第4章 相似三角形（单元测试·提升卷）数学浙教版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第4章 相似三角形·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D A B B C D D B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．5.2 13．2 14． 15． 16． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分） 解：设， 则a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8，（3分） ∵a+b+c＝12， ∴a+b+c＝9k﹣15＝12， ∴k＝3， ∴a＝3k﹣4＝5，b＝2k﹣3＝3，c＝4k﹣8＝4．（3分） 18．（6分） 解：（1）∵CD⊥AB，CD＝2，BD＝1， ∴∠BDC＝∠ADC＝90°， ∴，（3分） （2）设AD＝x，则AB＝x+1， ∵∠ADC＝90°， ∴AC2＝AD2+CD2＝x2+4， ∵∠ACB＝90°， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴， 解得：x＝4， ∴AD＝4．（3分） 19．（8分） （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD交于点O， ∴∠ACD＝90°，AC⊥BD，CO＝AOAC，BO＝DOBD，且AC＝BD， ∴∠BOC＝90°，BO＝COBD， ∴BC2＝BO2+CO2＝2BO2＝2BOBD＝BO•BD， ∵点E在CD上，CF⊥BE于点F， ∴∠BFC＝∠BCE＝90°， ∵∠FBC＝∠CBE， ∴△FBC∽△CBE， ∴， ∴BC2＝BF•BE， ∴BO•BD＝BF•BE， ∴， ∵∠OBF＝∠EBD， ∴△BOF∽△BED．（4分） （2）解：∵正方形ABCD的边长为6， ∴BC＝CD＝6， ∵DE＝2CE＝2（6﹣DE）， ∴DE＝4，CEDE＝2， ∴BE2， ∵BCBO＝6， ∴BO＝3， ∵△BOF∽△BED， ∴， ∴OFDE4， ∴OF的长是．（4分） 20．（8分） （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DF，AD∥BC， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF＝∠F， ∴AD＝DF， ∵∠GDF＝∠F， ∴△GDF∽△DAF， ∴， ∴AD2＝DG•AF；（4分） （2）解：∵AF平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAF， ∵AD∥BC， ∴∠BEA＝∠DAF， ∴∠BEA＝∠BAE， ∵BG⊥AE，AB＝6，AD＝9， ∴BA＝BE＝6， ∵∠BEA＝∠CEF， ∴∠CEF＝∠F， ∴EC＝CF＝3，DF＝AD＝9， ∴， 即AG＝GE＝EF， ∵AD2＝DG•AF， ∵∠GDF＝∠F． ∴GD＝GF， ∴AF2＝81， ∴AF．（4分） 21．（10分） （1）证明：连接DE． ∵AB是直径，AB⊥CD， ∴AB垂直平分线段CD， ∴EC＝ED， ∴∠CEB＝∠DEB，∠ECD＝∠EDC， ∵BE＝BC， ∴∠BEC＝∠BCE， ∵∠BCE＝∠BAG， ∴∠BED＝∠BAG， ∴DE∥AG， ∴∠G＝∠DEG， ∵∠DEG＝∠GCD+∠EDC， ∴∠G＝2∠GCD；（5分） （2）解：∵∠GAE＝∠BCE，∠BCE＝∠BEC，∠AEG＝∠BEC， ∴∠GAE＝∠AEG， ∴GA＝GE＝EF+FG＝2+3＝5， ∵AG∥DE， ∴△AFG∽△DFE， ∴， ∴， ∴DE， ∴EC＝ED．（5分） 22．（10分） 解：任务1：黄金矩形为矩形MNDE．理由如下：如图， 设MN＝2n，由第一步折叠知：MN＝MB＝BC＝NC＝2n， 由第二步折叠知：． ， ． ∴， ∴， ∴矩形MNDE为黄金矩形； 故答案为：矩形MNDE， 任务2：设MN＝2n，由第一步折叠知：NM＝BM＝CB＝MN2n， 由第二步折叠知：． ， 由第三步折叠知：． ∴， ∴． ∴比值为，即矩形BCDE为黄金矩形． 任务3：若AB为宽，则由矩形OABC为黄金矩形可得． 设， ∵四边形OAFG，AEDB为正方形， ∴AF＝OA＝2a，， ∴， ∴F（2a，2a），． 设，把F（2a，2a）代入， ∴k＝2a•2a＝4a2．即点F落在的函数图象上． 当时，．（5分） ∴点D也落在的函数图象上． ∴点F，D是在同一个反比例函数图象上． 若BC为宽，如图，则， 设， ∵四边形OAFG，AEDB为正方形， ∴，BD＝AB＝DE＝2a， ∴． ∴，． 同理可得：点F，D不在同一个反比例函数图象上．（5分） 23．（12分） （1）证明：方法1：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝BC， ∴D是AC的中点，AD＝CD，∠ABD＝∠CBD，∠CAB＝∠C， ∵∠CED＝∠CAB， ∴∠CED＝∠C， ∴DC＝DE， ∴AD＝DE； 方法2：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 在△ABC中，AB＝BC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴AD＝DE；（3分） （2）解：∵四边形ABED内接于⊙O， ∴∠CED＝∠CAB， ∵∠C＝∠C， ∴△CED∽△CAB， ∴， ∵AB＝BC＝10，CE＝2，D是AC的中点， ∴CD；（3分） （3）解：延长EF交⊙O于M， BE＝BC﹣CE＝10﹣2＝8， 在Rt△ABD中，AD，AB＝10， ∴BD＝3， ∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径， ∴， ∴∠BEP＝∠EDB， ∴△BPE∽△BED， ∴， ∴BP， ∴DP＝BD﹣BP， ∴S△DPE：S△BPE＝DP：BP＝13：32， ∵S△BCD315，S△BDE：S△BCD＝BE：BC＝4：5， ∴S△BDE＝12， ∴S△DPE．（6分） 24．（12分） （1）证明：连接BC、BD、DE， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F， ∴∠ADB＝90°，CF＝DF，， ∴CB＝BD， ∵CP⊥AD， ∴∠CGA＝∠ADB＝90°， ∴DB∥GC， ∴∠BDF＝∠ECF，∠DBF＝∠CEF， ∵CF＝DF， ∴△BDF≌△ECF（AAS）， ∴DB＝GC， ∴四边形DBCE是平行四边形， ∵CB＝BD， ∴四边形DBCE是菱形， ∴CB＝CE， ∵∠BDF＝∠ECF，即∠BDC＝∠PCD， ∴CB＝PD， ∴CE＝DP；（3分） （2）解：连接OC， ∵OC＝5，OF＝3， ∴DF＝CF4，BF＝OB−OF＝2， ∴CE＝CB2， ∵∠CFE＝∠CGD＝90°， ∴cos∠GCD，即， 解得EG；（3分） （3）解：连接AC， ∵AF＝5+3＝8，CF＝4， ∴AC4， ∵四边形ACDP是圆内接四边形， ∴∠QAC+∠CDP＝180°， ∵∠QDP+∠CDP＝180°， ∴∠QAC＝∠QDP， ∴△QAC∽△QDP， ∴， ∵PD：PQ：3， ∴， ∴CQ＝12， ∵CD＝8， ∴DQ＝4， ∴S△ADQDQ×AF4×8＝16， S△ACQCQ×AF12×8＝48， ∵FQ＝DF+DQ＝8， ∴AQ8， ∵△QAC∽△QDP， ∴（）2＝（）2＝8， ∴S△QDPS△QAC＝6， ∴S△APD＝S△ADQ−S△QDP＝16−6＝10．（6分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第4章 相似三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OC：OF＝1：3，则△ABC和△DEF的面积之比为（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 2．如果a和b都不为零，且3a＝4b，那么下列比例中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知∠1＝∠2，添加下列各选项中的条件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D． 4．如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC，DE交于点F．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，点D在BC边上，EG∥BC，分别交AB，AD，AC于点E，F，G，则（　　） A． B． C． D． 6．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙（如图）等．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算的值（　　） A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间 C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间 7．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在OB上，且BE＝OE，连接CE并延长交DA的延长线于点F，则AF：FD的值为（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：4 8．如图，在△ABC中，点D为边BC上的点，点E，F分别是边AB，AC上两点，且EF∥BC，若AE＝mEB，BD＝nDC，则（　　） A．若m＞1，n＞1，则2S△AEF＞S△ABD B．若m＜1，n＜1，则2S△AEF＞S△ABD C．若m＞1，n＜1，则2S△AEF＜S△ABD D．若m＜1，n＞1，则2S△AEF＜S△ABD 9．如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，，DE∥BC，EF∥AB，点M是DF的中点，连接CM并延长交AB于点N，的值是（　　） A． B． C． D． 10．如图，正方形ABCD中，AB＝2，点N为AD边上一点，连接BN，作AP⊥BN于点P，点M为AB边上一点，且∠PMA＝∠PCB，连接CM．下列结论正确的个数有（　　） （1）△PAM∽△PBC （2）PM⊥PC； （3）∠MPB＝∠MCB； （4）若点N为AD中点，则S△PCN＝6 （5）AN＝AM A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知a，b，c，d四条线段成比例，其中a＝3cm，b＝5cm，c＝2cm，则d＝　 　 cm． 12．如图，小明用长为1.6米的竹竿CD做测量工具测量学校的一棵树AB的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面同一点E处，此时，竹竿的影子DE长为2.4米，竹竿与树的距离BD长为5.4米，则树高AB＝　 　 米． 13．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CECD，连接OE交BC于点F，若BC＝8，则CF＝　 　 ． 14．研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳，如图，主持人现站在6米舞台PQ的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走 　 　 米（结果保留根号）． （说明：黄金分割比的数学表达式为，其中1是整体的长度，1﹣x是较小部分的长度，x是黄金分割比例，约等于0.618．黄金分割比的确切值是） 15．如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，点E为OC上一点，连接BE并延长交CD于点F，满足BA＝BE．若，，则BC＝ 　 　 ． 16．如图，一个由8个正方形组成“C”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均是1，则边AB的长为 　 　 ． 三．解答题（共8小题，共6+6+8+8+10+10+12+12=72分） 17．已知a，b，c满足且a+b+c＝12，试求a，b，c的值． 18．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，且CD＝2，BD＝1． （1）求BC的长； （2）求AD的长． 19．如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF． （1）求证：△BOF∽△BED； （2）若DE＝2CE，求OF的长． 20．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，交DC的延长线于点F，点G在AE上，联结GD，∠GDF＝∠F． （1）求证：AD2＝DG•AF； （2）联结BG，如果BG⊥AE，且AB＝6，AD＝9，求AF的长． 21．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，连结BC，AD，E为AB上一点，BE＝BC，连结CE并延长交AD于点F，交⊙O于点G． （1）求证：∠G＝2∠DCG． （2）若EF＝2，FG＝3，求CE． 22． 折叠黄金矩形 背景资料 古希腊人认为黄金矩形具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，是美的构成典型．黄金矩形是指长宽比满足黄金比例的矩形，其短边与 背景资料资料长边之比确切值为 ，近似值为0.618． 用矩形纸片折叠一个黄金矩形 操作步骤 第一步：在一张足够长的矩形纸片的一端，按照图1的方法折出一个正方形，然 后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到如图3所示的AD处； 第四步：展平纸片，由点D折出DE得到矩形BCDE（图4），它就是黄金矩形． 问题解决 任务1 找出图4中的另一个黄金矩形： 　 　 ． 任务2 证明矩形BCDE是黄金矩形． 任务3 如图，在直角坐标系中，矩形OABC是黄金矩形．分别以边AB向外作正方形AEDB，以OA为边向上作正方形OAFG．判断D，F是否在同一个反比例函数图象上，并予以验证． 23．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P． （1）求证：AD＝DE； （2）若CE＝2，求线段CD的长； （3）在（2）的条件下，求△DPE的面积． 24．如图，⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OF＝3，P是上一点，连接CP交AB于点E，连接AD交CP于点G，AP的延长线与CD的延长线交于点Q． （1）如果CP⊥AD，求证：CE＝DP； （2）在（1）的条件下，求线段EG的长； （3）如果PD：PQ：3，求△APD的面积． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第4章 相似三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OC：OF＝1：3，则△ABC和△DEF的面积之比为（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 【考点】位似变换 【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEE，BC∥EF，得到△BOC∽△EOE，根据相似三角形的性质得到OC：OF＝BC：EE，根据相似三角形的面积比等于相似比平方求出△ABC和△DEF的面积之比为1：9． 【解答】解：∵△ABC和△DEF是位似图形， ∴△ABC∽△DEF， ∴BC∥EF， ∴△BOC∽△EOF， ∴OC：OF＝BC：EF， ∵OC：OF＝1：3， ∴BC：EF＝1：3， ∴△ABC和△DEF的面积之比为1：9（三角形的面积比是相似比的平方）， 故选：D． 【点评】本题考查的是位似变换，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 2．如果a和b都不为零，且3a＝4b，那么下列比例中正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】比例的性质 【分析】根据逆用比例的基本性质，将乘积式化成比例式，逐个判定即可． 【解答】解：A、∵3a＝4b， ∴，故此选项错误，不符合题意； B、∵3a＝4b， ∴，故此选项正确，符合题意； C、∵3a＝4b， ∴，故此选项错误，不符合题意； D、∵3a＝4b， ∴，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查比例的基本性质，熟练掌握根据比例的基本性质，将乘积式化成比例式是解题的关键． 3．如图，已知∠1＝∠2，添加下列各选项中的条件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D． 【考点】相似三角形的判定 【分析】根据∠1＝∠2可得∠BAC＝∠DAE，再根据相似三角形的判定方法解答． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE， A，添加∠C＝∠E后，满足两组对角相等，可判定△ABC∽△ADE， 故该选项不合题意； B，添加∠B＝∠ADE后，满足两组对角相等，可判定△ABC∽△ADE， 故该选项不合题意； C，添加后，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE， 故该选项不合题意； D，添加后，不能判定△ABC∽△ADE， 故该选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 4．如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC，DE交于点F．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【分析】证明△EAF∽△DCF是解题的关键．根据平行四边形的性质，得到AB＝CD，AB∥CD，可证明△EAF∽△DCF，得到，由进一步即可得到答案． 【解答】解：在平行四边形ABCD中，， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠AEF＝∠CDF，∠EAF＝∠DCF， ∴△EAF∽△DCF， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 5．如图，在△ABC中，点D在BC边上，EG∥BC，分别交AB，AD，AC于点E，F，G，则（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】先证明△AEF∽△ABD，则根据相似三角形的性质得到，从而可对A选项和C选项进行判断；再证明△AFG∽△ADC，根据相似三角形的性质得到，利用等比代换得到，从而可对B选项进行判断；根据平行线分线段成比例定理可对D选项进行判断． 【解答】解：∵EF∥BD， ∴△AEF∽△ABD， ∴，所以A选项和C选项的结论错误； ∵FG∥DC， ∴△AFG∽△ADC， ∴， ∴，所以B选项的结论正确； ∵FG∥DC， ∴，所以D选项的结论错误． 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 6．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙（如图）等．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算的值（　　） A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间 C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间 【考点】黄金分割；估算无理数的大小 【分析】根据题意，估算的值即可． 【解答】解：由题知， 因为2.22＝4.84，2.32＝5.29，，且4.84＜5＜5.29， 所以2.22.3， 则1.21.3， 即的值在1.2和1.3之间． 故选：B． 【点评】本题主要考查了黄金分割及估算无理数的大小，能估算出的大小是解题的关键． 7．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在OB上，且BE＝OE，连接CE并延长交DA的延长线于点F，则AF：FD的值为（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：4 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质 【分析】设CF交AB于点H，由正方形的性质得OB＝ODBD，因为BE＝OEOBBD，所以DEBD，则，由BH∥DC，证明△BHE∽△DCE，求得，则BHDC，所以AHDC，则，由AH∥DC，证明△FAH∽△FDC，得，于是得到问题的答案． 【解答】解：设CF交AB于点H， ∵四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O， ∴AB∥DC，AB＝DC，OB＝ODBD， ∵点E在OB上，且BE＝OE， ∴BEOBBDBD， ∴DE＝BDBDBD， ∴， ∵BH∥DC， ∴△BHE∽△DCE， ∴， ∴BHDC， ∴AH＝AB﹣BH＝DCDCDC， ∴， ∵点F在DA的延长线上，AH∥DC， ∴△FAH∽△FDC， ∴，即AF：FD＝2：3， 故选：C． 【点评】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△BHE∽△DCE及△FAH∽△FDC是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，点D为边BC上的点，点E，F分别是边AB，AC上两点，且EF∥BC，若AE＝mEB，BD＝nDC，则（　　） A．若m＞1，n＞1，则2S△AEF＞S△ABD B．若m＜1，n＜1，则2S△AEF＞S△ABD C．若m＞1，n＜1，则2S△AEF＜S△ABD D．若m＜1，n＞1，则2S△AEF＜S△ABD 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】由EF∥BC，可得△AEF∽△ABC，利用相似三角形的面积比等相似比的平方，先计算出m＝1，n＝1时的面积关系，再逐个选项分析即可． 【解答】解：∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∵AE＝mEB， ∴， 当m＝1时，EF为△ABC的中位线，此时； 当n＝1时，，则． A．令，n＝9， 则， ∴， ∴， ∴， ∴2S△AEF＜S△ABD， 故A错误，该选项不符合题意； B．令，时，显然结论不成立， B选项错误，该选项不符合题意； C．令m＝10，时，则2S△AEF＞S△ABD， C选项错误，该选项不符合题意； D．当m＜1，n＞1时，，，则2S△AEF＜S△ABD， 故D选项正确，该选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 9．如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，，DE∥BC，EF∥AB，点M是DF的中点，连接CM并延长交AB于点N，的值是（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例 【分析】过点F作FG∥CN交AB于点G，证明MN是△DGF的中位线，得GF＝2MN，由GF∥CN，EF∥AB，得四边形GFHN是平行四边形，证明MH＝MN，设MH＝MN＝a，则GF＝2a，然后证明CN＝4GF＝8a，所以CH＝CN﹣NH＝8a﹣2a＝6a，得CM＝CH+MH＝6a+a＝7a，进而可以解决问题． 【解答】解：过点F作FG∥CN交AB于点G， ∵点M是DF的中点， ∴N是DG的中点， ∴MN是△DGF的中位线， ∴GF＝2MN， ∵GF∥CN，EF∥AB， ∴四边形GFHN是平行四边形， ∴NH＝GF＝2MN， ∴MH＝MN， 设MH＝MN＝a，则GF＝2a， ∵DE∥BC， △ADE∽△ABC， ∴， ∴BC＝4DE， ∵EF∥AB，DE∥BC， ∴四边形DEFB是平行四边形， ∴DE＝BF， ∵FG∥CN， ∴△BFG∽△BCN， ∴， ∵， ∴， ∴CN＝4GF＝8a， ∴CH＝CN﹣NH＝8a﹣2a＝6a， ∴CM＝CH+MH＝6a+a＝7a， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，由平行线得到线段间的数量关系是解题的关键． 10．如图，正方形ABCD中，AB＝2，点N为AD边上一点，连接BN，作AP⊥BN于点P，点M为AB边上一点，且∠PMA＝∠PCB，连接CM．下列结论正确的个数有（　　） （1）△PAM∽△PBC （2）PM⊥PC； （3）∠MPB＝∠MCB； （4）若点N为AD中点，则S△PCN＝6 （5）AN＝AM A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；正方形的性质【分析】根据互余角性质得∠PAM＝∠PBC，进而得△PAM∽△PBC，可以判断（1）；由相似三角形得∠APM＝∠BPC，进而得∠CPM＝∠APB，从而判断（2）；由B、C、P、M四点共圆得∠MPB＝∠MCB，进而判断（3）；过P点作EF⊥BC，分别志AD、BC相交于点EF，由相似三角形得PF，进而由△BCN与△BCP的面积之差求得△PCN的面积便可判断（4）；由△APB∽△NAB得，再结合△PAM∽△PBC便可判断（5）． 【解答】解：（1）∵AP⊥BN， ∴∠PAM+∠PBA＝90°， ∵∠PBA+∠PBC＝90°， ∴∠PAM＝∠PBC， ∵∠PMA＝∠PCB， ∴△PAM∽△PBC， 故（1）正确； （2）∵△PAM∽△PBC， ∴∠APM＝∠BPC， ∴∠CPM＝∠APB＝90°，即PM⊥PC， 故（2）正确； （3）∵∠MPC+∠MBC＝90°+90°＝180°， ∴B、C、P、M四点共圆， ∴∠MPB＝∠MCB， 故（3）正确； （4）过点P作EF⊥BC，分别交AD、BC于E、F点， ∵N为AD的中点，AB＝2 ∴AN＝DN，BC＝EF＝2， ∴BN， 易证△ANP∽△NBA，得， 即， ∴PN＝1， ∴PB＝5﹣1＝4， ∵AD∥BC， ∴△PEN∽△PFB， ∴， ∴PF， ∴， 故（4）错误； （5）易证△PAN∽△PAB， ∴， ∵△PAM∽△PBC， ∴， ∴， ∵AB＝BC， ∴AM＝AN， 故（5）正确； （5）解法二：B，M，P C，共圆，延长AP交CD与点G，则P，G，C，B共圆．则C，B，M，P，G五点共圆，易证CG跟MB弦所对的圆周角相等 所以弦相等，CG＝MB，DG＝AM＝AN， 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形综合题、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是熟练应用相似三角形性质解决问题，（3）利用四点共圆的关系解决问题，有一定难度，属于中考压轴题． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知a，b，c，d四条线段成比例，其中a＝3cm，b＝5cm，c＝2cm，则d＝　　 cm． 【考点】比例线段 【分析】根据四条线段成比例，列出比例关系，借助比例的基本性质，代入已知数据计算即可． 【解答】解：∵a，b，c，d四条线段成比例， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查线段成比例，比例的基本性质，解题的关键是根据题意列出比例关系． 12．如图，小明用长为1.6米的竹竿CD做测量工具测量学校的一棵树AB的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面同一点E处，此时，竹竿的影子DE长为2.4米，竹竿与树的距离BD长为5.4米，则树高AB＝　5.2　 米． 【考点】相似三角形的应用 【分析】根据题意判定三角形相似，由相似三角形的性质列比例关系，代入数据计算即可． 【解答】解：根据题意可知，AB⊥BE，CD⊥BE， ∴CD∥AB， ∴△ECD∽△EAB， ∴， 设树高AB＝x米， ∴， ∴x＝5.2， ∴树高AB＝5.2米， 故答案为：5.2． 【点评】本题考查相似三角形的应用，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 13．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CECD，连接OE交BC于点F，若BC＝8，则CF＝　2　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【分析】取CD中点G，连接OG，可得OG为△BDC的中位线，可得OG＝2，再证明△ECF∽△EGO，推出，即可得答案． 【解答】解：取CD中点G，连接OG，如图： ∵O为BD中点，G为CD中点， ∴OG为△BDC的中位线， ∴OG∥BC，且OGBC＝4， 又∵CECD，CF∥OG， ∴△ECF∽△EGO， ∴， 又OG＝4， ∴CF＝2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握这些性质并灵活运用是解此题的关键． 14．研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳，如图，主持人现站在6米舞台PQ的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走 　（）　 米（结果保留根号）． （说明：黄金分割比的数学表达式为，其中1是整体的长度，1﹣x是较小部分的长度，x是黄金分割比例，约等于0.618．黄金分割比的确切值是） 【考点】黄金分割；一元一次方程的应用 【分析】设至少向前走x米，由黄金比列方程解答即可． 【解答】解：设至少向前走x米，由黄金比列方程得， 解得，． 故答案为：（）． 【点评】本题考查了黄金分割点的相关计算，以及一元一次方程的运用．熟练掌握以上知识点是关键． 15．如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，点E为OC上一点，连接BE并延长交CD于点F，满足BA＝BE．若，，则BC＝ 　　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质 【分析】由BA＝BE，得∠FEC＝∠BEA＝∠BAE，由矩形的性质得BA＝CD，CF∥AB，∠BCF＝90°，则∠FCE＝∠BAE，CD＝BE，所以∠FEC＝∠FCE，则FC＝FE，而BF＝4，DF＝2，则BE﹣24BE，求得BE＝3，则FC＝FE＝BF﹣BE，所以BC，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵BA＝BE， ∴∠FEC＝∠BEA＝∠BAE， ∵四边形ABCD是矩形，点F在CD上， ∴BA＝CD，CF∥AB，∠BCF＝90°， ∴∠FCE＝∠BAE，CD＝BE， ∴∠FEC＝∠FCE， ∴FC＝FE， ∵FC＝CD﹣DF＝BE﹣DF，FE＝BF﹣BE，且BF＝4，DF＝2， ∴BE﹣24BE ∴BE＝3， ∴FC＝FE＝BF﹣BE＝43， ∴BC， 故答案为：． 【点评】此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，推导出FC＝FE，进而由BE﹣24BE求出BE的长是解题的关键． 16．如图，一个由8个正方形组成“C”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均是1，则边AB的长为 　　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质 【分析】如解答图所示，连接EG，则∠OEP＝90°，由题意得，小正方形的边长为1，根据勾股定理得出OP，根据矩形的性质可判定△OEP∽△QBM，得到 ，进而得出BM，QB，最后利用AAS证明△QBM≌△MAN，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得解． 【解答】解：如图所示，连接EG，则∠OEP＝90°， 由题意得，小正方形的边长为1， ∴OP， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝∠A＝90°，∠MQP＝90°， ∴∠BMQ＝∠CQP＝90°﹣∠MQP， 同理∠EPO＝∠CQP＝90°﹣∠QPC， ∴∠BMQ＝∠EPO， 又∠OEP＝∠B＝90°， ∴△OEP∽△QBM， ∴， ∴BM，QB， ∵∠B＝∠A＝90°，∠NMQ＝90°， ∴∠BMQ＝∠ANM＝90°﹣∠AMN， 在△QBM和△MAN中， ， ∴△QBM≌△MAN（AAS）， ∴AM＝QB， ∴AB＝BM+AM． 故答案为：． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形及正方形的性质，根据矩形及正方形的性质作出合理的辅助线构建相似三角形是解题的关键． 三、解答题（共8小题，6+6+8+8+10+10+12+12=共72分） 17．已知a，b，c满足且a+b+c＝12，试求a，b，c的值． 【考点】比例的性质 【分析】设，得出a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8，根据a+b+c＝9k﹣15＝12，求出k＝3，即可得到答案，利用比例的性质设未知数是解题关键． 【解答】解：设， 则a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8， ∵a+b+c＝12， ∴a+b+c＝9k﹣15＝12， ∴k＝3， ∴a＝3k﹣4＝5，b＝2k﹣3＝3，c＝4k﹣8＝4． 【点评】本题主要考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 18．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，且CD＝2，BD＝1． （1）求BC的长； （2）求AD的长． 【考点】射影定理；勾股定理 【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案； （2）设AD＝x，则AB＝x+1，根据勾股定理得到AC2＝x2+4，AB2＝AC2+BC2，则，解方程即可求出答案． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB，CD＝2，BD＝1， ∴∠BDC＝∠ADC＝90°， ∴， （2）设AD＝x，则AB＝x+1， ∵∠ADC＝90°， ∴AC2＝AD2+CD2＝x2+4， ∵∠ACB＝90°， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴， 解得：x＝4， ∴AD＝4． 【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的内容是关键． 19．如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF． （1）求证：△BOF∽△BED； （2）若DE＝2CE，求OF的长． 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质 【分析】（1）由正方形的性质推导出∠BOC＝90°，BO＝COBD，则BC2＝BO2+CO2＝2BO2＝BO•BD，由∠BFC＝∠BCE＝90°，∠FBC＝∠CBE，证明△FBC∽△CBE，得，则BC2＝BF•BE，所以BO•BD＝BF•BE，则，而∠OBF＝∠EBD，所以△BOF∽△BED； （2）因为BC＝CD＝6，所以DE＝2CE＝2（6﹣DE），求得DE＝4，CE＝2，则BE＝2，由BCBO＝6，求得BO＝3，由相似三角形的性质得，所以OFDE． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD交于点O， ∴∠ACD＝90°，AC⊥BD，CO＝AOAC，BO＝DOBD，且AC＝BD， ∴∠BOC＝90°，BO＝COBD， ∴BC2＝BO2+CO2＝2BO2＝2BOBD＝BO•BD， ∵点E在CD上，CF⊥BE于点F， ∴∠BFC＝∠BCE＝90°， ∵∠FBC＝∠CBE， ∴△FBC∽△CBE， ∴， ∴BC2＝BF•BE， ∴BO•BD＝BF•BE， ∴， ∵∠OBF＝∠EBD， ∴△BOF∽△BED． （2）解：∵正方形ABCD的边长为6， ∴BC＝CD＝6， ∵DE＝2CE＝2（6﹣DE）， ∴DE＝4，CEDE＝2， ∴BE2， ∵BCBO＝6， ∴BO＝3， ∵△BOF∽△BED， ∴， ∴OFDE4， ∴OF的长是． 【点评】此题重点考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，推导出BO•BD＝BF•BE，进而证明△BOF∽△BED是解题的关键． 20．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，交DC的延长线于点F，点G在AE上，联结GD，∠GDF＝∠F． （1）求证：AD2＝DG•AF； （2）联结BG，如果BG⊥AE，且AB＝6，AD＝9，求AF的长． 【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，证明△GDF∽△DAF，对应边成比例即可得结论； （2）根据已知条件可得BA＝BE＝6，EC＝CF＝3，DF＝AD＝9，得AG＝GE＝EF，结合（1）AD2＝DG•AF，即可求出AF的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DF，AD∥BC， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF＝∠F， ∴AD＝DF， ∵∠GDF＝∠F， ∴△GDF∽△DAF， ∴， ∴AD2＝DG•AF； （2）解：∵AF平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAF， ∵AD∥BC， ∴∠BEA＝∠DAF， ∴∠BEA＝∠BAE， ∵BG⊥AE，AB＝6，AD＝9， ∴BA＝BE＝6， ∵∠BEA＝∠CEF， ∴∠CEF＝∠F， ∴EC＝CF＝3，DF＝AD＝9， ∴， 即AG＝GE＝EF， ∵AD2＝DG•AF， ∵∠GDF＝∠F． ∴GD＝GF， ∴AF2＝81， ∴AF． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，涉及的知识较多，比较麻烦，解决本题的关键是注意掌握性质的运用． 21．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，连结BC，AD，E为AB上一点，BE＝BC，连结CE并延长交AD于点F，交⊙O于点G． （1）求证：∠G＝2∠DCG． （2）若EF＝2，FG＝3，求CE． 【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理 【分析】（1）证明DE∥AG，推出∠G＝∠GED可得结论； （2）证明GA＝GE＝5，利用相似三角形的性质求解． 【解答】（1）证明：连接DE． ∵AB是直径，AB⊥CD， ∴AB垂直平分线段CD， ∴EC＝ED， ∴∠CEB＝∠DEB，∠ECD＝∠EDC， ∵BE＝BC， ∴∠BEC＝∠BCE， ∵∠BCE＝∠BAG， ∴∠BED＝∠BAG， ∴DE∥AG， ∴∠G＝∠DEG， ∵∠DEG＝∠GCD+∠EDC， ∴∠G＝2∠GCD； （2）解：∵∠GAE＝∠BCE，∠BCE＝∠BEC，∠AEG＝∠BEC， ∴∠GAE＝∠AEG， ∴GA＝GE＝EF+FG＝2+3＝5， ∵AG∥DE， ∴△AFG∽△DFE， ∴， ∴， ∴DE， ∴EC＝ED． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22． 折叠黄金矩形 背景资料 古希腊人认为黄金矩形具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，是美的构成典型．黄金矩形是指长宽比满足黄金比例的矩形，其短边与 背景资料资料长边之比确切值为 ，近似值为0.618． 用矩形纸片折叠一个黄金矩形 操作步骤 第一步：在一张足够长的矩形纸片的一端，按照图1的方法折出一个正方形，然 后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到如图3所示的AD处； 第四步：展平纸片，由点D折出DE得到矩形BCDE（图4），它就是黄金矩形． 问题解决 任务1 找出图4中的另一个黄金矩形： 　矩形MNDE　 ． 任务2 证明矩形BCDE是黄金矩形． 任务3 如图，在直角坐标系中，矩形OABC是黄金矩形．分别以边AB向外作正方形AEDB，以OA为边向上作正方形OAFG．判断D，F是否在同一个反比例函数图象上，并予以验证． 【考点】黄金分割；反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质 【分析】任务1：先证明MN＝MB＝BC＝NC＝2n，证明，即可得到答案； 任务2：先证明MN＝MB＝BC＝NC＝2n，证明，即可得到答案； 任务3：若AB为宽，则由矩形OABC为黄金矩形可得，设，可得F（2a，2a），．设反比例函数关系式为，再进一步可得结论；若BC为宽，如图，则，同法可得结论． 【解答】解：任务1：黄金矩形为矩形MNDE．理由如下：如图， 设MN＝2n，由第一步折叠知：MN＝MB＝BC＝NC＝2n， 由第二步折叠知：． ， ． ∴， ∴， ∴矩形MNDE为黄金矩形； 故答案为：矩形MNDE， 任务2：设MN＝2n，由第一步折叠知：NM＝BM＝CB＝MN2n， 由第二步折叠知：． ， 由第三步折叠知：． ∴， ∴． ∴比值为，即矩形BCDE为黄金矩形． 任务3：若AB为宽，则由矩形OABC为黄金矩形可得． 设， ∵四边形OAFG，AEDB为正方形， ∴AF＝OA＝2a，， ∴， ∴F（2a，2a），． 设，把F（2a，2a）代入， ∴k＝2a•2a＝4a2．即点F落在的函数图象上． 当时，． ∴点D也落在的函数图象上． ∴点F，D是在同一个反比例函数图象上． 若BC为宽，如图，则， 设， ∵四边形OAFG，AEDB为正方形， ∴，BD＝AB＝DE＝2a， ∴． ∴，． 同理可得：点F，D不在同一个反比例函数图象上． 【点评】本题考查的是轴对称的性质，黄金矩形的含义，反比例函数的应用，二次根式的混合运算，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 23．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P． （1）求证：AD＝DE； （2）若CE＝2，求线段CD的长； （3）在（2）的条件下，求△DPE的面积． 【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，再根据等腰三角形的性质可证AD＝DE； （2）根据AA可证△CED∽△CAB，根据相似三角形的性质和已知条件可求CD； （3）延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，根据勾股定理可求BD，根据AA可证△BPE∽△BED，根据相似三角形的性质可求BP，进一步求得DP，根据等高三角形面积比等于底边的比可得S△DPE：S△BPE＝13：32，S△BDE：S△BCD＝4：5，再根据三角形面积公式即可求解． 【解答】（1）证明：方法1：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝BC， ∴D是AC的中点，AD＝CD，∠ABD＝∠CBD，∠CAB＝∠C， ∵∠CED＝∠CAB， ∴∠CED＝∠C， ∴DC＝DE， ∴AD＝DE； 方法2：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 在△ABC中，AB＝BC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴AD＝DE； （2）解：∵四边形ABED内接于⊙O， ∴∠CED＝∠CAB， ∵∠C＝∠C， ∴△CED∽△CAB， ∴， ∵AB＝BC＝10，CE＝2，D是AC的中点， ∴CD； （3）解：延长EF交⊙O于M， BE＝BC﹣CE＝10﹣2＝8， 在Rt△ABD中，AD，AB＝10， ∴BD＝3， ∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径， ∴， ∴∠BEP＝∠EDB， ∴△BPE∽△BED， ∴， ∴BP， ∴DP＝BD﹣BP， ∴S△DPE：S△BPE＝DP：BP＝13：32， ∵S△BCD315，S△BDE：S△BCD＝BE：BC＝4：5， ∴S△BDE＝12， ∴S△DPE． 【点评】考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的知识．注意准确作出辅助线、掌握方程思想的应用是解此题的关键． 24．如图，⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OF＝3，P是上一点，连接CP交AB于点E，连接AD交CP于点G，AP的延长线与CD的延长线交于点Q． （1）如果CP⊥AD，求证：CE＝DP； （2）在（1）的条件下，求线段EG的长； （3）如果PD：PQ：3，求△APD的面积． 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理 【分析】（1）连接BC、BD、DE，利用垂径定理和圆周角定理证明四边形DBCE是菱形，再利用圆周角定理即可证明∠BDC＝∠PCD，得到CE＝DP； （2）连接OC，利用垂径定理求得DF＝CF＝4，CE＝CB＝2，利用余弦函数求得cos∠GCD，代入数据求解即可； （3）连接OC，利用勾股定理求得OC的长，证明△QAC∽△QDP，利用相似三角形的性质列式求得CQ＝12，S△QDPS△QAC，据此求解即可． 【解答】（1）证明：连接BC、BD、DE， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F， ∴∠ADB＝90°，CF＝DF，， ∴CB＝BD， ∵CP⊥AD， ∴∠CGA＝∠ADB＝90°， ∴DB∥GC， ∴∠BDF＝∠ECF，∠DBF＝∠CEF， ∵CF＝DF， ∴△BDF≌△ECF（AAS）， ∴DB＝GC， ∴四边形DBCE是平行四边形， ∵CB＝BD， ∴四边形DBCE是菱形， ∴CB＝CE， ∵∠BDF＝∠ECF，即∠BDC＝∠PCD， ∴CB＝PD， ∴CE＝DP； （2）解：连接OC， ∵OC＝5，OF＝3， ∴DF＝CF4，BF＝OB−OF＝2， ∴CE＝CB2， ∵∠CFE＝∠CGD＝90°， ∴cos∠GCD，即， 解得EG； （3）解：连接AC， ∵AF＝5+3＝8，CF＝4， ∴AC4， ∵四边形ACDP是圆内接四边形， ∴∠QAC+∠CDP＝180°， ∵∠QDP+∠CDP＝180°， ∴∠QAC＝∠QDP， ∴△QAC∽△QDP， ∴， ∵PD：PQ：3， ∴， ∴CQ＝12， ∵CD＝8， ∴DQ＝4， ∴S△ADQDQ×AF4×8＝16， S△ACQCQ×AF12×8＝48， ∵FQ＝DF+DQ＝8， ∴AQ8， ∵△QAC∽△QDP， ∴（）2＝（）2＝8， ∴S△QDPS△QAC＝6， ∴S△APD＝S△ADQ−S△QDP＝16−6＝10． 【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，菱形的判定和性质．正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第4章 相似三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OC：OF＝1：3，则△ABC和△DEF的面积之比为（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 2．如果a和b都不为零，且3a＝4b，那么下列比例中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知∠1＝∠2，添加下列各选项中的条件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D． 4．如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC，DE交于点F．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，点D在BC边上，EG∥BC，分别交AB，AD，AC于点E，F，G，则（　　） A． B． C． D． 6．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙（如图）等．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算的值（　　） A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间 C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间 7．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在OB上，且BE＝OE，连接CE并延长交DA的延长线于点F，则AF：FD的值为（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：4 8．如图，在△ABC中，点D为边BC上的点，点E，F分别是边AB，AC上两点，且EF∥BC，若AE＝mEB，BD＝nDC，则（　　） A．若m＞1，n＞1，则2S△AEF＞S△ABD B．若m＜1，n＜1，则2S△AEF＞S△ABD C．若m＞1，n＜1，则2S△AEF＜S△ABD D．若m＜1，n＞1，则2S△AEF＜S△ABD 9．如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，，DE∥BC，EF∥AB，点M是DF的中点，连接CM并延长交AB于点N，的值是（　　） A． B． C． D． 10．如图，正方形ABCD中，AB＝2，点N为AD边上一点，连接BN，作AP⊥BN于点P，点M为AB边上一点，且∠PMA＝∠PCB，连接CM．下列结论正确的个数有（　　） （1）△PAM∽△PBC （2）PM⊥PC； （3）∠MPB＝∠MCB； （4）若点N为AD中点，则S△PCN＝6 （5）AN＝AM A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知a，b，c，d四条线段成比例，其中a＝3cm，b＝5cm，c＝2cm，则d＝　 　 cm． 12．如图，小明用长为1.6米的竹竿CD做测量工具测量学校的一棵树AB的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面同一点E处，此时，竹竿的影子DE长为2.4米，竹竿与树的距离BD长为5.4米，则树高AB＝　 　 米． 13．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CECD，连接OE交BC于点F，若BC＝8，则CF＝　 　 ． 14．研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳，如图，主持人现站在6米舞台PQ的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走 　 　 米（结果保留根号）． （说明：黄金分割比的数学表达式为，其中1是整体的长度，1﹣x是较小部分的长度，x是黄金分割比例，约等于0.618．黄金分割比的确切值是） 15．如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，点E为OC上一点，连接BE并延长交CD于点F，满足BA＝BE．若，，则BC＝ 　 　 ． 16．如图，一个由8个正方形组成“C”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均是1，则边AB的长为 　 　 ． 三、解答题（共8小题，6+6+8+8+10+10+12+12=共72分） 17．已知a，b，c满足且a+b+c＝12，试求a，b，c的值． 18．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，且CD＝2，BD＝1． （1）求BC的长； （2）求AD的长． 19．如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF． （1）求证：△BOF∽△BED； （2）若DE＝2CE，求OF的长． 20．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，交DC的延长线于点F，点G在AE上，联结GD，∠GDF＝∠F． （1）求证：AD2＝DG•AF； （2）联结BG，如果BG⊥AE，且AB＝6，AD＝9，求AF的长． 21．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，连结BC，AD，E为AB上一点，BE＝BC，连结CE并延长交AD于点F，交⊙O于点G． （1）求证：∠G＝2∠DCG． （2）若EF＝2，FG＝3，求CE． 22． 折叠黄金矩形 背景资料 古希腊人认为黄金矩形具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，是美的构成典型．黄金矩形是指长宽比满足黄金比例的矩形，其短边与 背景资料资料长边之比确切值为 ，近似值为0.618． 用矩形纸片折叠一个黄金矩形 操作步骤 第一步：在一张足够长的矩形纸片的一端，按照图1的方法折出一个正方形，然 后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到如图3所示的AD处； 第四步：展平纸片，由点D折出DE得到矩形BCDE（图4），它就是黄金矩形． 问题解决 任务1 找出图4中的另一个黄金矩形： 　 　 ． 任务2 证明矩形BCDE是黄金矩形． 任务3 如图，在直角坐标系中，矩形OABC是黄金矩形．分别以边AB向外作正方形AEDB，以OA为边向上作正方形OAFG．判断D，F是否在同一个反比例函数图象上，并予以验证． 23．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P． （1）求证：AD＝DE； （2）若CE＝2，求线段CD的长； （3）在（2）的条件下，求△DPE的面积． 24．如图，⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OF＝3，P是上一点，连接CP交AB于点E，连接AD交CP于点G，AP的延长线与CD的延长线交于点Q． （1）如果CP⊥AD，求证：CE＝DP； （2）在（1）的条件下，求线段EG的长； （3）如果PD：PQ：3，求△APD的面积． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$