＝AB＝6. ∵S△AFC＝FC·AE＝AF·CD， ∴5FC＝6AF.∴＝. 设FC＝6x，则AF＝5x. ∵E是FC的中点，∴EF＝FC＝3x. 在Rt△AEF中，AE2＋EF2＝AF2，即52＋(3x)2＝(5x)2. 解得x＝(负值已舍去). ∴AF＝5x＝. 类型二：与切线的证明有关的综合题 ①明交点，连半径，证垂直，得切线 3.如图，AB是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C.过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若DC＝3，AD＝9，求⊙O半径. (1)证明：如答图W9－3，连接OC. ∵AC平分∠FAB，∴∠FAC＝∠CAO. ∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO. ∴∠ACO＝∠FAC.∴AD∥OC. ∵AD⊥CD，∴OC⊥CD. 又∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线. (2)解：如答图W9－3，过点O作OE⊥AF于点E， 则AE＝EF＝AF，∠OED＝∠EDC＝∠OCD＝90°. ∴四边形OEDC为矩形. ∴OE＝CD＝3，DE＝OC. 设⊙O的半径为r， 则AE＝AD－DE＝9－r. 在Rt△AOE中，OA2＝AE2＋OE2， 即r2＝(9－r)2＋32. 解得r＝5. ∴⊙O的半径为5. ②隐交点，作垂直，证半径，得切线 4. 如图，四边形ABCO是菱形，点D在边AB上，以点O为圆心、OD为半径的圆切AB于点D. (1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若AB＝2，且D是AB的中点，求图中阴影部分的面积. 解：(1)直线BC与⊙O相切. 理由如下： 如答图W9－4，过点O作OE⊥BC于点E. ∵⊙O与边AB相切于点D， ∴OD⊥AB.∴∠ODA＝∠OEC＝90°. ∵四边形ABCO是菱形， ∴∠A＝∠C，OA＝OC. 在△OAD和△OCE中， ∴△OAD≌△OCE(AAS). ∴OE＝OD. ∴OE是⊙O的半径. ∴直线BC与⊙O相切. (2)如答图W9－4，设OA，OC分别与⊙O交于点A′，C′. 在Rt△OAD中，OA＝AB＝2，AD＝AB＝1， 由勾股定理，得OD＝＝. ∴S四边形ABCO＝AB·OD＝2　. ∵AD＝OA，∴∠AOD＝30°. ∴∠A＝90°－∠AOD＝60°. 在菱形ABCO中，AB∥OC， ∴∠AOC＝180°－∠A＝120°. ∴S扇形A′OC′＝＝π. ∴S阴影＝S四边形ABCO－S扇形A′OC′＝2－π. 类型三：圆与特殊四边形的综合题 5. 如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A，C，D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F，求证： (1)四边形DBCF是平行四边形； (2)AF＝EF. 证明：(1)∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B. ∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B. ∴∠BAC＝∠ADF. 又∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD. ∴BD∥CF. 又∵DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形. (2)如答图W9－5，连接AE. ∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B. ∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，∴∠ECF＋∠EAF＝180°. ∵BD∥CF，∴∠ECF＋∠B＝180°. ∴∠EAF＝∠B.∴∠EAF＝∠AEF. ∴AF＝EF. 6. 如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，过点D作⊙O的切线交BC于点E. (1)求证：AF＝CE； (2)若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径. (1)证明：如答图W9－6，连接DF. ∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝CD，AD∥BC，∠BAD＝∠C. ∵DE是⊙O的切线，∴∠ADE＝90°. ∵AD∥BC，∴∠CED＝∠ADE＝90°. ∵AD是⊙O的直径，∴∠AFD＝90°. ∴∠AFD＝∠CED. 在△DAF和△DCE中， ∴△DAF≌△DCE(AAS).∴AF＝CE. (2)解：如答图W9－6，连接AH. ∵AD是⊙O的直径， ∴∠AHD＝∠AFD＝90°.∴AH⊥BD. ∵AD＝AB，DH＝，∴BD＝2DH＝2. 在Rt△BDF中，DF＝＝4. 设⊙O的半径为r，则AB＝AD＝2r.∴AF＝AB－BF＝2r－2. 在Rt△ADF中，AD2＝AF2＋DF2，即(2r)2＝(2r－2)2＋42.解得r＝. ∴⊙O的半径为. 一、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 1.如图，，，，是上的四个点，，交于点，连接，求证：平分． 【答案】证明：， ， ， 平分．  2.如图，为的弦，交于点，交过点的直线于点，且试判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】解：直线与相切，理由略  3.如图，在中，，是角平分线，以点为圆心，为半径的与相交于点求证：是的切线． 【答案】证明：过点作于点， ，平分， ， ，是的半径，， 是的切线．  4.如图，是的边上一点，以为半径的交于点，过点作的切线交于点，且． 求证：； 若，，，求的半径． 【答案】(1)解：连接，证，，；  (2)过点作于点，则四边形是矩形，，，设的半径为，则，，.在中，.在中，，，（负值已舍）.的半径为.  5.如图，在中，以为直径的分别交于点，交于点，连接，且． 求证：； 若，求的值． 【答案】(1)解：，.，，，，；  (2)连接，.，设，则，，为的直径，.在中，.在中，.又，，，.  6.如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点． 求证：； 连接，若，，求的长． 【答案】(1)解：连接.为的直径，.，；  (2)连接，则，，.设，则.在和中，，，，即的长为.  7.如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，，． 求证：； 求． 【答案】(1)解：连接为的直径，.，；  (2)连接，则.设，，则，在中，，在中，，，，，.  8.如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． 请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；不写作法，保留作图痕迹，标明字母 在的条件下，求证：． 【答案】(1)解：方法不唯一，如图所示，即为所求；   (2)，.又，，.点在以为直径的圆上，，.又为的切线，.，，，.在和中， ，.  9.如图，，，都是的半径，． 求证：． 若，，求的半径． 【答案】(1)解：证明：∵，，∠ACB＝2∠BAC，∴∠AOB＝2∠BOC．  (2)如图，过点O作半径OD⊥AB于点E，连接DB，∴AE＝BE．∵∠AOB＝2∠BOC，，∴∠DOB＝∠BOC，∴BD＝BC．∵AB＝4，，∴BE＝2，．在 Rt△BDE中，∠DEB＝90°，∴，在 Rt△BOE中，∠OEB＝90°，OB2＝(OB-1)2+22，解得，即⊙O的半径是． 10.如图，，是的切线，切点分别为，，是的直径，连接． 求证：； 若，，求的长． 【答案】(1)解：连接OC，交AD于点M，证OC⊥AD，∴，∴∠ACD＝2∠BAD； ​​​​​​​  (2)∵AC＝8，AO＝6，∴OC＝10，∵AC·AO＝OC·AM，∴，∴．  11.如图，，是的切线，切点分别为，，是的直径，连接． 求证：； 若，，求的长． 【答案】(1)解：连接，交于点，证，，；  (2)，，.，，.  12.如图，，是的切线，切点分别为，，是的直径，连接． 求证：； 若，，求的长． 【答案】(1)解：连接，交于点，证，，；  (2)，，.，，.  13.如图，四边形是平行四边形，，是的外接圆求证：与相切． 【答案】证明：连接，，，则，．，．，，与相切．  14.如图，的三个顶点都在上，，连接． 求证：平分； 若，求的长． 【答案】(1)解：连接，.，，，，，平分；  (2)延长，交于点.，平分，，，在中，.设，则，在中，，，即的长为.  15.如图，是的直径，是弦，是优弧的中点，于点，连接． 求证：平分； 求证：． 【答案】(1)证明：连接，.是优弧的中点，，.，，平分；  (2)过点作于点.，.，，.又，，，由（1）得，，.  16.如图，的直径的长为，弦的长为，的平分线交于点，求的长． 【答案】解：方法一：过点作于点，则连接，，则，，； 方法二补短法：延长至点，使，连接，证，，，，，； 方法三作垂线：过点作于点，作于点，证，，四边形为正方形，，，，，．   17.如图，为等边的外接圆，点在劣弧上不与点，重合，连接，，． 求证：是的平分线； 求证：． 【答案】(1)证明：是等边三角形，.，，，是的平分线；  (2)将绕点逆时针旋转，得到，，.，，，，三点共线.，，是等边三角形，.  18.如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点连接并延长交于点． 求证：直线是的切线； 求证：； 若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接OD，则OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD// AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，∴直线DE是⊙O的切线．  (2)证明：∵线段AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADM＝180°-∠ADB＝90°，∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，∵∠DAM＝∠DAB，∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM．  (3)解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，∴∠BAM＝60°，  又∵AB＝AM，∴△ABM是等边三角形，∴∠M＝60°，∵∠DEM＝90°，ME＝1，∴∠EDM＝30°，∴MD＝2ME＝2，∴BD＝MD＝2，∵∠BDF＝∠EDM＝30°，∴∠BDF＝∠F，∴BF＝BD＝2．  19.定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做“圆美四边形”，其中这个角叫做“美角”． 如图，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． 在的条件下，若的半径为． 求的长； 连接，若平分，如图，请判断，，之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)解：由题意，得，即∠BCD＝2∠BAD．∵∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BAD+2∠BAD＝180°．∴∠BAD＝60°．  (2)①如图1，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE．∵⊙O的半径为4，∴DE＝8，∠EBD＝90°．∵∠E＝∠BAD，∠BAD＝60°，∴∠E＝60°．∴∠EDB＝30°．∴．  在Rt△BDE中，BE2+BD2＝DE2，∴． ②AC＝BC+CD．理由如下：  如图2，延长CB至点E，使得BE＝CD，连接AE．∵∠BAD＝60°，∴∠BCD＝120°．∵CA平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD＝60°．∴．∴AB＝AD．∵∠ABC+∠ADC＝∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，  在△ACD和△AEB中，∴．∴∠E＝∠ACD＝60°，AC＝AE．∴△ACE为等边三角形．∴AC＝CE．∵BC+BE＝BC+CD＝CE，∴AC＝BC+CD．   20.如图，四边形内接于，为的直径，． 试判断的形状，并给出证明； 若，，求的长度． 【答案】(1)解：△ABC是等腰直角三角形．  证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°．∵∠ADB＝∠CDB，∠ADB＝∠ACB，∠CDB＝∠CAB，∴∠ACB＝∠CAB，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形．  (2)由（1）知AB＝BC．  又∵，∴．  又∵∠ABC＝90°，∴​​​​​​​．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴．  21.如图，四边形内接于，为的直径，． 试判断的形状，并给出证明； 若，，求的长度． 【答案】(1)解：△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵∠ADB＝∠CDB，∴，∴AB＝BC．  又∵∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．  (2)在Rt△ABC中，，∴AC＝2，  在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，∴，即CD的长度为．  22.如图，，，都是的半径，． 求证：； 若，，求的半径． 【答案】(1)解：∵，，∠ACB＝2∠BAC，∴∠AOB＝2∠BOC；  (2)过点O作半径OD⊥AB于点E，∴AE＝BE．∵∠AOB＝2∠BOC，，∴∠DOB＝∠BOC．∴BD＝BC．∵AB＝4，，∴BE＝2，．  在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，∴．  在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，OB2＝(OB-1)2+22，解得，即⊙O的半径是．   23.如图，在中，，是角平分线，以点为圆心，长为半径的与相交于点． 求证：是的切线 若，，求的长． 【答案】(1)证明:过点D作DFBC于点F. 又BAD=,BD平分ABC, DA=DF,DF是D的半径, BC是D的切线.   (2)CE=  24.如图，在中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点． 求证：； 若，，求的长． 【答案】(1)解：连接OD．∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE．∵DE⊥AC，∴OD// AC，∴∠C＝∠ODB．∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；  (2)连接DF，DA．∵∠F＝∠B，∠B＝∠C，∴∠F＝∠C，∴DF＝DC，∵DE⊥CF，∴FE＝EC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，  设AF＝x，则FE＝EC＝x+3．在Rt△ADE中，AD2＝32+62＝45．在Rt△DCE中，DC2＝(x+3)2+62．在Rt△ADC中，AC2＝AD2+DC2，∴(x+6)2＝45+(x+3)2+62，解得x＝9，∴AF＝9．   25.如图，的直径，，交于点，是的中点． 求的长； 过点作，垂足为，求证：直线是的切线． 【答案】(1)解：连接AD． ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．  又∵∠ABC＝30°，AB＝4，∴．∵D是BC的中点，∴．   (2)证明：连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线．∴OD// AC，则∠EDO＝∠CED．又∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∴∠EDO＝∠CED＝90°．∴OD⊥ED．又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．   26.已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得， 求证：是的切线． 当，时，求的半径． 【答案】证明：连接、， 在和中， ， ≌， ， 是半径， 是的切线； 解：≌， ， ， ， ， ， ， ， 又， ，即点为的中点， 为的中位线， ， 由勾股定理得，， 则的半径为．  27.如图，是的直径，点在直径上点与点，不重合，于点，且，连接与交于点，在上取一点，使． 求证：是的切线； 若是的中点，，求的长． 【答案】(1)解：连接.，.，. ，，，，即，是的切线；    (2)连接，.，.是的中点，.设，则.在Rt和 Rt中，由勾股定理，得，解得，.  28.如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点． 求证：是的切线． 连接并延长，交于、两点，交于点若的半径为，，求的值． 【答案】(1)如图，连接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2．∵OA＝OD，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴OD // AC．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE．∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线  (2)如图，连接MD、AN．∵在Rt△ODF中，OB＝OD＝2，∠F＝30°，∴OF＝2OD＝4，∠BOD＝60°．∴．∴ AF＝OA＋OF＝6．∵在Rt△AEF中，∠F＝30°，∴．∵∠ DOF＝60°＝∠2＋∠3，∠2＝∠3，∴∠2＝30°．∴∠2＝∠F．∴．∵ OD // AE，∴易得△DGO∽△AGE．∴．∴，．∵∠ ANG＝∠MDG，∠AGN＝∠MGD，∴△AGN∽△MGD．∴．∴   29.如图，是的内接三角形，是的直径，过点作的切线，与的延长线交于点，点在上，，交于点． 求证：； 过点作于点，若，，求的长． 【答案】(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠BCD＝180°-∠ACB＝90°．∴∠D＋∠CBD＝90°．∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°．∴∠ABC＋∠CBD＝90°．∴∠ABC＝∠D．∵，∴∠ E＝∠ABC．∴∠E＝∠D．∵AC＝CE，∴∠CAE＝∠E．∴∠CAE＝∠D  (2)过点C作CH⊥AE于点H．∵OA＝3，∴AB＝2OA＝6．在Rt△ABD中，有．∵，∴．∴．同理，可得．∴在Rt△ACG中，有．∴ BG＝AB-AG＝2．∵AC＝CE，CH⊥AE，∴AE＝2AH．由（1），得∠ABC＝∠CAH，又∵∠ACB＝∠CHA＝90°，∴△ACB∽△CHA．∴．∴．∴．∴．设 FG＝x（x＞0），则AF＝4＋x．∵∠E＝∠CBF，∠EAF＝∠BCF，∴△AEF∽△CBF．∴，即．∴．∵在Rt△CFG中，有CF2＝CG2＋FG2，∴，解得或 x＝4（不合题意，舍去）．∴FG的长为  30.如图，在中，是直径，是弦，是上一点，，、交于点，为延长线上一点，且． 求证：是的切线； 若，，求的半径． 【答案】(1)∵，∴∠ ABF＝∠BAE．∵∠CAD＋∠BAE＋∠CDA＋∠ABF＝180°，且∠CAD＝∠CDA，∴∠CAD＋∠BAE＋∠CAD＋∠BAE＝180°．∴∠OAD＝∠CAD＋∠BAE＝90°．∴OA⊥AD．∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线  (2)连接AF．∵， BE＝4，，∴ AF＝BE＝4．∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°．∴∠AFD＝180°-∠AFB＝90°．∴在Rt△ADF中，有．∵∠ BAD＝∠AFD＝90°，∴．∴．∴．∴⊙O的半径为  31.如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点，连接． 求证：平分； 如果，，求的半径． 【答案】(1)连接OD．∵直线l与⊙O相切于点D，∴OD⊥CE．∵AE⊥CE，∴OD // AE．∴∠ODA＝∠EAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．∴∠OAD＝∠EAD．∴AD平分∠CAE  (2)设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r．在Rt△OCD中，∵OD＝r，CD＝3，OC＝r＋1，∴r2＋32＝（r＋1）2，解得r＝4．∴⊙O的半径为4  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第24章《圆》第14课时圆的综合 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 圆中常用的辅助线： 类型 常作辅助线 图形 得出结论 遇到弦 添加弦心距，再连接过弦的端点的半径，构成直角三角形 ∵OC⊥AB， ∴AC＝BC， OB2＝OC2＋BC2 连接圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形 ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA 遇到直径 作直径所对的圆周角，得到直角或构成直角三角形 ∵AB为⊙O的直径， ∴∠C＝90° 遇到90°圆周角 连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径 ∵∠C＝90°， ∴AB为⊙O的直径 遇到一般 圆周角 连半径，构成圆心角 ∵＝， ∴∠AOB＝2∠C 连接圆周上的一点和弧的端点，构成同弧所对圆周角 ∵＝， ∴∠ABC＝∠ADC 遇到圆上 有4点时 连接相邻的点，构成圆内接四边形 ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠A＋∠C＝180°， ∠B＋∠D＝180° 遇到有切线时 作过切点的半径，即连接切点和圆心，得垂直 ∵直线AB与⊙O相切于点C， ∴OC⊥AB 遇到证明某条直线是圆的切线 若直线经过圆上的一点，则连接这点和圆心，得到半径，再证明所作半径与这条直线垂直 证明方法： ∵半径OC⊥AB， ∴直线AB是⊙O的切线 若直线与圆的公共点未确定时，则过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径 证明方法： ∵OC等于⊙O的半径， ∴直线AB是⊙O的切线 类型一：与圆的基本性质有关的综合题 1. 如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E. (1)求证：BD平分∠ABC； (2)若BC＝3，DE＝2，求⊙O的半径. 2. 如图，在四边形ABCF中，FA⊥AB，BC⊥AB，⊙O经过点A，B，C，分别交边AF，FC于点D，E，且E是的中点. (1)求证：E是FC的中点； (2)连接AE，当AB＝6，AE＝5时，求AF的长. 类型二：与切线的证明有关的综合题 ①明交点，连半径，证垂直，得切线 3.如图，AB是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C.过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若DC＝3，AD＝9，求⊙O半径. ②隐交点，作垂直，证半径，得切线 4. 如图，四边形ABCO是菱形，点D在边AB上，以点O为圆心、OD为半径的圆切AB于点D. (1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若AB＝2，且D是AB的中点，求图中阴影部分的面积. 类型三：圆与特殊四边形的综合题 5. 如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A，C，D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F，求证： (1)四边形DBCF是平行四边形； (2)AF＝EF. 6. 如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，过点D作⊙O的切线交BC于点E. (1)求证：AF＝CE； (2)若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径. 一、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 1.如图，，，，是上的四个点，，交于点，连接，求证：平分． 2.如图，为的弦，交于点，交过点的直线于点，且试判断直线与的位置关系，并说明理由． 3.如图，在中，，是角平分线，以点为圆心，为半径的与相交于点求证：是的切线． 4.如图，是的边上一点，以为半径的交于点，过点作的切线交于点，且． 求证：； 若，，，求的半径． 5.如图，在中，以为直径的分别交于点，交于点，连接，且． 求证：； 若，求的值． 6.如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点． 求证：； 连接，若，，求的长． 7.如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，，． 求证：； 求． 8.如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． 请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；不写作法，保留作图痕迹，标明字母 在的条件下，求证：．   9.如图，，，都是的半径，． 求证：． 若，，求的半径． 10.如图，，是的切线，切点分别为，，是的直径，连接． 求证：； 若，，求的长． 11.如图，，是的切线，切点分别为，，是的直径，连接． 求证：； 若，，求的长． 12.如图，，是的切线，切点分别为，，是的直径，连接． 求证：； 若，，求的长． 13.如图，四边形是平行四边形，，是的外接圆求证：与相切． 14.如图，的三个顶点都在上，，连接． 求证：平分； 若，求的长． 15.如图，是的直径，是弦，是优弧的中点，于点，连接． 求证：平分； 求证：． 16.如图，的直径的长为，弦的长为，的平分线交于点，求的长．  17.如图，为等边的外接圆，点在劣弧上不与点，重合，连接，，． 求证：是的平分线； 求证：． 18.如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点连接并延长交于点． 求证：直线是的切线； 求证：； 若，，求的长． 19.定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做“圆美四边形”，其中这个角叫做“美角”． 如图，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． 在的条件下，若的半径为． 求的长； 连接，若平分，如图，请判断，，之间有怎样的数量关系，并说明理由．   20.如图，四边形内接于，为的直径，． 试判断的形状，并给出证明； 若，，求的长度． 21.如图，四边形内接于，为的直径，． 试判断的形状，并给出证明； 若，，求的长度． 22.如图，，，都是的半径，． 求证：； 若，，求的半径． 23.如图，在中，，是角平分线，以点为圆心，长为半径的与相交于点． 求证：是的切线 若，，求的长． 24.如图，在中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点． 求证：； 若，，求的长． 25.如图，的直径，，交于点，是的中点． 求的长； 过点作，垂足为，求证：直线是的切线．   26.已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得， 求证：是的切线． 当，时，求的半径． 27.如图，是的直径，点在直径上点与点，不重合，于点，且，连接与交于点，在上取一点，使． 求证：是的切线； 若是的中点，，求的长． 28.如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点． 求证：是的切线． 连接并延长，交于、两点，交于点若的半径为，，求的值．   29.如图，是的内接三角形，是的直径，过点作的切线，与的延长线交于点，点在上，，交于点． 求证：； 过点作于点，若，，求的长． 、、 30.如图，在中，是直径，是弦，是上一点，，、交于点，为延长线上一点，且． 求证：是的切线； 若，，求的半径． 31.如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点，连接． 求证：平分； 如果，，求的半径． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$