第04讲 一次函数 （知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（沪科版2024）

第04讲 一次函数 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1一次函数的定义 2正比例函数的图象 3正比例函数的性质 4一次函数的图象 5一次函数的性质 6用待定系数法确定一次函数表达式 7建立一次函数模型解实际应用题 8一次函数与一元一次方程 9一次函数与一元一次不等式的关系 题型巩固 一、识别一次函数 二、根据一次函数的定义求参数 三、求一次函数自变量或函数值 四、正比例函数的定义 五、正比例函数的图象 六、正比例函数的性质 七、判断一次函数的图象 八、根据一次函数解析式判断其经过的象限 九、已知函数经过的象限求参数范围 十、一次函数图象与坐标轴的交点问题 十一、一次函数图象平移问题 十二、判断一次函数的增减性 十三、根据一次函数增减性求参数 十四、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 十五、比较一次函数值的大小 十六、一次函数的规律探究问题 十七、求一次函数解析式 十八、分配方案问题(一次函数的实际应用) 十九、最大利润问题(一次函数的实际应用) 二十、行程问题(一次函数的实际应用) 二十一、其他问题(一次函数的实际应用) 二十二、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 二十三、利用图象法解一元一次方程 分层强化 一、单选题（7） 二、填空题（4） 三、解答题（6） 知识梳理 知识点1一次函数的定义 1. 一次函数 一般地，形如 y＝kx＋b(k，b为常数，且k ≠ 0)的函数叫作一次函数. 特别解读 判断函数是否为一次函数的方法： 先看函数表达式是否是整式的形式，再将函数表达式进行恒等变形，然后看它是否符合一次函数表达式 y＝kx＋b的结构特征： (1)k≠ 0；(2)是关于自变量x 的一次式；(3)常数项b可以为任意实数. 2. 正比例函数 形如 y＝kx(k为常数，且k ≠ 0)的函数叫作正比例函数. 特别提醒： (1)正比例函数 y＝kx(k为常数，且k ≠ 0)是一次函数 y＝kx＋b(k，b为常数，且k ≠ 0)中b＝0的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. (2)若已知 y与x成正比例，则可设函数表达式为 y＝ kx(k为常数，且k ≠ 0)；若已知 y是x的一次函数，则可设函数表达式为  y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0). 知识点2正比例函数的图象 1. 正比例函数的图象 一般地，正比例函数 y＝kx(k是常数，且k ≠ 0)的图象是一条经过原点的直线，通常我们把正比例函数  y＝kx( k 为常数，且 k ≠ 0)的图象叫作直线  y＝kx. 注意：有些正比例函数图象因其自变量取值范围的限制，并不一定都是一条直线，可能是一条射线或一条线段或一些点. 2. 正比例函数图象的画法 因为两点确定一条直线，所以画正比例函数的图象只要先描出两点，再过这两点画直线即可 .一般地，过原点和点(1，k)的直线，即为正比例函数 y＝kx(k 为常数，且 k ≠ 0)的图象. 知识点3正比例函数的性质 正比例函数 y＝kx(k ≠ 0)的性质如下表 k的符号 k>0 k<0 图象 图象形状 过原点，从左向右是上升的直线(↗) 过原点，从左向右是下降的直线(↘) 经过的象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 |k| 越大， y 随 x 的增大而增大（或减小）的速度越快 知识点4一次函数的图象 1. 一次函数的图象 一般地，一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，且k ≠ 0)的图象与直线  y＝kx平行或重合，因此，我们把一次函数 y＝kx＋b(k，b是常数，且k ≠ 0)的图象叫作直线 y＝kx＋b. 2. 一次函数图象的画法 由于两点确定一条直线，所以一般选取直线y＝kx＋b与两坐标轴的交点，即(0，b)与(－，0)画直线. 3. 截距 直线y＝kx＋b与y轴相交于点(0，b)，b叫作直线 y＝kx＋b在y轴上的截距，简称截距，如图12.2-4 所示. 截距不是距离，不一定是非负数，也可以是负数. 4. 一次函数的图象与正比例函数的图象的关系 一次函数y＝kx＋b(k ≠ 0)的图象可以由直线y＝kx(k ≠ 0)沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位而得到. 知识点5一次函数的性质 一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，且k ≠ 0)的性质和k，b的符号的关系 一次函数 y＝kx＋b(k ≠ 0) k，b的 符号 k>0 k<0 b>0 b<0 b＝0 b>0 b<0 b＝0 图象 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 |k| 越大， y 随 x 的增大而增大(或减小)的速度越快 图象与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点 知识点6用待定系数法确定一次函数表达式 1. 待定系数法 先设所求的一次函数表达式为 y=kx+b( k，b 是待确定的系数)，再根据已知条件列出关于 k， b 的方程组，求得 k， b 的值 . 这种确定表达式中系数的方法，叫作待定系数法 . 2. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤 (1)设：设出含有待定系数的函数表达式； (2)代：把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程(组)； (3)解：解方程(组)，求出待定的系数； (4)回代：将求得的待定系数的值代回所设的表达式. 上面的步骤可表示如下： 知识点7建立一次函数模型解实际应用题 1. 分段函数 自变量在不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数. 2. 利用一次函数解决实际问题，关键是找到题目中的两个变量之间的数量关系，把实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的相关性质解决实际问题，常见类型如下： (1)题目中已知一次函数的表达式，可直接运用一次函数的性质求解； (2)题目中没有给出一次函数的表达式，而是通过语言、表格或图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的表达式，再利用一次函数的性质解决实际问题. 知识点8一次函数与一元一次方程 1.一次函数与一元一次方程的关系 2. 利用一次函数图象解一元一次方程的步骤 (1)转化：将一元一次方程转化为y=kx+b( k， b 为 常 数，且k ≠ 0)的形式； (2)画图象：画出一次函数y=kx+b的图象； (3)找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，交点的横坐标即为一元一次方程的解. 知识点9一次函数与一元一次不等式的关系 1. 一次函数与一元一次不等式的关系 数：一次函数y＝kx＋b(k， b 为常数，且 k ≠ 0)中，函数值y> 0时自变量x的取值范围是不等式kx＋b> 0的解集；函数值y< 0时自变量x的取值范围是不等式kx＋b< 0的解集. 形：一次函数y＝kx＋b(k， b 为常数，且 k ≠ 0)的图象中，位于x轴上方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx＋b> 0的解集；位于x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx＋b< 0的解集. 2. 拓展 直线＝x＋(≠0)与直线＝＋(≠0)的交点的横坐标即为方程＋＝＋的解；不等式＋>＋(或＋< ＋)的解集就是直线＝＋(≠0)在直线＝＋(≠0)上(或下)方部分对应的x的取值范围. 题型巩固 题型一、识别一次函数 1．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D．（是常数） 【答案】A 【知识点】识别一次函数 【分析】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握形如（，、是常数）的函数，叫做一次函数．利用一次函数定义进行解答即可． 【详解】解：A、是一次函数，故此选项符合题意； B、不是一次函数，故此选项不符合题意； C、中自变量的次数为2，不是一次函数，故此选项不符合题意； D、当时，（是常数）不是一次函数，故此选项不合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·安徽池州·期末）下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】识别一次函数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握形如，a、b是常数的函数叫做一次函数成为解题的关键． 根据一次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：一次函数有，，共3个． 故选B． 题型二、根据一次函数的定义求参数 3．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知函数是一次函数，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如，的函数叫做一次函数”得，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故选A． 4．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）若是关于的一次函数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义条件：自变量次数为1，且自变量系数不等于0，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知一次函数，求： (1)为何值时，随的增大而减小? (2)为何值时，该一次函数图像与轴的交点在轴下方? 【答案】(1) (2)，且 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数图像与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质．当，随的增大而增大，图像一定过第一、三象限；当，随的增大而减小，图像一定过第二、四象限；当，图像与轴的交点在轴上方；当，图像过原点；当，图像与轴的交点在轴下方． （1）根据随的增大而减小时，，即可求解； （2）根据题意可得：，且，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 时，随的增大而减小； （2）由题意得：，且， 解得：，且， ，且时，该一次函数图像与轴的交点在轴下方． 题型三、求一次函数自变量或函数值 6．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）点不在下列函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，把分别代入各个选项，看求得的函数值是否等于2即可． 【详解】解：A．当时，，∴点在函数图象上； B．当时，，∴点在函数图象上；     C．当时，，∴点在函数图象上；     D．当时，，∴点不在函数图象上； 故选D． 7．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）若点，在直线上，且，则 ． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查的是一次函数的定义．根据题意得到，将代入函数的解析式，求出函数值作差即可． 【详解】解：点，在直线上，且， ∴， ． 故答案为：． 题型四、正比例函数的定义 8．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）若函数是正比例函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟记正比例函数的定义（一般地，形如的函数，其中是常数，且，叫作正比例函数）是解题关键．根据正比例函数的定义可得且，即可求解． 【详解】解：函数是正比例函数， 且， 解得：， 故选：C． 9．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知与成正比例，且当时，．当时，则 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义和求函数值，能根据正比例函数定义列出关系式是解题的关键．设，将当时，代入求出k的值，在代入表达式求值即可． 【详解】与成正比例， 设， 当时，， ， ， ， 当时，， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知与成正比例，且时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)判断点是否是上述函数图像上的点，说明理由． 【答案】(1) (2)在函数图像上，理由见解析 【知识点】正比例函数的定义 【分析】（1）设正比例函数的解析式为，再把时，代入求出k的值，即可得出y关于x的函数表达式； （2）把点代入函数解析式进行检验即可． 【详解】（1）与成正比例， ∴设正比例函数的解析式为， 时， ， 解得， ∴， ∴； （2）点在函数图像上． 由（1）知y与x的解析式为， ∴当时，， ∴点在函数图像上． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的概念，及判断一个点是否在函数图像上．正比例函数的标准形式为．判断一个点是否在函数图像上，只要将这个点的坐标代入函数解析式中，看是否满足函数解析式即可．熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型五、正比例函数的图象 11．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）已知正比例函数，则下列各点在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可把各个选项分别代入正比例函数解析式进行排除选项即可． 【详解】解：A、当时，则有，所以点不在正比例函数的图象上； B、当时，则有，所以点不在正比例函数的图象上； C、当时，则有，所以点不在正比例函数的图象上； D、当时，则有，所以点不在正比例函数的图象上； 故选D． 12．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，求函数的图象经过哪些象限？ 【答案】第二、四象限 【知识点】正比例函数的图象 【分析】根据正比例函数的图象经过第二、四象限，可求出的范围，进而可得出，即可知函数的图象经过的象限． 【详解】解：正比例函数的图象经过第二、四象限， ， 解得：， ∴， 函数的图象经过第二、四象限． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，根据题意求出的范围是解题的关键． 题型六、正比例函数的性质 13．（24-25八年级上·安徽六安·期末）已知正比例函数的图象上有两点，，若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查正比例函数图象点的增减性的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题由得出随增大而增大是解题关键，根据正比例函数增减性然后即可求解． 【详解】解：∵正比例函数中， ∴随增大而增大， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 14．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）正比例函数的值随值的增大而减小，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的增减性可知，进一步求解即可． 【详解】解：∵正比例函数的值随值的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知正比例函数图像经过点． (1)求此正比例函数的解析式： (2)点是否在此函数图像上？请说明理由； 【答案】(1) (2)点不在此函数图像上，理由见解析 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题主要考查了求正比例函数图象的性质，求正比例函数值： （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设此正比例函数的解析式为， 把代入中得：， ∴此正比例函数的解析式为； （2）解：点不在此函数图像上，理由如下： 在中，当时，， ∴点不在此函数图像上． 题型七、判断一次函数的图象 16．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据题意可得：，，进而得到，推出直线经过第一、三、四象限，即可求解． 【详解】解：直线经过第一、二、三象限， ，， ， 直线经过第一、三、四象限， 故选：C． 17．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）已知与成正比例关系，且满足当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)点是否在该函数的图像上？ 【答案】(1) (2)点在这个函数的图像上 【知识点】求一次函数解析式、判断一次函数的图象 【分析】本题主要考查正比例函数的定义、函数图像上点的坐标特征等知识点，掌握待定系数法成为解题的关键． （1）设，将、代入求出k值即可解答； （2）将代入（1）中所求解析式，若求得的值为，则点在函数图像上． 【详解】（1）解：设， 将、代入上式可得：，解得： ∴ ∴． （2）解：当时，， ∴点在这个函数的图像上． 题型八、根据一次函数解析式判断其经过的象限 18．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）若实数，满足，且，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限，据此根据已知条件判断出的符号即可得到答案． 【详解】解：∵实数，满足，且， ∴， ∴函数的图象经过第一、三、四象限， ∴四个选项中只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 19．（22-23八年级上·安徽合肥·阶段练习）无论m为何实数，直线与的交点不可能在第 象限． 【答案】一 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】分析的图象经过的象限即可． 【详解】解：∵是一次函数，， ∴图象过二、四象限， 又∵， ∴图象过第三象限， ∴一定不过第一象限， ∴直线与的交点不可能在第一象限． 故答案为：一． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质，解题的关键是找到一次函数不经过的象限，那么交点就一定不在那个象限． 题型九、已知函数经过的象限求参数范围 20．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知直线经过点，且不经过第三象限，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一元一次不等式组的应用等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 首先，根据直线经过的点可以得到，然后，由直线不经过第三象限得出和的取值范围，最后，将代入，根据的取值范围求出的取值范围． 【详解】解：∵直线经过点， ∴，即， ∵直线不经过第第三象限， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 21．（24-25八年级上·安徽六安·期中）直线恒过一定点，则该定点的坐标为 ，若该直线不经过第二象限，则k的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查了一次函数图象与性质，以及函数图象与系数的关系，对于与y轴交于，若函数图象不经过第二象限，则，，根据相关性质求解即可． 【详解】解：， 当时，， 该函数的图象一定过定点， 该函数图象不经过第二象限， ， ， 故答案为：；． 22．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数． (1)当m、n为何值时，其图象经过原点； (2)当m、n为何值时，其图象不经过第二象限． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】（1）根据一次函数的图象和系数的关系列式求解即可； （2）根据一次函数的图象和系数的关系列式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过原点， ∴，， ∴，； （2）解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴，， ∴，． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和系数的关系，解题的关键是熟练掌握：直线所经过的象限与k、b的符号有直接的关系：时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与y轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交． 题型十、一次函数图象与坐标轴的交点问题 23．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数，与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点问题，与x轴的交点，则，把代入函数表达式，即可求得交点坐标． 【详解】解：当时，即， 解得：， ∴一次函数，与x轴的交点坐标为， 故选：D． 24．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）已知直线与直线相交于轴上一点，则 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．根据题意，求出直线与轴的交点，再根据题意，把该坐标代入直线中，即可求出． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴直线与轴交点为， ∵直线经过点， ∴， ∴． 故答案为：． 25．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知直线经过点，且平行于直线，它与轴相交于点A，求△的面积． 【答案】2 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】由条件可求得k和m，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵直线经过点，且平行于直线， ∴， ∴一次函数解析式为， 把代入上式得， ∵直线，与轴相交于点A， 令，则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查两直线平行的相关问题，明确两直线平行，比例系数相等是关键． 题型十一、一次函数图象平移问题 26．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）一次函数的图像，可由函数的图像（    ） A．向左平移2个单位长度而得到 B．向右平移2个单位长度而得到 C．向上平移2个单位长度而得到 D．向下平移2个单位长度而得到 【答案】C 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题主要考查了一次函数图象平移，根据“上加下减，左加右减”的平移法则逐项验证即可解决问题．熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键． 【详解】解：由题知， 将函数的图象向上平移2个单位长度可得函数的图象； 或将函数的图象向左平移1个单位长度可得函数的图象， 只有C选项符合题意． 故选：C． 27．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知直线可以看作由直线向下平移2个单位长度而得到，那么直线与轴交点坐标为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】根据平行直线的解析式的k值相等，向下平移，横坐标不变，纵坐标减写出平移后的解析式，然后令求解即可得解． 本题考查了两直线平行的问题，明确平行直线的解析式的k值相等是解题的关键． 【详解】解：∵直线可以看作由直线向下平移2个单位长度而得到， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴直线与轴交点坐标为． 故答案为： 28．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知正比例函数的图象向下平移3个单位长度后，经过点，求点P的坐标． 【答案】点P的坐标为． 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．由平移得得一次函数，把代入求解即可． 【详解】解：将正比例函数的图象向下平移3个单位长度， 得一次函数． 把点代入， 得，解得， ∴， ∴点P的坐标为． 题型十二、判断一次函数的增减性 29．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）下列函数中，y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断一次函数的增减性 【分析】本题考查一次函数图像与性质，涉及一次函数图像增减性与常数的关系，熟记一次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、是一次函数，，得到随的增大而增大，选项不符合题意； B、是一次函数，，得到随的增大而增大，选项不符合题意； C、是一次函数，，得到随的增大而减小，选项符合题意； D、是一次函数，，得到随的增大而增大，选项不符合题意； 故选：C． 30．（1）在图中同一直角坐标系内画出①，②，③，④的图像； （2）图中四个函数中随着x值的增大，y的值分别如何变化？ （3）直线与的位置关系如何？ （4）直线与直线有什么共同点？ 【答案】（1）见解析；（2）①④两函数y随x的增大而增大；②③y随x的增大而减小；（3）平行；（4）两直线交于y轴上一点 【知识点】判断一次函数的增减性 【分析】（1）根据函数解析式作图即可判断； （2）根据函数图像即可求解； （3）根据k相等及图像即可判断； （4）根据函数图像即可求解． 【详解】解：（1）如图 （2）由图可得①④两函数y随x的增大而增大；②③y随x的增大而减小； （3）由图可得直线与的位置关系为平行； （4）由图可得直线交于y轴上一点． 【点睛】此题主要考查一次函数图像与性质，解题的关键是根据解析式的特点作图． 题型十三、根据一次函数增减性求参数 31．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）关于的一次函数的值随值的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，一次函数，当时，一次函数随的增大而增大，当时，一次函数随的增大而减小，进行解答，即可． 【详解】解：∵关于的一次函数的值随值的增大而减小， ∴， ∴． 故选：C． 32．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）对于一次函数（），当时，y的最小值为4，则k的值是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】当时，y随x的增大而增大，结合时y的最小值为4，此时时，，代入，得到，舍去；当时，y随x的增大而减小，结合时y的最小值为4，此时时，，代入，得到，符合题意，解答即可． 本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：当时，y随x的增大而增大， 由时y的最小值为4， 此时时，，代入， 解得，舍去； 当时，y随x的增大而减小， 由时y的最小值为4，此时时，，代入， 解得，符合题意． 故答案为：． 33．已知一次函数， 若函数图象平行于直线，求的值； 若函数值随自变量的增大而减小，求的取值范围： 若函数图象不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】（1）m=-1；（2）m＜-；（3）-＜m≤1． 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】（1）根据两直线平行的性质求出m的值； （2）根据一次函数的性质列出关于m的不等式求出m的取值范围即可； （3）根据一次函数的性质列出关于m的不等式组求出m的取值范围即可． 【详解】（1）∵函数图象平行于直线y=x+1， ∴2m+3=1，解得m=-1； （2）∵该函数的值y随自变量x的增大而减小， ∴2m+3＜0，解得m＜-； （3）∵该函数图象不经过第二象限， ∴，解得-＜m≤1． 【点睛】此题考查一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 题型十四、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 34．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）一次函数的图象过点，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 由一次函数表达式可知，所以随值的增大而减小，只需要比较，即可求解． 【详解】解：， 随值的增大而减小， ， ． 故选：A． 35．（22-23八年级上·安徽池州·期末）已知一次函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)若，求函数y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）得一次函数表达式为，求出时y的值，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和， ∴， 解得； （2）由（1）得一次函数表达式为， 当时，， ∵， ∴y随x增大而减小， ∴当时，． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的增减性，正确掌握一次函数的基础知识是解题的关键． 题型十五、比较一次函数值的大小 36．（24-25八年级上·安徽六安·期中）一次函数上有两点和，则与的大小（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握一次函数的性质是关键．根据一次函数图象的性质可知：y随x的增大而减小，然后比较这两点的横坐标即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随x的增大而减小， ∵一次函数上有两点和，其中， ∴， 故选：A． 37．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知点，是函数图象上的两个点，若，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性，是解题的关键．先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据，即可得出结论． 【详解】∵， ∴， ∴一次函数中，y随着x的增大而减小． ∵点，是函数图象上的两个点， ， ∴． ∴， 故答案为：． 题型十六、一次函数的规律探究问题 38．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）正方形，，，…，按如图的方式放置，点，，，…和点，，，．．．分别在直线和轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】本题主要考查一次函数图象与结合图形的综合的规律题，根据题意分别求出点的坐标，并根据有理数的乘方运算找出规律，由此即可求解． 【详解】解：∵点，，，…在直线， ∴当时，，即的纵坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴当时，，，即的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， ∴的横坐标为，则纵坐标为， ∴，则 ∵是正方形是正方形， ∴，则， ∴， ∴当时，，，则的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， 同理，，的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， ∴的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：C． 39．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点、、在直线上，点、、在轴正半轴上，则的面积是 ．    【答案】 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征找出A1、A2、A3、A4的坐标，结合图形即可得知点Bn是线段CnAn+1的中点，由此即可得出点Bn的坐标，然后根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：观察，发现：A1（1，0），A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），A5（16，15），A6（32，31），…， ∴An（2n-1，2n-1-1）（n为正整数）． 观察图形可知：点Bn是线段CnAn+1的中点， ∴点Bn的坐标是（2n-1，2n-1），An（2n-1，2n-1-1）（n为正整数）， ∴△AnAn+1Bn的面积是（2n-1）2=22n-3， ∴△A2016A2017B2016的面积=22×2016-3=24029， 故答案为：24029． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标的变化，根据点的坐标的变化找出变化规律“An（2n-1，2n-1-1）（n为正整数）”是解题的关键． 题型十七、求一次函数解析式 40．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知直线经过点，则该函数的图象经过（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键；把代入求出k，再逐项判断所给点是否在图象上即可得解． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ， 、当时，，则该函数的图象经过，故本选项符合题意； 、当时，，则该函数的图象不经过，故本选项不符合题意； 、当时，，则该函数的图象不经过，故本选项不符合题意； 、当时，，则该函数的图象不经过，故本选项不符合题意； 故选：． 41．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，已知直线经过，两点，求直线的表达式． 【答案】． 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，由图可得点，设直线的表达式为，把点，代入得，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由图可知，点， 设直线的表达式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为． 题型十八、分配方案问题(一次函数的实际应用) 42．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）在学习习总书记关于生态文明建设重要讲话精神，树立“绿水青山就是金山银山”理念，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1440名师生到某林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． 设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元． (1)求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围； (2)若要使租车总费用不超过20000元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？求出最低费用． 【答案】(1)且为整数) (2)共有种方案，当型租辆，型租辆时，最省钱，最低费用为元 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题． （1）根据租车总费用、两种车的费用之和，列出函数关系式即可； （2）列出不等式，求出自变量的取值范围，利用函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解： ； ∵，， ∴； 函数解析式为，自变量取值范围为：且为整数； （2）解：， ， ， 因为取整数， 所以x可取20，21，22，23，24，25，26， 所以有种方案. 在中， 随的增大而增大， 所以当时，最省钱，费用元， 答：共有种方案，当型租辆，型租辆时，最省钱，最低费用为元． 题型十九、最大利润问题(一次函数的实际应用) 43． 如图所示，l1反映了某公司产品的销售收入和销售数量的关系，l2反映产品的销售成本与销售数量的关系，根据图象判断公司盈利时的销售量为（　　） A．小于4万件 B．大于4万件 C．等于4万件 D．大于或等于4万件 【答案】B 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【详解】两条直线交点为（4,400）也就是销售收入与销售成本相等，所以公司盈利需要大于4万件.选B. 44．（23-24八年级上·安徽六安·期末）某商场购进甲、乙两种空气净化器共80台进行销售，已知销售2台甲种空气净化器和1台乙种空气净化器获利1100元：销售1台甲种空气净化器和2台乙种空气净化器获利1300元，设购进甲种空气净化器x台，这80台空气净化器全部售出的总利润为w元． (1)每台甲种空气净化器和每台乙种空气净化器利润各多少? (2)求w关于x的函数解析式．（不写x的取值范围） (3)若乙种空气净化器的数量不超过甲种空气净化器的3倍，当甲种空气净化器购进多少台时，销售总利润w最大?最大总利润是多少? 【答案】(1)每台甲种空气净化器利润300元，每台乙种空气净化器利润500元 (2) (3)当时，w取得最大，最大值为36000元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查一次函数的应用、解二元一次方程组： （1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）根据题意可以得到w与x的函数关系式； （3）根据题意可以求得x的取值范围，由（2）中的函数关系，从而可以得到该公司购进A型、B型空气净化器各多少台时，才能使销售总利润最大． 【详解】（1）解：设每台甲种空气净化器a元和每台乙种空气净化器利润b元 则： 解得：， 答：每台甲种空气净化器利润300元，每台乙种空气净化器利润500元 （2）解：由题意得，， 所以，w关于x的函数解析式； （3）解：∵， ∴， ∴中， 所以W随x增大而减小， 当时，w取得最大，最大值为36000元. 题型二十、行程问题(一次函数的实际应用) 45．（24-25八年级上·安徽·期末）甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶，根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为48米的时刻不可能是（   ） A．4分钟 B．12分钟 C．16分钟 D．10分钟 【答案】D 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，绝对值方程，解一元一次方程，根据题意得甲的路程与时间x的函数关系式为，乙的路程与时间x的函数关系式为，根据由甲、乙两人距地面的高度差为48米，得，分时，时和时三种情况，列出方程即可求解． 【详解】解：由图象可得，甲的路程为240米，时间为20分钟， 可得甲的速度为米/分钟， 当时，乙的路程为60米，时间为4分钟， 可得当时，乙的速度为米/分钟， 当时，由乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍， 可得当时，乙的速度为24米/分钟， 设甲的路程与时间x的函数关系式为， 把代入得， 解得， ∴甲的路程与时间x的函数关系式为； 设在时乙的路程与时间x的函数关系式为， 把代入得，， 解得，， ∴， 乙登到山顶共用时：（分钟）， 设在时乙的路程与时间x的函数关系式为， 把代入得，， 解得 ∴在时乙的路程与时间x的函数关系式为， 即：， 由甲、乙两人距地面的高度差为48米，得， 当时，， 解得； 当时，， 解得或（舍去）； 当时，， 解得， 综上所述，x的值为4或12或16，得不可能为10， 故选：D． 46．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图①所示，正方形的边长为，动点P从点A出发，在正方形的边上沿运动，设运动的时间为，的面积为，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题： （1）点P在上运动的时间为 s； （2）当t为 时，三角形的面积为．. 【答案】 6 或 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．（1）直接根据函数图象上坐标，利用速度路程时间即可求解；（2）通过图象可知，的面积为．即，分别在和，上代入即可求得答案． 【详解】解：（1）由图象可知，点P在上运动的时间为， 故答案为：6； （2）当P在上运动，即时，速度为，则， ， 的面积为，即时， ∴， ∴， 当P在上运动，的面积为，不符合题意， 当P在上运动，即时， 在上运动的速度为， ∴， ∴， ∵的面积为，即时， ∴， ∴， 所以当t为、时，的面积为． 故答案为：或． 47．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题： (1)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； (2)求线段对应的函数表达式； (3)在轿车行进过程中，轿车行驶多少时间，两车相距30千米？ 【答案】(1)250千米 (2) (3)当轿车行驶小时或小时时，两车相距30千米 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）求出货车的速度，再用货车的速度乘以时间求出货车行驶的路程即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）分两车相遇前和相遇后两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，货车的速度为：， 轿车在货车行驶5小时时到达乙地， 此时货车离甲地：； （2）设段的函数解析式为：， 把代入，得： ，解得：， ∴； （3）由图象可知：当时，轿车的速度为：， 当时，轿车的速度为：， 设轿车行驶小时，两车相距30千米， 当时，两车相距：， ①当两车相遇前：，解得：； ②当两车相遇后：，解得：； 答：当轿车行驶小时或小时时，两车相距30千米． 题型二十一、其他问题(一次函数的实际应用) 48．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在物理实验探究课上，小明利用滑轮组及相关器材进行提升重物实验时（不计绳重和摩擦），他把得到的拉力和所悬挂重物的重力的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象，请你根据图象判断以下结论错误的是（   ） A．当拉力时，重物的重力 B．拉力随着重物重力的增大而增大 C．当时， D．当滑轮组不挂重物时，所用拉力为 【答案】C 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用．由函数图象可以直接判断B、C，设出拉力F与重力G的函数解析式用待定系数法求出函数解析式，令，代入函数解析式求值即可判断A、D． 【详解】解：由图象可知，拉力F与重力G成一次函数关系，拉力F随着重力的增大而增大， 当时，， 故C错误，符合题意；B正确，不符合题意； 设拉力F与重力G的函数解析式为，则 ， 解得， ∴， 当时，拉力， 解得：，故A正确，不符合题意； 当时，拉力，故D正确，不符合题意； 故选：C． 49．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）共享单车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享单车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌共享单车的收费方式对应，品牌共享单车的收费方式对应． (1)求骑行品牌共享单车超过后的函数表达式； (2)求两种品牌共享单车收费相差元时的值． 【答案】(1) (2)两种品牌收费相差元时的值为 10或30 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂题意，利用数形结合的思想作答是解答本题的关键． （1）根据图像中的数据，点在该函数图像上，代入所设的表达式中，即可求出函数表达式； （2）根据图像，先求出品牌电动车每分钟收费情况，然后根据品牌共享电动车超过 后的函数表达式为，列出相应方程，求出答案． 【详解】（1）解：设骑行品牌共享电动车超过 后的函数表达式为， ∵点在该函数图像上， ， 解得：， 即骑行品牌共享电动车超过后的函数表达式为； （2）解：由图像可得：当分钟时，两种品牌收费相同，此时收费3 元； 品牌电动车每分钟收费为：（元）， 由题意可得：或， 解得：或， 即两种品牌收费相差元时的值为 10或30． 题型二十二、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 50．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在轴的上方，再写出对应的取值范围即可． 【详解】解：由一次函数的图象可知， 当时，， 故选：C． 51．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）的图象如图所示，关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用，解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．从图象得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【详解】解：从图象知，函数的图象经过点，并且函数值y随x的增大而减小， ∴当时，， 即关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 题型二十三、利用图象法解一元一次方程 52．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程．直接利用函数图象即可得出答案． 【详解】解：由函数图象可知：当时， 所以关于x的方程的解为， 故选：B． 53．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，一次函数与交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】根据函数图象，可以发现当时，一次函数的图象在的图象的上方，从而可以得到不等式的解集． 本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，利用数形结合的思想解答问题是解答本题的关键． 【详解】解：由图象可知， 当时，一次函数的图象在的图象的上方， ∴的解集为． 故答案为： ． 54．（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，在y轴上的截距为4． (1)直线、的表达式； (2)讨论与的大小关系． 【答案】(1)直线表达式为 (2)当时，，当时，，当时， 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数解析式 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等知识． （1）利用点代入求出，得到的表达式，再根据把点的坐标以及点代入，求出，即可得到的表达式； （2）根据图象进行解答即可． 【详解】（1）（1）把代入，得， 解得：， ， 在y轴上的截距为4， 把点的坐标以及点代入， 得， 解得， 直线表达式为． （2）观察图象，令，即， 解得：， 令，即， 解得：， 令，即， 解得：， ∴当时，，当时，，当时，． 分层强化 一、单选题 1．已知两点M（3，2），N（﹣1，3），点P是x轴上一动点，若使PM+PN最短，则点P的坐标应为（　　） A．（，0） B．（﹣，0） C．（，0） D．（﹣，0） 【答案】A 【分析】先求得M的对称点M′的坐标，根据两点的坐标代入一次函数解析式中，确定一次函数解析式，然后根据点P在x轴上，则其纵坐标是0，求出横坐标即可． 【详解】解：作M点关于x轴的对称点M′， ∵M（3，2）， ∴M′（3，﹣2）， 设直线M′N的解析式为y=kx+b， ∴   ， 解得   ， ∴直线M′N的解析式为y=﹣ x+ ， ∵P的纵坐标为0， ∴﹣x+=0，解得x= ， ∴P（，0）． 故选A． 【点睛】此题考查了最短路径问题和用待定系数法求一次函数解析式，判断出M、P、N三点共线时MN最小是解题的关键． 2．已知正比例函数y=(k+5)x，且y随x的增大而减小，则k的取值范围是(     ) A．k>5 B．k<5 C．k>−5 D．k<−5 【答案】D 【分析】根据正比例函数图象的特点可直接解答． 【详解】解：∵正比例函数y=（k+5）x中若y随x的增大而减小， ∴k+5＜0． ∴k＜﹣5， 故选D． 3．目前，我国大约有1.3亿高血压病患者，预防高血压不容忽视，“千帕”和“毫米汞柱”都是表示血压的单位，请你根据表格提供的信息判断，下列各组换算正确的是（    ） 千帕 … 10 12 14 … 毫米汞柱 … 75 90 105 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察，我们不难发现，千帕每增加2，毫米汞柱升高15，然后设千帕与毫米汞柱的关系式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求出一次函数解析式，再对各选项进行验证即可得解． 【详解】解：设千帕与毫米汞柱的关系式为y=kx+b（k≠0）， 则， 解得：， ∴关系式为：y=7.5x， 将选项分别代入得： A、当x=8时，y=7.5×8=60，即，故本选项错误； B、当x=16时，y=7.5×16=120，即，故本选项错误； C、当x=20时，y=7.5×20=150，即，故本选项正确； D、当x=24时，y=7.5×24=180，即，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求一次函数解析式，是基础题，比较简单． 4．一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的系数和图象所经过的象限之间的关系是解题的关键． 根据一次函数的性质，直接判断即可． 【详解】解：对于一次函数， ∵，， ∴函数的图象经过第一、三、四象限． 故选：B． 5．如图,函数和的图象相交于点,则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可． 【详解】因为点A的坐标为， 看函数图象，当的图象在的图像上方时，，此时 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．关键是求出A点坐标以及利用数形结合的思想． 6．已知直线y1=kx+1（k＜0）与直线y2=mx（m＞0）的交点坐标为（，m），则不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为（　　） A．x> B．<x< C．x< D．0<x< 【答案】B 【分析】由mx﹣2＜（m﹣2）x+1，即可得到x＜；由（m﹣2）x+1＜mx，即可得到x＞，进而得出不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为＜x＜． 【详解】把（，m）代入y1=kx+1，可得 m=k+1， 解得k=m﹣2， ∴y1=（m﹣2）x+1， 令y3=mx﹣2，则 当y3＜y1时，mx﹣2＜（m﹣2）x+1， 解得x＜； 当kx+1＜mx时，（m﹣2）x+1＜mx， 解得x＞， ∴不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为＜x＜， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 7．已知点和点在函数的图像上，则下列结论中正确的（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的增减性可判断m、n的大小． 【详解】∵一次函数的比例系数为0 ∴一次函数y随着x的增大而增大 ∵－1＜1 ∴m＜n 故选：B 【点睛】本题考查一次函数的增减性，解题关键是通过一次函数的比例系数判定y随x的变化情况． 二、填空题 8．某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 烤制时间/min 40 60 80 100 120 140 160 180 若鸭的质量为3.2kg时，烤制时间为 min． 【答案】148 【分析】设鸭的质量为xkg时，烤制时间为t分钟，由表格数据可得t与x的关系式，将x＝3.2代入计算，即可得出答案． 【详解】解：设鸭的质量为xkg时，烤制时间为t分钟， 根据表格数据可得，鸭的质量x每增加0.5千克，烤制时间t增加20分钟， 可设t＝40+40（x﹣0.5）， ∴t＝40x+20， ∴鸭的质量为3.2kg，即x＝3，2时，t＝40×3.2+20＝148（min）． 故答案为：148． 【点睛】本题考查了函数的表示方法，即表格法，从表格中转化出函数关系式是解题的关键． 9．在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，若把线段向左平移个单位后变为，则线段可表示为 ． 【答案】． 【分析】直接根据图象平移的性质得到、的坐标，即可得到线段的函数解析式． 【详解】∵ 点的坐标是，点的坐标是，若把线段向左平移个单位后变为， ∴ 点的坐标为；点的坐标为， ∴ 线段可表示为 ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查根据图象列函数解析式，熟练掌握图象的平移性质是解题关键． 10．已知在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=﹣4x的图象经过点A（﹣3，m），点B在x轴的负半轴上，过点A作直线AC∥x轴，交∠AOB的平分线OC于点C，那么点C到直线OA的距离等于 ． 【答案】12． 【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，利用正比例函数图象上点的坐标特征可求出m值，根据角平分线的性质可得出点C到直线OA的距离等于线段CD的长度，再根据平行线的性质结合点A的坐标即可求出CD的长度，此题得解． 【详解】过点C作CD⊥x轴于点D，如图所示， ∵正比例函数y=﹣4x的图象经过点A（﹣3，m）， ∴m=﹣4×（﹣3）=12． ∵OC平分∠AOB， ∴点C到直线OA的距离等于线段CD的长度． ∵AC∥x轴，CD⊥x轴，点A的坐标为（﹣3，12）， ∴CD=12． 故答案为12． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、角平分线的性质以及平行线的性质，利用角平分线的性质找出点C到直线OA的距离等于线段CD的长度是解题的关键． 11．新定义：对于两个实数、，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时， ； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与不等式，一次函数的图象及性质，能够根据定义，画出分段函数的图象，数形结合解题是关键． （1）利用新定义求得即可； （2）根据题意，当时，，当时，，再数形结合解题即可． 【详解】解：（1）当时，， 故答案为：； （2）当时，， 当时，， 如图： 当直线经过点时，， 当与直线平行时，， 时，直线与函数的图象有两个交点， 故答案为：． 三、解答题 12．当k为何值时，y=（k2+2k）是正比例函数． 【答案】当k=2时，函数y=（k2+2k）是正比例函数． 【分析】根据正比例函数的系数不等于0，且自变量的次数为1，列方程式求解即可． 【详解】根据题意得：k2﹣3=1①，k2+2k≠0②． 由①得：k=±2． 当k=﹣2时，k2+2k=0，y不是正比例函数； 当k=2时，k2+2k=8，即y=8x是正比例函数， ∴当k=2时，函数y=（k2+2k）是正比例函数． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义条件，即系数不为0，自变量的次数为1是关键． 13．已知y﹣1与x+2成正比，且当x=1时，y=7，求当x=﹣1时，求y的值． 【答案】当x=﹣1时，y=3． 【分析】设y-1=k（x+2），把x=1，y=7代入，求出k的值，得到y与x的函数关系式，再把x=-1代入，即可求出对应的y值． 【详解】解：设y﹣1=k（x+2），把x=1，y=7代入， 得：7﹣1=k（1+2）， 解得：k=2． ∴y﹣1=2（x+2），即y=2x+5． 当x=﹣1时，y=2×（﹣1）+5=3． 【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数解析式．能根据题意设出满足题目条件的解析式是解题关键． 14．若一次函数y＝2x＋b的图象与坐标轴围成的三角形的面积是9，求b的值． 【答案】±6． 【分析】求出函数与坐标轴的交点，利用三角形面积求b的值． 【详解】解：y＝2x＋b， 令x=0，y=b， 令y=0，x=-， 由题意得，=9， 解得b=±6． 15．已知一次函数图象经过（-2，1）和（1，3）两点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，求y的值． 【答案】（1）；（2）y的值是． 【分析】（1）设该直线解析式为，把（-2，1）和（1，3）代入可得关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得答案； （2）把x=3代入（1）中所求的解析式，求出y值即可得答案． 【详解】（1）设该直线解析式为， ∵一次函数图象经过（-2，1）和（1，3）两点， ∴， 解得． 故该一次函数解析式为：； （2）把代入（1）中的函数解析得：， ∴时，y的值是． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，根据一次函数图象上的点的坐标特征列出方程组求解是解题关键． 16．一家蔬菜公司计划到某绿色蔬菜基地收购A，B两种蔬菜共140吨，预计两种蔬菜销售后获利的情况如表所示： 销售品种 A种蔬菜 B种蔬菜 每吨获利（元） 1200 1000 其中A种蔬菜的5%、B种蔬菜的3%须运往C市场销售，但C市场的销售总量不超过5.8吨．设销售利润为W元（不计损耗），购进A种蔬菜x吨． （1）求W与x之间的函数关系式； （2）将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得多少利润？ 【答案】（1）W＝200x+140000；（2）最多可获得利润156000元． 【分析】（1）根据两种蔬菜的每吨获利情况和蔬菜的总重量求得W与x之间的关系即可； （2）首先根据两种蔬菜的运往市场的量的关系确定x的取值范围，然后即可确定W的最值． 【详解】解：（1）根据题意得：W＝1200x+1000（140﹣x）＝200x+140000． （2）根据题意得，5%x+3%（140﹣x）≤5.8， 解得 ：x≤80． ∴0＜x≤80． 又∵在一次函数W＝200 x+140000中，k＝200＞0， ∴W随x的增大而增大， ∴当x＝80时，W最大＝200×80+140000＝156000． ∴将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得利润156000元． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的应用以及解一元一次不等式，属于基础题目，易于理解掌握． 17．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥；A，B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥．两个仓库到A，B两个果园的路程如表所示： 路程（千米） 甲仓库 乙仓库 A果园 15 25 B果园 20 20 设甲仓库运往A果园x吨有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元， （1）根据题意，填写下表．（温馨提示：请填写在答题卷相对应的表格内） 运量（吨） 运费（元） 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A果园 x 110﹣x 2×15x 2×25（110﹣x） B果园 　 　 　 　 　 　 　 　 （2）设总运费为y元，求y关于x的函数表达式，并求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？ 【答案】（1）80﹣x，x﹣10，2×20×（80﹣x），2×20×（x﹣10）；（2）当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元． 【详解】分析：（1）设甲仓库运往A果园x吨有机化肥，根据题意求得甲仓库运往B果园（80-x）吨，乙仓库运往A果园（110-x）吨，乙仓库运往B果园（x-10）吨，然后根据两个仓库到A，B两个果园的路程完成表格； （2）根据（1）中的表格求得总运费y（元）关于x（吨）的函数关系式，根据一次函数的增减性结合自变量的取值范围，可知当x=80时，总运费y最省，然后代入求解即可求得最省的总运费． 详解：（1）填表如下： 运量（吨） 运费（元） 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A果园 x 110﹣x 2×15x 2×25（110﹣x） B果园 80﹣x x﹣10 2×20×（80﹣x） 2×20×（x﹣10） 故答案为80﹣x，x﹣10，2×20×（80﹣x），2×20×（x﹣10）； （2）y=2×15x+2×25×（110﹣x）+2×20×（80﹣x）+2×20×（x﹣10）， 即y关于x的函数表达式为y=﹣20x+8300， ∵﹣20＜0，且10≤x≤80， ∴当x=80时，总运费y最省，此时y最小=﹣20×80+8300=6700． 故当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元． 点睛：此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，读懂表格，求得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 一次函数 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1一次函数的定义 2正比例函数的图象 3正比例函数的性质 4一次函数的图象 5一次函数的性质 6用待定系数法确定一次函数表达式 7建立一次函数模型解实际应用题 8一次函数与一元一次方程 9一次函数与一元一次不等式的关系 题型巩固 一、识别一次函数 二、根据一次函数的定义求参数 三、求一次函数自变量或函数值 四、正比例函数的定义 五、正比例函数的图象 六、正比例函数的性质 七、判断一次函数的图象 八、根据一次函数解析式判断其经过的象限 九、已知函数经过的象限求参数范围 十、一次函数图象与坐标轴的交点问题 十一、一次函数图象平移问题 十二、判断一次函数的增减性 十三、根据一次函数增减性求参数 十四、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 十五、比较一次函数值的大小 十六、一次函数的规律探究问题 十七、求一次函数解析式 十八、分配方案问题(一次函数的实际应用) 十九、最大利润问题(一次函数的实际应用) 二十、行程问题(一次函数的实际应用) 二十一、其他问题(一次函数的实际应用) 二十二、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 二十三、利用图象法解一元一次方程 分层强化 一、单选题（7） 二、填空题（4） 三、解答题（6） 知识梳理 知识点1一次函数的定义 1. 一次函数 一般地，形如 y＝kx＋b(k，b为常数，且k ≠ 0)的函数叫作一次函数. 特别解读 判断函数是否为一次函数的方法： 先看函数表达式是否是整式的形式，再将函数表达式进行恒等变形，然后看它是否符合一次函数表达式 y＝kx＋b的结构特征： (1)k≠ 0；(2)是关于自变量x 的一次式；(3)常数项b可以为任意实数. 2. 正比例函数 形如 y＝kx(k为常数，且k ≠ 0)的函数叫作正比例函数. 特别提醒： (1)正比例函数 y＝kx(k为常数，且k ≠ 0)是一次函数 y＝kx＋b(k，b为常数，且k ≠ 0)中b＝0的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. (2)若已知 y与x成正比例，则可设函数表达式为 y＝ kx(k为常数，且k ≠ 0)；若已知 y是x的一次函数，则可设函数表达式为  y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0). 知识点2正比例函数的图象 1. 正比例函数的图象 一般地，正比例函数 y＝kx(k是常数，且k ≠ 0)的图象是一条经过原点的直线，通常我们把正比例函数  y＝kx( k 为常数，且 k ≠ 0)的图象叫作直线  y＝kx. 注意：有些正比例函数图象因其自变量取值范围的限制，并不一定都是一条直线，可能是一条射线或一条线段或一些点. 2. 正比例函数图象的画法 因为两点确定一条直线，所以画正比例函数的图象只要先描出两点，再过这两点画直线即可 .一般地，过原点和点(1，k)的直线，即为正比例函数 y＝kx(k 为常数，且 k ≠ 0)的图象. 知识点3正比例函数的性质 正比例函数 y＝kx(k ≠ 0)的性质如下表 k的符号 k>0 k<0 图象 图象形状 过原点，从左向右是上升的直线(↗) 过原点，从左向右是下降的直线(↘) 经过的象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 |k| 越大， y 随 x 的增大而增大（或减小）的速度越快 知识点4一次函数的图象 1. 一次函数的图象 一般地，一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，且k ≠ 0)的图象与直线  y＝kx平行或重合，因此，我们把一次函数 y＝kx＋b(k，b是常数，且k ≠ 0)的图象叫作直线 y＝kx＋b. 2. 一次函数图象的画法 由于两点确定一条直线，所以一般选取直线y＝kx＋b与两坐标轴的交点，即(0，b)与(－，0)画直线. 3. 截距 直线y＝kx＋b与y轴相交于点(0，b)，b叫作直线 y＝kx＋b在y轴上的截距，简称截距，如图12.2-4 所示. 截距不是距离，不一定是非负数，也可以是负数. 4. 一次函数的图象与正比例函数的图象的关系 一次函数y＝kx＋b(k ≠ 0)的图象可以由直线y＝kx(k ≠ 0)沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位而得到. 知识点5一次函数的性质 一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，且k ≠ 0)的性质和k，b的符号的关系 一次函数 y＝kx＋b(k ≠ 0) k，b的 符号 k>0 k<0 b>0 b<0 b＝0 b>0 b<0 b＝0 图象 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 |k| 越大， y 随 x 的增大而增大(或减小)的速度越快 图象与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点 知识点6用待定系数法确定一次函数表达式 1. 待定系数法 先设所求的一次函数表达式为 y=kx+b( k，b 是待确定的系数)，再根据已知条件列出关于 k， b 的方程组，求得 k， b 的值 . 这种确定表达式中系数的方法，叫作待定系数法 . 2. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤 (1)设：设出含有待定系数的函数表达式； (2)代：把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程(组)； (3)解：解方程(组)，求出待定的系数； (4)回代：将求得的待定系数的值代回所设的表达式. 上面的步骤可表示如下： 知识点7建立一次函数模型解实际应用题 1. 分段函数 自变量在不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数. 2. 利用一次函数解决实际问题，关键是找到题目中的两个变量之间的数量关系，把实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的相关性质解决实际问题，常见类型如下： (1)题目中已知一次函数的表达式，可直接运用一次函数的性质求解； (2)题目中没有给出一次函数的表达式，而是通过语言、表格或图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的表达式，再利用一次函数的性质解决实际问题. 知识点8一次函数与一元一次方程 1.一次函数与一元一次方程的关系 2. 利用一次函数图象解一元一次方程的步骤 (1)转化：将一元一次方程转化为y=kx+b( k， b 为 常 数，且k ≠ 0)的形式； (2)画图象：画出一次函数y=kx+b的图象； (3)找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，交点的横坐标即为一元一次方程的解. 知识点9一次函数与一元一次不等式的关系 1. 一次函数与一元一次不等式的关系 数：一次函数y＝kx＋b(k， b 为常数，且 k ≠ 0)中，函数值y> 0时自变量x的取值范围是不等式kx＋b> 0的解集；函数值y< 0时自变量x的取值范围是不等式kx＋b< 0的解集. 形：一次函数y＝kx＋b(k， b 为常数，且 k ≠ 0)的图象中，位于x轴上方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx＋b> 0的解集；位于x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx＋b< 0的解集. 2. 拓展 直线＝x＋(≠0)与直线＝＋(≠0)的交点的横坐标即为方程＋＝＋的解；不等式＋>＋(或＋< ＋)的解集就是直线＝＋(≠0)在直线＝＋(≠0)上(或下)方部分对应的x的取值范围. 题型巩固 题型一、识别一次函数 1．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D．（是常数） 2．（24-25八年级上·安徽池州·期末）下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 题型二、根据一次函数的定义求参数 3．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知函数是一次函数，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 4．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）若是关于的一次函数，则的值为 ． 5．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知一次函数，求： (1)为何值时，随的增大而减小? (2)为何值时，该一次函数图像与轴的交点在轴下方? 题型三、求一次函数自变量或函数值 6．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）点不在下列函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）若点，在直线上，且，则 ． 题型四、正比例函数的定义 8．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）若函数是正比例函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知与成正比例，且当时，．当时，则 ． 10．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知与成正比例，且时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)判断点是否是上述函数图像上的点，说明理由． 题型五、正比例函数的图象 11．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）已知正比例函数，则下列各点在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 12．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，求函数的图象经过哪些象限？ 题型六、正比例函数的性质 13．（24-25八年级上·安徽六安·期末）已知正比例函数的图象上有两点，，若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）正比例函数的值随值的增大而减小，则的取值范围为 ． 15．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知正比例函数图像经过点． (1)求此正比例函数的解析式： (2)点是否在此函数图像上？请说明理由； 题型七、判断一次函数的图象 16．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（   ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）已知与成正比例关系，且满足当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)点是否在该函数的图像上？ 题型八、根据一次函数解析式判断其经过的象限 18．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）若实数，满足，且，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 19．（22-23八年级上·安徽合肥·阶段练习）无论m为何实数，直线与的交点不可能在第 象限． 题型九、已知函数经过的象限求参数范围 20．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知直线经过点，且不经过第三象限，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级上·安徽六安·期中）直线恒过一定点，则该定点的坐标为 ，若该直线不经过第二象限，则k的取值范围为 ． 22．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数． (1)当m、n为何值时，其图象经过原点； (2)当m、n为何值时，其图象不经过第二象限． 题型十、一次函数图象与坐标轴的交点问题 23．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数，与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）已知直线与直线相交于轴上一点，则 ． 25．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知直线经过点，且平行于直线，它与轴相交于点A，求△的面积． 题型十一、一次函数图象平移问题 26．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）一次函数的图像，可由函数的图像（    ） A．向左平移2个单位长度而得到 B．向右平移2个单位长度而得到 C．向上平移2个单位长度而得到 D．向下平移2个单位长度而得到 27．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知直线可以看作由直线向下平移2个单位长度而得到，那么直线与轴交点坐标为 ． 28．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知正比例函数的图象向下平移3个单位长度后，经过点，求点P的坐标． 题型十二、判断一次函数的增减性 29．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）下列函数中，y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 30．（1）在图中同一直角坐标系内画出①，②，③，④的图像； （2）图中四个函数中随着x值的增大，y的值分别如何变化？ （3）直线与的位置关系如何？ （4）直线与直线有什么共同点？ 题型十三、根据一次函数增减性求参数 31．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）关于的一次函数的值随值的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 32．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）对于一次函数（），当时，y的最小值为4，则k的值是 ． 33．已知一次函数， 若函数图象平行于直线，求的值； 若函数值随自变量的增大而减小，求的取值范围： 若函数图象不经过第二象限，求的取值范围． 题型十四、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 34．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）一次函数的图象过点，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 35．（22-23八年级上·安徽池州·期末）已知一次函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)若，求函数y的取值范围． 题型十五、比较一次函数值的大小 36．（24-25八年级上·安徽六安·期中）一次函数上有两点和，则与的大小（   ） A． B． C． D．无法确定 37．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知点，是函数图象上的两个点，若，则 （填“”“”或“”）． 题型十六、一次函数的规律探究问题 38．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）正方形，，，…，按如图的方式放置，点，，，…和点，，，．．．分别在直线和轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 39．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点、、在直线上，点、、在轴正半轴上，则的面积是 ．    题型十七、求一次函数解析式 40．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知直线经过点，则该函数的图象经过（   ） A． B． C． D． 41．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，已知直线经过，两点，求直线的表达式． 题型十八、分配方案问题(一次函数的实际应用) 42．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）在学习习总书记关于生态文明建设重要讲话精神，树立“绿水青山就是金山银山”理念，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1440名师生到某林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． 设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元． (1)求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围； (2)若要使租车总费用不超过20000元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？求出最低费用． 题型十九、最大利润问题(一次函数的实际应用) 43． 如图所示，l1反映了某公司产品的销售收入和销售数量的关系，l2反映产品的销售成本与销售数量的关系，根据图象判断公司盈利时的销售量为（　　） A．小于4万件 B．大于4万件 C．等于4万件 D．大于或等于4万件 44．（23-24八年级上·安徽六安·期末）某商场购进甲、乙两种空气净化器共80台进行销售，已知销售2台甲种空气净化器和1台乙种空气净化器获利1100元：销售1台甲种空气净化器和2台乙种空气净化器获利1300元，设购进甲种空气净化器x台，这80台空气净化器全部售出的总利润为w元． (1)每台甲种空气净化器和每台乙种空气净化器利润各多少? (2)求w关于x的函数解析式．（不写x的取值范围） (3)若乙种空气净化器的数量不超过甲种空气净化器的3倍，当甲种空气净化器购进多少台时，销售总利润w最大?最大总利润是多少? 题型二十、行程问题(一次函数的实际应用) 45．（24-25八年级上·安徽·期末）甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶，根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为48米的时刻不可能是（   ） A．4分钟 B．12分钟 C．16分钟 D．10分钟 46．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图①所示，正方形的边长为，动点P从点A出发，在正方形的边上沿运动，设运动的时间为，的面积为，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题： （1）点P在上运动的时间为 s； （2）当t为 时，三角形的面积为．. 47．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题： (1)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； (2)求线段对应的函数表达式； (3)在轿车行进过程中，轿车行驶多少时间，两车相距30千米？ 题型二十一、其他问题(一次函数的实际应用) 48．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在物理实验探究课上，小明利用滑轮组及相关器材进行提升重物实验时（不计绳重和摩擦），他把得到的拉力和所悬挂重物的重力的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象，请你根据图象判断以下结论错误的是（   ） A．当拉力时，重物的重力 B．拉力随着重物重力的增大而增大 C．当时， D．当滑轮组不挂重物时，所用拉力为 49．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）共享单车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享单车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌共享单车的收费方式对应，品牌共享单车的收费方式对应． (1)求骑行品牌共享单车超过后的函数表达式； (2)求两种品牌共享单车收费相差元时的值． 题型二十二、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 50．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 51．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）的图象如图所示，关于x的不等式的解集是 ． 题型二十三、利用图象法解一元一次方程 52．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 53．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，一次函数与交于点，则关于的不等式的解集是 ． 54．（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，在y轴上的截距为4． (1)直线、的表达式； (2)讨论与的大小关系． 分层强化 一、单选题 1．已知两点M（3，2），N（﹣1，3），点P是x轴上一动点，若使PM+PN最短，则点P的坐标应为（　　） A．（，0） B．（﹣，0） C．（，0） D．（﹣，0） 2．已知正比例函数y=(k+5)x，且y随x的增大而减小，则k的取值范围是(     ) A．k>5 B．k<5 C．k>−5 D．k<−5 3．目前，我国大约有1.3亿高血压病患者，预防高血压不容忽视，“千帕”和“毫米汞柱”都是表示血压的单位，请你根据表格提供的信息判断，下列各组换算正确的是（    ） 千帕 … 10 12 14 … 毫米汞柱 … 75 90 105 … A． B． C． D． 4．一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 5．如图,函数和的图象相交于点,则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 6．已知直线y1=kx+1（k＜0）与直线y2=mx（m＞0）的交点坐标为（，m），则不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为（　　） A．x> B．<x< C．x< D．0<x< 7．已知点和点在函数的图像上，则下列结论中正确的（） A． B． C． D． 二、填空题 8．某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 烤制时间/min 40 60 80 100 120 140 160 180 若鸭的质量为3.2kg时，烤制时间为 min． 9．在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，若把线段向左平移个单位后变为，则线段可表示为 ． 10．已知在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=﹣4x的图象经过点A（﹣3，m），点B在x轴的负半轴上，过点A作直线AC∥x轴，交∠AOB的平分线OC于点C，那么点C到直线OA的距离等于 ． 11．新定义：对于两个实数、，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时， ； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是 ． 三、解答题 12．当k为何值时，y=（k2+2k）是正比例函数． 13． 已知y﹣1与x+2成正比，且当x=1时，y=7，求当x=﹣1时，求y的值． 14．若一次函数y＝2x＋b的图象与坐标轴围成的三角形的面积是9，求b的值． 15．已知一次函数图象经过（-2，1）和（1，3）两点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，求y的值． 16．一家蔬菜公司计划到某绿色蔬菜基地收购A，B两种蔬菜共140吨，预计两种蔬菜销售后获利的情况如表所示： 销售品种 A种蔬菜 B种蔬菜 每吨获利（元） 1200 1000 其中A种蔬菜的5%、B种蔬菜的3%须运往C市场销售，但C市场的销售总量不超过5.8吨．设销售利润为W元（不计损耗），购进A种蔬菜x吨． （1）求W与x之间的函数关系式； （2）将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得多少利润？ 17．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥；A，B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥．两个仓库到A，B两个果园的路程如表所示： 路程（千米） 甲仓库 乙仓库 A果园 15 25 B果园 20 20 设甲仓库运往A果园x吨有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元， （1）根据题意，填写下表．（温馨提示：请填写在答题卷相对应的表格内） 运量（吨） 运费（元） 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A果园 x 110﹣x 2×15x 2×25（110﹣x） B果园 　 　 　 　 　 　 　 　 （2）设总运费为y元，求y关于x的函数表达式，并求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$