第24章《圆》第13课时圆锥的侧面展开图、侧面积和全面积 暑假预习课-2025-2026学年人教版九年级上册数学

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第24章《圆》第13课时圆锥的侧面展开图、侧面积和全面积 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 如图，圆锥的侧面展开图为一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长. 圆锥的侧面积：S侧＝·2πr·l＝πrl； 圆锥的全面积：S全＝S底＋S侧＝πr2＋πrl . 已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则： (1)圆锥的高为　　； (2)底面周长为　2π　； (3)若侧面展开图扇形的圆心角为n°，则弧长可用含n的式子表示为　　， ∵底面周长＝侧面展开图扇形的弧长， ∴　2π　＝　　. 由此得到该扇形的圆心角度数为　180°　. 知识点1：求圆锥的侧面积和全面积 【例1】如图，圆锥底面半径OB＝4， 母线长BC＝9. (1)圆锥的侧面积是　36π　； (2)圆锥的全面积是　52π　.　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2：圆锥的底面半径、母线及侧面展开图的圆心角 【例2】填空： (1)一个圆锥的侧面展开图是半径为9 cm、圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为　3　cm； (2)已知圆锥的底面半径为1 cm，母线长为3 cm，则侧面展开图的圆心角为　120°　. 知识点3：圆锥的应用 【例3】(人教九上P114例3改编)蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成(如图1－24－50－3).如果想用毛毡搭建20个底面半径为4 m，总高为4.5 m，外围(圆柱)高为1.5 m的蒙古包(不包含底面圆)，至少需要多少平方米的毛毡？ 解：由题意，得r＝4 m，h1＋h2＝4.5 m，h2＝1.5 m. ∴h1＝4.5－h2＝3(m). ∴圆锥的母线长为＝5(m). ∴圆锥的侧面积为×2π×4×5＝20π(m2). 圆柱的侧面积为2π×4×1.5＝12π(m2). ∴搭建20个这样的蒙古包，至少需要毛毡20×(20π＋12π)＝640π(m2). 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则圆锥的全面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  2.在中，，，，以所在直线为轴，把旋转周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  3.圆锥的母线长是，底面半径是，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  4.已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  5.用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设圆锥的底面圆半径为，依题意，得 ， 解得． 故选：． 设圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的底面圆周长扇形的弧长，列方程求解． 本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：、圆锥的母线长为扇形的半径，、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长． 6.圆锥的底面半径，高，则圆锥的侧面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：圆锥的底面半径，高， 圆锥的母线， 圆锥的侧面积． 故选D． 根据圆锥的侧面积，求出圆锥的母线即可解决问题． 本题考查圆锥的侧面积，以及勾股定理． 7.如图，圆锥底面圆的直径为，高为，则它的全面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  8.在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径为，高为，则这个圆锥漏斗的侧面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：，， ， 这个圆锥漏斗的侧面积． 故选：． 先利用勾股定理计算出，然后利用扇形的面积公式计算圆锥的侧面积即可． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 9.如图，圆锥底面圆的直径为，高为，则它的全面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  10.如图，工人师傅准备从一块斜边长为的等腰直角材料上裁出一块以直角顶点为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥接缝处忽略，则圆锥的底面半径为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 首先求得扇形的半径，然后利用弧长公式求得弧长，然后利用圆周长公式求得底面半径即可． 本题考查了圆锥的计算及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是能够求得扇形的弧长，难度不大． 【解答】 解：如图，作于点， 是斜边长为的等腰直角三角形， ， 扇形面积要最大，则为扇形的半径， ， 扇形的弧长， 设底面半径为，则， 解得：， 圆锥的底面半径为． 故选：． 二、填空题： 11.已知圆锥的母线长，侧面积为，则这个圆锥的高是          ． 【答案】  12.一个圆锥的侧面积为，底面半径为，这个圆锥的母线长为          ． 【答案】  13.一圆锥的母线长为，底面半径为，则该圆锥的侧面积为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆锥的侧面积公式，掌握相应公式是关键． 圆锥的侧面积底面半径母线长． 【解答】 解：圆锥的侧面积， 故答案为：． 14.若圆锥侧面展开图是面积为的扇形，扇形的弧长为，则圆锥的高为            ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆锥侧面积公式的应用，解题的关键是牢记圆锥的侧面积弧长母线长． 根据圆锥的侧面积弧长母线长，可得圆锥的母线长，然后可以利用勾股定理求得圆锥的高，即可求解． 【解答】 解：设母线长为，由题意得：， 解得， 设圆锥的底面半径为， 则，解得：， 故圆锥的高为：． 故答案为：． 15.已知一个圆锥的底面直径为，母线长，则这个圆锥的表面积是          结果保留 【答案】  【解析】【分析】 根据圆锥表面积侧面积底面积底面周长母线长底面积，计算即可． 本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键记准圆锥的侧面面积和底面面积公式． 【解答】 解：圆锥的表面积． 故答案为：． 16.已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，则这个圆锥的底面圆半径是           【答案】  【解析】解：展开图扇形的弧长 根据题意展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长， 这个圆锥的底面圆半径是 故答案为： 根据展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，计算即可得出答案． 本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥原图与展开图扇形之间的关系进行求解是解决本题的关键． 17.如图，在中，，，，把绕所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为          ． 【答案】  18.如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗，则圆锥的底面半径为           ． 【答案】  19.如图，圆锥的侧面积为，底面半径为，则圆锥的高为          ． 【答案】  20.教材习题变式如图，粮仓的顶部是圆锥形状，这个圆锥的底面圆的半径为米，母线长为米，为防雨水，需要在粮仓顶部铺上油毡，如果油毡的市场价为元米，那么购买油毡所需要的费用是__________元结果保留 【答案】  【解析】【分析】 根据圆锥侧面积公式，算出油毡的面积，乘以即可得到结果． 【解答】 解：根据题意得：圆锥侧面积平方米， 则购买油毡所需要的费用元． 故答案为：． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，弧长为的扇形，求这个圆锥的侧面积及高． 【答案】解：这个圆锥的侧面积为，  设底面圆的半径为，则，解得，  故这个圆锥的高为．  22.已知圆锥的底面半径为，母线长为，求它的侧面展开图的圆心角及侧面积． 【答案】解：圆锥的底面周长为， 设它的侧面展开图的圆心角度数为， 根据弧长公式，得，。 。 它的侧面展开图的圆心角是，它的侧面积是。  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 23.圆锥的底面直径是，母线长求它的侧面展开图的圆心角和圆锥的全面积． 【答案】解：圆锥的底面直径是，母线长，解得侧面展开图的圆心角为，圆锥的全面积为．  24.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，求该圆锥的母线长． 【答案】解：圆锥的底面周长，由题意可得，解得，  所以该圆锥的母线长为．  25.一个长的圆柱体平均切成个同样大小的圆柱体后，表面积增加了如果将原来这个圆柱体削成一个最大的圆锥该圆锥的底面与圆柱底面重合，圆锥的体积是多少 【答案】解：平方厘米，米厘米， 所以圆锥的体积是：立方厘米， 答：这个最大的圆锥的体积是立方厘米．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 26.打谷场上，有一个近似于圆锥的小麦堆如图，测得底面直径为，高为，每立方米的小麦约重千克． 求这堆小麦约有多少吨？取，得数保留整数吨 图为装小麦的粮仓，粮仓下面为一圆柱，上面为一圆锥，已知圆柱底面半径为米，粮仓下面圆柱的侧面积为平方米，图中粮仓上面圆锥的高为图中小麦堆的高的，将打谷场上的这堆小麦全部装入图同样的粮仓中，至少需要这样的粮仓几个？ 【答案】解：圆锥形的小麦堆的体积， 所以这堆小麦的质量为：千克吨； 设圆柱的高为， 根据题意得，解得， 图中粮仓上面圆锥的高为， 图的粮仓的体积为， ， 至少需要这样的粮仓个．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 27.如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗． 求扇形的圆心角的度数； 求圆锥的底面半径． 【答案】(1)解：设扇形的圆心角的度数为，则，解得.答：扇形圆心角的度数为；  (2)侧面积为，母线长为30 cm，，.答：圆锥的底面半径为.  28.已知一个圆锥形环保纸杯的侧面展开图是圆心角为的扇形，如图，母线长． 求该圆锥形环保纸杯的底面直径； 如果该圆锥形环保纸杯的高为，求该圆锥形环保纸杯的体积结果保留 【答案】解：由题意知，， 由圆锥侧面展开图知， ，   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 29.如图，有一个直径是的圆形铁皮，圆心为点，要从中剪出一个圆心角是的扇形若用扇形铁皮围成一个圆锥，求出该圆锥的底面半径和侧面积结果保留 【答案】解：因为， 所以， 设底面半径为， 所以， 所以， 所以， 则该圆锥的底面半径为，侧面积为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 30.如图，是圆锥底面的直径，，母线． 求圆锥侧面展开图的圆心角的度数，并画出沿母线展开的侧面展开图； 一只蚂蚁从底面圆周上的点处出发，沿圆锥的侧面爬行一周后回到点处，求蚂蚁爬行的最短路程； 为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为          直接写出结果 【答案】(1)解：，，即所求圆心角的度数为，侧面展开图如图所示；   (2)如图，连接，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段的长.，；  (3)  【解析】 由展开图知是的中点，连接，，，易证是等边三角形．，，蚂蚁爬行的最短路程为． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第24章《圆》第13课时圆锥的侧面展开图、侧面积和全面积 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 如图，圆锥的侧面展开图为一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长. 图1－24－50－1 圆锥的侧面积：S侧＝·2πr·l＝πrl； 圆锥的全面积：S全＝S底＋S侧＝πr2＋πrl . 已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则： (1)圆锥的高为　 　； (2)底面周长为　 　； (3)若侧面展开图扇形的圆心角为n°，则弧长可用含n的式子表示为 　 ， ∵底面周长＝侧面展开图扇形的弧长， ∴　 　＝　 　. 由此得到该扇形的圆心角度数为　 　. 知识点1：求圆锥的侧面积和全面积 【例1】如图，圆锥底面半径OB＝4， 母线长BC＝9. (1)圆锥的侧面积是　 　； (2)圆锥的全面积是　 　.　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2：圆锥的底面半径、母线及侧面展开图的圆心角 【例2】填空： (1)一个圆锥的侧面展开图是半径为9 cm、圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为　 　cm； (2)已知圆锥的底面半径为1 cm，母线长为3 cm，则侧面展开图的圆心角为　 　. 知识点3：圆锥的应用 【例3】(人教九上P114例3改编)蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成(如图1－24－50－3).如果想用毛毡搭建20个底面半径为4 m，总高为4.5 m，外围(圆柱)高为1.5 m的蒙古包(不包含底面圆)，至少需要多少平方米的毛毡？ 解： 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则圆锥的全面积为(    ) A. B. C. D. 2.在中，，，，以所在直线为轴，把旋转周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为(    ) A. B. C. D. 3.圆锥的母线长是，底面半径是，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为(    ) A. B. C. D. 4.已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为(    ) A. B. C. D. 5.用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为(    ) A. B. C. D. 6.圆锥的底面半径，高，则圆锥的侧面积是(    ) A. B. C. D. 7.如图，圆锥底面圆的直径为，高为，则它的全面积为(    ) A. B. C. D. 8.在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径为，高为，则这个圆锥漏斗的侧面积是(     A. B. C. D. 9.如图，圆锥底面圆的直径为，高为，则它的全面积为(    ) A. B. C. D. 10.如图，工人师傅准备从一块斜边长为的等腰直角材料上裁出一块以直角顶点为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥接缝处忽略，则圆锥的底面半径为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.已知圆锥的母线长，侧面积为，则这个圆锥的高是          ． 12.一个圆锥的侧面积为，底面半径为，这个圆锥的母线长为          ． 13.一圆锥的母线长为，底面半径为，则该圆锥的侧面积为          ． 14.若圆锥侧面展开图是面积为的扇形，扇形的弧长为，则圆锥的高为            ． 15.已知一个圆锥的底面直径为，母线长，则这个圆锥的表面积是          结果保留 16.已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，则这个圆锥的底面圆半径是           17.如图，在中，，，，把绕所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为          ． 18.如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗，则圆锥的底面半径为           ． 19.如图，圆锥的侧面积为，底面半径为，则圆锥的高为          ． 20.教材习题变式如图，粮仓的顶部是圆锥形状，这个圆锥的底面圆的半径为米，母线长为米，为防雨水，需要在粮仓顶部铺上油毡，如果油毡的市场价为元米，那么购买油毡所需要的费用是__________元结果保留 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，弧长为的扇形，求这个圆锥的侧面积及高． 22.已知圆锥的底面半径为，母线长为，求它的侧面展开图的圆心角及侧面积． 23.圆锥的底面直径是，母线长求它的侧面展开图的圆心角和圆锥的全面积． 24.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，求该圆锥的母线长． 25.一个长的圆柱体平均切成个同样大小的圆柱体后，表面积增加了如果将原来这个圆柱体削成一个最大的圆锥该圆锥的底面与圆柱底面重合，圆锥的体积是多少 26.打谷场上，有一个近似于圆锥的小麦堆如图，测得底面直径为，高为，每立方米的小麦约重千克． 求这堆小麦约有多少吨？取，得数保留整数吨 图为装小麦的粮仓，粮仓下面为一圆柱，上面为一圆锥，已知圆柱底面半径为米，粮仓下面圆柱的侧面积为平方米，图中粮仓上面圆锥的高为图中小麦堆的高的，将打谷场上的这堆小麦全部装入图同样的粮仓中，至少需要这样的粮仓几个？ 27.如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗． 求扇形的圆心角的度数； 求圆锥的底面半径． 28.已知一个圆锥形环保纸杯的侧面展开图是圆心角为的扇形，如图，母线长． 求该圆锥形环保纸杯的底面直径； 如果该圆锥形环保纸杯的高为，求该圆锥形环保纸杯的体积结果保留 29.如图，有一个直径是的圆形铁皮，圆心为点，要从中剪出一个圆心角是的扇形若用扇形铁皮围成一个圆锥，求出该圆锥的底面半径和侧面积结果保留 30.如图，是圆锥底面的直径，，母线． 求圆锥侧面展开图的圆心角的度数，并画出沿母线展开的侧面展开图； 一只蚂蚁从底面圆周上的点处出发，沿圆锥的侧面爬行一周后回到点处，求蚂蚁爬行的最短路程； 为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为          直接写出结果 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$