第24章 圆 第7课时切线的性质 暑假预习课 2025-2026学年人教版九年级数学上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第24章《圆》第7课时切线的性质 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 切线的性质定理：圆的切线　垂直于　过切点的半径. 方法口诀：有切线，圆心连切点，得垂直. 如图1－24－44－1，根据图形写出切线性质的几何语言： 图1－24－44－1 ∵直线AB与⊙O相切于点A， ∴　OA⊥AB　. 知识点1：切线性质的直接运用 【例1】如图，AB与⊙O相切于点A. (1)若∠B＝25°，则∠AOB＝　 　； (2)若⊙O的半径为6，AB＝8，则OB＝　 　； (3)若∠AOB＝60°，OA＝2，则AB＝ 　 . 知识点2：利用切线性质进行简单的计算 【例2】如图，点A，B均在⊙O上，直线PC与⊙O相切于点C.若∠A＝35°，求∠P的度数. 解： 知识点3：运用切线性质证明 【例3】(人教九上P102)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB. 证明： 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法中，不正确的是(    ) A. 与圆只有一个交点的直线是圆的切线 B. 经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C. 与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 D. 垂直于半径的直线是圆的切线 2.下列说法中正确的是(    ) A. 垂直于半径的直线是圆的切线 B. 圆的切线垂直于半径 C. 经过半径的外端的直线是圆的切线 D. 圆的切线垂直于经过切点的半径 3.如图，在中，是边上的点，以为圆心，为半径的与相切于点，平分，，，的长是(    ) A. B. C. D. 4.如图，直线与半径为的相切于点，是上一点，若，弦，则的长度为    ． A. B. C. D. 5.如图，直线与相切于点，，是的两条弦，且，若的半径为，，则弦的长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，已知内接于，是的直径，与相切，切点为，若，则    ． A. B. C. D. 7.如图，与相切于点，将线段绕点逆时针旋转得到若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，是的直径，与相切于点，，的延长线交于点，则的度数是(    ) A. B. C. D. 9.为外一点，与相切于点，，，则长为  (    ) A. B. C. D. 10.如图，直线与相切于点，的半径为若，则的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.如图，，点在边上，与边相切于点，交边于点，，连接，则的度数是__________． 12.如图，的半径为，直线与相切于点，、是的两条弦，且，，则弦的长为______． 13.如图，是的直径，是外的一点，与相切于点，交于点，是上的一点不与点，，重合，若，则的度数为          ． 14.如图，与的两边分别相切，其中边与相切于点，若，，则的长为          ． 15.如图，是的直径，是外一点，交于点，，则的度数为          时，与相切． 16.如图，为的直径，直线与相切于点，连接，若，则的度数为          ． 17.如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，若沿所在直线平移与相切，则平移的距离是          ． 18.如图，的半径为，点是外的一点，，点是上的一个动点，连接，直线垂直平分，当直线与相切时，的长度为          ． 19.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心的圆与轴相切，点，在轴上，且，为上的动点，，则长的最大值为          ． 20.如图，是的直径，是的延长线上的一点，与相切于点，是上的一点不与点，，重合，若，则的度数为          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.如图，为的直径，直线与相切于点，，垂足为求证：． 22.如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为． 求与直线相切时，点的坐标； 分别直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 23.如图，是的直径，弦与相交于点，与相切于点，交的延长线于点，，，． 求的度数；求的长度． 24.如图，已知在中，，点是边上一点，以点为圆心，长为半径的与相交于点，与相切于点，连接交于点． 连接，求证：； 若的半径为，，求的长．   25.教材习题变式如图，，，分别与相切于，，三点，，且，，，求的半径． 26.如图，为外接圆的直径，且与相切于点． 求证： 若，，，求的半径． 27.已知中，，于点，与半圆相切于点求证：是等边三角形．   28.如图，在中，，，经过，两点的与相切，连接若，求的长．   29.如图，已知为的直径，点，在上，，，是线段，的延长线上的点，并且与相切于点若，，求的长．   30.如图，在中，，在上取一点，以为直径的与相切于点，，． 求的直径的长 求的面积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第24章《圆》第7课时切线的性质 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 切线的性质定理：圆的切线　垂直于　过切点的半径. 方法口诀：有切线，圆心连切点，得垂直. 如图1－24－44－1，根据图形写出切线性质的几何语言： 图1－24－44－1 ∵直线AB与⊙O相切于点A， ∴　OA⊥AB　. 知识点1：切线性质的直接运用 【例1】如图，AB与⊙O相切于点A. (1)若∠B＝25°，则∠AOB＝　65°　； (2)若⊙O的半径为6，AB＝8，则OB＝　10　； (3)若∠AOB＝60°，OA＝2，则AB＝ 2　. 知识点2：利用切线性质进行简单的计算 【例2】如图，点A，B均在⊙O上，直线PC与⊙O相切于点C.若∠A＝35°，求∠P的度数. 解：如答图，连接OC. ∵PC与⊙O相切于点C，∴∠OCP＝90°. ∵OC＝OA，∠A＝35°， ∴∠ACO＝∠A＝35°. ∴∠POC＝∠ACO＋∠A＝70°. ∴∠P＝90°－∠POC＝20°. 知识点3：运用切线性质证明 【例3】(人教九上P102)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB. 证明：如答图，连接OC. ∵DC与⊙O相切于点C，∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD，∴AD∥OC. ∴∠DAC＝∠ACO. 又∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO. ∴∠DAC＝∠CAO. ∴AC平分∠DAB. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法中，不正确的是(    ) A. 与圆只有一个交点的直线是圆的切线 B. 经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C. 与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 D. 垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】D  2.下列说法中正确的是(    ) A. 垂直于半径的直线是圆的切线 B. 圆的切线垂直于半径 C. 经过半径的外端的直线是圆的切线 D. 圆的切线垂直于经过切点的半径 【答案】D  3.如图，在中，是边上的点，以为圆心，为半径的与相切于点，平分，，，的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：与相切于点， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ； 故选：． 由切线的性质得出，求出，证出，得出，得出，由直角三角形的性质得出，，，得出，再由直角三角形的性质即可得出结果． 本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握圆的切线和直角三角形的性质，证出是解题的关键． 4.如图，直线与半径为的相切于点，是上一点，若，弦，则的长度为    ． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查切线的性质及直角三角形的勾股定理．作辅助线，连接与根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可知的度数；再根据切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径，可知；又，可知，最后由勾股定理可将的长求出． 【解答】 解：连接和，且与的交点为． ， ， ， 与相切， ， 又， ，即为直角三角形． ， 在中，， ， ， ． 故选B． 5.如图，直线与相切于点，，是的两条弦，且，若的半径为，，则弦的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理以及平行线的性质．此题难度适中，正确的添加辅助线是解题的关键．首先连接并延长，交于点，连接，由直线与相切于点，根据切线的性质，可得，又由，可得，然后由垂径定理与勾股定理，求得的长，继而求得的长． 【解答】 解：连接并延长，交于点，连接， 直线与相切于点， ， ， ，， ， 在中，， ， 在中，． 故选B． 6.如图，已知内接于，是的直径，与相切，切点为，若，则    ． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：与相切，， ， 是的直径， ， ． 故答案为：． 此题考查了弦切角定理与圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 7.如图，与相切于点，将线段绕点逆时针旋转得到若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了切线的性质，旋转的基本性质，解决本题的关键是掌握切线的性质． 根据切线的性质可得，根据旋转的基本性质可得，进而可得的度数． 【解答】 解：与相切于点， ， ， ， ， ． 故选：． 8.如图，是的直径，与相切于点，，的延长线交于点，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  9.为外一点，与相切于点，，，则长为  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  10.如图，直线与相切于点，的半径为若，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：直线与相切于点， 则． ， ． 故选：． 由于直线与相切于点，则，而，，根据三角函数定义即可求出． 本题主要利用了切线的性质和锐角三角函数的概念解直角三角形问题． 二、填空题 11.如图，，点在边上，与边相切于点，交边于点，，连接，则的度数是__________． 【答案】  【解析】分析： 本题考查求圆中的角，涉及圆的切线的性质及应用，解题的关键是掌握切线的性质，属于基础题。 连接，由与边相切于点，得，从而可求出，即可进而可得结论。 解答： 解：连接，如图： 与边相切于点， ， ， ， ， 故答案为：． 12.如图，的半径为，直线与相切于点，、是的两条弦，且，，则弦的长为______． 【答案】  【解析】解：如图，连接，并反向延长交于点， 直线与相切于点， ， 又， ， 即， ， ， 连接，则， 在中，， ， 则． 故答案为：． 连接，并反向延长交于点，连接，由是圆的切线知，结合可得，从而得出，中求得及，在中，由可得出答案． 本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径及垂径定理． 13.如图，是的直径，是外的一点，与相切于点，交于点，是上的一点不与点，，重合，若，则的度数为          ． 【答案】或  14.如图，与的两边分别相切，其中边与相切于点，若，，则的长为          ． 【答案】  【解析】解：边与相切于点， ， 与的两边分别相切，， ， ， ， 故答案为． 由切线的性质可得，再由切线长定理可得，进而可得是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出的长． 本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，能够正确的判定是等腰直角三角形是解题关键． 15.如图，是的直径，是外一点，交于点，，则的度数为          时，与相切． 【答案】  16.如图，为的直径，直线与相切于点，连接，若，则的度数为          ． 【答案】  17.如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，若沿所在直线平移与相切，则平移的距离是          ． 【答案】或  18.如图，的半径为，点是外的一点，，点是上的一个动点，连接，直线垂直平分，当直线与相切时，的长度为          ． 【答案】  19.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心的圆与轴相切，点，在轴上，且，为上的动点，，则长的最大值为          ． 【答案】  【解析】连接，，当最长时，的长取得最大值．连接并延长，交于点，当点与点重合时，最长．，与轴相切，的半径为，即，即长的最大值为． 20.如图，是的直径，是的延长线上的一点，与相切于点，是上的一点不与点，，重合，若，则的度数为          ． 【答案】或  三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.如图，为的直径，直线与相切于点，，垂足为求证：． 【答案】证明：连接． 直线与相切于点， 又，， ． ，， ，即．   22.如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为． 求与直线相切时，点的坐标； 分别直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 【答案】(1)过点P作直线x＝2的垂线，垂足为A．当点P在直线x＝2的右侧时，AP＝x－2＝3，解得x＝5．∴P（5，）．当点 P在直线x＝2的左侧时，PA＝2－x＝3，解得x＝－1．∴P（－1，）．综上所述，当⊙ P与直线x＝2相切时，点P的坐标为（5，）或（－1，）  (2)当⊙P与直线x＝2相交时，x的取值范围是－1＜x＜5；当⊙P与直线x＝2相离时，x的取值范围是x＜－1或x＞5  23.如图，是的直径，弦与相交于点，与相切于点，交的延长线于点，，，． 求的度数； 求的长度． 【答案】解：与相切于点， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ， ，， ，， 是等边三角形， ， ， ，， ， ．  【解析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证出是解题的关键． 由切线的性质得出，由圆周角定理和已知条件得出，证出，得出，求出，由圆周角定理即可得出结果； 由垂径定理得出，得出，证明是等边三角形，得出，由直角三角形的性质得出，，求出，即可得出． 24.如图，已知在中，，点是边上一点，以点为圆心，长为半径的与相交于点，与相切于点，连接交于点． 连接，求证：； 若的半径为，，求的长． 【答案】(1)证明：如解图，连接OD， ∵⊙O与AC边相切于点D， ∴OD⊥AC， 在Rt△BOC和Rt△DOC中， ∴Rt△BOCRt△DOC（HL）， ∴∠BOC＝∠DOC， ∴， 由圆周角定理得，， ∴∠BOC＝∠BED， ∴OC // DE；   (2)解：∵⊙O的半径为3， ∴OD＝OE＝3， ∵AE＝2， ∴OA＝OE＋AE＝5， 由圆的切线性质得OD⊥AC， ∴在Rt△AOD中，．   25.教材习题变式如图，，，分别与相切于，，三点，，且，，，求的半径． 【答案】解：如图，、、分别与相切于、、， 由，，，可得≌， ，同理，， ， 又，， ， 由面积公式得： 则的半径为．  26.如图，为外接圆的直径，且与相切于点． 求证： 若，，，求的半径． 【答案】证明：连接交于点， ， ， 由圆周角定理得：， ， 为的直径， ， 与相切于点； ， ，即； 解：  ，， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 的半径为．  【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 连接，根据圆周角定理、等腰三角形的性质和已知求出，，求出，根据切线的性质得出即可； 根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出即可． 27.已知中，，于点，与半圆相切于点求证：是等边三角形． 【答案】证明：，． 连接． 是的切线， ． ， ． ． ， ． ． 是等边三角形．   28.如图，在中，，，经过，两点的与相切，连接若，求的长． 【答案】解：延长交于点，连接， ， 是的直径， 经过点，且与相切， ，， ， 设，则， ， ， ， ，， 在中，， ，．   29.如图，已知为的直径，点，在上，，，是线段，的延长线上的点，并且与相切于点若，，求的长． 【答案】解：连接，，相交于点，如图， 为直径，， ，， ，， ，， ，，， 四边形为矩形，．   30.如图，在中，，在上取一点，以为直径的与相切于点，，． 求的直径的长 求的面积． 【答案】(1)BE=6cm  (2)=  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$