1.1 等腰三角形 暑假巩固练习2024-2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册 1.1 等腰三角形 暑假巩固 一、等腰三角形与三角形内角和 1.等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（　　） A.65°，65° B.50°，80° C.65°，65°或50°，80° D.50°，50° 2.如图，∠BOC=8°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…，这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n的值是（　　） A.9 B.10 C.11 D.12 3.如图，在△ABC中，AB=AC，DB=BC，∠B=70°，∠ACD的度数为（　　） A.10° B.15° C.25° D.30° 4.已知等腰三角形两个内角度数之比是1∶4，则这个等腰三角形的底角为______________． 5.等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是            ． 6.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数． 7.如图，在△ABC中，AB=AC，D，E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE． 二、等腰三角形与平行线性质 1.如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于点B，C，连接AC，BC．若∠ABC=67°，则∠1等于（　　） A.23° B.46° C.67° D.78° 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD的度数为(　　) A.40° B.50° C.60° D.70° 3.如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝55°，则∠2的度数是(　　) A.70° B.65° C.60° D.55° 4.如图，a∥b，∠ABC=50°，若AB=AC，则∠α=      °. 5.已知：如图，△ABC中，AB=AC，BE∥AC，∠BDE=100°，∠BAD=70°，则∠E=            ． 6.如图，AB=AC=AD． （1）如果AD∥BC，那么∠C和∠D有怎样的数量关系？证明你的结论； （2）如果∠C=2∠D，那么你能得到什么结论？证明你的结论． 7.如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB交AB于点D，AE∥DC交BC的延长线于点E，已知∠E=36°，求∠B的度数． 三、等腰三角形的三线合一 1.如图，△ABC中，若AB=AC，AD是∠BAC的平分线，则∠ADB等于（　　） A.80° B.90° C.100° D.110° 2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积为（　　） A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2 3.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　） A.BD=CD B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D.AB=2BD 4.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，AD平分∠BAC，则BD=____________． 5.如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD的度数是_______． 6.如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE． 7.如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上． （1）求证：BE=CE； （2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：AE=BC． 四、定义法判定等腰三角形 1.在如图的网格中，在网格上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点的个数为（　　） A.8 B.9 C.10 D.11 2.如图，在△ABC，BC=BA，点D在AB上，且AC=CD=DB，则图中等腰三角形的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，D是△ABC内一点，DA=DB，AB=AC，现把△DAB绕点A旋转到△EAC的位置，连接DE，则图中等腰三角形的个数为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 4.在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有       个． 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有　     　个． 6.如图，线段AB的一个端点B在直线m上，若直线m上存在点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C有多少个？ 7.如图，已知BE=CE，∠B=∠C，求证：△AED是等腰三角形． 五、等腰三角形的判定与三角形内角和 1.下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是（　　） A.有两个内角分别是70°和40°的三角形 B.有一个角为45°的直角三角形 C.有外角是130°，与它不相邻的一个内角为50°的三角形 D.有两个角分别为70°和50°的三角形 2.对“等角对等边”这句话的理解，正确的是（　　） A.只要两个角相等，那么它们所对的边也相等 B.在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等 C.在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等 D.以上说法都是正确的 3.要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（　　） A.∠A=50°，∠B=60° B.∠A=50°，∠B=100° C.∠A+∠B=90° D.∠A+∠B=90° 4.如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=_________.　 5.如图，在△ABC中，∠BAC∶∠B∶∠C=3∶1∶1，AD，AE将∠BAC三等分，则图中等腰三角形的个数是　          　． 6.如图，AE=AD，∠ABC=∠ACB，BE=4，AD=5，求AC的长度． 7.如图，AD=BC，AC=BD，求证：△EAB是等腰三角形． 六、等腰三角形判定与角平线、平行线综合 1.在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 2.如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，∠ABC的平分线交AC于D，则图中共有等腰三角形（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=45°，AD，CF都是高，相交于点P，角平分线BE分别交AD，CF于Q，S，则图中的等腰三角形个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.如图，已知∠A＝36°，BD平分∠ABC，∠C＝72°，则∠DBC＝________，∠BDC＝________，图中的等腰三角形有______________________． 5.如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，若DE＝4，AC＝7，则AE＝________. 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DC=AB，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，求AD的长. 7.如图①，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB，AC于E，F． （1）请写出图①中线段EO和BE的大小关系：                ； （2）请写出图①中线段EF与BE，CF间的关系：                  ； （3）如图②，若∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACG平分线交于O，过点O作BC的平行线交AB于E，交AC于F．请写出EF与BE，CF的关系，并说明理由． 七、等边三角形的三个角都等于60° 1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE交AD于点F，则∠DFE的度数为 （ ） A.45° B.55° C.60° D.75° 2.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（　　） A.25° B.60° C.85° D.95° 3.如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1=20°，则∠2的度数是（　　） A.100° B.80° C.60° D.40° 4.三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=40°，则∠1+∠2=　       　°． 5.如图，△ABC是等边三角形，则∠ABD=　       　度． 6.如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数． 7.如图，等边△ABC，∠1=∠2=∠3，求∠BEC的度数． 八、等边三角形中的三线合一 1.等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（ ） A.30° B.40° C.50° D.60° 2.如图，在等边△ABC中，BD，CE是两条中线，则∠1的度数为（　　） A.90° B.30° C.120° D.150° 3.等边三角形对称轴的条数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 4.在等边△ABC中，AD⊥BC，BD=3，则AB=　         　． 5.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD=         　°． 6.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE＝CD.求证：BD＝DE. 7.如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE=BD． 九、等边三角形的性质综合 1.下面关于“等边三角形”的说法不正确的是（　　） A.等边三角形的三条边都相等 B.等边三角形的三个内角都相等且都等于60° C.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 D.等边三角形与等腰三角形具有相同的性质 2.如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（　　） A.△ABD≌△EBC B.△NBC≌△MBD C.DM=DC D.∠ABD=∠EBC 3.如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD，BE交于点F，则∠AFB等于（　　） A. 50° B. 60° C. 45° D. ∠BCD 4.△ABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线AM与BN相交于Q点，∠AQN的度数为            ． 5.如图，△ABE和△ACD都是等边三角形，若BO+OC=m，OE+OD=n，则BD的长为　      　．（用含m，n的式子表示） 6.已知如图所示，在等边△ABC和等边△ADE中，点B，A，D在一条直线上，BE，CD交于F． （1）求证：△BAE≌△CAD； （2）求∠BFC的大小； （3）在图1的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，此时BE交CD的延长线于点F，其他条件不变，得到图2所示的图形，请直接写出（1）（2）中结论是否仍然成立． 7.如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且B，A，E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN． 求证：（1）BD=CE； （2）BM=CN． 十、定义判定等边三角形 1.用等长的小木棒拼三角形，至少3根可拼成1个等边三角形，至少5根可拼成2个等边三角形，至少7根可拼成3个等边三角形，若拼成13个等边三角形，至少需要小木棒的根数为（　　） A.39 B.27 C.24 D.25 2.已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足（a﹣b）2+ +|c2﹣64|=0，则三角形的形状是（　　） A.底和腰不相等的等腰三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 3.一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（　　） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 4.在8个点形成的格点图中，每一点与其相邻的点之间的距离都等于1，那么图中以格点为顶点的等边三角形的个数为　            　． 5.如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出______个． 6.如图，△ABC是等边三角形，分别延长AB至F，BC至D，CA至E，使AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，求证：△DEF是等边三角形． 7.如图，AD∥BC，且DB平分∠ADC． （1）求证：DC=BC； （2）如果∠C∶∠ADC=1∶2，求证：△CDB是等边三角形． 十一、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 1.若一个三角形成轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（　　） A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.上述三种情形都有可能 2.如图，D是等边△ABC的边AB上的一点，CD=BE，∠1=∠2，则△ADE是（　　） A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形 3.已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（　　） A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰钝角三角形 4.如图，AD是等腰直角三角形ABC斜边上的中线，P是DA的延长线上的一点，当∠PBA=_____________时，△PBC是等边三角形． 5.一个等腰三角形的一条边长为7，一个外角为120°，则这个三角形的周长为　            　． 6.如图，在△ABC中，∠B=60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE，DE，使EC=DE.求证：△ABC是等边三角形． 7.已知，如图，△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E，若∠A=60°，试判断△DEC的形状，并说明理由． 十二、等边三角形和等腰三角的性质 1.下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，△ABC是等边三角形，CB=BD，连接AD，∠ACD=110°，则∠BAD的度数为（　　） A.10° B.15° C.20° D.25° 3.如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC等于（　　） A.30° B.20° C.25° D.15° 4.如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝__________度． 5.如图，△ABC为等边三角形，以AC为直角边作等腰直角三角形ACD，∠ACD=90°，则∠CBD=____________°． 6.如图，△ABC是等边三角形，△ADE是等腰三角形，AD=AE，∠DAE=80°，当DE⊥AC时，求∠BAD和∠EDC的度数． 7.问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系． （1）特例探究： 如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D=　          　； 如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A=100°，其余条件不变，则∠D=　        　；这两个图中，∠D与∠A度数的比是　            ； （2）猜想证明： 如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由． 十三、等边三角形的性质和等腰三角形的判定 1.如图，△ABC为等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，若△ABC的周长为18，BD=a，则△BDE的周长为（　 　） A.9+a B.12+2a C.12+a D.9+2a 2.如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（　　） ①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°． A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，在等边△ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中除△ABC外等腰三角形的个数是（ ） A.7 B.6 C.5 D.4 4.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，则∠1的度数是　         ． 5.已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出四个正确结论①　            　；②　            　；③　                       ；④　            ． 6.如图，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，E是AB延长线上的一点，且BE=BD． （1）求∠BAD和∠BDE的度数； （2）求证：AD=DE． 7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求BC的长． 十四、含30°角的直角三角形与等腰三角形 1.如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线BC或射线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有(　　) A.2个 B.4个 C.5个 D.6个 2.如图是某房屋顶框架的示意图，其中AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，AD＝3.5 m，则AB的长为(　　) A.6 m B.7 m C.8 m D.9 m 3.如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，DA⊥AB，AD=24，则BC=______． 5.一个等腰三角形的顶角是120º，底边上的高线长是1cm，则它的腰长是            cm． 6.某幼儿园有一块等腰三角形菜地，AB＝AC＝10 m，∠C＝75°，现如今要将它划分为两块面积相等的菜地给大一班和大二班进行蔬菜种植，若点D为AB的中点，连接CD．求△ACD的面积． 7.如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB=30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？ 十五、含30°角的直角三角形与等边三角形 1.如图，△ABC是边长为a的等边三角形，D是BC边的中点，DE⊥AC于E，则CE的长为（　　） A. a B. a C. a D.a 2.如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，则AD的长是（　　） A.7 B.6 C.5 D.4 3.在△ABC中，∠C=90°，AB=10，点D在AB上，且△ADC是等边三角形，则AD的长是（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 4.如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AC，若AB＝12 cm，则CE＝______ cm. 5.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D，则AD=　      　． 6.已知△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，P是AC上一点，D是BC延长线上一点，且PB=PD，过D点作DE⊥AC，交AC延长线于点E，求AP与CE之间的数量关系． 7.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD 是 △ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，连接 EC，求证：△EBC 是等边三角形. 十六、反证法 1.用反证法证明命题“钝角三角形中至少有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个钝角三角形中（　　） A.有一个内角小于45° B.每一个内角都小于45° C.有一个内角大于或等于45° D.每一个内角都大于或等于45° 2.用反证法证明“是无理数”时，最恰当的证法是先假设（　　） A.是分数 B.是整数 C.是有理数 D.是实数 3.用反证法证明，“在△ABC中，∠A，∠B对边是a，b.若∠A＜∠B，则a＜b”第一步应假设（　　） A.a＞b B.a=b C.a≤b D.a≥b 4.命题：多边形中最多有3个锐角，若用反证法证明这个命题，应首先假设         ． 5.要说明命题“若ab=0，则a+b=0”是假命题，可举反例，如               ． 6.阅读下列文字，回答问题． 题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC． 证明：假设AC=BC，因为∠A≠45°，∠C=90°，所以∠A≠∠B． 所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC． 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正． 7.利用反证法求证：一个三角形中不能有两个角是钝角． 北师大版八年级下册 1.1 等腰三角形 暑假巩固（参考答案） 一、等腰三角形与三角形内角和 1.等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（　　） A.65°，65° B.50°，80° C.65°，65°或50°，80° D.50°，50° 【答案】C 【解析】当50°是底角时，顶角为180°﹣50°×2=80°；当50°是顶角时，底角为（180°﹣50°）÷2=65°．故选C． 2.如图，∠BOC=8°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…，这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n的值是（　　） A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】C 【解析】由题意可知AO=A1A，A1A=A2A1，…，则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，…，∵∠BOC=8°，∴∠A1AA2=（2×8）°，∠A2A1A3=（3×8）°，∠A3A2A4=（4×8）°，∠A4A3A5=（5×8）°，…，∠Ak+1AkAk+2=[（k+2）•8]°．由题意得（k+2）•8＜90，解得k＜9.25，由于k为整数，故k=9，可以画11条线段，n=11．故选C． 3.如图，在△ABC中，AB=AC，DB=BC，∠B=70°，∠ACD的度数为（　　） A.10° B.15° C.25° D.30° 【答案】B 【解析】∵DB=BC， ∴∠BCD＝＝55°， ∵AB=AC，∠B=70°， ∴∠ACB=∠B=70°， ∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=70°-55°=15°. 故选：B． 4.已知等腰三角形两个内角度数之比是1∶4，则这个等腰三角形的底角为______________． 【答案】80°或30° 【解析】设两个角分别是x，4x，①当x是底角时，根据三角形的内角和定理，得x+x+4x=180°，解得x=30°，4x=120°，即底角为30°；②当x是顶角时，则x+4x+4x=180°，解得x=20°，底角为80°；所以该三角形的底角为80°或30°．故答案为80°或30°． 5.等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是            ． 【答案】50°或80° 【解析】①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为180°﹣100°=80°，则其底角为（180°﹣80°）÷2=50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为180°﹣100°=80°；故这个等腰三角形的底角为50°或80°．故答案为50°或80°． 6.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数． 【答案】解 设∠A=x．∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x， ∵BD=BC， ∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x， ∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCD=2x， ∴x+2x+2x=180°，∴x=36°， ∴∠A=36°，∠ABC=∠ACB=72°． 7.如图，在△ABC中，AB=AC，D，E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE． 【答案】证明 ∵AB=AC，AD=AE， ∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED， ∵∠ADE=∠B+∠BAD， ∠AED=∠C+∠CAE， ∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE． 二、等腰三角形与平行线性质 1.如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于点B，C，连接AC，BC．若∠ABC=67°，则∠1等于（　　） A.23° B.46° C.67° D.78° 【答案】B 【解析】根据题意得AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=67°，∵直线l1∥l2，∴∠1+∠ACB+∠ABC =180°， ∴∠1=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣67°﹣67°=46°．故选B． 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD的度数为(　　) A.40° B.50° C.60° D.70° 【答案】D 3.如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝55°，则∠2的度数是(　　) A.70° B.65° C.60° D.55° 【答案】A 【解析】∵AB∥CD，∴∠1＝∠ACD＝55°， 又AD＝CD， ∴∠ACD＝∠CAD＝55°， ∴∠2＝180°－2×55°＝70°. 4.如图，a∥b，∠ABC=50°，若AB=AC，则∠α=      °. 【答案】130 【解析】∵AB=AC，∠ABC=50°，∴∠ACB=∠ABC=50°，∵a∥b，∴∠α=130°．故答案为130． 5.已知：如图，△ABC中，AB=AC，BE∥AC，∠BDE=100°，∠BAD=70°，则∠E=            ． 【答案】50° 【解析】∵∠BDE=∠ABC+∠BAD，∴∠ABC=∠BDE﹣∠BAD=100°﹣70°=30°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=30°，∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠C=120°，∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣70°=50°，∵BE∥AC，∴∠E=∠CAD=50°．故答案是50°． 6.如图，AB=AC=AD． （1）如果AD∥BC，那么∠C和∠D有怎样的数量关系？证明你的结论； （2）如果∠C=2∠D，那么你能得到什么结论？证明你的结论． 【答案】解 （1）∠C=2∠D，证明：∵AD∥BC，∴∠D=∠DBC，又∵AB=AD，∴∠D=∠ABD，∴∠ABC=2∠D，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=2∠D． （2）AD∥BC，证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2∠D，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠D，∴∠DBC=∠D，∴AD∥BC． 7.如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB交AB于点D，AE∥DC交BC的延长线于点E，已知∠E=36°，求∠B的度数． 【答案】解 ∵AE∥DC，∴∠BCD=∠E=36°，又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠BCD=72°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACD=72°． ∴∠B的度数为72°． 三、等腰三角形的三线合一 1.如图，△ABC中，若AB=AC，AD是∠BAC的平分线，则∠ADB等于（　　） A.80° B.90° C.100° D.110° 【答案】B 【解析】∵△ABC中，若AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB= 90°．故选B． 2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积为（　　） A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2 【答案】C 【解析】∵S△ABC=12cm2，∴阴影部分面积=12÷2=6(cm2)．故选C． 3.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　） A.BD=CD B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D.AB=2BD 【答案】D 【解析】∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点， ∴BD=CD（故A正确），AD⊥BC（故B正确），∠BAD=∠CAD（故C正确），无法得到AB=2BD（故D不正确）．故选D． 4.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，AD平分∠BAC，则BD=____________． 【答案】4 【解析】∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=BC=4．故答案是4． 5.如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD的度数是_______． 【答案】60° 【解析】∵△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC，∴AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠BAC=×120°=60°．故答案为：60°． 6.如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE． 【答案】证明 如图，过点A作AP⊥BC于P．∵AB=AC，∴BP=PC， ∵AD=AE，∴DP=PE， ∴BP﹣DP=PC﹣PE， ∴BD=CE． 7.如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上． （1）求证：BE=CE； （2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：AE=BC． 【答案】证明 （1）∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴AD垂直平分BC，∴BE=CE． （2）∵BF⊥AC，∠BAC=45°，∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AF=BF，∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∴∠EAF+∠C=90°， ∵BF⊥AC， ∴∠CBF+∠C=90°， ∴∠EAF=∠CBF， 在△AEF和△BCF中，∠EAF=∠CBF，∠AFE=∠BFC，AE=BF， ∴△AEF≌△BCF（ASA）， ∴AE=BC． 四、定义法判定等腰三角形 1.在如图的网格中，在网格上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点的个数为（　　） A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】C 【解析】如图，①若BA=BC，则符合要求的有C1，C2共2个点；②若AB=AC，则符合要求的有C3，C4共2个点；③若CA=CB，则符合要求的有C5，C6，C7，C8，C9，C10共6个点．∴这样的C点有10个．故选：C． 2.如图，在△ABC，BC=BA，点D在AB上，且AC=CD=DB，则图中等腰三角形的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】∵BC=BA，∴△BCA是等腰三角形，∵AC=CD，∴△ACD是等腰三角形，∵BD=CD，∴△BDC是等腰三角形．故选C． 3.如图，D是△ABC内一点，DA=DB，AB=AC，现把△DAB绕点A旋转到△EAC的位置，连接DE，则图中等腰三角形的个数为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】由题意知△ABD≌△ACE，所以AE=AD=DB=EC，又AB=AC，所以△ABD，△ACE，△ABC，△ADE均为等腰三角形，所以共有4个．故选C． 4.在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有       个． 【答案】3 【解析】第一图，由作图可知CA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确． 第二图，由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，故错误． 第三图，由作图可知BA=BD可推出BD=CD=AD，即△ADC是等腰三角形，故正确． 第四图，由作图可知DA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确． 故答案为3 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有　     　个． 【答案】6 【解析】如图，①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA=PB），交直线BC 于点P2； ②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2（此时AB=AP）； ③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP=BA）． 故符合条件的点有6个．故答案为6． 6.如图，线段AB的一个端点B在直线m上，若直线m上存在点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C有多少个？ 【答案】解 如图， 分三种情况： 当BA=BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线m于点C1，C2， 当AB=AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线m于点C3， 当CA=CB时，作AB的垂直平分线交直线m于点C4， 综上所述，使△ABC为等腰三角形，这样的点C有4个. 7.如图，已知BE=CE，∠B=∠C，求证：△AED是等腰三角形． 【答案】证明 ∵∠AEB=∠DEC，BE=CE，∠B=∠C， ∴∠ABE≌∠DCE，∴AE=DE，∴AED为等腰三角形． 五、等腰三角形的判定与三角形内角和 1.下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是（　　） A.有两个内角分别是70°和40°的三角形 B.有一个角为45°的直角三角形 C.有外角是130°，与它不相邻的一个内角为50°的三角形 D.有两个角分别为70°和50°的三角形 【答案】D 【解析】A.如图1所示， ∵∠B=70°，∠A=40°， ∴∠C=180°﹣70°﹣40°=70°，∴∠B=∠C，∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形，故本选项正确； B.如图2所示， ∵∠A=45°，∠C=90°，∴∠B=90°﹣45°=45°，∴AC=BC， ∴△ABC是等腰三 角形，故本选项正确； C.如图3所示， ∴∠ACD=130°，∠B=50°， ∴∠ACB=180°﹣∠ACD=180°﹣130°=50°， ∴∠B=∠ACB=50°，∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形，故本选项正确； D.∵∠A=70°，∠B=50°，∴∠C=180°﹣70°﹣50°=60°， ∴△ABC不是等腰三角形，故本选项错误．故选D． 2.对“等角对等边”这句话的理解，正确的是（　　） A.只要两个角相等，那么它们所对的边也相等 B.在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等 C.在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等 D.以上说法都是正确的 【答案】C 【解析】“等角对等边”是等腰三角形的判定定理，是如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等的简写形式，意思是：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等．故C正确. 3.要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（　　） A.∠A=50°，∠B=60° B.∠A=50°，∠B=100° C.∠A+∠B=90° D.∠A+∠B=90° 【答案】D 【解析】A.若∠A是顶角时，则50°+120°＜180°，所以此种情况组不成等腰三角形；若∠B是顶角时，在50°+50°+60°＜180°，所以此种情况组不成等腰三角形；总之，本组数据不能使得△ABC是等腰三角形；故本选项错误； B.若∠A是顶角时，则50°+200°＞180°，所以此种情况组不成等腰三角形；若∠B是顶角时，在100°+100°＞180°，所以此种情况组不成等腰三角形；总之，本组数据不能使得△ABC是等腰三角形；故本选项错误； C.当∠A+∠B=90°时，∠C=90°；但∠A=10°，∠B=80°时，三角形ABC的三个内角中，没有两个相等的角，所以构不成等腰三角形；故本选项错误； D.当∠B是顶角时，则2∠A+∠B=180°，∴∠A+∠B=90°；故本选项正确．故选D． 4.如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=_________.　 【答案】3 【解析】∠ACB=180°-∠BAC-∠B=40°，∠CAD=∠ACB-∠D=20°，所以∠ACB=∠B=40°，∠CAD=∠D=20°，所以CD=AC，AC=AB，故CD=AB=3. 5.如图，在△ABC中，∠BAC∶∠B∶∠C=3∶1∶1，AD，AE将∠BAC三等分，则图中等腰三角形的个数是　          　． 【答案】6 【解析】∵∠BAC∶∠B∶∠C=3∶1∶1，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠BAC=108°，∠B=36°，∠C=36°， ∵AD，AE将∠BAC三等分，∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°， ∴∠ADE=∠AED=∠BAE=∠CAD=72°， ∴AD=BD，AD=AE，AE=CE，AB=AC，AB=BE，AC=CD， ∴△ABD，△ADE，△AEC，△ABC，△ABE，△ACD是等腰三角形， ∴图中等腰三角形的个数是6，故答案为6． 6.如图，AE=AD，∠ABC=∠ACB，BE=4，AD=5，求AC的长度． 【答案】解 ∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AE=AD， ∴BE=CD，∵AD=5，BE=4，∴CD=BE=4， ∴AC=AD+CD=5+4=9． 7.如图，AD=BC，AC=BD，求证：△EAB是等腰三角形． 【答案】证明 在△ADB和△BCA中，AD=BC，AC=BD，AB=BA， ∴△ADB≌△BCA（SSS）． ∴∠DBA=∠CAB． ∴AE=BE． ∴△EAB是等腰三角形． 六、等腰三角形判定与角平线、平行线综合 1.在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】A 【解析】∵∠ABC=∠C=2∠A，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∵∠ABC+∠C+∠A=180°，∴2∠A+2∠A+∠A=180°，∴∠A=36°，∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC=∠ADE=∠C=72°，∠EDB=∠DBC，∴AE=AD，∴△AED为等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∴∠EBD=∠DBC=∠EDB=∠A=36°，∴ED=BE，AD=BD，∴△ADB，△EBD为等腰三角形，∴∠BDC=180°﹣∠C﹣∠DBC=72°=∠C，∴△BCD为等腰三角形，∴等腰三角形共有5个．故选A． 2.如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，∠ABC的平分线交AC于D，则图中共有等腰三角形（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】∵在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°， ∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=72°=∠C， ∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形； ∵BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD=∠DBC=36°． ∵∠A=∠ABD=36°， ∴△ABD是等腰三角形； ∵∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C， ∴△BDC是等腰三角形；∴共有3个等腰三角形．故选D． 3.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=45°，AD，CF都是高，相交于点P，角平分线BE分别交AD，CF于Q，S，则图中的等腰三角形个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】∵∠ABC=60°，∠ACB=45°，AD，CF都是高，∴∠DAC=45°，∴CD=AD，∴△ADC为等腰直角三角形， ∴∠BAD=30°，∴∠APF=60°，∵∠ABC=60°，且BE是∠ABC的角平分线， ∴∠QBD=30°，∴∠BQD=60°，∴SP=SQ， ∴△QSP为等腰三角形，∵∠BAD=EBA=30°， ∴△QAB是等腰三角形，∵∠ABE=30°，∠AEB=∠EBC+∠ACD=30°+45°=75°， ∴∠BAC=180°﹣30°﹣75°=75°，∴∠BAC=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形， ∵∠SBC=∠SCB=30°， ∴△SBC是等腰三角形．故选D． 4.如图，已知∠A＝36°，BD平分∠ABC，∠C＝72°，则∠DBC＝________，∠BDC＝________，图中的等腰三角形有______________________． 【答案】36°　72°　△ABC，△DBA，△BCD 5.如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，若DE＝4，AC＝7，则AE＝________. 【答案】3 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DC=AB，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，求AD的长. 【答案】解 ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF， ∵AD∥BC， ∴∠AFB=∠CBF， ∴∠AFB=∠ABF， ∴AF=AB， ∵AB=6， ∴AF=6， 又EF=2， ∴AE=AF-EF=4， ∵DC=AB，AB=6， ∴DC=6， ∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE=∠DCE， ∵AD∥BC， ∴∠BCE=∠DEC， ∴∠DEC=∠DCE， ∴DE=CD=6， ∴AD=AE+DE=10． 7.如图①，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB，AC于E，F． （1）请写出图①中线段EO和BE的大小关系：                ； （2）请写出图①中线段EF与BE，CF间的关系：                  ； （3）如图②，若∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACG平分线交于O，过点O作BC的平行线交AB于E，交AC于F．请写出EF与BE，CF的关系，并说明理由． 【答案】解 （1）EO=BE， 理由：∵EF∥BC， ∴∠EOB=∠OBC， ∵OB是∠ABC的平分线， ∴∠EBO=∠OBC， ∴∠EOB=∠EBO， ∴BE=OE． （2）线段EF与BE，CF间的关系为EF=BE+CF，理由如下： ∵EF∥BC， ∴∠FOC=∠OCB， ∵OC是∠ACB的平分线， ∴∠FCO=∠OCB， ∴∠FCO=∠FOC， ∴CF=OF， 由（1）得BE=OE， ∴EF=OE+OF=BE+CF． （3）EF与BE，CF的关系为EF=BE-CF，理由如下： ∵EF∥BC， ∴∠EOB=∠OBC， ∵OB平分∠ABC， ∴∠ABO=∠OBC， ∴∠ABO=∠EOB， ∴OE=BE， ∵EF∥BC， ∴∠FOC=∠OCG， ∵OC平分∠ACG， ∴∠FCO=∠OCG， ∴∠FOC=∠FCO， ∴OF=CF， ∴EF=OE-OF=BE-CF． 七、等边三角形的三个角都等于60° 1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE交AD于点F，则∠DFE的度数为 （ ） A.45° B.55° C.60° D.75° 【答案】D 【解析】∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠BAE=90°+60°=150°，∵AB=AE， ∴∠AEB=×（180°-150°）=15°， ∴∠DFE=∠AEB+∠EAF=15°+60°=75°．故选D． 2.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（　　） A.25° B.60° C.85° D.95° 【答案】D 【解析】∠ADB=∠DBC+∠C=35°+60°=95°．故选D． 3.如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1=20°，则∠2的度数是（　　） A.100° B.80° C.60° D.40° 【答案】A 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°， ∵∠1=20°，∴∠3=100°，∴∠2=100°．故选A． 4.三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=40°，则∠1+∠2=　       　°． 【答案】140 【解析】∵图中是三个等边三角形，∠3=40°，∴∠ABC=180°﹣60°﹣40°=80°，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，∠BAC=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴80°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）=180°，∴∠1+∠2=140°．故答案为：140 5.如图，△ABC是等边三角形，则∠ABD=　       　度． 【答案】120 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，则∠ABD=120°．故答案为：120． 6.如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数． 【答案】解 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°. ∵BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°， ∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°. 7.如图，等边△ABC，∠1=∠2=∠3，求∠BEC的度数． 【答案】解 ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠2=∠3， ∴∠2+∠BCE=∠3+∠BCE=∠ACB=60°，∴∠BEC=180°﹣（∠2+∠BCE）=180°﹣60°=120°． 八、等边三角形中的三线合一 1.等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（ ） A.30° B.40° C.50° D.60° 【答案】D 2.如图，在等边△ABC中，BD，CE是两条中线，则∠1的度数为（　　） A.90° B.30° C.120° D.150° 【答案】C 【解析】∵△ABC是等边三角形，BD，CE是两条中线，∴∠AEC=∠ADB=90°，∠A=60°，∴∠1=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°．故选C． 3.等边三角形对称轴的条数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】等边三角形三线合一，所以等边三角形每条边的垂直平分线均为对称轴，等边三角形三边的垂直平分线共有3条，故对称轴的条数是3条．故选C． 4.在等边△ABC中，AD⊥BC，BD=3，则AB=　         　． 【答案】6 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∵AD⊥BC，BD=3，∴BC=2BD=6，∴AB=6．故答案为：6． 5.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD=         　°． 【答案】30 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠BAC=30°．故答案为：30． 6.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE＝CD.求证：BD＝DE. 【答案】证明 ∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°. 又CE＝CD， ∴∠CDE＝∠CED. 又∠BCD＝∠CDE＋∠CED， ∴∠CDE＝∠CED＝30°. ∴∠DBC＝∠DEC. ∴BD＝DE(等角对等边)． 7.如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE=BD． 【答案】证明 ∵△ABC和△ADE是等边三角形，AD为BC边上的中线， ∴AE=AD，AD为∠BAC的角平分线， 即∠CAD=∠BAD=30°， ∴∠BAE=∠BAD=30°， 在△ABE和△ABD中，AE=AD，∠BAE=∠BAD，AB=AB， ∴△ABE≌△ABD（SAS）， ∴BE=BD． 九、等边三角形的性质综合 1.下面关于“等边三角形”的说法不正确的是（　　） A.等边三角形的三条边都相等 B.等边三角形的三个内角都相等且都等于60° C.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 D.等边三角形与等腰三角形具有相同的性质 【答案】D 【解析】A，B，C都是正确的；D、等边三角形除了和等腰三角形相同的性质，还具有三边相等、三个内角都相等、有三条对称轴的性质，是特殊的等腰三角形，所以等边三角形与等腰三角形具有相同的性质是错误的．故选：D． 2.如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（　　） A.△ABD≌△EBC B.△NBC≌△MBD C.DM=DC D.∠ABD=∠EBC 【答案】C 【解析】A.可以利用SAS验证，正确； B.可以利用AAS验证，正确； C.可证∠MBN=60°，若DM=DC=DB，则△DMB为等边三角形，即∠BDM=60°∵∠EAB=∠DBC，∴AE∥BD．∴∠BDM=∠EAD=60°．与已知不符，错误； D.可由∠ABE，∠DBC同加一个∠DBE得到，正确．所以错误的是第三个．故选C． 3.如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD，BE交于点F，则∠AFB等于（　　） A. 50° B. 60° C. 45° D. ∠BCD 【答案】B 【解析】∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，设AD与BC相交于P点，在△ACP和△BFP中，有一对对顶角，∴∠AFB=∠ACB=60°．故选B． 4.△ABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线AM与BN相交于Q点，∠AQN的度数为            ． 【答案】60°或120° 【解析】①如图1，点M在线段BC上，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC，在△AMB和△BNC中，AB=BC，∠ABC=∠C，BM=CN，△AMB≌△BNC（SAS），∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC，∠MAN=∠BAC﹣∠MAB=60°﹣∠MAB，又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等），∴∠ANB+∠MAN=120°，又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°，∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAN=180°﹣120°=60°； ②如图2，点M在BC的延长线上，∵△BCN≌△ABM，∴∠M=∠N，∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°，∴∠M+∠CAM=∠ACB=60°，∵∠M=∠N，∠CAM=∠NAQ，∴∠N+∠NAQ=60°，∴∠BQM=∠N+∠NAQ=60°，∴∠AQN=120°．综上所述，∠AQN的度数为60°或120°．故答案为：60°或120°． 5.如图，△ABE和△ACD都是等边三角形，若BO+OC=m，OE+OD=n，则BD的长为　      　．（用含m，n的式子表示） 【答案】（m+n） 【解析】∵△ABE和△ACD都是等边三角形，∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC，∴∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，EA=BA，∠EAC=∠BAD，AC=AD，∴△EAC≌△BAD，∴EC=BD，∵BO+OC=m，OE+OD=n，∴BO+OC+OE+OD=m+n，∴EC+BD=m+n，∴BD=（m+n）． 6.已知如图所示，在等边△ABC和等边△ADE中，点B，A，D在一条直线上，BE，CD交于F． （1）求证：△BAE≌△CAD； （2）求∠BFC的大小； （3）在图1的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，此时BE交CD的延长线于点F，其他条件不变，得到图2所示的图形，请直接写出（1）（2）中结论是否仍然成立． 【答案】（1）证明 ∵等边△ABC和等边△ADE，∴AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=60°，∴∠CAE=60°，∠BAE=∠CAD=120°，∴△BAE≌△CAD． （2）解 ∵△BAE≌△CAD，∴∠ADC=∠AEB，∵∠BFC=∠ABE+∠ADC，∴∠BFC=∠ABE+∠AEB=180°﹣∠BAE=60°． （3）解 成立．∵等边△ABC和等边△ADE，∴AE=AD，AC=AB，∠BAE=∠CAD=60°，∴△BAE≌△CAD，∵∠CDA=∠AEB，∴∠ABE+∠BDF=∠ABE+∠CDA=∠ABE+∠AEB=180°﹣∠BAE=180°﹣60°=120°，∴∠ABE+∠BDF=120°，∠BFC=180°﹣（∠ABE+∠BDF）=60°． 7.如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且B，A，E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN． 求证：（1）BD=CE； （2）BM=CN． 【答案】证明 （1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形， 则在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD= AE， ∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE． （2）由（1）可知，∠DBA=∠ACE， 又∵AB=AC，∠BAC=∠CAD=60°， 则在△ABM和△ACN中，∠DBA=∠ACE，AB=AC，∠BAC=∠CAD， ∴△ABM≌△ACN，∴BM=CN． 十、定义判定等边三角形 1.用等长的小木棒拼三角形，至少3根可拼成1个等边三角形，至少5根可拼成2个等边三角形，至少7根可拼成3个等边三角形，若拼成13个等边三角形，至少需要小木棒的根数为（　　） A.39 B.27 C.24 D.25 【答案】B 【解析】设增加x个小木棒时拼成13个等边三角形．1+=13，x=24，24+3=27．故选B． 2.已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足（a﹣b）2+ +|c2﹣64|=0，则三角形的形状是（　　） A.底和腰不相等的等腰三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 【答案】B 【解析】由（a﹣b）2++|c2﹣64|=0得a﹣b=0，b﹣8=0，c2﹣64=0，又a，b，c是三角形的三边长，∴a=8，b=8，c=8，所以三角形的形状是等边三角形．故选：B． 3.一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（　　） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 【答案】D 【解析】∵一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，即三角形任意一边上的高与中线重合，∴这个三角形的三边都相等，∴这个三角形必为等边三角形．故选D． 4.在8个点形成的格点图中，每一点与其相邻的点之间的距离都等于1，那么图中以格点为顶点的等边三角形的个数为　            　． 【答案】8 【解析】连接相邻的点，图中等边三角形有△ABD，△BCE，△BDE，△DFG，△DEG，△EGH， △BFH，△ACG，共8个，故答案为8． 5.如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出______个． 【答案】2 【解析】最多可作2个位置不同的等边三角形，如图． 6.如图，△ABC是等边三角形，分别延长AB至F，BC至D，CA至E，使AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，求证：△DEF是等边三角形． 【答案】证明 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠EAF=∠FBD=∠DCE=120°． ∵AB=BC=CA，AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA， ∴AF=BD=CE． 又∵AE=BF=CD，∴△AEF≌△BFD≌△DCE． ∴EF=FD=DE．即△DEF是等边三角形． 7.如图，AD∥BC，且DB平分∠ADC． （1）求证：DC=BC； （2）如果∠C∶∠ADC=1∶2，求证：△CDB是等边三角形． 【答案】（1）证明 ∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB=∠BDC， ∴∠DBC=∠BDC，∴DC=BC． （2）证明 ∵∠ADB=∠BDC， ∴∠BDC∶∠ADC=1∶2， ∵∠C∶∠ADC=1∶2，∴∠BDC=∠C， ∴BD=BC，由（1）可知DC=BC， ∴BD=BC=CD， ∴△CDB是等边三角形． 十一、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 1.若一个三角形成轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（　　） A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.上述三种情形都有可能 【答案】C 【解析】因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形．故选C． 2.如图，D是等边△ABC的边AB上的一点，CD=BE，∠1=∠2，则△ADE是（　　） A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形 【答案】C 【解析】因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC=60°．又因为CD=BE，∠1=∠2，且AC=AB，所以△ADC≌△AEB，所以AD=AE，∠EAD=∠CAB=60°，所以△ADE为等边三角形．故选C． 3.已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（　　） A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰钝角三角形 【答案】C 【解析】①120°的角为顶角的外角，则顶角为180°﹣120°=60°，底角为（180°﹣60°）÷2=60°，三角形为等边三角形； ②120°的角为底角的外角，则底角为180°﹣120°=60°，顶角为180°﹣60°×2=60°，三角形为等边三角形．故选C． 4.如图，AD是等腰直角三角形ABC斜边上的中线，P是DA的延长线上的一点，当∠PBA=_____________时，△PBC是等边三角形． 【答案】15° 【解析】当∠PBA=15°时，△PBC是等边三角形，理由如下：∵AD是等腰直角三角形ABC斜边上的中线，∴∠ABC=45°，BD=DC，AD⊥BC，∴PB=PC，∵∠PBA=15°，∴∠PBC=60°，∴△PBC是等边三角形，故答案为：15°. 5.一个等腰三角形的一条边长为7，一个外角为120°，则这个三角形的周长为　            　． 【答案】21 【解析】∵等腰三角形一个外角为120°，则内角为60°，∴该三角形为等边三角形．从而知周长为3×7=21．故答案为21． 6.如图，在△ABC中，∠B=60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE，DE，使EC=DE.求证：△ABC是等边三角形． 【答案】证明 如图，延长BD至F，使DF=BC，连接EF，∵EC=ED，∴∠ECD=∠EDC，∴∠ECB=∠EDF，∴△ECB≌△EDF（SAS），∴BE=EF，∠B=60°，∴△BEF为等边三角形，∴BE=BF，∵AE=BD，∵BC=DF，∴AE=CF，∴AB=BC，∴△ABC是等边三角形． 7.已知，如图，△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E，若∠A=60°，试判断△DEC的形状，并说明理由． 【答案】解 △DEC是等边三角形，理由：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE∥AB，∴∠CED=∠B，∴∠C=∠CDE；∴ED=EC，∵DE∥AB，∴∠DEC=∠A=60°，∴△DEC是等边三角形． 十二、等边三角形和等腰三角的性质 1.下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】①等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和高重合，故本选项错误，②等腰三角形两腰上的高相等，正确；③等腰三角形的最小边不一定是底边，故本选项错误；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等，正确；⑤等腰三角形不一定是锐角三角形，故本选项错误；其中正确的有2个．故选B． 2.如图，△ABC是等边三角形，CB=BD，连接AD，∠ACD=110°，则∠BAD的度数为（　　） A.10° B.15° C.20° D.25° 【答案】C 【解析】∵△ABC是等边三角形，∠ACD=110°，∴∠DCB=50°，∵CB=BD，AB=BC，∴AB=BD，又∵∠ABD=∠ABC+∠CBD=∠ABC+（180°-∠BCD -∠BDC）=60°+（180°﹣50°﹣50°）=140°，∴∠BAD=∠BDA=（180°﹣∠ABD）=×（180°﹣140°）=20°．故选C. 3.如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC等于（　　） A.30° B.20° C.25° D.15° 【答案】D 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，∵AD是△ABC的中线，∴∠DAC=∠BAC=30°，AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED=(180°-∠DAC)÷2=(180°-30°)÷2=75°，∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣75°=15°．故选D． 4.如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝__________度． 【答案】15 【解析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB＝60°，因为DF＝DE，所以∠EFD＝∠E,又CG＝CD，所以∠CGD＝∠CDG=2∠E,所以∠ACB＝2∠CDG =4∠E =60°，所以∠E =15°． 5.如图，△ABC为等边三角形，以AC为直角边作等腰直角三角形ACD，∠ACD=90°，则∠CBD=____________°． 【答案】15 【解析】∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°，∵△ACD是等腰直角三角形，∴AC=CD，∴BC=CD，∴∠CBD=∠CDB，∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=150°，∴∠CBD=15°．故答案为：15． 6.如图，△ABC是等边三角形，△ADE是等腰三角形，AD=AE，∠DAE=80°，当DE⊥AC时，求∠BAD和∠EDC的度数． 【答案】解 ∵DE⊥AC，AD=AE，∠DAE=80°， ∴∠ADE=∠E=50°，∠DAF=∠EAF=40°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∴∠BAD=60°﹣40°=20°， ∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC， ∴60°+20°=50°+∠EDC， ∴∠EDC=30°． 7.问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系． （1）特例探究： 如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D=　          　； 如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A=100°，其余条件不变，则∠D=　        　；这两个图中，∠D与∠A度数的比是　            ； （2）猜想证明： 如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由． 【答案】解 （1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∠ACE=120°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．∴∠DBC=30°，∠DCE=60°，∵∠DCE=∠D+∠DBC，∴∠D=30°；∵△ABC是等腰三角形，∠A=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∠ACE=140°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．∴∠DBC=20°，∠DCE=70°，∵∠DCE=∠D+∠DBC，∴∠D=50°；∠D∶∠A=1∶2； （2）成立，如图1，在△ABC中，∠ACE=∠A+∠ABC，在△DBC中，∠DCE=∠D+∠DBC，∵CD平分∠ACE，BD平分∠ABC，∴∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，又∵∠ACE=∠A+∠ABC，∴2∠DCE=∠A+2∠DBC，∴2∠D+2∠DBC﹣（∠A+2∠DBC）=0，∴∠A=2∠D． 十三、等边三角形的性质和等腰三角形的判定 1.如图，△ABC为等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，若△ABC的周长为18，BD=a，则△BDE的周长为（　 　） A.9+a B.12+2a C.12+a D.9+2a 【答案】D 【解析】∵△ABC的周长为18，∴BC=AC=18÷3=6，∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴CD=AC=×6=3，∠CBD=×60°=30°，∵CE=CD，∴∠E=∠CDE=×60°=30°，∴∠CBD=∠E，∴BD=DE，∴△BDE的周长=6+3+a+a=9+2A．故选D． 2.如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（　　） ①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】∵△ABC是等边三角形，BD是AC上的中线，∴BD平分∠ABC，BD⊥AC；∵∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，又CD=CE，∴∠CDE=∠DEC=30°，∴∠CBD=∠DEC，∴DB=DE．∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°， ∴这四项都是正确的．故选：D． 3.如图，在等边△ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中除△ABC外等腰三角形的个数是（ ） A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】B 【解析】根据已知条件易证△AOB，△AOC，△BOC，△BOD，△COE，△ODE均为等腰三角形．故答案选B． 4.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，则∠1的度数是　         ． 【答案】75° 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∵BD=BC，∴AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵∠CBD=90°，∴∠ABD=90°+60°=150°，∴∠BDA=15°，∴∠1=90°-15°=75°．故答案为75°． 5.已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出四个正确结论①　            　；②　            　；③　                       ；④　            ． 【答案】①DB=DE　②BD⊥AC　③∠DBC=∠DEC=30°　④△ABD≌△CBD　⑤△DCE∽△BDE　⑥∠CDE=30°　⑦BD平分∠ABC（任写其中四个都可以） 6.如图，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，E是AB延长线上的一点，且BE=BD． （1）求∠BAD和∠BDE的度数； （2）求证：AD=DE． 【答案】（1）解 ∵等边三角形三线合一， ∴BD为∠ABC的角平分线， ∴∠BAD=30°，∠ABD=60°， ∵BE=BD，∴∠BDE=∠BED， ∵∠BDE+∠BED=∠ABD， ∴∠BED=∠BDE=30°， ∴∠BAD=∠BDE=30°． （2）证明 ∵∠BAD=∠BDE=30°， ∴AD=DE. 7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求BC的长． 【答案】解 ∵△ABD是等边三角形， ∴∠B=∠BAD=∠ADB=60°， ∵AB=2，∴BD=AD=2， ∵∠BAC=90°， ∴∠DAC=90°﹣60°=30°， ∵∠ADB=60°， ∴∠C=30°，∴AD=DC=2， ∴BC=BD+DC=2+2=4， ∴BC的长为4． 十四、含30°角的直角三角形与等腰三角形 1.如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线BC或射线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有(　　) A.2个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】C 【解析】根据等腰三角形性质，结合构造等腰三角形的方法，分三种情况：①构造AB的中垂线；②以B为圆心，BA长为半径作圆；③以A为圆心，AB长为半径作圆；他们与直线BC或射线AC的交点即是点P，故符合条件的点P有5个． 2.如图是某房屋顶框架的示意图，其中AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，AD＝3.5 m，则AB的长为(　　) A.6 m B.7 m C.8 m D.9 m 【答案】B 【解析】AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝∠BAC＝60°，∠ADB＝90°， ∴∠B＝30°， ∴AB＝2AD＝7(m)． 3.如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】如图，过点P作PD⊥MN，交MN于点D， 在Rt△OPD中，∠AOB＝60°，OP＝8， ∴∠OPD＝30°， ∴OD＝OP＝×8＝4， ∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2， ∴MD＝ND＝MN＝×2＝1， ∴OM＝OD－MD＝4－1＝3. 4.△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，DA⊥AB，AD=24，则BC=______． 【答案】72 【解析】根据题意画出图形，由已知得∠B=30°，所以BD=2AD=48，易知∠DAC=∠C=30°，所以CD=AD=24，所以BC=BD+CD=48+24=72. 5.一个等腰三角形的顶角是120º，底边上的高线长是1cm，则它的腰长是            cm． 【答案】2 【解析】∵等腰三角形的顶角是120°，∴等腰三角形的底角是30°，又∵底边上的高线长是1cm，∴它的腰长是2cm． 6.某幼儿园有一块等腰三角形菜地，AB＝AC＝10 m，∠C＝75°，现如今要将它划分为两块面积相等的菜地给大一班和大二班进行蔬菜种植，若点D为AB的中点，连接CD．求△ACD的面积． 【答案】解 过点C作CE⊥AB于点E，如图， ∵AB＝AC＝10 m，∠ACB＝75°， ∴∠ABC＝∠ACB＝75°， ∴∠A＝30°， ∵CE⊥AB， ∴△ACE是直角三角形， ∴EC＝AC＝5(m)， ∵点D为AB的中点， ∴AD＝AB＝5(m)， ∴S△ACD＝×AD×CE＝ (m2)， 即所求的面积为m2. 7.如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB=30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？ 【答案】解 ∵∠ADB=30°，∠ACB=15°， ∴∠CAD=∠ADB﹣∠ACB=15°， ∴∠ACB=∠CAD， ∴AD=CD=20米， 又∵∠ABD=90°， ∴AB=AD=10米， ∴树的高度为10米． 十五、含30°角的直角三角形与等边三角形 1.如图，△ABC是边长为a的等边三角形，D是BC边的中点，DE⊥AC于E，则CE的长为（　　） A. a B. a C. a D.a 【答案】A 【解析】∵△ABC是边长为a的等边三角形，D是BC边的中点，∴CD=BC=a，∠C=60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠EDC=30°，∴CE=CD=BC=A．故选A． 2.如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，则AD的长是（　　） A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】A 【解析】∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；又∵AE=CD，在△ABE和△CAD中，AB=CA，∠BAE=∠ACD，AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）；∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°﹣60°=30°；∵PQ=3，∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；又∵PE=1，∴AD=BE=BP+PE=7．故选A． 3.在△ABC中，∠C=90°，AB=10，点D在AB上，且△ADC是等边三角形，则AD的长是（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【解析】∵△ADC是等边三角形，∴∠A=60°，AC=AD，∴∠B=90°﹣60°=30°，∵AB=10，∴AC=AB=×10=5，∴AD=5．故选B． 4.如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AC，若AB＝12 cm，则CE＝______ cm. 【答案】3 【解析】∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝12 cm，∠C＝60°， 而AD⊥BC，∠DAC＝30°， ∴DC＝AC＝6(cm)， ∵DE⊥AC， ∴∠CDE＝30°， ∴CE＝DC＝3(cm)． 5.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D，则AD=　      　． 【答案】2 【解析】由△ABC是等边三角形得，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，又∵DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，∴∠EDF=∠EFD=∠DEF=60°，∴△DEF为等边三角形，∴△ADF≌△DEB≌△EFC，∴AD=BE=CF，∵FD⊥AB，∠AFD=30°，∴AD=AF÷2=(AC-CF)÷2=(6-AD)÷2，解得AD=2．故答案为：2． 6.已知△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，P是AC上一点，D是BC延长线上一点，且PB=PD，过D点作DE⊥AC，交AC延长线于点E，求AP与CE之间的数量关系． 【答案】解 如图，过P点作PF⊥AB于F，∵AB=AC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，∴∠DCE=60°，∵PB=PD，∴∠PBD=∠PDB，∵DE⊥AC，∴∠CDE=30°，∴CD=2CE，∠EPD=90°﹣∠PDE=90°﹣∠CDE﹣∠PDB=60°﹣∠PDB=60°﹣∠PBD=∠FBP，∴∠FBP=∠EPD，在△PBF和△DPE中，∠FBP=∠EPD，∠PFB=∠DEP=90°，BP=PD，∴△PBF≌△DPE（AAS），∴PF=DE，在△APF和△CDE中，∠A=∠ECD=60°，∠PFA=∠DEC=90°，PF=DE，∴△APF≌△CDE（AAS），∴AP=CD，∴AP=2CE． 7.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD 是 △ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，连接 EC，求证：△EBC 是等边三角形. 【答案】证明 在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，BC=AB． ∵BD 平分∠ABC，∴∠DBC=∠DBA=∠A=30°．∴DA=DB． ∵DE⊥AB 于点 E，∴AE=BE=AB．∴BC=BE．∵∠ABC=60°， ∴△BCE是等边三角形． 十六、反证法 1.用反证法证明命题“钝角三角形中至少有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个钝角三角形中（　　） A.有一个内角小于45° B.每一个内角都小于45° C.有一个内角大于或等于45° D.每一个内角都大于或等于45° 【答案】D 2.用反证法证明“是无理数”时，最恰当的证法是先假设（　　） A.是分数 B.是整数 C.是有理数 D.是实数 【答案】C 3.用反证法证明，“在△ABC中，∠A，∠B对边是a，b.若∠A＜∠B，则a＜b”第一步应假设（　　） A.a＞b B.a=b C.a≤b D.a≥b 【答案】D 4.命题：多边形中最多有3个锐角，若用反证法证明这个命题，应首先假设         ． 【答案】多边形中最少有4个锐角 5.要说明命题“若ab=0，则a+b=0”是假命题，可举反例，如               ． 【答案】当a=0，b=1时，ab=0，但a+b=1≠0 6.阅读下列文字，回答问题． 题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC． 证明：假设AC=BC，因为∠A≠45°，∠C=90°，所以∠A≠∠B． 所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC． 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正． 【答案】解 有错误．改正： 假设AC=BC，则∠A=∠B，又∠C=90°， 所以∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾， 所以AC=BC不成立， 所以AC≠BC． 7.利用反证法求证：一个三角形中不能有两个角是钝角． 【答案】证明 假设∠A，∠B，∠C中有两个角是钝角， 不妨设∠A，∠B为钝角， ∴∠A+∠B＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾， 故假设不成立原命题正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$