专题2-3 基本不等式(2)：中档题梳理与进阶训练【13类题型】- 【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版）

【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版） 专题2-3 基本不等式(2)：中档题梳理与进阶训练 总览 题型·解读 模块一 中档题梳理 【题型1】判断不等式是否能成立 【题型2】基本不等式与几何图形结合 【题型3】基本不等式的实际应用问题 【题型4】基本不等式恒成立问题 【题型5】基本不等式能成立问题 【题型6】消元法求最值 【题型7】因式分解型 【题型8】含有根式的配凑（根式平方和为定值型） 【题型9】同除型（构造齐次式） 【题型10】运用基本不等式证明不等式 模块二 技巧进阶 【题型11】权方和不等式 【题型12】二维柯西不等式 【题型13】万能“k”法 模块三 【课后作业】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 中档题梳理 【题型1】判断不等式是否能成立 解题技巧 （1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件． （2）连续使用不等式要注意取得一致． 【例题1】（多选）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据基本不等式求解最值判断ABC，根据复合函数最值求法求解判断D． 【详解】对于A，，当时，，不符合要求，错误； 对于B，，当且仅当时取等号， 由得显然不成立，所以等号取不到， 即的最小值不是2，错误； 对于C，因为，所以，， 当且仅当时取等号，最小值是2，正确； 对于D，，易知，， 则， 当即或时，有最小值4，即有最小值2，故D正确． 【例题2】（多选）已知，，且，下列结论中正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是8 D．的最小值是 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】，且， 对于A，由，解得，当且仅当时等号成立， 则的最大值为，所以A正确； 对于B，由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，所以C错误； 对于D，由， 得，当且仅当时等号成立， 则的最小值是，所以D正确. 【巩固练习1】（多选）下列命题中，真命题的是（    ） A．，都有 B．，使得 C．任意非零实数，都有 D．若，则的最小值为4 【答案】AB 【分析】利用不等式的性质和均值不等式，以及对勾函数的单调性求最值，并根据全称命题与特称命题的真假判断，即可选出真命题． 【详解】解：对于A，恒成立， 则，都有，A选项正确； 对于B，当时，， （当且仅当时取等号）， ，，使得，B选项正确； 对于，当时，，C选项错误； 对于 D，，当且仅当 时取等号，故当时，的最小值不是4，D选项错误 【巩固练习2】（多选）若实数m，，满足，以下选项中正确的有（    ） A．mn的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．最小值为 【答案】AD 【分析】利用基本不等式解决条件的最值问题求解和为定值或乘积为定值. 【详解】解：对于A，由m，，得，又， 所以，解得，当且仅当， 即，时等号成立， 所以mn最大值为，选项A正确； 对于B，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，选项B错误； 对于C，由，得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，又m，， 所以，选项C错误； 对于D，由m，，，得， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，选项D正确． 【巩固练习3】（多选）下列说法正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最小值是2 C．的最小值是 D．若，则的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式判断A、C、D，利用对勾函数的性质判断B. 【详解】对于A，，，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，， 令，则且，因为在上单调递增， 所以，即，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，因为，所以， 当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，， 当且仅当时取等号，故D正确 【巩固练习4】（多选）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．最小值为 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】BC 【分析】利用基本不等式即可得到A；二元换一元，代入 ，利用二次函数求出最值，得出B选项；利用即可得到C选项；利用“1”的妙用得出D. 【详解】对于A，∵，且，∴，即时，等号成立， 即的最大值是，故A不正确； 对于B，∵，∴，， 所以，故B正确； 对于C，∵，且，∴，即 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，∵， 即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误． 【题型2】基本不等式与几何图形结合 解题技巧 基本不等式链的无字证明： 如图，在C是以AB为直径的半圆上一点，CD⊥AB，DE⊥CO，记AD＝a，BD＝b，则有 （1）证明： 由射影定理可得：（几何平均数），（算术平均数），显然，即 （2）证明： 由三角函数可得：，显然 （3）对于，若通过以上图形来解会有些复杂，可以结合完全平方公式来证明会更方便 【例题1】设，，称为a、b的调和平均数．如图，C为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点C作的垂线交半圆于D，连接、、．过点C作的垂线，垂足为E．则图中线段的长度是a、b的算术平均数，线段 的长度是a、b的几何平均数．      【答案】 【分析】根据三角形相似，即可得相似比，根据几何平均数的定义即可求解. 【详解】由于, 又,故, 因此， 故的长度是a、b的几何平均数 【例题2】数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图知：， 在中，， 所以，即 【巩固练习1】《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，因此这种方法也被称之为“无字证明”．如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于点E，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为(　　) A．(a＞0，b＞0) B．(a＞0，b＞0，a≠b) C．(a＞0，b＞0) D．(a＞0，b＞0，a≠b) 【答案】D　由AC＝a，BC＝b，可得半圆O的半径DO＝， 易得DC＝， DE＝． ∵DE＜DC＜DO，∴(a＞0，b＞0，a≠b)． 【巩固练习2】如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4，AD＝3，那么当BM＝ 时，矩形花坛的AMPN面积最小，最小面积为 ． 【答案】 【分析】利用平行线分线段成比例得到，进而得到，再利用矩形面积公式与基本不等式即可得到答案. 【详解】依题意不妨设，易知， 故，即，即， 故矩形的面积为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当时，矩形的面积取得最小值为48. 【巩固练习3】（24-25高一上·湖北·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小?并求出所用篱笆长度的最小值.    【答案】等腰三角形腰长为，所用篱笆长度的最小值为. 【分析】建立函数模型，利用基本不等式求解. 【详解】设， 上底， 分别过点，作下底的垂线，垂足分别为，， 则 ，，则下底 ，    该等腰梯形的面积 ， 所以， 则 所用篱笆长为 当且仅当 即，时取等号. 所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为. 【巩固练习4】（多选）几何原本中的几何代数法以几何方法研究代数问题成为了后世数学家处理问题的重要依据通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明如图，在AB上取一点C，使得，，过点C作交半圆周于点D，连接作交OD于点下面不能由直接证明的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用射影定理可得即可证明 【详解】由射影定理可知 即 由得 故由由直接证明的不等式为选项B 【巩固练习5】（23-24高一上·江西南昌·期中）图1的弦图是由我国三国时期的数学家赵爽提出的，故称赵爽弦图，利用这个弦图，我们可以给基本不等式一个非常形象的几何解释．数学探究课上，同学们对赵爽弦图从边长、周长、面积、角度等方面进行了探究，得出了很多优美的结论．如图2，某探究小组将赵爽弦图中的直角的直角边延长交另一个直角三角形的斜边为点，记的周长为，面积为，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据可得，进而得到，结合基本不等式计算化简，即可求解. 【详解】设，则， 由，得， 有，即， 由，得， 由，得，即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 【题型3】基本不等式的实际应用问题 解题技巧 不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养． 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数： 若，则（当且仅当时取“=”） 其中，为的调和平均值反应了平均速度 【例题1】（24-25高一上·广东广州·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（   ） A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元 【答案】C 【分析】设池底的长为x，宽为y，因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，计算出建造这个水池的总造价是，结合基本不等关系求得最小值. 【详解】设池底的长为x，宽为y，则，即 因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面， 建造这个水池的总造价是 ,当且仅当，即时，等号成立 【例题2】两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（    ） A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定 【答案】B 【解析】依题意，为正数，且， 第一种方式购买的平均价格为， 第二种方式，设每次购买的花费为， 则购买的平均价格为， 由基本不等式得， 所以选第二种方式比较经济. 【例题3】（24-25高一上·浙江宁波·期末）设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积是 . 【答案】 【分析】根据题意设，用表示，以及面积，结合基本不等式即可求得结果 【详解】由题意可知，矩形的周长为，    设，则， 设，则，,故， 而为直角三角形， ∴， ∴，∴， ∴ . 当且仅当，即时，此时，满足， 即时，的面积取最大值，最大值为. 【例题4】（2024·高一·广东深圳·期末）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.哪种方案较为合理？并说明理由.（注：年平均盈利额） 【解析】方案二更合理，理由如下： 设为前年的总盈利额，单位：万元； 由题意可得， 方案一：总盈利额， 当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：平均盈利额为， 当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时， 此时处理掉设备，总利润为万元； 综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适. 【巩固练习1】小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则 ，，， ∴， 【巩固练习2】如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设，由矩形的周长为4，可知． 设，则．， ． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 所以． 所以的面积． 所以，当且仅当时， 即当时，的面积最大，面积的最大值为，故选：B． 【巩固练习3】（23-24高一上·江苏连云港·月考）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【答案】当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，为198400元． 【解析】设池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元． 【巩固练习4】某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室，由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左､右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元，设屋子的左，右两面墙的长度均为米，房屋的造价为. (1)写出关于的表达式. (2)当左、右两面墙的长度为多少时，工程队报价最低？并求出最低报价. 【答案】(1) (2)时工程队报价最低，最低报价为28800元 【分析】（1）由题意可得屋子前面新建墙体的长为米，进而根据题意求解即可； （2）根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为屋子的左，右两面墙的长度均为米，底面为24平方米， 则屋子前面新建墙体的长为米， 所以房屋的造价为. （2）由， 当且仅当，即时等号成立， 所以当左、右两面墙的长度为4米时，工程队报价最低，最低报价为28800元. 【题型4】基本不等式恒成立问题 解题技巧 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 参变分离法：如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量的关系, 那么恒成立;恒成立 【例题1】（24-25高一上·河南漯河·期末）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得对恒成立，由基本不等式求得的最大值即可. 【详解】由，不等式恒成立，可得对恒成立， 令，当且仅当，即时取等号. 所以，所以. 【例题2】（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【分析】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【详解】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 【例题3】（24-25高一上·湖南湘潭·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因为恒成立，所以. 因，则， 则， 当且仅当时等号成立，由，解得. 故的最小值为4，则， 解得，即. 【巩固练习1】若对于任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意结合基本不等式求出即可. 【详解】由题意可得当时，恒成立， 因为，当且仅当即时取等号， 所以，即实数的取值范围是 【巩固练习2】若不等式对恒成立，则实数m的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】分离参数使不等式化为，使乘以利用基本不等式求出的最小值即可求解． 【详解】将不等式化为，只需当时，即可， 由 ， 当且仅当时取等号，故，故m的最大值为9． 【巩固练习3】已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且， 所以 ，当且仅当时取等号， 又因为恒成立， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 【巩固练习4】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 【答案】B 【分析】由题意可得，求得即可. 【详解】因为x，，所以，所以， 又， 当且仅当时，取等号，所以， 所以实数a的最小值是. 【题型5】基本不等式能成立问题 解题技巧 能成立问题又称有解问题 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 【例题1】若正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围 ． 【答案】或 【分析】要使有解，则大于最小值即可；求出最小值，建立不等式，求出的取值范围． 【详解】因为，所以，所以，当时，等号成立，因为，所以此时，所以的最小值为，由题可得，解得或． 【巩固练习1】若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得满足，再利用基本不等式中“1”的妙用求得的最小值，最后解不等式即可． 【详解】由得， ， 当且仅当时，等号成立， 则使不等式有解，只需满足即可， 解得． 【巩固练习2】若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【详解】由， 因为，所以，令， 由，则有， 且 【题型6】消元法求最值 解题技巧 消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【例题1】（24-25高一下·浙江·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】由得，利用基本不等式即可求解. 【详解】解：由题意得且所以 所以 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为 【例题2】已知，，则的最小值为 ． 【解题思路】依题意可得，再由基本不等式计算可得. 【解答过程】因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 【例题3】（24-25高一上·广东深圳·期末）(多选)已知，且，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 【答案】ACD 【分析】将条件代入选项，利用基本不等式和二次函数的性质，即可判断选项. 【详解】对于A选项，，当时等号成立，故A选项正确； 对于B选项，，故当时，有最小值，故B选项错误； 对于C选项，，当时等号成立，故C选项正确； 对于D选项，，当且仅当，即时，等号成立，故D选项正确. 【巩固练习1】若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【解题思路】根据题意可得，利用基本不等式求解. 【解答过程】由可得， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意. 所以的最小值为. 【巩固练习2】若，则的最小值为 4 ． 【解题思路】根据基本不等式即可求解. 【解答过程】由， 故 ，当且仅当时等号成立， 故最小值为4 【巩固练习3】（多选）已知，且，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值是3 D．的最小值是 E． 【答案】BDE 【分析】对于A项，运用基本不等式将其转化成关于的不等式求解即得；对于B项，直接运用基本不等式将其转化成关于的不等式，再结合不等式性质求解即得；对于CDE项，通过题设求出，代入所求式消元，凑项运用基本不等式即得. 【详解】对于A项，，由可得， 因，故得，则，当且仅当时等号成立，错误； 对于B项，由可得， 因，故得：，当且仅当时等号成立，又， 所以的取值范围是，正确； 对于C和E项，由得， 所以， 当且仅当即时，等号成立，所以，故C项错误，E正确； 对于D项，由得， 所以， 当且仅当即时，等号成立，正确. 【巩固练习4】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】法一：由得，可得，进而结合基本不等式求解即可； 法二：由得，由，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】已知，且， 法一：由得， 则 ， 当且仅当时取等号，则的最小值为； 法二：由得， 则， 当且仅当，即，时取等号， 则的最小值为． 【题型7】因式分解型 解题技巧 含有这类结构的式子，可以考虑因式分解配凑成的结构，再结合整体思想来求最值 【例题1】（2025·广东·二模）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由条件可得，然后由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，即，即， 且，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【例题2】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）(多选)已知均为正数，且，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式逐项判断可得答案. 【详解】对于A，，于是，解得， 当且仅当即时等号成立，故A正确； 对于B，由得，得，即， 所以， 当且仅当即时等号成立，故B正确； 对于C，由得，即， 由于，所以， 所以 ， 当且仅当即等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当即等号成立，故D错误 【例题3】（2025·深圳中学阶段测）若a、b、c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为(　　) A．－1 B．＋1 C．2＋2 D．2－2 【答案】D 【详解】由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2， 得(a＋c)·(a＋b)＝4－2. ∵a、b、c>0. ∴(a＋c)·(a＋b)≤(当且仅当a＋c＝b＋a，即b＝c时取“＝”)， ∴2a＋b＋c≥2＝2(－1)＝2－2. 【巩固练习1】（重庆巴蜀中学校考）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】将式子变形为，即可利用不等式求解，或者将式子变形为，结合不等式即可求解． 【详解】方法一：因为，故，解得， 故，当且仅当 ，即，时等号成立． 方法二：因为，则，且，故， 故，当且仅当 ， 即，时等号成立．故选：C． 【巩固练习2】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】根据条件变形，待求式转化为一元变量后，利用基本不等式求解. 【详解】因为， 所以，则, 所以， 当且仅当，即时等号成立， 【巩固练习3】已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将等式变形得，所求式子变形为，再由基本不等式求解最值即可. 【详解】由已知为正实数，且， 得，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 【巩固练习4】（23-24高一上·福建莆田·期中）已知，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】由， 得， 又，，即，， 则， 即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以 【巩固练习5】（23-24高一上·辽宁·期中）若，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合条件等式，利用基本不等式求和的最小值. 【详解】若，且满足，则有，所以，， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 【题型8】含有根式的配凑（根式平方和为定值型） 解题技巧 对于，求最大值 可以设，配好系数后的与可以凑出定值 【例题1】已知a，b是正实数，且2a2＋3b2＝10，求的最大值． 【简析】记，则，求最大值 【巩固练习1】已知为正实数，且，求的最大值 【巩固练习2】若x>0，y>0，且2x2＋＝8，则x的最大值为________． 解析　(x)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2≤3·2＝3×2． 当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立．故x的最大值为． 【题型9】同除型（构造齐次式） 解题技巧 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 【例题1】设正实数、、满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为正实数、、满足，则， 则，当且仅当时取等号. 故的最大值为.故选：C. 【巩固练习1】已知正实数x，y满足5x2＋4xy－y²＝1，12x2＋8xy－y2的最小值为________． 【答案】 【解析】 则原式等价于 【题型10】运用基本不等式证明不等式 解题技巧 三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 柯西不等式：若，则（当且仅当，即时取等号） 【例题1】已知，求证: (1); (2). 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立. （2）， . 当且仅当时，即时等号成立. 【例题2】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【详解】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 【巩固练习1】设a，b，c均为正数，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】∵a，b，c均为正数， ∴， 当且仅当，即时，等号成立． ， 当且仅当，即时，等号成立． ∴， 故， 当且仅当时，等号成立． 【巩固练习2】（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知是正实数. (1)证明：； (2)若，证明：. (3)已知是正数，且，求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【解析】（1）由， 当且仅当时等号成立，即，得证. （2）由 ， 当且仅当时等号成立，则，得证. （3）由， 当且仅当时等号成立，不等式得证. 模块二 技巧进阶 【题型11】权方和不等式 解题技巧 什么是权方和不等式？ 对任意的，恒有，当且仅当取等号 【例题1】（24-25高一上·浙江杭州·期末）若正实数满足：则最小值是 . 【答案】 【分析】根据三元均值不等式求最值. 【详解】法一：由权方和不等式可得 法二：因为 所以，（当且仅当，即时取等号） 因此即 即当时，取最小值，为 【例题2】已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 【答案】2 【解析】由权方和不等式，可知 ==， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为2. 【巩固练习1】已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】利用权方和不等式求解即可 【解析】，所以实数a的取值范围是. 【巩固练习2】已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 【答案】2 【解析】由权方和不等式，可知 ==， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为2. 【巩固练习3】已知，且满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由权方不等式，结合已知等式进行求解即可. 【解析】由权方和不等式，可知， ，当且仅当时取等号， 即当时取等号， 所以的最小值为. 【巩固练习4】的最大值为 【答案】 【解析】 当且仅当，即或时取等号，故答案为：. 【题型12】二维柯西不等式 解题技巧 高中阶段主要应用二元柯西不等式解决相应的问题， 二元柯西不等式如下：对于任意的，都有， 对于上述形式左边或右边的代数式为定值时，往往能利用基本不等式求得另一边代数式的最值，但利用柯西不等式求解，可以直接一步到位，快速求得最值. 而不少于三元的柯西不等式的应用往往以新定义题的形式出现. 【例题1】已知正实数满足:,求的最小值. 【分析】利用柯西不等式求得的最小值，再利用常值代换法求得的最小值，且两式都在时取等，故得所求式的最小值. 【解析】由柯西不等式（下面提供证明）可知:， 即当且仅当时，即时，等号成立. 又 当且仅当时，即时，等号成立. 故， 即时，的最小值是. 【例题2】柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【解析】因为， 根据题目中柯西不等式的三元形式可知， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是 【巩固练习1】（2025江苏南通高一上联考）已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用不等式构造定值求解即可. 【解析】解法一：（柯西不等式）∵x，y，，， ∴ ， 则．当且仅当时取等号． 解法二：（均值不等式），，， 所以． 当且仅当时取等号． 解法三：（权方和不等式）． 当且仅当时取等号． 【巩固练习2】（2022·全国甲卷·高考真题）已知a，b，c均为正数，且，证明： (1)； (2)若，则． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）方法一：根据，利用柯西不等式即可得证； （2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证. 【详解】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式 由柯西不等式有， 所以，当且仅当时，取等号，所以. [方法二]：基本不等式 由，，， ， 当且仅当时，取等号，所以. （2）证明：因为，，，，由（1）得， 即，所以， 由权方和不等式知， 当且仅当，即，时取等号， 所以. 【巩固练习3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）存在正数使得不等式成立，则的最大值是 . 【答案】3 【分析】运用柯西不等式计算即可. 【解析】解:由柯西不等式可知 由能成立. 【巩固练习4】（多选）（24-25高一上·新疆·期中）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】将不等式变为，利用柯西不等式和基本不等式可求得的最小值，进而构造不等式求得的取值范围，从而得到结果. 【解析】由得：， （当且仅当，即时取等号）， （当且仅当时取等号）， 即当时，， ，解得：，可能的取值为. 【巩固练习5】我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立. (1)若，求的最小值； (2)求的最大值； (3)若，，不等式恒成立，求m的取值范围. 【分析】（1）构造应用柯西不等式计算即可； （2）构造应用柯西不等式计算即可； （3）先化简得出，再构造应用柯西不等式结合基本不等式计算即可求解； 【解析】（1）因为柯西不等式可得， 又因为， 所以，即得. 当且仅当取最小值3； （2）因为柯西不等式可得， 又因为， 所以， 即得，化简得， 当且仅当取最大值9； （3）因为， 所以，所以， 所以， 因为柯西不等式可得， 又因为，，所以，令， 所以， 即得，当且仅当取最小值24； 所以m的取值范围是. 【题型13】万能“k”法 解题技巧 设k法的三个步骤： ⑴问谁设谁：求谁，谁就是k； ⑵代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）； ⑶确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值 【例题1】已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 【巩固练习1】（重庆巴蜀中学校考）已知实数，满足，则的最小值为________ 【答案】 【详解】令，代入，得， 当且仅当时，成立，即的最小值为 【巩固练习2】已知正实数x、y满足则xy的取值范围是________ 【答案】 【解析】设， ， 整理得 是正实数，∴△≥0， 即， 整理得， 解得或m≤0(舍去) 模块三 【课后作业】 1． （24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 2． （24-25高一下·湖北恩施·期末）记一个长方形的长为，宽为且．若，则该长方形周长的最小值为 ． 【答案】34 【分析】方法1：根据等式可用含的式子将表示出来，然后根据的范围确定的可能取值，从而确定长方形周长的最小值；方法2：将等式变换成因式分解的形式，然后根据的范围确定的可能取值，从而确定长方形周长的最小值；方法3：将等式变换成基本不等式的形式，然后利用基本不等式的性质求出长方形周长的最小值. 【详解】法1：由得，，所以． 又因为，即，，从而， 所以，从而该长方形的周长最小值为． 法2：得，，因为，所以，后面方法同上． 法3：， 当且仅当取得“=”号，此时，故该长方形周长的最小值为34． 3． （24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【详解】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：，所以实数t的取值范围是 4． （24-25高一上·山东聊城·期末）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用恒成立等价条件转化，再利用不等式即可求得结果 【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号，故. 5． （23-24高一上·四川广安·期中）（多选）在下列函数中，最小值是2的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于AB，均可由基本不等式判断，但注意使用条件、取等条件是否成立；对于C，直接由复合函数的值域即可判断；对于D，直接由二次函数的性质即可判断. 【详解】对于A选项，当时,，当且仅当时等号成立； 但当时，，当且仅当时等号成立； 对于B选项，，当且仅当时等号成立； 对于C选项，，当且仅当时等号成立； 对于D选项，，当且仅当时等号成立． 6． （多选）已知，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】借助基本不等式可求积的最大值，即可得A；借助基本不等式“1”的妙用可得B；结合A中所得可得C；借助作差法，结合所给条件可得D. 【详解】对A：，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对B：， 当且仅当，即，时，等号成立，故B正确； 对C：由A知，，故， 即，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对D：由，故， 则， 由，，故，则， 即，故，故D正确. 7． （24-25高一下·湖南·开学考试）已知，且恒成立，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据条件，得到，又，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，则，又恒成立， 即恒成立， 又， 当且仅当，即时取等号，所以 8． （多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据，结合基本不等式计算即可判断C；根据，基本不等式计算即可判断D. 【详解】A：由，得， 即，得， 解得，当且仅当时等号成立，故A错误； B：由选项A的分析知，故B正确； C：由，得，即， 所以， 得，当且仅当时等号成立，故C正确； D：由，得，即， 所以，得， 当且仅当时等号成立，故D错误. 9． 两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将问题化为，利用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，然后解一元二次不等式求参数范围. 【详解】由不等式恒成立，只需， 又，则， 当且仅当时等号成立，故， 所以，故实数的取值范围是. 10． 若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，将，变形可得，利用“”的代换，应用基本不等式可求得的最小值为4，根据不等式有解可得，解得的取值范围即可． 【详解】因为两个正实数x，y满足， 两边同除以得， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为4. 若不等式有解，则， 解得或， 所以实数的取值范围是． 11． 设，为正实数，若，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由，令，，即可得到， 则，利用基本不等式计算可得． 【详解】解：因为，为正实数，且， 令，，则，则， 当且仅当，即，时取等号．故选：D． 12． （多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接、、，过点作的垂线，垂足为.则该图形可以完成的所有的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先明确、的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明AC选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断BD选项. 【详解】由题意可知，， 因为，， 则，所以， ，即， 所以； 在中，，即 当时，、点重合， ，此时， 则，所以A正确； 对于C选项，在中，，则， 又因为，所以，， 可得，即，所以， 由于，所以， 当时，，此时， 综上，，所以C正确； 由于在该图中没有相应的线段与之对应，故BD中的不等式无法通过这种几何方法来证明， 故选：AC. 13． 原油作为“工业血液”､“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是（    ） A．第一种方案更划算 B．第二种方案更划算 C．两种方案一样 D．无法确定 【答案】B 【解析】分别求出两种方案的平均油价，结合基本不等式作出比较即可得出结论． 【详解】设小李这两次加油的油价分别为元升､元升，则： 方案一：两次加油平均价格为， 方案二：两次加油平均价格为， 故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算． 14． （24-25高一上·江苏镇江·期末）如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 (1)设，试用表示AP，并求的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)m时，取得最小值1200. 【分析】（1）利用三角形相似表示出，再由不等关系即可解得的取值范围； （2）求得面积的表达式，再利用基本不等式可求得当m时，取得最小值1200. 【详解】（1）依题意可得， 所以，即，可得； 因此， 又要求AP的长不小于40m且不大于90m，即， 解得， 即； （2）易知， 所以 由基本不等式可得； 当且仅当时，即时，等号成立， 此时取得最小值1200； 因此m时，取得最小值，最小值为1200. 15． （24-25高一上·江苏苏州·期末）已知、均为正实数，. (1)若，求的最小值：(2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，由已知等式变形得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）当时，由已知等式变形得出，再利用基本不等式的最小值. 【详解】（1）当时，，则. 因为、均为正实数， 所以， 当且仅当时，即当，时取等号， 所以的最小值为. （2）当时，，可得，则， 所以，因为，，所以，进而得， 所以，. 所以， 当且仅当时，即当，时取等号， 所以的最小值为. 16． （23-24高一上·江苏盐城·期中）天气转冷，某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本18万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润=销售收入-投入成本-促销费用） (1)求出的值，并将表示为的函数； (2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 【答案】(1)4； (2)7万元，125万元 【分析】（1）根据时，，即可求得k的值；根据利润=销售收入-投入成本-促销费用即可求得表示为的函数关系式； （2）结合（1）的结果，化简变形，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知时，，故， 则， 故， 即； （2）， 当且仅当，即时等号成立， 故促销费用为7万元时，该产品的利润最大，此时最大利润为125万元. 17． 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】D 【分析】根据权方和不等式，直接计算即可. 【详解】因为，，，，则，当且仅当时等号成立， 又，即，于是得， 当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为49． 18． 柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】利用柯西不等式求出即可. 【详解】由题干中柯西不等式可得， 所以的最大值为，当且仅当时取等号. 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$1 专题 2- 3 基 不 (2)：中 题 理与进 训练 模块一 中档题梳理 【题 1】 断不 能成立 【题 2】基 不 与几 图 结 【题 3】基 不 的实 用问题 【题 4】基 不 成立问题 【题 5】基 不 能成立问题 【题 6】 元法 值 【题 7】因 解 【题 8】 的 凑 ( 方 为定值 ) 【题 9】 ( 齐次 ) 【题 10】运用基 不 证 不 模块二 技巧进阶 【题 11】 方 不 【题 12】二维柯西不 【题 13】万能“k”法 模块三 【课后作业】 模块一 中档题梳理 【题型 1】判断不等式是否能成立 (1)基 不 的 提 “一正”“二定”“三相 ”；其中“一正”指正数，“二定”指 值时 或积 为定值，“三相 ”指满足 号成立的 件． (2)连续 用不 要注 取 一致． 1 (多 )下 函数中， 为 2的 ( ) A. B. C. D. 2 2 (多 )已知 x> 0， y> 0，且 x+ 2y= 1，下 结论中正 的 ( ) A. xy的 大 1 8 B. 2x+ 4y的 2 2 C. 1 x + 2 y 的 8 D. x2+ 4y2的 1 2 1 (多 )下 题中， 题的 ( ) A. ，都 x2- x≥ x- 1 B. ， x+ 4 x-1 = 6 C. 任意 零实数 ，都 b a + a b ≥ 2 D. 若 x∈ 2,+∞ ， x2+1+ 4 x2+1 的 为 4 2 (多 )若实数m，n> 0，满足 2m+n= 1，以下 项中正 的 ( ) A. mn的 大 为 1 8 B. 1 m + 1 n 的 为 4 2 C. 2 m+1 + 9 n+2 的 为 5 D. 4m 2+n2 为 1 2 3 3 (多 )下 说法正 的 ( ) A. x+ 1 x (x> 0)的 2 B. x2+5 x2+4 的 2 C. x x2+x+1 (x< 0)的 -1 D. 若 x> 0， 2- 3x- 4 x 的 大 2- 4 3 4 (多 )已知 a> 0 , b> 0，且 a+ b= 1， ( ) A. ab的 1 4 B. 2a2+ b2 为 2 3 C. a+ b的 大 2 D. 1 a + 2a b 的 1+ 2 【题型 2】基本不等式与几何图形结合 基 不 链的无字证 ： 2 1 a + 1 b ≤ ab≤ a+b 2 ≤ a 2+b2 2 如图， C 以AB为直 的半 上一点， CD⊥AB，DE⊥ CO，记AD= a， BD= b， CE<CD<CO 4 (1)证 ： a+b 2 ≥ ab 由 定理可 ： CD= ab(几 数)，OC= a+b 2 ( 数)， 然OC≥CD，即 a+b 2 ≥ ab (2)证 ： 2 1 a + 1 b ≤ a+b 2 由三角函数可 ： cos∠OCD= CD CO = CE CD ⇒CE= CD 2 CO = ab a+b 2 = 2 1 a + 1 b ， 然CE≤CD (3)对于 a+b 2 ≤ a 2+b2 2 ，若 过以上图 解 些复 ，可以结 完全 方公 证 更方 1 设 a> 0， b> 0，称 2ab a+b 为 a、 b的 数．如图，C为线段AB上的点，且AC= a， CB= b，O为AB的中点，以AB为直 半 ．过点 C AB的 线交半 于D，连 OD、AD、BD．过点C OD的 线， 足为E． 图中线段OD的长 a、 b的算 数，线段 的长 a、 b的几 数． 2 数学 题的证 方 多种． 用图 证 一种方 ． 如图所示图 ， 等 直 角三角 △ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上 于顶点的一个 点，设 AD= a，BD= b，用该图 能证 的不等 为 ()． A. a+b 2 ≥ ab a>0,b>0  B. 2ab a+b ≤ ab a>0,b>0  C. a+b 2 ≤ a 2+b2 2 a>0,b>0  D. a2+ b2≥ 2 ab a>0,b>0  5 1 《几 原 》中的几 代数法 (用几 方法 代数问题)成了 世西方数学家处理问题 的 要 ， 过这一方法， 多代数公理、定理都能够 过图 实 证 ，因此这种方法 也被称之为“无字证 ”．如图所示，AB 半 O的直 ，点C AB上一点 (不 于A， B，O)，点D 半 O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于点E，设AC= a，BC= b， 该图 可以完成的“无字证 ”为 ( ) A. ab≤ a+b 2 (a> 0， b> 0) B. a+b 2 < 2ab a+b (a> 0， b> 0， a≠ b) C. 2ab a+b ≤ ab (a> 0， b> 0) D. 2ab a+b < ab< a+b 2 (a> 0， b> 0， a≠ b) 2 如图， 一矩 ABCD扩建成一个更大的矩 AMPN，要 点B AM上， 点D AN上，且对角线MN过点C，已知AB= 4，AD= 3， 么 BM= 时，矩 的AMPN 积 ， 积为 ． 3 (24- 25高一上· 北· 中)用篱笆 一 的 围一个 积为 300 3m2的等 菜园，如图所示，用 的一部 下 AD，用篱笆 两 及上 ，且 与 成 60°， 等 的 长为多 时，所用篱笆的长 ? 出所用篱笆长 的 . 6 4 (多 )《几 原 》中的几 代数法 (以几 方法 代数问题)成为了 世数学家处 理问题的 要 . 过这一原理， 多代数的公理或定理都能够 过图 实 证 .如图， AB上取一点C， AC= a，BC= b，过点C CD⊥AB交半 于点D，连 OD. CE⊥OD交OD于点E.下 不能由CD≥DE直 证 的不等 为 ( ) A. ab≤ a+b 2 (a> 0 , b> 0) B. ab≥ 2ab a+b (a> 0 , b> 0) C. a2+ b2≥ 2ab(a> 0 , b> 0) D. a+b 2 ≤ a 2+b2 2 (a> 0 , b> 0) 5 (23- 24高一上· 西南 · 中)图 1的 图 由我国三国时 的数学家赵爽提出的，故 称赵爽 图， 用这个 图，我们可以给基 不等 一个 的几 解 ．数学 课 上， 学们对赵爽 图从边长、 长、 积、角 等方 进行了 ， 出了 多 的结 论．如图 2，某 组 赵爽 图中的直角△ABC的直角边AC延长交另一个直角三角 的斜边为点D，记△ABC的 长为 l， 积为S， l S AC ⋅AD 的 大 为 ( ) A. 2 2 3 B. 2 C. 2 3 3 D. 2+1 2 7 【题型 3】基本不等式的实际应用问题 不 的 用题 以函数为背 ，多 解决现实生 、生产中的 化问题， 解题中主要 及不 的解法、基 不 值， 建数学模 关 ，重点培养数学建模、数学运 养． 调 数≤几 数≤ 数≤ 方 数： 若 a， b∈R+， 21 a + 1 b ≤ ab≤ a+b 2 ≤ a 2+b2 2 ( 且仅 a= b时取“=”) 其中， 2 1 a + 1 b = 2ab a+b 为 a , b的调 值反 了 1 (24-25高一上· 东 州· )某工厂要建 一个长方 无盖贮 ，其容积为 4800m3，深为 3m．如 每 方 的 价为 100元， 每 方 的 价为 80元， 么 贮 的 总 价 ( ) A. 160000元 B. 179200元 C. 198400元 D. 297600元 2 两次购买 一种物 ，不考虑物 价 的升 ( 设第一次价 为 x1，第二次价 为 x2， x1 ≠ x2)可以用两种不 的策略，第一种 每次购买这种物 数 一定;第二种 每次购买这种 物 所 的钱数一定，哪种购物方 比较经 ( ) A. 第一种 B. 第二种 C. 都一 D. 不 定 8 3 (24-25高一上· 宁波· )设矩 ABCD(AB>AD)的 长为 12，把△ABC AC △ADC折叠，AB折过去 交DC于点P， △ADP的 大 积 . 4 (2024·高一· 东深 · )某公司为了提高生产效 ，决定投入 160万元买一套生产设 备，预计 用该设备 ， n n∈N *  的支出成 为 10n2-2n 万元，每 的销 收入 98 万元. 用若 对该设备处理的方 两种，方 一： 总盈 额达 大 时，该设 备以 20万元的价 处理；方 二： 盈 额达 大 时，该设备以 30万元的价 处理.哪种方 较为 理？ 说 理由.(注： 盈 额= 总盈 额 ) 1 从甲 乙 的 为 a，从乙 甲 的 为 b(a> b> 0)，他 返 甲乙两 的 为 v， ( ) A. v= a+b 2 B. v= ab C. ab< v< a+b 2 D. b< v< ab 9 2 如图，某灯光设计公司生产一种长方 线路 ，长方 ABCD(AB>AD)的 长为 4， AC折叠 点B 点B ，AB交DC于点P． 发 △ADP的 积 大时用电 ， 用电 时，AB的长 为 ( ) A. 5 4 B. 2 C. 3 2 D. 3 3 (23 - 24高一上· 连云 · 考)某工厂建 一个无盖的长方 贮 ，其容积为 4800m3，深 为 3m．如 每 方 的 价为 100元， 每 方 的 价为 80元，怎 设计 能 总 价 ？ 总 价为多 元？ 4 某 决定 学 门口 用一 原 ，建 一间 高为 3 ， 为 24 方 ，且 背 的长方 状的 园警 室，由于此警 室的 背 ，无 建 费用，工 给 出的报价为： 子 新建 的报价为每 方 400元，左、右两 新建 报价为每 方 300元， 顶 以及其他报价共计 14400元，设 子的左，右两 的长 为 x 2≤x≤6 ，房 的 价为 y. (1)写出 y关于 x的表达式. (2)当左、右两面墙的长 x为多少时，工程队报价最 ？ 求出最 报价. 10 【题型 4】基本不等式恒成立问题 ∀ x∈M， f(x)≥ a， 价于 f(x)min≥ a，∀ x∈M， f(x)≤ a， 价于 f(x)max≤ a 参变 离法：如 能够 参数 离出 ,建立起 的参数 变量 x的关系, 么 a> y 成立⇔ a> ymax ; a< y 成立⇔ a< ymin 1 (24-25高一上· 南 · )已知 x> 0，不等 x2+mx+ 1> 0恒成 ， 实数m的 取 围 . 2 (24-25高一上·四川达州· 中)已知 a> 0， b> 0，若不等 m a+b ≤ 4a+9b ab 恒成 ， 实数m的 大 为 ( ) A. 64 B. 25 C. 13 D. 12 3 (24-25高一上· 南 · 中)已知 a> 0 , b> 0，且 a+ 2b= 2，若 3t2- t≤ b a + 2 b 恒成 ， 实数 t的取 围 . 1 若对于任意 x∈ 1,+∞ ，关于 x的不等 x+ 4 x-1 - a> 0恒成 ， 实数 a的取 围 . 11 2 若不等 1 x + 1 1-4x -m≥ 0对 x∈ 0, 1 4 恒成 ， 实数m的 大 为 ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3 已知 x> 0 , y> 0，且 1 x+2 + 1 y = 2 7 ，若 x+ 2+ y>m2+ 5m恒成 ， 实数m的取 围 ( ) A. -4,7  B. -2,7  C. -4,2  D. -7,2  4 (24- 25高一上·安 亳州· 段练习)对一 x， y> 0，都 5x+ 12 xy≤ a x+y ， 实数 a的 ( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 3个答 都不对 【题型 5】基本不等式能成立问题 能成立问题又称 解问题 ∃ x∈M， f(x)≥ a， 价于 f(x)max≥ a，∃ x∈M， f(x)≤ a， 价于 f(x)min≤ a 1 若正实数 x , y满足 x+ y= 1，且不等 4 x+1 + 1 y <m2+ 3 2 m 解， 实数m的取 围 ． 12 1 若两个正实数 满足 x+ 2y= xy，且存 这 的 不等 2x+ y<m2+ 8m 解， 实数 的取 围 ( ) A. -1,9  B. -9,1  C. D. 2 若存 x∈ 1,3 ， 不等 x2- 2ax+ a+ 2≤ 0成 ， a的取 围为 . 【题型 6】消元法求最值 元法： 所 值的代数 中的变量比较多时， 考虑 用已知 件 去部 变量 ，凑出 “ 为 数”或“积为 数”的 ， 用基 不 值. 1 (24-25高一下· · 学考试)已知 x> 0， y> 0， x+ 2 y = 1， 2 x + xy- 2 xy 的 为 ( ) A. 17 3 B. 5 C. 2+ 2 2 D. 2+ 2 2 已知 x> 0 , y> 0， xy+ 2x- y= 10， x+ y的 为 ． 13 3 (24-25高一上· 东深 · ) (多 )已知 a> 0 , b> 0，且 b= 1- 1 a ， ( ) A. b a 的 大 为 1 4 B. 1 a2 + b2的 为 1 4 C. a 2 - b的 为 2- 1 D. a+ 1 b 的 为 4 1 若正数 x , y满足 x2- 2xy+ 2= 0， x+ y的 ( ) A. 6 B. 6 2 C. 2 2 D. 2 2 若 a> 0 , b> 0 , ab= 2， a+4b+2b 3 b2+1 的 为 4 ． 3 (多 )已知 x> 0 , y> 0，且 x+ y+ xy- 3= 0， ( ) A. xy的取 围 1,9  B. x+ y的取 围 2,3  C. x+ 4y的 3 D. x+ 2y的 4 2- 3 E. x+ 4y> 3 14 4 (24- 25高一下· 南 · )已知 x> 1 , y> 2且 xy- 2x- y= 0， x+ y的 为 ( ) A. 4 2 B. 2 2+ 3 C. 4 D. 6 【题型 7】因式分解型 ax+ by+ abxy这类结 的 子，可以考虑因 解 凑成 ax+1  by+1 的结 ，再结 整 想 值 1 (2025· 东·二模)若 x> 0 , y> 0，且 x+ y= xy， 1 x-1 + 2 y-1 的 为 ( ) A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 9 2 2 (24-25高一下· 南 ) (多 )已知 x , y 为正数，且 x+ 4y= xy， 下 项正 的 ( ) A. xy≥ 16 B. 4x+ y≥ 25 C. 1 x-4 + 1 y-1 ≥ 1 D. x+ y≥ 10 3 (2025·深 中学 段 )若 a、 b、 c> 0且 a(a+ b+ c) + bc= 4- 2 3， 2a+ b+ c的 为 ( ) A. 3- 1 B. 3+ 1 C. 2 3+ 2 D. 2 3- 2 15 1 ( 巴蜀中学 考)已知 x> 0， y> 0，且 xy+ x- 2y= 4， 2x+ y的 ( ) A. 4 B. 5 C. 7 D. 9 2 (24- 25高一下· 州· 段练习)已知正实数 x， y满足 1 x - 1 y = 1， x x-1 + 4y y+1 的 大 为 ． 3 已知 a , b为正实数，且 a+ b+ ab= 3， 2a+ b的 为 ( ) A. 4 2- 3 B. 3 C. 2 2 D. 4 4 (23- 24高一上·福建 田· 中)已知 x> 2， y> 1， xy= x+ 2y+ 2， x+ y的 ( ) A. 1 B. 4 C. 7 D. 3+ 17 16 5 (23- 24高一上·辽宁· 中)若 x> 0， y> 0且满足 x+ y= xy， 2x x-1 + 4y y-1 的 为 ( ) A. 6+ 2 6 B. 4+ 6 2 C. 2+ 4 6 D. 6+ 4 2 【题型 8】含有根式的配凑 (根式平方和为定值型) 对于ax2+ by2=n， kx 1+y2 大值 可以设 c= 1+y2， 好系数 的 c2与x2可以凑出定值 1 已知 a， b 正实数，且 2a2+ 3b2= 10， a 2+b2的 大 ． 1 已知 x , y为正实数，且 x2+ y 2 2 = 1， x 1+y2的 大 2 若 x> 0， y> 0，且 2x2+ y 2 3 = 8， x 6+2y2的 大 为 ． 17 【题型 9】同除型 (构造齐次式) 齐次化 多元的问题， 过 子、 母 时 以 一个整 ，然 转化为运用基 不 进行 解． 1 设正实数 x、 y、 z满足 4x2- 3xy+ y2- z= 0， xy z 的 大 为 ( ) A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 1 已知正实数 x， y满足 5x2+ 4xy- y2= 1， 12x2+ 8xy- y2的 为 ． 【题型 10】运用基本不等式证明不等式 三元基 不 ： a+b+c 3 ≥ 3 abc (a , b , c 为正实数)， 且仅 a= b= c时 号成立． 柯西不 ：若 a， b， c， d∈R， (a2+ b2) (c2+ d2)≥ (ac+ bd)2( 且仅 a c = b d ，即 ad = bc时取 号) 1 已知 a> 0 , b> 0 , a+ b= 1， 证: (1) 1 a + 1 b ≥ 4 ; (2) 1+ 1 a  1+ 2 b ≥ 8+ 4 3 . 18 2 (24-25高一上·四川 · 段练习)已知 a> 0， b> 0， c> 0，且 a+ b+ c= 1，证 ： (1) a 2 c + b 2 a + c 2 b ≥ 1； (2) (1+ a) (1+ b) (1+ c)≥ 8(1- a) (1- b) (1- c). 1 设 a， b， c 为正数， 证： a+b+c  1 a+b + 1 b+c + 1 a+c ≥ 9 2 ． 2 (23- 24高一上·安 淮南· 中)已知 a , b , c 正实数. (1)证 ： a+ b+ c≥ ab+ bc+ ac； (2)若 a+ b+ c= 2，证 ： 1 a + 1 b + 1 c ≥ 9 2 . (3)已知 a , b 正数，且 a+ b= 1，求证： (ax+ by) (bx+ ay)≥ xy． 19 模块二 模块二 技巧进阶 【题型 11】权方和不等式 什么 方 不 ？ 对任 的a , b , x , y∈R+， a m+1 xm + b m+1 ym ≥ a+b m+1 x+y m ， 且仅 a x = b y 取 号 1 (24-25高一上· 州· )若正实数 x , y满足： x + y = 1 8 x2 + 1 y2 . 2 已知 a， b， c为正实数，且满足 a + 4b + 9c = 4， 1 a+1 + 1 b+1 + 1 c+1 的 为 . 1 已知正数 x， y满足 x+ y= 6，若不等 a≤ x 2 x+1 + y2 y+2 恒成 ， 实数 a的取 围 ． 20 2 已知 a， b， c为正实数，且满足 a+ 4b+ 9c= 4， 1 a+1 + 1 b+1 + 1 c+1 的 为 . 3 已知 a> b> 0，且满足EF= 3 ,AF⊥BF， a+ b的 为 . 4 y= x2-3x+2+ 2+3x-x2的 大 为 【题型 12】二维柯西不等式 高中 段主要 用二元柯西不 解决相 的问题， 二元柯西不 如下：对于任 的 a , b , c , d∈R，都 (ac+ bd)2≤(a2+ b2) (c2+ d2)， 对于上述 左边或右边的代数 为定值时， 能 用基 不 另一边代数 的 值， 用柯西不 解，可以直接一步 ，快 值. 而不 于三元的柯西不 的 用 以新定义题的 出现. 1 已知正实数 a , b满足: 2a+ b= 1 , a2+ 2b2+ 8 a + 1 4b 的 . 21 2 柯西不等 的三元 如下：对实数 a1 , a2 , a3 b1 , b2 , b3， a21+a22+a23  b21+b22+b23 ≥ a1b1+a2b2+a3b3 2， 且仅 a1 b1 = a2 b2 = a3 b3 等号成 ，已知 x2+ y2+ z2= 14，请 用柯西 不等 ， 出 x+ 2y+ 3z的 大 ( ) A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 1 (2025 南 高一上联考)已知正实数 x、 y、 z的 为 1， x 2 x+y + y2 y+z + z2 z+x 的 为 ． 2 (2022·全国甲卷·高考 题)已知 a， b， c 为正数，且 a2+ b2+ 4c2= 3，证 ： (1)a+ b+ 2c≤ 3； (2)若 b= 2c， 1 a + 1 c ≥ 3． 3 (24- 25高一上· 西西安· 段练习)存 正数 x , y , z , 不等 x + 3y + 5z≥ m x+y+z成 ， m的 大 . 22 4 (多 ) (24- 25高一上·新疆· 中)已知 x> 0， y> 0，且不等 x x+1 2+ y y+1 2- m2-2m xy≥ 0恒成 ， m的取 可能 ( ) A. - 4 B. - 2 C. 2 D. 4 5 我们 用完全 方公 出了一 要不等 ：∀ a , b∈R， a2+ b2≥ 2ab， 且仅 a= b时，等号成 .我们从不等 a2+ b2≥ 2ab出发，可以 一个 的不等 -- 柯西不等 ，柯西不等 的一 为：∀ a1 , a2 ,⋯, an , b1 , b2 ,⋯, bn∈R，且 b1b2⋯ bn≠ 0， (a21+ a22+⋯+a2n) (b21+ b22+⋯+b2n) ≥ (a1b1+ a2b2+⋯+anbn)2， 且仅 a1 b1 = a2 b2 =⋯= an bn 时，等号成 . (1)若 x+ 2y+ 2z= 3 3，求 x2+ y2+ z2的最小值； (2)求 x+ 3x-32+ 17-x的最大值； (3)若 a> 3， b> 3，不 式 a3+ b3- 3a2- 3b2≥m(a- 3) (b- 3)恒成立，求m的取值 围. 23 【题型 13】万能“k”法 设 k法的三个步骤： ⑴问谁设谁： 谁，谁 k； ⑵代入整理：整理成某个变量的一元二次方 (或不 )； ⑶ 认 值：方 解 (或不 用 值放 )，≥ 0 定 值 1 已知实数 x , y，满足 x2+ xy+ 3y2= 3， x+ y的 大 为 ( ) A. 3 11 11 B. 6 11 11 C. 3+1 3 D. 3+3 3 1 ( 巴蜀中学 考)已知实数 a， b满足 a2+ 4b2- ab= 1， a+ b的 为 2 已知正实数 x、 y满足 x+ 2 x + 3y+ 4 y = 10 xy的取 围 24 模块三 模块三 【课后作业】 1 (24- 25高一上·安 州· 中)已知 x> 0 , y> 0，且 x+ y= 5，若 4 x+1 + 1 y+2 ≥ 2m+ 1恒成 ， 实数m的取 围 ( ) A. -∞, 1 16  B. -∞, 2 5  C. -∞, 1 2  D. -∞,4  2 (24- 25高一下· 北恩施· )记一个长方 的长为 a，宽为 b , a> b且 a , b∈N ∗． 若 a+ b= ab 4 - 1， 该长方 长的 为 ． 3 (24- 25高一上· 东深 · )已知 a> 0 , b> 0，且 2a+ b= 2，若 t2- 3t≤ a b + 2 a 恒成 ， 实数 t的取 围 ． 4 (24- 25高一上· 东聊 · )已知 0< a< 1，若 b a + b 1-a ≥ 1恒成 ， 实数 b 的取 围为 ( ) A. 1 4 ,+∞  B. 12 ,+∞  C. 0, 1 2  D. 0,4  25 5 (23- 24高一上·四川 安· 中) (多 ) 下 函数中， 2的 ()． A. y= x+ 1 x B. y= x2+1+ 1 x2+1 C. y= x 2+2 x2+1 D. y= x2- 2x+ 3 6 (多 )已知 a> 0， b> 0，且 a+ b= 1， 下 不等 成 的 ( ) A. ab≥ 1 4 B. 4 a + 9 b ≥ 25 C. a+ b≤ 2 D. a2< a+ 3b 7 (24- 25高一下· 南· 学考试)已知 a> b> c , n∈N *，且 1 a-b + 1 b-c ≥ n a-c 恒 成 ， n的 大 为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8 (多 )已知实数 x , y满足 x2+ 4y2- 2xy= 1， ( ) A. x+ 2y≤ 1 B. x+ 2y≥-2 C. x2+ 4y2≤ 2 D. x2+ 4y2≥ 1 26 9 两个正实数 x , y满足 2x+ y= 1，若不等 1 x + 2 y ≥ a2- 2a恒成 ， 实数 a的取 围 . 10 若两个正实数 x , y满足 4x+ y= xy，且存 这 的 x , y 不等 x+ y 4 <m2+ 3m 解， 实数m的取 围 . 11 设 x， y为正实数，若 2x+ y+ 2xy= 5 4 ， 2x+ y的 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 27 12 (多 )《几 原 》中的几 代数法 以几 方法 代数问题，这种方法 数学 家处理问题的 要 ， 过这一原理， 多的代数公理或定理都能够 过图 实 证 ，也称之 为无字证 . 图 如图所示，C为线段AB上的点，且AC= a，BC= b，O为AB的中点，以 AB为直 半 ，过点C AB的 线交半 于D，连 OD、AD、BD，过点C OD的 线， 足为E. 该图 可以完成的所 的无字证 为 ( ) A. a+b 2 ≥ ab a>0,b>0  B. a2+ b2> 3ab a>0,b>0  C. ab≥ 2 1 a + 1 b a>0,b>0  D. a 2+b2 2 ≥ a+b 2 a>0,b>0  13 原 为“工业血 ”、“黑 黄金”，其价 的波 牵 整个化工产业甚至世 界经 ． 某段时间内共 两次，这段时间燃 价 升 ， 两种 方 ：第 一种方 每次 40升，第二种方 每次 200元， 下 说法正 的 ( ) A. 第一种方 更 算 B. 第二种方 更 算 C. 两种方 一 D. 无法 定 14 (24- 25高一上· 镇 · )如图，互相 直的两 路AM，AN旁 一长方 ABCD，其中AB= 30m ,AD= 20m. 欲经过点C修一 直路 l， l交 路AM，AN 为点P，Q.计 准备 长方 ABCD扩建成一个更大的三角 APQ.要 AP的长不 于 40m且不大于 90m.记三角 园APQ的 积为Sm2 (1)设DQ= xm，试用 x表示AP， x的取 围； (2) DQ的长 多 时，S取 ？ 多 ？ 28 15 (24- 25高一上· 州· )已知 a、 b 为正实数， ab= a+ 2b+ t t∈R . (1)若 t= 0， a+ b的 ： (2)若 t= 6， 1 a-2 + 4 b-1 的 . 16 (23- 24高一上· 盐 · 中)天 转冷，某 手宝厂 为扩大销 ，拟进行 销 . ， 该产 的销 a万件与投入的 销费用 x万元 x≥0 满足关系 a= 8- k x+1 (k为 数)，而如 不 销 ，该产 的销 为 4万件.已知该产 每一万件 要投 入成 18万元，厂家 每件产 的销 价 定为 34+ 12 a 元，设该产 的 为 y万元.(注： =销 收入-投入成 - 销费用) (1) 出 k的 ， y表示为 x的函数； (2) 销费用为多 万元时，该产 的 大？此时 大 为多 ？ 17 方 不等 为基 不等 的一个变化， 二元变 时 泛的 用， 其表述如下：设正数 a， b， x， y，满足 a 2 x + b 2 y ≥ a+b 2 x+y ， 且仅 a x = b y 时，等号成 ． 函数 f x = 3 x + 16 1-3x 0<x< 1 3 的 为 ( ) A. 16 B. 25 C. 36 D. 49 18 柯西不等 由大数学家柯西 (Cauchy) 数学 中的“ 数”问题时 的.而 两 数学家Buniakowsky Schwarz 此独 积 学中 而 之，才能 这 一不等 用 近乎完 的 步.该不等 的三元 如下：对实数 a1 , a2 , a3 b1 , b2 , b3， a21+a22+a23  b21+b22+b23 ≥ a1b1+a2b2+a3b3 2等号成 且仅 a1 b1 = a2 b2 = a3 b3 已知 x2+ y2+ z2= 14，请 用柯西不等 ， 出 x+ 2y+ 3z的 大 ( ) A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版） 专题2-3 基本不等式(2)：中档题梳理与进阶训练 总览 题型·解读 模块一 中档题梳理 【题型1】判断不等式是否能成立 【题型2】基本不等式与几何图形结合 【题型3】基本不等式的实际应用问题 【题型4】基本不等式恒成立问题 【题型5】基本不等式能成立问题 【题型6】消元法求最值 【题型7】因式分解型 【题型8】含有根式的配凑（根式平方和为定值型） 【题型9】同除型（构造齐次式） 【题型10】运用基本不等式证明不等式 模块二 技巧进阶 【题型11】权方和不等式 【题型12】二维柯西不等式 【题型13】万能“k”法 模块三 【课后作业】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 中档题梳理 【题型1】判断不等式是否能成立 解题技巧 （1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件． （2）连续使用不等式要注意取得一致． 【例题1】（多选）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（多选）已知，，且，下列结论中正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是8 D．的最小值是 【巩固练习1】（多选）下列命题中，真命题的是（    ） A．，都有 B．，使得 C．任意非零实数，都有 D．若，则的最小值为4 【巩固练习2】（多选）若实数m，，满足，以下选项中正确的有（    ） A．mn的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．最小值为 【巩固练习3】（多选）下列说法正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最小值是2 C．的最小值是 D．若，则的最大值是 【巩固练习4】（多选）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．最小值为 C．的最大值是 D．的最小值是 【题型2】基本不等式与几何图形结合 解题技巧 基本不等式链的无字证明： 如图，在C是以AB为直径的半圆上一点，CD⊥AB，DE⊥CO，记AD＝a，BD＝b，则有 （1）证明： 由射影定理可得：（几何平均数），（算术平均数），显然，即 （2）证明： 由三角函数可得：，显然 （3）对于，若通过以上图形来解会有些复杂，可以结合完全平方公式来证明会更方便 【例题1】设，，称为a、b的调和平均数．如图，C为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点C作的垂线交半圆于D，连接、、．过点C作的垂线，垂足为E．则图中线段的长度是a、b的算术平均数，线段 的长度是a、b的几何平均数．      【例题2】数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【巩固练习1】《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，因此这种方法也被称之为“无字证明”．如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于点E，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为(　　) A．(a＞0，b＞0) B．(a＞0，b＞0，a≠b) C．(a＞0，b＞0) D．(a＞0，b＞0，a≠b) 【巩固练习2】如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4，AD＝3，那么当BM＝ 时，矩形花坛的AMPN面积最小，最小面积为 ． 【巩固练习3】（24-25高一上·湖北·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小?并求出所用篱笆长度的最小值.    【巩固练习4】（多选）几何原本中的几何代数法以几何方法研究代数问题成为了后世数学家处理问题的重要依据通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明如图，在AB上取一点C，使得，，过点C作交半圆周于点D，连接作交OD于点下面不能由直接证明的不等式为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】（23-24高一上·江西南昌·期中）图1的弦图是由我国三国时期的数学家赵爽提出的，故称赵爽弦图，利用这个弦图，我们可以给基本不等式一个非常形象的几何解释．数学探究课上，同学们对赵爽弦图从边长、周长、面积、角度等方面进行了探究，得出了很多优美的结论．如图2，某探究小组将赵爽弦图中的直角的直角边延长交另一个直角三角形的斜边为点，记的周长为，面积为，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【题型3】基本不等式的实际应用问题 解题技巧 不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养． 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数： 若，则（当且仅当时取“=”） 其中，为的调和平均值反应了平均速度 【例题1】（24-25高一上·广东广州·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（   ） A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元 【例题2】两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（    ） A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定 【例题3】（24-25高一上·浙江宁波·期末）设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积是 . 【例题4】（2024·高一·广东深圳·期末）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.哪种方案较为合理？并说明理由.（注：年平均盈利额） 【巩固练习1】小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高一上·江苏连云港·月考）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【巩固练习4】某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室，由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左､右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元，设屋子的左，右两面墙的长度均为米，房屋的造价为. (1)写出关于的表达式. (2)当左、右两面墙的长度为多少时，工程队报价最低？并求出最低报价. 【题型4】基本不等式恒成立问题 解题技巧 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 参变分离法：如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量的关系, 那么恒成立;恒成立 【例题1】（24-25高一上·河南漯河·期末）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【例题2】（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【例题3】（24-25高一上·湖南湘潭·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【巩固练习1】若对于任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【巩固练习2】若不等式对恒成立，则实数m的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【巩固练习3】已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 【题型5】基本不等式能成立问题 解题技巧 能成立问题又称有解问题 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 【例题1】若正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围 ． 【巩固练习1】若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 【题型6】消元法求最值 解题技巧 消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【例题1】（24-25高一下·浙江·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【例题2】已知，，则的最小值为 ． 【例题3】（24-25高一上·广东深圳·期末）(多选)已知，且，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 【巩固练习1】若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【巩固练习2】若，则的最小值为 4 ． 【巩固练习3】（多选）已知，且，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值是3 D．的最小值是 E． 【巩固练习4】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【题型7】因式分解型 解题技巧 含有这类结构的式子，可以考虑因式分解配凑成的结构，再结合整体思想来求最值 【例题1】（2025·广东·二模）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【例题2】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）(多选)已知均为正数，且，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【例题3】（2025·深圳中学阶段测）若a、b、c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为(　　) A．－1 B．＋1 C．2＋2 D．2－2 【巩固练习1】（重庆巴蜀中学校考）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】将式子变形为，即可利用不等式求解，或者将式子变形为，结合不等式即可求解． 【详解】方法一：因为，故，解得， 故，当且仅当 ，即，时等号成立． 方法二：因为，则，且，故， 故，当且仅当 ， 即，时等号成立．故选：C． 【巩固练习2】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最大值为 ． 【巩固练习3】已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（23-24高一上·福建莆田·期中）已知，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】（23-24高一上·辽宁·期中）若，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型8】含有根式的配凑（根式平方和为定值型） 解题技巧 对于，求最大值 可以设，配好系数后的与可以凑出定值 【例题1】已知a，b是正实数，且2a2＋3b2＝10，求的最大值． 【巩固练习1】已知为正实数，且，求的最大值 【巩固练习2】若x>0，y>0，且2x2＋＝8，则x的最大值为________． 【题型9】同除型（构造齐次式） 解题技巧 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 【例题1】设正实数、、满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知正实数x，y满足5x2＋4xy－y²＝1，12x2＋8xy－y2的最小值为________． 【题型10】运用基本不等式证明不等式 解题技巧 三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 柯西不等式：若，则（当且仅当，即时取等号） 【例题1】已知，求证: (1); (2). 【例题2】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【巩固练习1】设a，b，c均为正数，求证：． 【巩固练习2】（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知是正实数. (1)证明：； (2)若，证明：. (3)已知是正数，且，求证：． 模块二 技巧进阶 【题型11】权方和不等式 解题技巧 什么是权方和不等式？ 对任意的，恒有，当且仅当取等号 【例题1】（24-25高一上·浙江杭州·期末）若正实数满足：则最小值是 . 【例题2】已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 【巩固练习1】已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【巩固练习2】已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 【巩固练习3】已知，且满足，则的最小值为 . 【巩固练习4】的最大值为 【题型12】二维柯西不等式 解题技巧 高中阶段主要应用二元柯西不等式解决相应的问题， 二元柯西不等式如下：对于任意的，都有， 对于上述形式左边或右边的代数式为定值时，往往能利用基本不等式求得另一边代数式的最值，但利用柯西不等式求解，可以直接一步到位，快速求得最值. 而不少于三元的柯西不等式的应用往往以新定义题的形式出现. 【例题1】已知正实数满足:,求的最小值. 【例题2】柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【巩固练习1】（2025江苏南通高一上联考）已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为 ． 【巩固练习2】（2022·全国甲卷·高考真题）已知a，b，c均为正数，且，证明： (1)； (2)若，则． 【巩固练习3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）存在正数使得不等式成立，则的最大值是 . 【巩固练习4】（多选）（24-25高一上·新疆·期中）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立. (1)若，求的最小值； (2)求的最大值； (3)若，，不等式恒成立，求m的取值范围. 【题型13】万能“k”法 解题技巧 设k法的三个步骤： ⑴问谁设谁：求谁，谁就是k； ⑵代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）； ⑶确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值 【例题1】已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（重庆巴蜀中学校考）已知实数，满足，则的最小值为________ 【巩固练习2】已知正实数x、y满足则xy的取值范围是________ 模块三 【课后作业】 1． （24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2． （24-25高一下·湖北恩施·期末）记一个长方形的长为，宽为且．若，则该长方形周长的最小值为 ． 3． （24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 4． （24-25高一上·山东聊城·期末）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5． （23-24高一上·四川广安·期中）（多选）在下列函数中，最小值是2的是（    ）． A． B． C． D． 6． （多选）已知，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 7． （24-25高一下·湖南·开学考试）已知，且恒成立，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8． （多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 9． 两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 10． 若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是 . 11． 设，为正实数，若，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 12． （多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接、、，过点作的垂线，垂足为.则该图形可以完成的所有的无字证明为（    ） A． B． C． D． 13． 原油作为“工业血液”､“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是（    ） A．第一种方案更划算 B．第二种方案更划算 C．两种方案一样 D．无法确定 14． （24-25高一上·江苏镇江·期末）如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 (1)设，试用表示AP，并求的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 15． （24-25高一上·江苏苏州·期末）已知、均为正实数，. (1)若，求的最小值：(2)若，求的最小值. 16． （23-24高一上·江苏盐城·期中）天气转冷，某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本18万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润=销售收入-投入成本-促销费用） (1)求出的值，并将表示为的函数； (2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 17． 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 18． 柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$