第九讲：用公式法求解一元二次方程（暑期预习衔接讲义）（思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第九讲：用公式法求解一元二次方程 （知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：用公式法解一元二次方程 1. 求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)，当b2－4ac ≥ 0 时，它的根是x = ，这个式子称为一元二次方程的求根公式. 2. 公式法：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 3. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 (1)整理：把一元二次方程整理为一般形式，并确定a，b，c 的值. (2)求值：求b2－4ac 的值. (3)代入：若b2－4ac ≥ 0，则把a，b 及b2－4ac 的值代入一元二次方程的求根公式x = 中，求出x1，x2；若b2－4ac < 0，则方程没有实数根. 知识点02：一元二次方程根的判别式 1. 定义：一元二次方程ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的根的情况可由b2－4ac 来判定. 我们把b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示，即Δ =b2－4ac. 2. 根的情况与根的判别式之间的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c=0 Δ=b2－4ac>0 方程有两个不相等的实数根 Δ=b2－4ac=0 方程有两个相等的实数根 Δ=b2－4ac<0 方程没有实数根 考点1：根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典型例题】 下列关于的一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】 关于x的方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【变式训练2】 若点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定 考点2：一元二次方程根的情况求参数 【典型例题】 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式训练1】 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考点3：公式法解一元二次方程【典型例题】 若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 方程的两根是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（     ） A． B． C． D． 一、单选题 1．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值不可能是（    ） A．1 B．2 C． D． 3．关于x的一元二次方程没有实数根，则系数a，c可能满足（   ） A． B． C． D． 4．若关于x的一元二次方程：没有实数根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．若关于x的一元二次方程 无实数根，则m的值可能是（    ） A． B． C． D． 6．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（  ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 7．若，则关于的一元二次方程．的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 8．一元二次方程有两个相等的实数根，则等于（   ） A．1 B． C．3 D． 二、填空题 9．若关于x的一元二次方程有实数根，则p的取值范围是 ． 10．已知关于的方程有两个实数根，的取值范围是 ． 11．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以为 （写出一个即可）． 12．已知关于x的方程（k为常数）有两个实数根，则k取值范围为 ． 13．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 14．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 15．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 16．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ． 三、解答题 17．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 18．已知是关于x的一元二次方程． (1)若是该方程的一个根，求k的值； (2)求证：无论k取任何实数，方程总有实数根． 19．已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，它总有实数根； (2)若等腰三角形的一边长为3，另外两边的长为方程的根，求k的值及三角形的周长． 20．我们定义一种新运算“※”：对于任意实数、，都有．例如：．已知关于的方程． (1)先将按照新定义运算展开并化简，得到关于的一元二次方程； (2)求解这个一元二次方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第九讲：用公式法求解一元二次方程 （知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：用公式法解一元二次方程 1. 求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)，当b2－4ac ≥ 0 时，它的根是x = ，这个式子称为一元二次方程的求根公式. 2. 公式法：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 3. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 (1)整理：把一元二次方程整理为一般形式，并确定a，b，c 的值. (2)求值：求b2－4ac 的值. (3)代入：若b2－4ac ≥ 0，则把a，b 及b2－4ac 的值代入一元二次方程的求根公式x = 中，求出x1，x2；若b2－4ac < 0，则方程没有实数根. 知识点02：一元二次方程根的判别式 1. 定义：一元二次方程ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的根的情况可由b2－4ac 来判定. 我们把b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示，即Δ =b2－4ac. 2. 根的情况与根的判别式之间的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c=0 Δ=b2－4ac>0 方程有两个不相等的实数根 Δ=b2－4ac=0 方程有两个相等的实数根 Δ=b2－4ac<0 方程没有实数根 考点1：根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典型例题】 下列关于的一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，通过计算各选项对应的一元二次方程的判别式，判断是否存在实数根即可． 【详解】对于一元二次方程 ，判别式 ： 选项A：， ，，， ，方程有两个实数根． 选项B： ，，， ，方程无实数根． 选项C： ，，， ，方程有两个实数根． 选项D： ，，， ，方程有两个实数根． 综上，只有选项B的判别式为负，故无实数根． 故选B． 【变式训练1】 关于x的方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式． 通过计算一元二次方程的判别式，判断其符号即可确定根的情况． 【详解】解： ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式训练2】 若点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，坐标平面内点的坐标特征，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 考点2：一元二次方程根的情况求参数 【典型例题】 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 本题中根据，即可求解． 【详解】解： 解得， 因此，的值为， 故选：A． 【变式训练1】 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根，继而得到关于的方程求解． 【详解】解：方程中，，，． 判别式． 由题意，即： ， 解得：． 故选：A． 【变式训练2】 定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有两个不相等的实数根”得出，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：C． 考点3：公式法解一元二次方程【典型例题】 若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，由求根公式得出，，，即可得解，熟练掌握求根公式是解此题的关键． 【详解】解：∵可以表示某个一元二次方程的根， ∴，，， ∴这个一元二次方程为， 故选：D． 【变式训练1】 方程的两根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．用公式法，解一元二次方程即可． 【详解】解：方程中，，， ， ∴． 故选：D． 【变式训练2】 用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，把原方程化为形如（其中a、b、c是常数，）的形式即可得到答案． 【详解】解：， ， 则，，， 故选：C． 一、单选题 1．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，首先确保二次项系数不为零，再计算判别式，从而确定m的取值范围． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， ∴m的值可能是1，不可能是0、2、3． 故选：B． 2．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值不可能是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根据一元二次方程根的判别式，当判别式非负时，方程有实数根．计算判别式并解不等式即可确定m的取值范围，进而判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴． 当时，方程有实数根， 即，解得． 选项中，只有（选项B）不满足，因此m的值不可能是2． 故选：B 3．关于x的一元二次方程没有实数根，则系数a，c可能满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．根据方程没有实数根，得出，再逐一判断即可． 【详解】解：对于方程 ，其判别式为： 当方程无实数根时，需满足 ，即： 此不等式成立的条件是 与 符号相反， 若 ，则需 ，即 ， 若 ，则需 ，即 ， 则只有D选项满足第一种情况，此时 ，符合题意． 故选： D． 4．若关于x的一元二次方程：没有实数根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式小于0时，方程无实数根计算即可． 【详解】解：原方程移项得， 其中，，， ∴， ∵关于x的一元二次方程：没有实数根， ∴，即， 解得， 故选：A． 5．若关于x的一元二次方程 无实数根，则m的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．当判别式小于0时，方程无实数根．根据题意表示出判别式并小于0，则可列出不等式，解出即可判别． 【详解】解：一元二次方程 无实数根， ， 解得． 选项中只有满足 ， 故选：A． 6．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（  ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，通过计算判别式判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：由方程得：，，， ， 方程有两个相等的实数根， 故选：Ｃ． 7．若，则关于的一元二次方程．的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出判别式的值，进而根据根的判别式判断方程根的情况即可，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 8．一元二次方程有两个相等的实数根，则等于（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程及根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的判别式求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，且， ∴． 故选：B 二、填空题 9．若关于x的一元二次方程有实数根，则p的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是根据题意列出关于p的不等式． 根据关于x的一元二次方程有实数根，可得且，据此求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且，即， ∴， 故答案为：． 10．已知关于的方程有两个实数根，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是熟练掌握根的判别式． 结合根的判别式即可得解． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ， ． 故答案为：． 11．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以为 （写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义，一元二次方程的定义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式的意义可得且，然后解不等式组即可． 【详解】解∶∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且， ∴的值可以为1， 故答案为∶ 1（答案不唯一） 12．已知关于x的方程（k为常数）有两个实数根，则k取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义列出不等式，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程（k为常数）有两个实数根， ∴且， 解得：且 故答案为：且 13．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式． 直接根据根的判别式计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得， 故答案为：且． 14．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根；当一元二次方程有两个相等的实数根；当一元二次方程无实数根；由题意可知，得，解方程即可确定答案．熟记一元二次方程根的情况与判别式关系，得出方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 15．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程有实数根的条件，以及对完全平方非负性的理解． 原方程左边为完全平方形式，右边为常数表达式，由于左边，因此右边满足即可，无需展开方程计算判别式． 【详解】解：， 要使该方程有实数根，则， ． 故答案为：． 16．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据方程的系数结合根的判别式，可得出，解之即可得出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 17．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)，； (3)，． 【分析】本题考查了公式法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法求解即可． （2）利用公式法求解即可． （3）利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：, ∵， ∴ ∴， ∴原方程的解为，． （2）解：， ∵， ∴ ∴， ∴原方程的解为，． （3）解：， 整理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴原方程的解为，． 18．已知是关于x的一元二次方程． (1)若是该方程的一个根，求k的值； (2)求证：无论k取任何实数，方程总有实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念以及根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式的取值范围是解决本题的关键． （1）将代入方程中即可求解k的值； （2）通过计算方程的根的判别式并判断其取值范围，当根的判别式时，方程有两个不等的实数根；当根的判别式时，方程有两个相等的实数根；当根的判别式时，方程没有实数根，由此即可证明． 【详解】（1）解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程可得， 整理可得，解得； （2）证明：∵ ， ∴无论k取任何实数，方程总有实数根． 19．已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，它总有实数根； (2)若等腰三角形的一边长为3，另外两边的长为方程的根，求k的值及三角形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)或6；周长为7或8 【分析】本题考查一元二次方程的判别式（实数根条件）、等腰三角形的性质（底边与腰的分类）和分类讨论思想，关键在于根据几何条件确定方程参数并验证解的有效性。 （1）通过计算判别式，利用完全平方式的非负性直接证明方程恒有实数根即可； （2）根据等腰三角形中边长3的角色分类讨论：若3为底边，则两腰需相等一转化为方程有两个相等实数根()，解得并验证边长组合能否构成三角形；若3为腰，则3必为方程的一根，代入解出，求得另一根为2 并验证边长能否构成三角形． 【详解】（1）解： ， ， 无论k取何值，它总有实数根； （2）解：分两种情况讨论： ①当3是等腰三角形的底时， 则，即，解得：， 则方程为， 即， 解得：， ，2，3能构成三角形， 此时等腰三角形的周长为7； ②当3是等腰三角形的腰时，则3是方程的一个根， 将代入， 得：，解得， 则方程为， 即， 解得，． 2、3、3能构成三角形， 则此时等腰三角形的周长为8． 综上所述，或6；三角形的周长为7或8． 20．我们定义一种新运算“※”：对于任意实数、，都有．例如：．已知关于的方程． (1)先将按照新定义运算展开并化简，得到关于的一元二次方程； (2)求解这个一元二次方程． 【答案】(1) (2)此方程无实数根 【分析】本题考查定义新运算，一元二次方程的判别式． （1）根据新运算列出一元二次方程； （2）计算得到判别式小于零，进而得到方程无解． 【详解】（1）解：按照新定义运算展开： ， 所以得到关于的一元二次方程为； （2）解：对于一元二次方程， 其中，，     判别式．     所以此方程无实数根． 学科网（北京）股份有限公司 $$