专题25.2 求锐角的三角比的值（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题25.2 求锐角的三角比的值 教学目标 1. 会求特殊角的锐角三角比的值； 2. 根据特殊角的锐角三角比的值求特殊角； 3. 掌握用计算器计算特殊角的锐角三角比的值。 教学重难点 1.重点 （1）求特殊角的锐角三角比的值； （2）知道锐角的三角比之间的关系； （3）锐角三角比的值的应用。 2.难点 （1）锐角的三角比之间关系的应用； （2）由特殊到一般，探索、总结规律。 知识点1 求锐角的三角比的值 一、特殊角的锐角三角比的值 　　　利用三角比的定义，列出特殊锐角的三角比的值，如下表： 要点： (1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角比值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角比值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． (2)仔细研究表中数值的规律会发现： sin30°、sin45°、sin60°的值依次为、、，而cos30°、cos45°、cos60°的值的顺序正好相反，tan30°、tan45°、tan60°的值依次增大，其变化规律可以总结为： ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小) ②余弦、余切值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 二、锐角三角比之间的关系 在Rt△ABC中，∠C=90°． (1)互余关系：sinA=cos（90°-∠A）=cosB，cosA=sin（90°-∠A）=sinB； tanA=cot(90°-∠A)=cotB , tanB=cot(90°-∠B)=cotA. (2)平方关系：sin2A+cos2A=1； (3)倒数关系：tanA·tan（90°-∠A）=1或； (4)商的关系： 要点： 锐角三角比之间的关系式可由锐角三角比的意义推导得出，常应用在三角比的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 【即学即练】 1．的值为 ． 2．如果，那么锐角 度． 3．计算： 4．计算：． 5．在中，若，、都是锐角，则是 三角形． 6．对于锐角，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 7．在中，，下列式子不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 知识点2 使用计算器求锐角的三角比的值 特殊锐角三角比的值，可以通过几何计算求得.任意锐角的三角比的值，通常利用计算器求得. 只要计算器上有sin、cos、、tan(或tg)键，就可以用来求锐角三角比的值.通常，计算器所显示的这个三角比的值是它的近似值. 由于我们现在遇到的表示锐角的大小的单位都是“度、分、秒”,因此在使用计算器求锐角三角比的值时，首先必须进入DEG(角度)模式. 如：在计算器面板上，按MODE键，屏幕显示： 然后按1键，计算器即进入了DEG模式. 注意： ①如果按MODE键一次，屏幕未显出图示的画面，那么反复按MODE键，直到显示出来为止. ②“DEG”表示角度的单位制为“度、分、秒”. 【即学即练】 1．用计算器求下列各值精确到： (1)； (2)． 2．用计算器求下列各式的值（精确到）． (1)； (2)； (3)； (4) 题型01 求特殊角的锐角三角比的值 【典例1】．的值为 ． 【变式1】．中，，下列说法正确的是（    ） A．的余切值为 B．的对边与邻边之比为 C．的余弦值 D．的正弦值不确定 【变式2】．计算： ． 【变式3】． ． 题型02 根据特殊角的锐角的三角比求角度（Ⅰ） 【典例1】．若，则锐角 °． 【变式1】．在锐角中，，则 ． 【变式2】．若，则锐角 ． 【变式3】．若为锐角，且，则 度． 题型03 根据特殊角的锐角的三角比求角度（Ⅱ） 【典例1】．若sin(α+15°)=1，则∠α等于 度． 【变式1】．如果成立，那么锐角的度数应是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．李红同学遇到了这样一道题：，你猜想锐角α的度数应是（  ） A． B． C． D． 题型04 判断三角形的形状 【典例1】．如果，则的形状是 ． 【变式1】．在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【变式2】．在中，、都是锐角，且，则的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 题型05 特殊角的锐角三角比的混合运算 【典例1】．计算：． 【变式1】．计算：． 【变式2】．计算：． 【变式3】．计算：． 题型06 特殊角的锐角三角比的应用 【典例1】．下列各数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．先化简，再求值：，共中． 【变式2】．点关于轴对称的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 题型07 锐角的三角比之间的关系（Ⅰ） 【典例1】．在中，，若，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 【变式1】．如果，那么与的差（    ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 【变式2】．以下与tan30°大小相等的是（　　） A．cos60° B．cot60° C．cot30° D．tan60° 题型08 比较大小问题 【典例1】．令a=sin60°，b=cos45°，c=tan30°，则它们之间的大小关系是（    ） A．c<b<a B．b<c<a C．b<a<c D．a<c<b 【变式1】．下列不等式，成立的是(    ) A． B． C． D． 【变式2】．比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型09 锐角的三角比之间的关系（Ⅱ） 【典例1】．⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝ .则下列关系式中不成立的是(　 　) A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosA C．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1 题型10 用计算器求锐角的三角比的值 【典例1】．用计算器求下列各式的值．（结果精确到） (1)； (2)； (3)． 【变式1】．按科学记算器，使显示器显示后，求的值，以下按键顺序正确的是(   ) A． B． C． D． 【变式2】．用计算器求下列各式的值（精确到0.0001）： (1)； (2)； (3)； (4)． 一、单选题 1．的值是（　　） A． B． C． D． 2．角的正切值为（    ） A． B． C． D． 3．若为锐角，且，则等于（　　） A． B． C． D． 4．在中，、都是锐角，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 5．已知α为锐角，，则α等于（　　） A． B． C． D． 6．下列不等式，成立的是(    ) A． B． C． D． 7．若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 8．三角函数，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．在中，，则的值（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．不确定，与的值有关 二、填空题 11． ． 12．计算： ． 13．计算： ． 14．在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 15．若，则锐角 ． 16． （选填“”或“”或“”） 17．在RtΔABC中，∠，，那么的值为 ． 18．已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是，则这个锐角的正切值为 ． 三、解答题 19．计算：． 20．计算：． 21．计算： 22．计算：． 23．计算： 24． 在中， 已知 求的值． 25．如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    26．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题． (1) ； ； ． (2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ； (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； (4)若，且，求的值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题25.2 求锐角的三角比的值 教学目标 1. 会求特殊角的锐角三角比的值； 2. 根据特殊角的锐角三角比的值求特殊角； 3. 掌握用计算器计算特殊角的锐角三角比的值。 教学重难点 1.重点 （1）求特殊角的锐角三角比的值； （2）知道锐角的三角比之间的关系； （3）锐角三角比的值的应用。 2.难点 （1）锐角的三角比之间关系的应用； （2）由特殊到一般，探索、总结规律。 知识点1 求锐角的三角比的值 一、特殊角的锐角三角比的值 　　　利用三角比的定义，列出特殊锐角的三角比的值，如下表： 要点： (1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角比值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角比值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． (2)仔细研究表中数值的规律会发现： sin30°、sin45°、sin60°的值依次为、、，而cos30°、cos45°、cos60°的值的顺序正好相反，tan30°、tan45°、tan60°的值依次增大，其变化规律可以总结为： ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小) ②余弦、余切值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 二、锐角三角比之间的关系 在Rt△ABC中，∠C=90°． (1)互余关系：sinA=cos（90°-∠A）=cosB，cosA=sin（90°-∠A）=sinB； tanA=cot(90°-∠A)=cotB , tanB=cot(90°-∠B)=cotA. (2)平方关系：sin2A+cos2A=1； (3)倒数关系：tanA·tan（90°-∠A）=1或； (4)商的关系： 要点： 锐角三角比之间的关系式可由锐角三角比的意义推导得出，常应用在三角比的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 【即学即练】 1．的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．如果，那么锐角 度． 【答案】60 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据特殊角的三角函数值，即可解答． 【详解】解：∵ ∴锐角度， 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，分别代入计算即可得解，熟练掌握特殊角的三角函数值是解此题的关键． 【详解】解： ． 4．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算．代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： ． 5．在中，若，、都是锐角，则是 三角形． 【答案】等边/正 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等边三角形， 故答案为：等边． 6．对于锐角，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角的三角函数关系逐一判断即可． 【详解】解：A．，故本选项正确； B．，故本选项错误； C． ，故本选项错误； D． ，故本选项错误． 故选A． 【点睛】此题考查的是同角的三角函数关系，掌握同角的三角函数关系是解题关键． 7．在中，，下列式子不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可根据三角函数的定义解答；亦可运用互为余角的锐角三角函数关系式：tanA=cotB；sin2A+sin2B=1（∠A+∠B=90°）解答． 【详解】解：如图所示， Rt△ABC中，设AC=b，BC=a，AB=c． 根据锐角三角函数的定义，得 A、tanA==cotB．正确； B、sin2A+cos2A=()2+()2==1．正确； C、sin2A+sin2B=()2+()2==1．正确； D、tanA•cotB=•，只有当∠A=∠B=45°时，tanA•cotB=1．错误． 故选D． 【点睛】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值； 或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 知识点2 使用计算器求锐角的三角比的值 特殊锐角三角比的值，可以通过几何计算求得.任意锐角的三角比的值，通常利用计算器求得. 只要计算器上有sin、cos、、tan(或tg)键，就可以用来求锐角三角比的值.通常，计算器所显示的这个三角比的值是它的近似值. 由于我们现在遇到的表示锐角的大小的单位都是“度、分、秒”,因此在使用计算器求锐角三角比的值时，首先必须进入DEG(角度)模式. 如：在计算器面板上，按MODE键，屏幕显示： 然后按1键，计算器即进入了DEG模式. 注意： ①如果按MODE键一次，屏幕未显出图示的画面，那么反复按MODE键，直到显示出来为止. ②“DEG”表示角度的单位制为“度、分、秒”. 【即学即练】 1．用计算器求下列各值精确到： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用计算器求正切值，直接利用计算器进行计算即可． 【详解】（1） 解：依次按键：， 显示结果为0.5317094317，得； （2） 依次按键：， 显示结果为0.790697482，得． 2．用计算器求下列各式的值（精确到）． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)0.45 (2)0.52 (3)0.64 (4)1.44 【分析】本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力，要注意把秒转化成分，把分转化为度． （1）分别把分化成度，然后利用计算器进行计算即可得解； （2）利用计算器进行计算即可得解； （3）把秒转化成分，把分转化成度，然后利用计算器进行计算即可得解． （4）利用计算器进行计算即可得解； 【详解】（1）解：， （2）解： （3）解： （4）解： 题型01 求特殊角的锐角三角比的值 【典例1】．的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】．中，，下列说法正确的是（    ） A．的余切值为 B．的对边与邻边之比为 C．的余弦值 D．的正弦值不确定 【答案】D 【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：∵中，， ∴的余切值为， ∵不一定是直角三角形， ∴的对边与邻边之比不一定为，的余弦值不一定为，的正弦值不确定 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握定义是解题的关键． 【变式2】．计算： ． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值直接写出即可． 【详解】解：根据特殊角的三角函数值知：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题时牢记特殊角的三角函数值是关键． 【变式3】． ． 【答案】1 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，直接利用可得答案． 【详解】解：， 故答案为：1 题型02 根据特殊角的锐角的三角比求角度（Ⅰ） 【典例1】．若，则锐角 °． 【答案】45 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．本题考查的知识点特殊角的三角函数值，理解并熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：45． 【变式1】．在锐角中，，则 ． 【答案】60 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值可求得． 【详解】解：∵在锐角中，， ∴， 故答案为：60． 【变式2】．若，则锐角 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角的度数，根据特殊角的三角函数值进行求解即可，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴锐角， 故答案为：． 【变式3】．若为锐角，且，则 度． 【答案】45 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，先变形为，根据特殊角的三角函数值解答． 【详解】解：， ， 解得（舍去），， ∴． 故答案为：45． 题型03 根据特殊角的锐角的三角比求角度（Ⅱ） 【典例1】．若sin(α+15°)=1，则∠α等于 度． 【答案】75 【分析】直接利用特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：∵sin（α+15°）=1， ∴α+15°=90°， ∴α=75°， 故答案为：75． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 【变式1】．如果成立，那么锐角的度数应是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【变式2】．李红同学遇到了这样一道题：，你猜想锐角α的度数应是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解： ∴ ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 题型04 判断三角形的形状 【典例1】．如果，则的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】根据特殊角的三角函数值以及非负数的性质求解进而根据等边三角形的判定可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值以及非负数的性质，也考查了等边三角形的判定． 【变式1】．在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 【变式2】．在中，、都是锐角，且，则的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 【答案】直角 【分析】根据绝对值和偶次幂的非负性，结合特殊角的三角函数值求得、的度数，从而作出判断． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴、， ∴在中，， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，理解绝对值和偶次幂的非负性，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 题型05 特殊角的锐角三角比的混合运算 【典例1】．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数的混合运算，先将特殊角的三角函数值代入，然后进行计算即可；牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式1】．计算：． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数的混合运算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数的混合运算，理解并掌握三角函数的计算方法是解题的关键． 【变式2】．计算：． 【答案】 【分析】代入特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：原式． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【变式3】．计算：． 【答案】 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 题型06 特殊角的锐角三角比的应用 【典例1】．下列各数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义逐项判断即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，是分数，属于有理数，不合题意； 、是有限小数，属于有理数，不合题意； 、是整数，属于有理数，不合题意； 、，是无理数，符合题意； 故选：． 【变式1】．先化简，再求值：，共中． 【答案】 【分析】先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再利用特殊三角函数值求出字母的值，把字母带的值入运算即可． 【详解】解：原式 当时 原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，特殊三角函数值，代数式求值，分母有理化，掌握分式运算顺序，熟记特殊三角函数值是解题的关键． 【变式2】．点关于轴对称的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求特殊角的三角函数值，关于轴对称的点的坐标特征；先求得，，进而根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴即 ∴关于轴对称的点的坐标是， 故选：B． 题型07 锐角的三角比之间的关系（Ⅰ） 【典例1】．在中，，若，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】在直角三角形中，求出的度数，即可求． 【详解】解：如图所示，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是掌握特殊角的三角函数值． 【变式1】．如果，那么与的差（    ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 【答案】B 【分析】，再根据正弦函数随着角的增大而增大进行分析即可． 【详解】∵，正弦函数随着角的增大而增大， ∴当时，， ，即， 故选B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，正弦函数值随着角的增大而增大． 【变式2】．以下与tan30°大小相等的是（　　） A．cos60° B．cot60° C．cot30° D．tan60° 【答案】B 【分析】分别求出特殊角锐角三角函数值，即可求解． 【详解】解：因为 ， A、 ，故本选项不符合题意； B、 ，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、 ，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，熟练掌握 角锐角三角函数值是解题的关键． 题型08 比较大小问题 【典例1】．令a=sin60°，b=cos45°，c=tan30°，则它们之间的大小关系是（    ） A．c<b<a B．b<c<a C．b<a<c D．a<c<b 【答案】A 【分析】分别求出a、b、c所对应的值，然后比较它们的大小即可． 【详解】a=sin60°=,b=cos45°=,c=tan30°=， ∵<<， ∴c<b<a. 故选A. 【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握特殊角度的三角函数值是解题的关键. 【变式1】．下列不等式，成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角三角函数值比较即可． 【详解】解：特殊角的三角函数值如下表所示： 角度三角函数名 由表格可知： 选项A错误，正确应为：； 选项B错误，正确应为：； 选项C错误，正确应为：； 选项D正确， 故选D． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值和比较它们的大小，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．也可以利用结论来判断，判断依据：一个锐角的正弦值和正切值随着角度的增大而增大，一个锐角的余弦值和余切值随着角度的增大而减小． 【变式2】．比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键， 根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【详解】， ， ，， ，， ， 故选：D． 题型09 锐角的三角比之间的关系（Ⅱ） 【典例1】．⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义就可以解决,即  ． 【详解】解：如图所示，Rt△ABC中，设AC=b，BC=a，AB=c．根据锐角三角函数的定义： A、tanA=，tanB=，只有当a=b时，tanA=tanB，所以不一定成立； B、tanA=，cotB=，只有当a=b时，，所以不一定成立； C、sinA==cosB，故正确； D、cosA=，cosB=，只有当a=b时， ，所以不一定成立； 故选：C． 【点睛】本题考查直角三角形中两锐角的三角函数之间的关系，解题关键是熟练掌握三角函数定义． 【变式1】．⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义就可以解决． 【详解】解：如图所示，Rt△ABC中，设AC=b，BC=a，AB=c．根据锐角三角函数的定义： A、∵tanA=，cotA=， ，∴ ，故成立； B、∵tanA=，cotB=， ，∴ ，故不成立； C、∵tanA=，cotB=，∴，故不成立； D、∵cotA= ，tanB=，∴，故不成立； 故选：A． 【点睛】本题考查直角三角形中两锐角的三角函数之间的关系，结合图形容易求解． 【变式2】．在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝ .则下列关系式中不成立的是(　 　) A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosA C．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1 【答案】D 【分析】可根据同角三角函数的关系：平方关系；正余弦与正切之间的关系（积的关系）；正切之间的关系进行解答． 【详解】解：根据锐角三角函数的定义，得 A.tanA•cotA= =1，关系式成立； B.sinA=，tanA•cosA==，关系式成立； C.cosA=，cotA•sinA==，关系式成立； D.tan2A+cot2A=≠1，关系式不成立． 故选D． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系解题关键是明确三角函数的意义，准确进行推理证明． 题型10 用计算器求锐角的三角比的值 【典例1】．用计算器求下列各式的值．（结果精确到） (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查用计算器求三角函数的近似值，正确使用计算器是解题的关键． （1）运用计算器即可计算出题中各式中的三角函数值． （2）运用计算器即可计算出题中各式中的三角函数值． （3）运用计算器即可计算出题中各式中的三角函数值． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【变式1】．按科学记算器，使显示器显示后，求的值，以下按键顺序正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据计算器的使用进行按键即可求解． 【详解】解：显示器显示D后，即弧度制； 求的值，需按顺序按下：，，． 故选：C. 【点睛】本题考查了用过计算器计算三角函数，会用科学记算器进行计算是解题关键． 【变式2】．用计算器求下列各式的值（精确到0.0001）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0.7314 (2)0.2164 (3)0.9041 (4) 【分析】利用计算器求出结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【点睛】本题考查计算锐角三角函数值，熟练使用计算器是解题的关键． 一、单选题 1．的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 将特殊角的三角函数值代入求解． 【详解】解： 原式． 故选：C． 2．角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值即可得到答案． 【详解】解：． 故选B． 3．若为锐角，且，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，求特殊角三角函数值，根据的正弦值得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．在中，、都是锐角，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据非负数的性质可得∴，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴是等腰三角形， 故选：C． 5．已知α为锐角，，则α等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的知识，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值直接求解． 【详解】解：∵已知α为锐角，， ∴， ∴． 故选：B． 6．下列不等式，成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角三角函数值比较即可． 【详解】解：特殊角的三角函数值如下表所示： 角度三角函数名 由表格可知： 选项A错误，正确应为：； 选项B错误，正确应为：； 选项C错误，正确应为：； 选项D正确， 故选D． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值和比较它们的大小，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．也可以利用结论来判断，判断依据：一个锐角的正弦值和正切值随着角度的增大而增大，一个锐角的余弦值和余切值随着角度的增大而减小． 7．若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据三角函数值判断锐角的取值范围，根据一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行判断即可． 【详解】解：∵，，且， ∴； 故选A． 8．三角函数，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：和都小于1，大于1，故最大；只需比较和，又，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较解答即可． 【详解】根据锐角三角函数的概念，知． 又∵，正弦值随着角的增大而增大， ∴， ∴， 故选C ． 【点睛】本题考查锐角三角函数．掌握锐角三角函数的性质是解题关键． 9．⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义就可以解决,即  ． 【详解】解：如图所示，Rt△ABC中，设AC=b，BC=a，AB=c．根据锐角三角函数的定义： A、tanA=，tanB=，只有当a=b时，tanA=tanB，所以不一定成立； B、tanA=，cotB=，只有当a=b时，，所以不一定成立； C、sinA==cosB，故正确； D、cosA=，cosB=，只有当a=b时， ，所以不一定成立； 故选：C． 【点睛】本题考查直角三角形中两锐角的三角函数之间的关系，解题关键是熟练掌握三角函数定义． 10．在中，，则的值（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．不确定，与的值有关 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的概念表示出，，所以；再根据三角形的三边关系进行分析． 【详解】解：设直角三角形中，的对边是，邻边是，斜边是． 根据锐角三角函数的概念，得 ，． 所以， 再根据三角形的三边关系，得， 故的值大于1． 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，首先理解锐角三角函数的概念，再结合三角形的三边关系进行分析． 二、填空题 11． ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可得出答案． 【详解】． 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个角的余弦值和正切值，根据特殊角的三角函数值进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 13．计算： ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为6． 14．在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 15．若，则锐角 ． 【答案】 【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解． 【详解】解：， 故答案为50°. 【点睛】本题考查互为余角的两角的三角函数的关系，是一个基础题． 16． （选填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数大小比较，数字规律探索，根据特殊角的三角函数的正弦与余弦值可得到互余的两角余弦值与正弦值相等，正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小，从而得出，再进行比较即可． 【详解】解：，，，，，， ，，，， 由此可得，互余的两角余弦值与正弦值相等，正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小， ， ， ， 故答案为：． 17．在RtΔABC中，∠，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】一个角的余切值等于这个角的余角的正切值，据此作答即可． 【详解】∵∠C=90°， ∴∠A和∠B互余， ∴cotB=. 故答案为. 【点睛】此题考查互余两角三角函数的关系，解题关键在于掌握其定义 18．已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是，则这个锐角的正切值为 ． 【答案】3 【分析】设这个锐角为α，根据题意和三角函数的性质可知：，解方程即可． 【详解】解：设这个锐角为α， ∴ 由①，得③ 将③代入②，得 解得：或 当时， ∴=3＞ ∵α的正切值比余切值大 ∴此时不符合题意，舍去； 当时， =＜ ∴此时符合题意． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是锐角三角函数值的运算，掌握三角函数的性质是解题关键． 三、解答题 19．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 20．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 根据特殊角的三角函数值和实数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式                                      ． 21．计算： 【答案】 【分析】本题考查特殊三角函数值的混合运算，将特殊锐角三角函数值代入计算即可． 【详解】解： ． 22．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 先将特殊角的三角函数值代入，然后进行计算即可； 【详解】解： ． 23．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，分母有理化，二次根式的化简，熟练掌握三角函数值，分母有理化是解题的关键．根据特殊角的三角函数值代入计算，化简解答即可． 【详解】 ． 24． 在中， 已知 求的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，非负数的性质，特殊角三角函数值，三角形内角和定理，利用非负数和为零得出，求出、度数，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：                                                 ∴，， ∴． 25．如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    【答案】；，理由见解析 【分析】利用勾股定理可得，用，，表示正弦，余弦的平方和，即可得出；根据题意得出，即可得出． 【详解】存在的一般关系有：，， 证明：，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理的知识，熟练应用锐角三角函数关系是解答本题的关键． 26．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题． (1) ； ； ． (2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ； (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； (4)若，且，求的值． 【答案】(1)1，1，1 (2)1 (3)证明见解析 (4) 【分析】（1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案； （2）由（1）中运算结果即可得到答案； （3）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证； （4）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：1，1，1； （2）解：由（1）中运算结果即可猜想在中，，都有， 故答案为：1； （3）证明：在中，，，，的对边分别是，，， 由勾股定理即可得到， ， ； （4）解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$