专题02 相似三角形的应用10大题型（专项训练）数学北京版九年级上册

专题02 相似三角形的应用（10大题型） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、建筑高度问题 1 题型二、影长问题 2 题型三、河宽问题 3 题型四、树高问题 5 题型五、杠杆问题 6 题型六、实验问题 8 题型七、古代问题 8 题型八、裁剪问题 8 题型九、生活实际问题 9 题型十、三角形的内接矩形问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、建筑高度问题 1．中华石鼓阁，堪称“西北第阁”，是宝鸡市的地方标志性建筑．阳光明媚的一天，小丽所在数学兴趣小组的同学们开展了测量石鼓阁高度的实践活动 课题 测量石鼓阁的高度 工具 皮尺、小平面镜等 示意图 说明 如图，小丽站在B处时，水平地面上点C、她的头顶A与石鼓阁的顶端P恰好在一条直线上；然后她沿方向朝石鼓阁走去，当小丽半蹲在点D处时，在阳光下同一时刻，她的影子末端与石鼓阁的影子末端恰好重合于地面上的点F，已知点Q、D、F、B、C在一条直线上，、、均与地面垂直， 测量数据 米，米，米，米，米 请你帮助该小组求出石鼓阁的高度． 【答案】石鼓阁的高度为56米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用．证明，求得；证明，求得，联立，解二元一次方程组即可求解． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ，即， ．① ，， ， ，即， ，② ①②联立，解得， 石鼓阁的高度为56米． 2．陕甘边革命根据地照金纪念馆是全国爱国主义教育示范基地．周末，小希和爸爸一起去陕甘边革命根据地参观，看到伫立在门门的雕像，他们想要配合测量该雕像（）的高度．已知爸爸的身高是（），小希的身高是（），小希在距离雕像的C处（）看雕像的顶端E的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点B，C，F在水平地面上的一条直线上，雕像和两人都垂直于水平地面，求雕像的高度． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作，垂足为，延长交于点，由题意，得，，，所以四边形是矩形，四边形是矩形，根据矩形的性质得，，，证明得，即，解出的值，再根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意，得，，， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， 又， ， ， ，即， 解得， ， 答：雕像的高度为． 3．潍坊人民广场观光塔是潍坊的地标性建筑某数学兴趣小组的同学们开展了测量观光塔高度的实践活动，并形成了如下活动报告． 课题 测量潍坊人民广场观光塔的高度 工具 皮尺、平面镜等． 示意图 说明 如图，小亮站在处，发现他的影子顶端与观光塔的影子顶端重合于点；小莹在处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），当小莹到达点时，刚好从平面镜中看到观光塔的顶端的像其中表示观光塔的高度，表示小亮头顶到地面的高度，表示小莹的眼睛到地面的高度，，均垂直于地面，点、、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 测量数据 ，，，，． 请你根据以上活动报告，帮助该小组求出观光塔的高度． 【答案】该塔的高为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用. 根据题意可得：，再根据垂直定义可得，从而可得，，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ，，， ， ， ， ，，，，． ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 该塔的高为米． 4．综合与实践：打卡“圆融”雕塑． 【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 【答案】[测高]雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]此时相机镜头距离地面的高度约为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用． [测高]如图②，延长，交于M，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到结论； [应用]延长，交于T，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，设，则， ，求得， ，过Q作于S交于R，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：[测高]如图②，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴（负值舍去）， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 题型二、影长问题 5．如图1，平直的公路旁有一竖直灯杆，在灯光下，小华从灯杆的底部处沿直线前进到达点，在处测得自己的影长．小华身高． (1)求灯杆的长； (2)若小华从处继续沿直线前进到处（如图2），求此时小华的影长的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意可得：，，从而可得，然后证明字模型，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答； （2）根据题意可得：，，从而可得，然后证明字模型，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， ， ， 解得：， 灯杆的长为； （2）由题意得：，， ， ， ， 解得：； ∴此时小华的影长的长为． 6．如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米） (1)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长； (2)计算路灯A的高度． 【答案】(1)1.5米 (2)12米 【分析】本题考查相似三角形的应用．解题的关键是掌握：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例． （1）证明，利用对应边成比例可得长； （2）证明，利用对应边成比例可得长，也就是路灯的高度． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：； ∴王琳站在Q处在路灯A下的影长为1.5米； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． ∴路灯A的高度为12米． 7．测量路灯高度，人在路灯下的影长等 活动目标 测量路灯高度，人在路灯下的影长等 工具 皮尺、标杆 活动一：测量路灯的高度． 如图1，标杆垂直于地面，在路灯光源B照射下在地面产生影子，测量． 活动二：测量某同学的影长． 如图2，身高的同学站在离路灯远的地方，即，在路灯光源B照射下在地面产生影子． 活动三：有趣的发现． 如图，标杆垂直于地面，在相邻路灯光源B与照射下在地面产生影子与，若路灯，通过测量猜想发现了一个有趣的结论： 根据上面数学活动记录，回答下面问题： (1)根据活动一测得的数据计算路灯的高度； (2)根据活动二测得的数据计算同学的影长； (3)请证明活动三猜想的结论：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）首先证明，再根据即可求出的长； （2）同（1）证明，再设，根据列方程求解即可； （3）分别证明和，再根据相似比证明即可． 【详解】（1）标杆垂直于地面， ， ，且， ， ， ， ， ，解得． （2）由（1）可得，， ，，且， ， 设，则， ，， 则由得， 即，解得， ． （3）同（1）可得，和， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ． 8．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）．如图2，利用土圭之法记录了两个时刻长为6尺的标杆的影长，发现第一时刻光线与标杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为2.4尺，求第二时刻标杆的影长． 【答案】尺 【分析】本题主要考查平行投影以及相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．由，得到，得到，即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， 根据题意可得，， ， 故第二时刻标杆的影长为尺． 题型三、河宽问题 9．如图，为了估计河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点，在近岸取点，使与河岸垂直，在近岸取点，使，与交于点．已测得米，米，米，求河宽的长． 【答案】河宽长为36米 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，得到是解题的关键． 证明，根据对应边成比例即可求解． 【详解】解： 河宽长为36米． 10．某数学兴趣小组想用所学的知识测量小河的宽．测量时，他们选择了河对岸的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E，C，A共线．已知：，，测得，，（测量示意图如图所示）．请根据相关测量信息，求河宽的长． 【答案】14米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 由，，得，进而得出，所以，构建方程即可解决问题． 【详解】解： ，， ， ， ， 即， （米）． 答：河宽的长是14米． 11．如图，某学校数学兴趣小组想用所学的知识测量小河的宽．测量时，他们选择了河对岸的一棵大树，将其底部记为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E，C，A三点共线，测得，，（测量示意图如图所示）．请根据相关测量信息，求河宽． 【答案】河宽为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意先证明，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得的长． 【详解】解：由题意可知，，， ， 又， ∴， ，   ，，，，    解得，， 答：河宽为米． 12．如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 【答案】河宽是米 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的应用．熟练掌握矩形的判定与性质，相似三角形的应用是解题的关键． 如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形，，，证明，则，可求，则，（米），证明，则，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵， ∴（米）， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴河宽是米． 题型四、树高问题 13．樱花红陌上，杨柳绿池边．每年初春时节，郑州大学校区的樱花竞相开放，为美丽的郑大校园增添了别样的景致，钟灵毓秀的郑大人把樱花赋予美丽、热情、纯洁、高尚的精神品质．高新区某中学的数学兴趣小组利用周末时间对大路旁的一棵樱花树进行测量，他们采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，那么这棵樱花树的高度（的长）是多少米？ 【答案】米 【分析】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握三角函数定义是关键．过点E作水平线交于点G，交于点H，求出米，证明，，即，解得米，即可得到答案． 【详解】解：过点E作水平线交于点G，交于点H，如图， ∵是水平线，， ∴米，米， 米， ∴（米）， 根据题意，得，， ∴， ∴，即，解得米， ∴（米）． 所以这棵樱花树的高度为米． 14．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高． 【答案】树高为8米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：和均为直角， ． , ． ，，， ． ． 答：树高为8米． 15．某校数学兴趣小组准备去测量教学楼前树的高度，测量方案如下：如图，首先，小明在D处竖立了一个1.5米高的标杆，此时发现地面上的点E、标杆顶端C和树的顶端A在一条直线上，并测得米，接着在位于点E前方3米的点F处放置一平面镜（平面镜大小忽略不计），当小明沿着移动到点H处时，恰好可以通过平面镜看到树的顶端A的像，米，已知小明的目高米，，点B、D、E、F、H在一条直线上，求树的高度． 【答案】树的高度为6米 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，由和，可以证得，即可证得，从而等到与之间的等量关系式，由光的反射的性质可以得出，再结合和，可以证得，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵米，米， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， 答：树的高度为6米． 16．小峰想用镜子测量一棵松树的高度，如图所示，把镜子放在点处（镜子的大小忽略不计），人站在点时，正好在镜子中看到树顶点，但由于树旁有一条河，不能直接测量镜子与树之间的距离，于是小峰从点向后退到点处，此时他发现自己的影子和树的影子于地面点处重合．已知小峰身高为1.6米（忽略头顶到眼睛的距离）．经过测量米，米，米，请你用所学的知识，帮小峰求出松树的高． 【答案】9.6米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，，根据相似三角形的性质得出，，然后解方程即可求解． 【详解】解：根据题意，得，，， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：松树的高9.6米． 题型五、杠杆问题 17．我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆以P为支点，当C端上放置重物时，C端着地，D端距离地面是；当工人用力按压D端，直至点D着地落到时，C端的重物被送到处，此时重物距离地面为，求支点P到地面的距离． 【答案】支点到地面的高度为为 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据平行线的判断和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：依题意得： ，， ， ， ， 又，， ， ， 同理可证： ， ， ， 答：支点到地面的高度为为． 18．如图，是用杠杆撬石头的示意图，是支点，当用力压杠杆的端时，杠杆绕点转动，另一端向上翘起，石头就被撬动，现有一块石头，要使其滚动，杠杆端必须向上翘，已知杠杆上的与长度之比为，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端向下压多少厘米？ 【答案】50厘米 【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向下压的长度． 【详解】解：解：如图；AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN； 易知：△ACM∽△BCN； ∵杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1， ，即AM=5BN； ∴当BN≥10cm时，AM≥50cm； 故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压50cm． 故答案为50 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确的构造相似三角形是解题的关键． 19．“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话的意思，是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动.如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点C向下压的长度是解题的关键． 【详解】解：解：由题意得，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 20．阿基米德曾说过：“给我一个支点和一根足够长的杆子，我就能撬起整个地球．”这句话的意思是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动．如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为 cm．    【答案】21 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键．首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， cm． 故答案为：21． 题型六、实验问题 21．小明在做小孔成像实验时，固定蜡烛与光屏的距离为，然后将小孔置于距离光屏的位置如图所示，测得烛焰的像高，，则此时烛焰的高为（小孔大小和厚度忽略不计）（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，结合题意得，即可求出烛焰的高． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 22．《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端．"这是在大约两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验．在图的实验中，板上的小孔蜡烛的中心、边长为的正方形幕布的中心在一条直线上，若物距为，像距为，蜡烛火焰的高度为，蜡烛火焰倒立的像超过了幕布的边长，若要使蜡烛火焰倒立的像全部在幕布上，则蜡烛需要至少（　　） A．水平向左平移 B．水平向左平移 C．水平向右平移 D．水平向右平移 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先过点作平行于地面，分别交，于点，再证明把数值代入，解出，即可作答． 【详解】解：依题意，过点作平行于地面，分别交，于点，当蜡烛火焰倒立的像全部在幕布上，如图所示： ∵，与所在直线垂直于地面 ∴ ∴ ∴， ∵边长为的正方形，像距为，蜡烛火焰的高度为， ∴（相似三角形的高的比等于相似比）， ∴， ∵物距为， ∴ ∴蜡烛需要至少水平向左平移， 故选：B． 23．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中点在同一水平面上． (1)求反射点到木板的距离（即的长）； (2)求灯泡到地面的高度． 【答案】(1)的长为； (2)灯泡到地面的高度为 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． （1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）证明，根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， ∴， 即， 解得：， 经检验，是上述分式方程的解， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴灯泡到地面的高度为． 24．如图，佳佳同学正在使用手电筒进行物理光学实验，水平地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到平面镜的水平距离，已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，求灯泡到地面的高度． 【答案】灯泡到地面的高度为1.2m． 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，得到，进行求解即可．解题的关键是证明． 【详解】解：由题意和图可知：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为1.2m． 题型七、古代问题 25．古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”它的意思是：如图，尺，尺，问井深是多少？请解答上述问题． 【答案】尺 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．设井深是尺，则尺，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：设井深是尺， ∵尺， ∴尺， 由题意可知，， ∴， ∴， ∵尺，尺， ∴， 解得， 答：井深是尺． 26．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度． 如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高． 【答案】树高为 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意判定，然后由相似三角形的性质，即可求解， 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 代入，，， 解得． 答：树高为． 27．“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）是中国古代制作地图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志．制作地图时；人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，照板平行于测杆，照板“内芯”的高度为．观测者的眼睛（图中用点表示）与在同一水平线上，已知，，． (1)求的长； (2)设为测杆上一点，且，将测杆向右平移，当与、、在同一直线上时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）证得，代入计算求解即可； （2）证得，代入计算求解即可． 【详解】（1）解：依题意，， ∴ ∴， 即， 解得． （2）解：如下图所示， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 28．土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为1.5尺，求第二时刻的影长． 【答案】24尺 【分析】本题考查相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质，是解题的关键． 由，得，知，故，即第二时刻的影长为24尺． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 根据题意得：，， ∴； 故第二时刻的影长为24尺． 题型八、裁剪问题 29．小明准备送礼物给妈妈，他利用边长为分米的正方形纸板按如图所示裁剪，制作一个正方体礼品盒，则这个礼品盒的体积为 立方分米． 【答案】8 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方体的体积公式，理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形是解题的关键．先对图形的部分顶点命名，如图，由裁剪的方式可得和是等腰直角三角形，得出，利用相似三角形的性质得到，结合正方形的边长求出的长，进而得到正方体礼品盒的棱长，再利用正方体的体积公式即可解答． 【详解】解：如图，在正方形中，（分米）， 由此裁剪可得，和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，即（分米）， （分米）， 正方体礼品盒的棱长为2分米， 礼品盒的体积为（立方分米）． 故答案为：8． 30．如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高为，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（    ） A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 【答案】B 【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张． 【详解】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则该正方形的边长为， 设从顶点到这个正方形顶边的距离为， 根据相似三角形的性质可得，解得（张）， 所以这张正方形纸条是第5张， 故选B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得出比例式是解决问题的关键． 31．在综合实践课中，小慧将一张长方形卡纸如图1所示裁剪开，无缝隙不重叠的拼成如图2所示的“”形状，且成轴对称图形.裁剪过程中卡纸的消耗忽略不计，若已知，，. 求（1）线段与的差值是___ （2）的长度. 【答案】 9 6 【分析】如图1，延长FG交BC于H，设CE＝x，则E'H'＝CE＝x，根据轴对称的性质得：D'E'＝DC＝E'F'＝9，表示GH，EH，BE的长，证明△EGH∽△EAB，则，可得x的值， 即可求出线段、及FG的长，故可求解. 【详解】(1)如图1，延长FG交BC于H， 设CE＝x，则E'H'＝CE＝x， 由轴对称的性质得：D'E'＝DC＝E'F'＝9， ∴H'F'＝AF＝9＋x， ∵AD＝BC＝16， ∴DF＝16−（9＋x）＝7−x， 即C'D'＝DF＝7−x＝F'G'， ∴FG＝7−x， ∴GH＝9−（7−x）＝2＋x，EH＝16−x−（9＋x）＝7−2x， ∴EH∥AB， ∴△EGH∽△EAB， ∴， ∴， 解得x＝1或31（舍），、及FG ∴AF=9+x=10，EC=1，故AF-EC=9 故答案为：9; (2)由（1）得FG＝7−x =7-1=6. 【点睛】本题考查了图形的拼剪，轴对称的性质，矩形、直角三角形、相似三角形等相关知识，积累了将实际问题转化为数学问题经验，渗透了数形结合的思想，体现了数学思想方法在现实问题中的应用价值． 32．现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为12cm，另一直角边AB长为24cm．现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（　　） A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 【答案】C 【分析】截取正方形以后所剩下的三角形与原三角形相似，根据相似三角形对应边上的比等于相似比即可求解． 【详解】 设这张正方形纸条是第n张. ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴=， 解得：n=6. 故答案选：C. 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用. 题型九、生活实际问题 33．汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米，点M在上，米． (1)求车头盲区的长度； (2)在M处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查相似三角形的应用、 （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）过点M作交AF于点N，证明，根据相似三角形的性质求得，进而与实际高度比较可得结论． 【详解】（1）解：根据题意，，，，， 所以，， 所以， 所以，又， 所以， 解得，， 检验，当时，原方程的分母不为零， 所以， 所以； （2）解：不能； 如图所示，过点M作交AF于点N， 所以，，， ∵，， ∴， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以驾驶员不能观察到物体． 34．【项目主题】测量距离 【项目背景】在一次数学项目式学习活动中，老师带领同学们测量池塘两点间的距离（A、B两点距离不可直接测得）． 【实践工具】皮尺，测角仪等工具． 【实践操作】 方案一：如图1，一位同学在离池塘边B点不远处的C点站立，A、B、C三点在同一条直线上．调整帽子，使得视线通过帽檐正好观测到池塘对面的A点．该同学保持刚才的姿势，转过，这时视线刚好落在点E处．利用皮尺测得，． 同学们还设计了方案二、方案三…… 【问题解决】 (1)根据方案一，求、两点间的距离； (2)尝试设计与方案一不同的方案，在图2中画出几何图形，并求、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，相似三角形的应用； （1）由，，，可得，从而可得结论． （2）利用相似三角形的性质涉及含的两个相似三角形即可. 【详解】（1）解：在和中， ∵，，， ∴． ∴． ∴． （2）解：方案如下：如图， ①在池塘边上确定点C； ②测量与的长度，取两边点D、E，使得，且的长度皮尺可测量； ③测量的长度； ④由，，可得， ∴， ∴． 35．综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 【答案】[发现]不会发生改变，；[探索] 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． [发现]证明，根据相似三角形的性质即可得出，进而可得出答案． [探索]根据题意画出图形，然后延长交与点L，交于点K，得出，由相似三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：[发现]∵与关于对称，，且，分别与相交于点M，N． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当观测点P在上自由移动时，的长度是不会发生改变，且． [探索]根据题意画图，然后延长交与点L，交于点K， 则， 同上可知：， 可知， ∴ 即， 解得： 即井口到水面距离AC的长． 36．如图，小星利用自己的身高想要测量水平操场上旗杆的高度，请帮助小星按下列任务设计一种测量方案： 任务一：你选取的工具是___________（可选工具：小镜子、标杆、皮尺）； 任务二：请在图中画出方案示意图； 任务三：结合你画的示意图，从以下测量数据中选取合适的数据，求出旗杆的高度（结果保留整数）． 测量数据：①小星与旗杆的距离为，②小星到镜子的距离为，③镜子到旗杆的距离为，④同一时刻，小星的影长为，旗杆的影长为，⑤小星的身高为（眼睛到头顶的距离忽略不计），⑥标杆长，⑦小星与标杆的距离为． 【答案】任务一：①皮尺；②小镜子、皮尺；③标杆、皮尺．（答案不唯一）；任务二：示意图1或图2或图3均可．（答案不唯一）；任务三：（答案不唯一），如选取数据①，⑤，⑥，⑦．学校旗杆的高度约为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 任务一：根据测量需要选择即可； 任务二：根据题意画图即可； 任务三：选取数据①，⑤，⑥，⑦．证明，利用相似三角形的性质求出，进而可求出旗杆的高度． 【详解】解：任务一：①皮尺；②小镜子、皮尺；③标杆、皮尺．（答案不唯一） 任务二：示意图1或图2或图3均可．（答案不唯一） 任务三：（答案不唯一） 如图3，选取数据①，⑤，⑥，⑦． 得， ， ． ， ， ， ． ， ． 答：学校旗杆的高度约为． 题型十、三角形的内接矩形问题 37．近年来，全国各地积极践行绿色发展理念，把打造绿色宜居环境作为提升城市形象和居民幸福感的重要举措，科学规划、合理布局，不断优化人居环境如图，某市要从一块的城市绿地上划出一块矩形做花坛．已知，要求矩形花坛的长与宽的比为，且较长边在上，点G、F分别在上，所划出的矩形花坛的长和宽各是多少？ 【答案】矩形的长为，宽为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，过点作交于点，交于点，用勾股定理求出的长，再证明，从而求出；然后证明，设，则，由矩形的长与宽的比为可知，根据相似列比例式求解即可，判断三角形相似，并列出比例式是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点． ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，． ． ． 设，则，由矩形的长与宽的比为可知． ． 解得． ． 答：矩形的长为，宽为． 38．汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域，预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面之间的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点，分别在，上，点，在上，求汽车盲区的长度． 【答案】汽车盲区的长度为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 首先过作于点，交于点，则，，由四边形是矩形，，，从而证明四边形是矩形，故有，通过线段和差得出，然后证明，最后由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴汽车盲区的长度为． 39．【研究发现】 如图1，在中，，矩形的三个顶点D，E，F分别边，，上，若，，求矩形的面积． 小颖同学发现可以采用如下方法进行求解： 如图2，以，为边构造矩形，分别延长，交，于点M，N， 根据矩形性质，可得，，， ∴， 即． ∵，∴…… （1）填空：矩形的面积为______；     【问题解决】 《九章算术》卷九记载：今有邑方二百步，各中开门．出东门十五步有木．问出南门几何步而见木？大意为：如图3，正方形小城的边长为200步，各边中点处开一城门．从东门中点A向正东方向走出15步处有树B，问从南门D点向正南方向走出多少步恰能见到树B？ （2）请你求出的长． 【延伸探究】 《海岛算经》第一个问题的大意是：如图4，要测量海岛上一座山峰A的高度，在地面M，N两处分别立有高30尺的标杆和，两杆之间的距离尺，B，M，N三点成一线；从M处退行738尺到F，A，G，F三点成一线；从N处退行762尺到C，A，E，C三点也成一线；若点D在上，D，G，E三点也成一线，如何求出山峰A的高度呢？ （3）试计算线段的长． 【答案】（1）3750；（2）步；（3）步. 【分析】本题考查了相似三角形的应用/矩形的性质和判定，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． （1）由矩形性质可得，，由此即可求出，即得答案； （2）证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质可求出的长． （3）由，可得，，进而可得，，根据数据列方程求解即可． 【详解】（1）如图2，以，为边构造矩形，分别延长，交，于点M，N， ∴四边形，，是矩形， ∴， 根据矩形性质，可得，，， ∴， 即． ∵， ∴， 故答案为； （2）解：，，步，步，， ， ， ， ， ，即， ， （3）解：由题意得，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， 解并检验得：， 答：山峰的高度的长为步． 40．张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中高张帅傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点E． (1)当点P恰好为中点时，___________ (2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (3)图2，如果把这块材料形状改为的斜板，已知，，，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，P、N两点分别在，上，且，求出平行四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的应用，借助标杆或直尺测量物体的高度． （1）根据，得到，利用相似三角形的性质可得到答案； （2）设正方形的边长为 ，根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，据此求解即可； （3）过点作于，交于，同理可证，，得到，利用勾股定理和面积法求出，，从而求出，则． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ∴，， ∴， ， 为中点， ， ， ； 故答案为：； （2）解：四边形为正方形， ∴，， 设正方形的边长为，则， ∵， ∴， ， ， 解得， ∴这个零件的边长为； （3）解：过点作于，交于，如图所示： 同理可证，， ， 在中，，，， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的面积为． 41（2024·北京西城·一模）．学完了《相似形》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量位于良乡的昊天塔的高度（如图1），测量方法如下：如图2，从塔的底部B出发，作一条射线，在上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为．从标杆处沿后退到D处，从D处观察A点，发现A，F，D三点成一线；从标杆处沿后退到C处，从C处观察A点，发现A，H，C三点也成一线请根据以上测量数据，帮助实践小组求出昊天塔的高度． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，理解题意是解答的关键．分别证明和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； ∵，， ∴， ∴，即, 由得， ∴，解得， 答：昊天塔的高度为． 42．（2024·北京海淀·一模）如图，为了测量平静的河面的宽度，即的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面0.75米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 【答案】河宽是12米． 【详解】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，延长交的反向延长线于点H，由求得，再由求得，便可解决问题，关键是构造和证明三角形相似． 【解答】延长交的反向延长线于点H， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴， ∵米，米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， 答：河宽是12米． 43．（2025·北京门头沟·一模）小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点处放一平面镜，从处沿方向后退1米到点处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点，再将平面镜沿方向继续向后移动15米放在处（即米），从点处向后退1.6米，到达点处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点、已知小明眼睛到地面的距离米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度（平面镜大小忽略不计）    【答案】43.5米 【分析】利用相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，， ， ，即①； ，， ， ，即②， 由①②得， 解得， ， 解得， 答：小雁塔的高度为43.5米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，然后利用相似三角形的性质进行几何计算． 44．（2023·北京·一模）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上．求灯泡到地面的高度．      【答案】 【分析】根据相似三角形的性质列方程即可求解． 【详解】证明：， 故，即， ， ， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ， ， ， 解得：， 灯泡到地面的高度为． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，由相似得到对应线段成比例是解题的关键． 45．如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG．小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度．一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长5米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°．请你帮小明求出大树CD的高度．    【答案】大树CD的高度为15.8米． 【分析】延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M，在直角三角形MBF中，利用30°角的性质求出BM和MF，再利用相似求出BH长度；最后由△HBE∽△HCD，求出CD即大树的高度即可． 【详解】解：延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M， ∵∠ABG＝150°，BE⊥CB， ∴∠MBF＝150°﹣90°＝60°， ∴∠MFB＝30°， ∵BF的长为2米， ∴BM＝1米，MF＝米. ∵BE⊥CB，MF⊥BE， ∴BH∥MF， ∴△EBH∽△EMF， ∴＝. 又∵EB＝1.8米， ∴＝， ∴BH＝. ∵BE∥CD， ∴△HBE∽△HCD， ∴＝. ∵CB＝5， ∴＝， ∴CD＝15.8米. ∴大树CD的高度为15.8米．    【点睛】本题考查了相似三角形在解决实际问题中的应用，明确相似三角形的判定定理及其性质，是解题的关键． 46．（2023·北京长丰·一模）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，求出x的最小值． 【答案】x的最小值为10． 【分析】先证明△OCD∽△OAB，再根据相似三角形的性质得到＝，从而求得x的最小值． 【详解】如图，由题可得CD∥AB， ∴△OCD∽△OAB， ∴＝，即＝， 解得x＝10， ∴x的最小值为10． 【点睛】考查了相似三角形的应用，解题的关键是理解题意，将题意转化成相似三角形问题，再利用相似三角形的知识解决问题． 47．如图，小芳家的落地窗（线段DE）与公路（直线PQ）互相平行，她每天做完作业后都会在点A处向窗外的公路望去． （1）请在图中画出小芳能看到的那段公路并记为BC． （2）小芳很想知道点A与公路之间的距离，于是她想到了一个办法．她测出了邻家小彬在公路BC段上走过的时间为10秒，又测量了点A到窗的距离是4米，且窗DE的长为3米，若小彬步行的平均速度为1.2米/秒，请你帮助小芳计算出点A到公路的距离． 【答案】(1)见解析;(2)16m 【分析】（1）连接AD、AE并延长，交PQ于B、C，则BC即为所求； （2）过A做AG⊥PQ于G，交DE于H，由窗DE和路PQ平行，可得△ADE∽△ABC，进而得到，BC的长度可根据小彬的速度和时间求出，AH，DE已知，据此可求出AG. 【详解】解：（1）如图，BC即为所求： （2）过A做AG⊥PQ于G，交DE于H， 由题意可知：DE //BC，DE=3，AH=4，， ∴， ∴，即， ∴AG=16， 答：点A到公路的距离是16m. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题中只要求出BC，即可利用相似比，列方程求出AG． 48．（2025·北京·一模）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上.若铁塔底座宽CD=12m，塔影长 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，求塔高AB． 【答案】塔高AB为24m. 【分析】过点D构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的BD，斜坡上的DE．然后根据影长的比分别求得AG，GB长，把它们相加即可． 【详解】如图，过点D作，交AE于点F，过点F作，垂足为点G. 由题意得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 答：塔高AB为24m. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用；解决本题的难点是把塔高的影长分为在平地和斜坡上两部分；关键是利用平地和斜坡上的物高与影长的比得到相应的部分塔高的长度． 49．小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下： 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度 m， m， m（点 在同一直线上）． 已知小明的身高是1.7m，请你帮小明求出楼高 （结果精确到0.1m）． 【答案】楼高约为20.0m 【详解】解：过点作，分别交于点，则 m， m． ， ∴△BGD∽△FHD， ． 由题意，知． ， 解之，得BG=18.75m． m． 楼高约为20.0 m． 50．（2023·北京·一模）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝12 cm，高AD＝8 cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，且矩形的长与宽的比为3∶2，求这个矩形零件的边长． 【答案】个矩形零件的长为6 cm，宽为4 cm或长为cm，宽为cm. 【分析】由已知可得 BCPQ，从而有△APQ∽△ABC，继而可得，由于矩形长与宽的比为3：2，分两种情况分别求解即可. 【详解】解：∵四边形PQMN是矩形， ∴BCPQ， ∴△APQ∽△ABC， ∴， 由于矩形长与宽的比为3：2， ∴分两种情况： ①若PQ为长，PN为宽， 设PQ=3k，PN=2k， 则， 解得：k=2， ∴PQ=6cm，PN=4cm； ②PN为6，PQ为宽， 设PN=3k，PQ=2k， 则， 解得：k=， ∴PN=cm，PQ=cm； 综上所述：矩形的长为6cm，宽为4cm或长为cm，宽为cm． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，根据已知分情况进行讨论是解本题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相似三角形的应用（10大题型） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、建筑高度问题 1 题型二、影长问题 2 题型三、河宽问题 3 题型四、树高问题 5 题型五、杠杆问题 6 题型六、实验问题 8 题型七、古代问题 8 题型八、裁剪问题 8 题型九、生活实际问题 9 题型十、三角形的内接矩形问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、建筑高度问题 1．中华石鼓阁，堪称“西北第阁”，是宝鸡市的地方标志性建筑．阳光明媚的一天，小丽所在数学兴趣小组的同学们开展了测量石鼓阁高度的实践活动 课题 测量石鼓阁的高度 工具 皮尺、小平面镜等 示意图 说明 如图，小丽站在B处时，水平地面上点C、她的头顶A与石鼓阁的顶端P恰好在一条直线上；然后她沿方向朝石鼓阁走去，当小丽半蹲在点D处时，在阳光下同一时刻，她的影子末端与石鼓阁的影子末端恰好重合于地面上的点F，已知点Q、D、F、B、C在一条直线上，、、均与地面垂直， 测量数据 米，米，米，米，米 请你帮助该小组求出石鼓阁的高度． 2．陕甘边革命根据地照金纪念馆是全国爱国主义教育示范基地．周末，小希和爸爸一起去陕甘边革命根据地参观，看到伫立在门门的雕像，他们想要配合测量该雕像（）的高度．已知爸爸的身高是（），小希的身高是（），小希在距离雕像的C处（）看雕像的顶端E的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点B，C，F在水平地面上的一条直线上，雕像和两人都垂直于水平地面，求雕像的高度． 3．潍坊人民广场观光塔是潍坊的地标性建筑某数学兴趣小组的同学们开展了测量观光塔高度的实践活动，并形成了如下活动报告． 课题 测量潍坊人民广场观光塔的高度 工具 皮尺、平面镜等． 示意图 说明 如图，小亮站在处，发现他的影子顶端与观光塔的影子顶端重合于点；小莹在处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），当小莹到达点时，刚好从平面镜中看到观光塔的顶端的像其中表示观光塔的高度，表示小亮头顶到地面的高度，表示小莹的眼睛到地面的高度，，均垂直于地面，点、、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 测量数据 ，，，，． 请你根据以上活动报告，帮助该小组求出观光塔的高度． 4．综合与实践：打卡“圆融”雕塑． 【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 题型二、影长问题 5．如图1，平直的公路旁有一竖直灯杆，在灯光下，小华从灯杆的底部处沿直线前进到达点，在处测得自己的影长．小华身高． (1)求灯杆的长； (2)若小华从处继续沿直线前进到处（如图2），求此时小华的影长的长． 6．如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米） (1)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长； (2)计算路灯A的高度． 7．测量路灯高度，人在路灯下的影长等 活动目标 测量路灯高度，人在路灯下的影长等 工具 皮尺、标杆 活动一：测量路灯的高度． 如图1，标杆垂直于地面，在路灯光源B照射下在地面产生影子，测量． 活动二：测量某同学的影长． 如图2，身高的同学站在离路灯远的地方，即，在路灯光源B照射下在地面产生影子． 活动三：有趣的发现． 如图，标杆垂直于地面，在相邻路灯光源B与照射下在地面产生影子与，若路灯，通过测量猜想发现了一个有趣的结论： 根据上面数学活动记录，回答下面问题： (1)根据活动一测得的数据计算路灯的高度； (2)根据活动二测得的数据计算同学的影长； (3)请证明活动三猜想的结论：． 8．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）．如图2，利用土圭之法记录了两个时刻长为6尺的标杆的影长，发现第一时刻光线与标杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为2.4尺，求第二时刻标杆的影长． 题型三、河宽问题 9．如图，为了估计河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点，在近岸取点，使与河岸垂直，在近岸取点，使，与交于点．已测得米，米，米，求河宽的长． 10．某数学兴趣小组想用所学的知识测量小河的宽．测量时，他们选择了河对岸的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E，C，A共线．已知：，，测得，，（测量示意图如图所示）．请根据相关测量信息，求河宽的长． 11．如图，某学校数学兴趣小组想用所学的知识测量小河的宽．测量时，他们选择了河对岸的一棵大树，将其底部记为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E，C，A三点共线，测得，，（测量示意图如图所示）．请根据相关测量信息，求河宽． 12．如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 题型四、树高问题 13．樱花红陌上，杨柳绿池边．每年初春时节，郑州大学校区的樱花竞相开放，为美丽的郑大校园增添了别样的景致，钟灵毓秀的郑大人把樱花赋予美丽、热情、纯洁、高尚的精神品质．高新区某中学的数学兴趣小组利用周末时间对大路旁的一棵樱花树进行测量，他们采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，那么这棵樱花树的高度（的长）是多少米？ 14．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高． 15．某校数学兴趣小组准备去测量教学楼前树的高度，测量方案如下：如图，首先，小明在D处竖立了一个1.5米高的标杆，此时发现地面上的点E、标杆顶端C和树的顶端A在一条直线上，并测得米，接着在位于点E前方3米的点F处放置一平面镜（平面镜大小忽略不计），当小明沿着移动到点H处时，恰好可以通过平面镜看到树的顶端A的像，米，已知小明的目高米，，点B、D、E、F、H在一条直线上，求树的高度． 16．小峰想用镜子测量一棵松树的高度，如图所示，把镜子放在点处（镜子的大小忽略不计），人站在点时，正好在镜子中看到树顶点，但由于树旁有一条河，不能直接测量镜子与树之间的距离，于是小峰从点向后退到点处，此时他发现自己的影子和树的影子于地面点处重合．已知小峰身高为1.6米（忽略头顶到眼睛的距离）．经过测量米，米，米，请你用所学的知识，帮小峰求出松树的高． 题型五、杠杆问题 17．我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆以P为支点，当C端上放置重物时，C端着地，D端距离地面是；当工人用力按压D端，直至点D着地落到时，C端的重物被送到处，此时重物距离地面为，求支点P到地面的距离． 18．如图，是用杠杆撬石头的示意图，是支点，当用力压杠杆的端时，杠杆绕点转动，另一端向上翘起，石头就被撬动，现有一块石头，要使其滚动，杠杆端必须向上翘，已知杠杆上的与长度之比为，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端向下压多少厘米？ 19．“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话的意思，是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动.如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为（    ） A． B． C． D． 20．阿基米德曾说过：“给我一个支点和一根足够长的杆子，我就能撬起整个地球．”这句话的意思是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动．如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为 cm．    题型六、实验问题 21．小明在做小孔成像实验时，固定蜡烛与光屏的距离为，然后将小孔置于距离光屏的位置如图所示，测得烛焰的像高，，则此时烛焰的高为（小孔大小和厚度忽略不计）（　　） A． B． C． D． 22．《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端．"这是在大约两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验．在图的实验中，板上的小孔蜡烛的中心、边长为的正方形幕布的中心在一条直线上，若物距为，像距为，蜡烛火焰的高度为，蜡烛火焰倒立的像超过了幕布的边长，若要使蜡烛火焰倒立的像全部在幕布上，则蜡烛需要至少（　　） A．水平向左平移 B．水平向左平移 C．水平向右平移 D．水平向右平移 23．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中点在同一水平面上． (1)求反射点到木板的距离（即的长）； (2)求灯泡到地面的高度． 24．如图，佳佳同学正在使用手电筒进行物理光学实验，水平地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到平面镜的水平距离，已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，求灯泡到地面的高度． 题型七、古代问题 25．古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”它的意思是：如图，尺，尺，问井深是多少？请解答上述问题． 26．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度． 如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高． 27．“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）是中国古代制作地图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志．制作地图时；人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，照板平行于测杆，照板“内芯”的高度为．观测者的眼睛（图中用点表示）与在同一水平线上，已知，，． (1)求的长； (2)设为测杆上一点，且，将测杆向右平移，当与、、在同一直线上时，求的值． 28．土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为1.5尺，求第二时刻的影长． 题型八、裁剪问题 29．小明准备送礼物给妈妈，他利用边长为分米的正方形纸板按如图所示裁剪，制作一个正方体礼品盒，则这个礼品盒的体积为 立方分米． 30．如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高为，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（    ） A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 31．在综合实践课中，小慧将一张长方形卡纸如图1所示裁剪开，无缝隙不重叠的拼成如图2所示的“”形状，且成轴对称图形.裁剪过程中卡纸的消耗忽略不计，若已知，，. 求（1）线段与的差值是___ （2）的长度. 32．现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为12cm，另一直角边AB长为24cm．现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（　　） A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 题型九、生活实际问题 33．汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米，点M在上，米． (1)求车头盲区的长度； (2)在M处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 34．【项目主题】测量距离 【项目背景】在一次数学项目式学习活动中，老师带领同学们测量池塘两点间的距离（A、B两点距离不可直接测得）． 【实践工具】皮尺，测角仪等工具． 【实践操作】 方案一：如图1，一位同学在离池塘边B点不远处的C点站立，A、B、C三点在同一条直线上．调整帽子，使得视线通过帽檐正好观测到池塘对面的A点．该同学保持刚才的姿势，转过，这时视线刚好落在点E处．利用皮尺测得，． 同学们还设计了方案二、方案三…… 【问题解决】 (1)根据方案一，求、两点间的距离； (2)尝试设计与方案一不同的方案，在图2中画出几何图形，并求、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 35．综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 36．如图，小星利用自己的身高想要测量水平操场上旗杆的高度，请帮助小星按下列任务设计一种测量方案： 任务一：你选取的工具是___________（可选工具：小镜子、标杆、皮尺）； 任务二：请在图中画出方案示意图； 任务三：结合你画的示意图，从以下测量数据中选取合适的数据，求出旗杆的高度（结果保留整数）． 测量数据：①小星与旗杆的距离为，②小星到镜子的距离为，③镜子到旗杆的距离为，④同一时刻，小星的影长为，旗杆的影长为，⑤小星的身高为（眼睛到头顶的距离忽略不计），⑥标杆长，⑦小星与标杆的距离为． 题型十、三角形的内接矩形问题 37．近年来，全国各地积极践行绿色发展理念，把打造绿色宜居环境作为提升城市形象和居民幸福感的重要举措，科学规划、合理布局，不断优化人居环境如图，某市要从一块的城市绿地上划出一块矩形做花坛．已知，要求矩形花坛的长与宽的比为，且较长边在上，点G、F分别在上，所划出的矩形花坛的长和宽各是多少？ 38．汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域，预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面之间的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点，分别在，上，点，在上，求汽车盲区的长度． 39．【研究发现】 如图1，在中，，矩形的三个顶点D，E，F分别边，，上，若，，求矩形的面积． 小颖同学发现可以采用如下方法进行求解： 如图2，以，为边构造矩形，分别延长，交，于点M，N， 根据矩形性质，可得，，， ∴， 即． ∵，∴…… （1）填空：矩形的面积为______；     【问题解决】 《九章算术》卷九记载：今有邑方二百步，各中开门．出东门十五步有木．问出南门几何步而见木？大意为：如图3，正方形小城的边长为200步，各边中点处开一城门．从东门中点A向正东方向走出15步处有树B，问从南门D点向正南方向走出多少步恰能见到树B？ （2）请你求出的长． 【延伸探究】 《海岛算经》第一个问题的大意是：如图4，要测量海岛上一座山峰A的高度，在地面M，N两处分别立有高30尺的标杆和，两杆之间的距离尺，B，M，N三点成一线；从M处退行738尺到F，A，G，F三点成一线；从N处退行762尺到C，A，E，C三点也成一线；若点D在上，D，G，E三点也成一线，如何求出山峰A的高度呢？ （3）试计算线段的长． 40．张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中高张帅傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点E． (1)当点P恰好为中点时，___________ (2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (3)图2，如果把这块材料形状改为的斜板，已知，，，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，P、N两点分别在，上，且，求出平行四边形的面积． 41（2024·北京西城·一模）．学完了《相似形》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量位于良乡的昊天塔的高度（如图1），测量方法如下：如图2，从塔的底部B出发，作一条射线，在上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为．从标杆处沿后退到D处，从D处观察A点，发现A，F，D三点成一线；从标杆处沿后退到C处，从C处观察A点，发现A，H，C三点也成一线请根据以上测量数据，帮助实践小组求出昊天塔的高度． 42．（2024·北京海淀·一模）如图，为了测量平静的河面的宽度，即的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面0.75米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 43．（2025·北京门头沟·一模）小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点处放一平面镜，从处沿方向后退1米到点处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点，再将平面镜沿方向继续向后移动15米放在处（即米），从点处向后退1.6米，到达点处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点、已知小明眼睛到地面的距离米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度（平面镜大小忽略不计）    44．（2023·北京·一模）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上．求灯泡到地面的高度．      45．如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG．小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度．一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长5米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°．请你帮小明求出大树CD的高度．    46．（2023·北京长丰·一模）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，求出x的最小值． 47．如图，小芳家的落地窗（线段DE）与公路（直线PQ）互相平行，她每天做完作业后都会在点A处向窗外的公路望去． （1）请在图中画出小芳能看到的那段公路并记为BC． （2）小芳很想知道点A与公路之间的距离，于是她想到了一个办法．她测出了邻家小彬在公路BC段上走过的时间为10秒，又测量了点A到窗的距离是4米，且窗DE的长为3米，若小彬步行的平均速度为1.2米/秒，请你帮助小芳计算出点A到公路的距离． 48．（2025·北京·一模）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上.若铁塔底座宽CD=12m，塔影长 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，求塔高AB． 49．小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下： 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度 m， m， m（点 在同一直线上）． 已知小明的身高是1.7m，请你帮小明求出楼高 （结果精确到0.1m）． 50．（2023·北京·一模）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝12 cm，高AD＝8 cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，且矩形的长与宽的比为3∶2，求这个矩形零件的边长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$