25.2求锐角的三角比的值（16大题型提分练）数学沪教版五四制九年级上册

25.2 求锐角的三角比的值 知识点一 锐角三角函数 对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A是锐角A的函数.同样地cos A ,tan A，cot A也是锐角A的函数，即锐角A的正弦、余弦、正切、余切都是∠A的锐角三角函数. 知识点二 30°,45°,60°角的三角函数值 三角比的值 角度 提示 根据上表可直接求得特殊角的锐角三角函数值，并用来计算,反过来,已知一个特殊角的锐角三角函数值,可求出相应的锐角. 知识点三 三角函数值的计算 逆用特殊三角函数值进行混合运算，运算顺序与之前学习的有理数运算顺序一致，注意符号和去括号错误，运算结束不要忘记检查. 题型一、求角的正弦值 解题技巧提炼 先确定好在哪一个直角三角形中，然后利用对边比斜边的关系求出角的正弦值. 1．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）已知在中，，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求锐角三角函数值．根据勾股定理求出的长，利用锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可．熟记锐角三角函数的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，，； 故选A． 2．（23-24九年级上·上海静安·期末）如果直线与轴正半轴的夹角为锐角，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．将图像画出，设点是直线上的点，设点，过点作轴于点，则，即可求解． 【详解】解：设点是直线上的点，设点，过点作轴于点，则， ； ； ； ． 故选C． 3．（2024·江苏苏州·二模）如图，的顶点都在方格纸的格点上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的边角关系，利用网格构造直角三角形是解题的关键．利用网格构造直角三角形，根据格点线段的长度求出斜边的长，再根据三角函数的意义求出答案． 【详解】解：如图，设小正方形边长为1，连接，交于点O，则， 则， ∵， ∴ 故答案为： 4．（2024·上海·三模）用如图的方法可以较简便地计算出的值，请你仿照这种方法，求：的值． 【答案】 【分析】此题考查的知识点是解直角三角形，解答本题的关键是根据阅读材料构造含的直角三角形，再作辅助线得角的直角三角形．构造，其中，延长到，使，连接，根据构造的直角三角形，设，用表示出，即可求出的值． 【详解】解：构造，其中，，延长到，使，连接， 则， ， 设则，， ， ， ． 5．（2024·上海杨浦·三模）如图，已知矩形，为对角线，点、分别是与的重心，连接、，如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】延长交于M，连接并延长交于，连接并延长交于，连接并延长交于，连接、、，根据重心的定义、三角形中位线定理及相似三角形的性质可推出，，，，得到，判定，推出，再证明，推出，得到，再用勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：延长交于M，连接并延长交于，连接并延长交于，连接并延长交于，连接、、， ∵点、分别是与的重心， ∴、分别是、边上的中线，即点、分别是、边上的中点； 、分别是、边上的中线，即点、分别是、边上的中点， ∴，； ，，，， ∴，；，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， 设，则， 在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的重心，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形等知识点，解题的关键是由三角形重心的定义、三角形中位线定理及相似三角形判定和性质推出． 题型二、已知正弦值求边长 解题技巧提炼 根据已知条件，将与所求边长有关的正弦关系表示出来，再利用比例的性质求出边长. 6．（2023·上海·一模）在中，，，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，利用三角函数的定义即可完成． 【详解】如图所示，由正弦函数定义有：， ； 故选：A． 【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义，已知一个角及斜边，求此角的对边，则利用正弦函数可以解决． 7．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，在中，，，那么下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数的概念求解即可． 【详解】∵ ∴是直角三角形 ∴ ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了锐角三角函数的概念，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的概念． 8．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）在中，，，，那么边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数值的求值可以求得，故根据即可求得的值，即可解题． 【详解】解：，，， 则， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形三角函数值的计算，解题的关键是明确三角函数值得定义求得． 9．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，．    (1)求的长． (2)若点D在边上，且，求的值． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了正弦，正切，勾股定理．熟练掌握，是解题的关键． （1）如图1，过A作于E．在中，由，解得，由勾股定理得，．在中，由，解得，根据，计算求解即可． （2）如图2，过D作于H．由题意知，，，在中，由，设，则，由勾股定理得，，由，解得，则，，由（1）知，，则，在中，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过A作于E．    在中， ∵，，解得， 由勾股定理得，． 在中， ∵，解得， ∴． （2）解：如图2，过D作于H．    ∵，， ∴，， 在中，， 设，则， 由勾股定理得，， 又∵， 解得， ∴，， 由（1）知，， ∴， 在中，， ∴的值为． 10．（22-23九年级上·上海黄浦·阶段练习）如图，四边形中，，平分，交于点，，那么 ． 【答案】1 【分析】延长交于点，根据平分，，得出，，设，根据，求得，进而求得，证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分，， ∴，， 设 ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正弦，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 题型三、求角的余弦值 解题技巧提炼 根据已知条件，首先确定好所求余弦值对应的角在哪一个直角三角形中，再利用邻边比斜边表示余弦值. 11．（2023·上海奉贤·一模）在中，如果，，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，是等腰三角形，可知等腰三角形的三线合一，如图所示，过点作于，在中，根据余弦的计算方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， 如图所示，过点作于，， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形，余弦的计算方法，掌握等腰三角形的性质，构造直角三角形，余弦的计算方法是解题的关键． 12．（2023·上海崇明·一模）在中，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先画出图形，再由锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：， 故选：C． . 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是余弦的定义． 13．（2023·上海长宁·一模）在中，，已知，，那么的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用锐角三角函数求出结果即可． 【详解】解：如图，    在中，， ，， ， 故选C． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角的对边与斜边的比叫做该锐角的正弦是解题的关键． 14．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，，D是边的中点，过点D作，垂足为E，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，先由线段中点的定义得到，则由勾股定理可得，则，再证明，则． 【详解】解：∵D是边的中点，， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2024·上海静安·三模）已知：中，，平分，，，的余弦值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定与性质，求一个角的余弦，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 过点D作，根据角平分线可得，然后得到，证明出，得到，即可求得，然后设，则，利用代入求出，然后根据余弦的概念求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作， 平分， ， 又， ， ，， ， 即， 又 ， ， ∴，负值舍去， 设，则 ∵ ∴ 解得 ∴ ∴． 故答案为：． 题型四、已知余弦求边长 解题技巧提炼 根据所给余弦值，找到对应直角三角形，有些时候可能需要相似寻找对应角，或其他等量代换进行换角，再根据余弦关系求出线段长度. 16．（2023·上海虹口·一模）如图，在中，已知，，，那么的长为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确理解锐角三角函数的定义是解决问题的关键．先根据余弦的定义计算出，然后利用勾股定理计算出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 17．（23-24九年级上·上海闵行·期中）在中，，，如果，那么 ． 【答案】 【分析】根据余弦定义求得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查余弦定义、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数是解答的关键． 18．（23-24九年级上·上海崇明·期中）在中，，，，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了余弦．熟练掌握：是解题的关键．根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，    ∵，，， ∴，即，解得，， 故答案为：4． 19．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，中，，，D是边的中点，连结．    (1)已知，求的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意设，则，利用勾股定理列式计算求得，据此求解即可； （2）作于，求得，利用余弦函数求得，再利用勾股定理和余切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴设，则， ∵，即， 解得， ∴； （2）解：作于，    由（1）得， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 20．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，中，，，.点、分别在边、上，，那么的长为 .（用含的代数式表示）    【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，余弦的定义，过点作于点，设，则， ，，过点作交的延长线于点，根据平行线分线段成比例得出，得出，证明，得出，则，进而求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵ ∴， ∵， ∴，设，则，， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴，即 ∴ 解得： 又∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∵，，， ∴，则 故答案为：． 题型五、求角的正切值 解题技巧提炼 角的正切值是对边比邻边，先确定直角三角形，再去寻找对边与邻边进而求值. 21．（23-24九年级上·上海闵行·阶段练习）在中，，，，下列说法正确的是（    ） A．的正切值为 B．的正弦值为 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角函数，可以先利用勾股定理求出直角边的长，再根据锐角三角函数的定义分别求出各个三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， A. 的正切值为，选项错误； B. 的正弦值为，选项错误； C. ，选项错误； D. ，选项正确； 故选：D． 22．（23-24九年级上·上海崇明·期末）在直角坐标平面内有一点，点A与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求锐角的正切值；画出图形，过A作轴于B，则由点A的坐标可得，由正切的定义即可求解． 【详解】解：如图，过A作轴于B， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 23．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知中，，，，那么的值（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了锐角三角函数定义，正确把握其定义是解题关键．根据题意画出图形，先利用勾股定理求出的长，进而利用锐角三角函数定义求出即可． 【详解】解：如图所示： 在中，，，， ， ． 故选A． 24．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在矩形中，，将矩形绕点旋转，的对应边与边相交于点，连接，当点是中点时， ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角函数，过作于，过点作于，可得四边形为矩形，得到，，进而得，，再证，得到，可得，，得到，最后根据正切的定义即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过点作于，则， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵点是中点， ∴ ∴， 又由旋转可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（2024·上海长宁·三模）如图，在直角梯形中 ，，， ． (1)求梯形的面积； (2)连接，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定： （1）过作于，得出四边形为矩形，得到，，再根据勾股定理得出，进而可求梯形的面积； （2）过作于，由相似三角形性质可知，再根据勾股定理得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：过作于， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积； （2）解：过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的正弦值＝． 题型六、已知正切值求边长 解题技巧提炼 解题步骤： 第1步：先定直角三角形; 第2步：找准对边、邻边; 第3步：将边长代入正切公式进而求解. 26．（21-22九年级上·上海青浦·期末）在△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=2，AC=3，那么BC= ． 【答案】 【分析】利用正切的定义求解． 【详解】解：∵∠C=90°， ∴tan∠A==2， ∴BC=2AC=2×3=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°．锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A． 27．（22-23九年级上·上海青浦·期中）中，，，那么三边是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意设，得出，再由勾股定理得出，得出三边的比即可． 【详解】解：∵，， 设， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查解直角三角形的运用，主要利用勾股定理以及锐角三角函数等知识，注意结合图形，灵活选择适当的方法解决问题． 28．（23-24九年级上·上海闵行·阶段练习）在中，，，，那么的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先根据正切的定义得到，再由勾股定理得到，解得，则，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，在中，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， 故答案为：．    29．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）在中，，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知正切求边长，根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示， 在中，，，， ∴ ∴, 故答案为：． 题型七、特殊三角形的三角函数 解题技巧提炼 特殊三角函数值需要记忆背诵，熟知30°、45°、60°的三角函数值. 30．（2023·上海杨浦·一模）计算： ． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值直接写出即可． 【详解】解：根据特殊角的三角函数值知：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题时牢记特殊角的三角函数值是关键． 31．（2024·上海静安·三模）下列实数中，不是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数和无理数的定义，根据定义判定即可：整数和分数统称为有理数；无理数即无限不循环小数． 【详解】解：A、是有理数，故本选项不符合题意； B、为循环小数，是有理数，故本选项不符合题意； C、是无理数，故本选项符合题意； D、是有理数，故本选项不符合题意； 故选：C． 32．（2024·上海·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用绝对值的性质、负整数指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ． 33．（2024·上海·模拟预测）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数，因式分解等知识，先利用化简，再用平方差公式分解即可，掌握特殊角三角函数是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 34．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数的混合运算，先将特殊角的三角函数值代入，然后进行计算即可；牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解： ． 35．（2024·上海·模拟预测）函数的定义域为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求出函数的定义域，根据分式有意义的条件即可求解，掌握据分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】由题意可得，， ∴， ∴， ∴函数的定义域为： 故答案为：． 题型八、特殊角三角函数值的混合运算 解题技巧提炼 特殊三角函数值的混合运算也是需要遵循匀运算顺序，也可以利用运算定律. 36．（22-23九年级上·上海青浦·期中）计算： 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，负整指数幂，二次根式的混合运算，求解即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，零指数幂，负整数指数幂和二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则． 37．（2023·上海崇明·一模）计算： 【答案】 【分析】因为，，，，然后代入计算式即可得出答案． 【详解】，，，， 原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的各种三角函数值是解题的关键． 38．（23-24九年级上·上海闵行·期中）计算： 【答案】 【分析】代入特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 39．（23-24九年级上·上海宝山·期中）计算： . 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为． 40．（23-24九年级下·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，牢记常见特殊角的三角函数值成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数值代入，然后再计算即可． 【详解】解： ． 题型九、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 解题技巧提炼 将三角恒等式进行化简，求出内角的大小，从而判断三角形形状，多考直角三角形、等边三角形（包括等腰三角形）. 41．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定． 【详解】解：， ，， 即，， ， 即为直角三角形， 故选：D． 42．（19-20九年级上·广东梅州·期末）在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值求出，然后利用三角形内角和定理求出的度数，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 43．（22-23九年级上·甘肃嘉峪关·期末）在中，，则的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】先根据非负数的性质求出，，再根据三角函数作答． 【详解】∵， ∴，， 即，， ∴，， ∴， 则一定是等边三角形， 故答案为:等边三角形． 【点睛】本题考查了非负数的性质，三角函数，等边三角形的判定，数量掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 44．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）若，则以为内角的的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】直接利用非负数的性质得出，进而得出的形状． 【详解】解：∵， ∴，， 则，， ∴， ∴以为内角的的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键． 题型十、根据特殊角三角函数值求角的度数 解题技巧提炼 熟练掌握330°、45°、60°的正切值、正弦值、余弦值是解题的关键. 45．（22-23九年级上·上海崇明·期中）如果为一锐角，且，那么的度数是 ． 【答案】/度 【分析】根据特殊角的三角函数值即可得出答案． 【详解】解：∵为一锐角，且， ∴的度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握“”的正切值、正弦值、余弦值是解本题的关键． 46．（22-23九年级上·上海松江·期中）在中，与是锐角，且，，那么 度． 【答案】 【分析】先根据特殊角的三角函数值得出锐角、的值，再根据三角形的内角和定理即可得出答案 【详解】解：∵，，与是锐角， ∴，， ∴； 故答案为． 【点睛】本题考查了由特殊角的函数值求角度，以及三角形的内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 47．（2023·上海金山·一模）已知是锐角，且，那么 ． 【答案】/45度 【分析】直接根据特殊角的三角函数值解答即可． 【详解】∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，记忆特殊角的三角函数值是解题的关键． 48．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）如果锐角的正切值为，那么锐角为 度 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答． 【详解】解：因为锐角的正切值为，即， 所以锐角为度， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 题型十一、已知角度比较三角函数值的大小 解题技巧提炼 锐角三角函数值的大小变化规律:当角度在 0°~90°范围内变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)，余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大). 49．（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）已知，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同角的三角函数的关系，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的定义，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．根据逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而，所以 ，因此选项A不符合题意； B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以，即，因此选项B不符合题意； C．由于，而，即，所以，即，因此选项C不符合题意； D．由于锐角的对边除以斜边，锐角的对边除以锐角的邻边，而锐角的邻边小于斜边，所以，因此选项D符合题意． 故选：D． 50．（21-22九年级上·上海虹口·阶段练习）比较、、和的大小，并由小到大排列： ． 【答案】 【分析】把余弦化成正弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值随着角度的增大而增大，相同角的正切值大于正弦值即可解答 【详解】，正弦值随着角度的增大而增大 故答案为： 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，在一个单调区间内，正弦函数值随着角度的增大而增大，相同角的正切值大于正弦值． 51．（21-22九年级上·上海静安·期末）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“正弦值随着角度的增大而增大”解答即可． 【详解】解：∵0°＜25°＜30° ∴ ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°~90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 52．（2023·上海静安·一模）如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】D 【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案． 【详解】解：当时，， ， ， ； 当时，， ， ， ； 当，， ， ， ， 综上所述，与的差不能确定， 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在之间（不包括和），角度变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论． 题型十二、根据三角函数值判断锐角的取值范围 解题技巧提炼 （1） 根据特殊三角函数的值来逆推角度； （2） 利用函数增减性确定对应边界值，从而求出取值范围. 53．（22-23九年级上·上海静安·期中）如果锐角的正切值是，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用30度角和45度角的正切值与角的正切值比较，即可得到答案． 【详解】解：∵，，，，，， 而， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查各角的正切值，实数的平方运算，实数的大小比较，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 54．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知是锐角，且，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出，及的近似值，然后得出结论即可． 【详解】解：，，， 又∵解：，，， 又∵，余弦函数随角增大而减小， ∴ ． 故选：B． 55．（23-24九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值，，，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度增大而减小即可得到答案 【详解】解：，， 由可得， 在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数值性质是解决问题的关键． 题型十三、利用同角三角函数关系求值 解题技巧提炼 平方关系：； 正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即或． 56．（22-23九年级上·上海·期中）已知为锐角，且，那么的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据求出，然后根据求解即可． 【详解】∵，为锐角， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了求角的正切值，解题的关键是熟练掌握三角函数公式． 57．（21-22九年级上·上海虹口·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】由于，则，然后把代入中利用分式的性质计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系：解题的关键是掌握平方关系：；正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即或． 58．（21-22九年级上·上海闵行·期中）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】根据题意利用同角的三角函数的基本关系，可得到，再由，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了同角的三角函数的基本关系的应用，熟练掌握同角的三角函数的基本关系是解题的关键． 59．（21-22九年级上·上海宝山·期末）如图，已知是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直角三角形的边角间关系，计算得结论． 【详解】解：∵是斜边边上的高， ∴都是直角三角形． 在中， ∵，故选项B不正确； 在中， ∵，故选项A、C不正确． 在中， ∵， ∴． ∴，故选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 60．（2024·上海松江·二模）如图，已知矩形中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，连接，过点作，交边于点（点与点不重合）． 　　 (1)当是的中点时，求证：； (2)当的长度取不同值时，在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； (3)延长交边于点，连接，与能否相似，若能相似，求出此时的长；若不能相似，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，PF的长度不变， (3)能相似， 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质及判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数的比值关系等知识点，灵活运用角的等量关系建立边的比值关系是解题的关键． （1）利用斜边的中线是斜边的一半的性质和矩形的性质，通过角的等量代换得到即可； （2）通过角的等量代换和相似三角形的判定方法证出，即可根据比值关系求解； （3）连接，过点作，垂足为，通过角的等量代换和边的比值关系判定出四边形是矩形，然后再利用角的等量代换证出，当时（均为钝角）时，可得到，从而得到，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：∵，为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：的长度不变，理由如下： ∵， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）连接，过点作，垂足为，如图所示： ∴，， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴当时（均为钝角），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 61．（2024·浙江杭州·一模）如图，在等腰三角形中．，．点D，E在边上，点F，G分别在和边上．若四边形为正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 作于，设正方形的边长为，证明，根据相似三角形的性质得，根据锐角三角函数的定义得，求出，表示出正方形和的面积，即可求解． 【详解】解：作于，设正方形的边长为， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设， 在中，， ， ∵ ， ， ， ， ． 故选：B． 题型十四、求证同角三角函数关系式 解题技巧提炼 平方关系：； 正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即或． 62．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 【答案】(1)成立，见解析 (2)成立，见解析 (3) 【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可； （2）根据正弦函数的定义列出，，结合勾股定理整理化简即可证得结论； （3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合中，，，再变形代入整理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，结论成立； （2）解：成立．理由如下： 在中，，且， ∴，故结论成立； （3）解：，理由如下： 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定义，灵活变形构造是解题关键． 63．（2024·甘肃武威·模拟预测）如图，在中，，请验证的结论． 【答案】见解析 【分析】本题考查同角的三角函数之间的关系，勾股定理以及互余两角三角函数的关系，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．根据直角三角形的边角关系求解即可． 【详解】证明：在中，， ∴ 64．（2020·上海黄浦·一模）对于锐角，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角的三角函数关系逐一判断即可． 【详解】解：A．，故本选项正确； B．，故本选项错误； C． ，故本选项错误； D． ，故本选项错误． 故选A． 【点睛】此题考查的是同角的三角函数关系，掌握同角的三角函数关系是解题关键． 65．（22-23九年级下·福建福州·期中）（1）如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，为的（保出作图痕迹，不写作法）． （2）根据（1）中所画图形证明．    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）作线段，过点作，作，射线，交于点，即为所求； （2）利用勾股定理，三角函数的定义证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求．        （2）证明：， ， ，， ． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角、作垂线、作三角形、勾股定理、三角函数，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题关键． 题型十五、互余两角三角函数的关系 解题技巧提炼 在中，，可知,所以互余， 即,. 66．（2023·四川成都·一模）已知，则的值约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的正弦值和余弦值都是的的值，因此值相等． 【详解】 ∴ 故选：D 【点睛】此题考查锐角三角形函数值，解题关键是分清锐角三角函数中的对边，邻边和斜边分别是哪条边． 67．（21-22九年级上·上海虹口·阶段练习）计算 【答案】 【分析】根据特殊三角函数值和互余两角的三角函数的关系求解即可 【详解】解： 【点睛】本题考查了特殊三角函数值和互余两角的三角函数的关系，牢记特殊三角函数值是解题的关键． 68．（22-23九年级下·上海普陀·期中）在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用互余两角的三角函数关系求解，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系，解题关键是掌握一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 69．（2024·上海·模拟预测） （选填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了互余两角的余弦与正弦的关系．熟练掌握互余两角的余弦与正弦的关系是解题的关键． 由，可知． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型十六、三角函数综合 解题技巧提炼 参数法求锐角三角函数值 将已知锐角三角函数值转化为直角三角形中两条边的长度的比,通过设参数表示出两条边的长，再利用勾股定理表示出第三条边的长，最后根据锐角三角函数的定义求未知的锐角三角函数值 70．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）在中，，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理计算得，根据锐角三角函数分别进行计算即可得． 【详解】解：在中，，， 则， ∴， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 71．（23-24九年级上·上海长宁·期末）在中，，如果，那么等于（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】解：， ∴， 故选：B． 72．（2023·上海金山·二模）如图，已知在中，，，点、分别是、的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求的正弦值； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点A作于点M，根据三线合一性质，勾股定理计算，根据正弦定义计算即可． （2）过点C作于点N，根据正弦，余弦计算，，求得，，后证明四边形是平行四边形，计算即可． 【详解】（1）过点A作于点M， ∵，， ∴ ∴， ∴． （2）过点C作于点N，连接 ∵， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，勾股定理，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握三角函数，勾股定理，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 73．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知在中，是边上的高，是边的中点，，．求：    (1)线段的长； (2)的余切值． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）根据可得，根据勾股定理可得，计算可得，即可得到答案； （2）由直角三角形斜边上的中线的性质可得，从而得到，求出的长，再根据余切的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：是边上的高， ， 在，，， ， ， ，， ， 解得：， ； （2）解：是边上的高， ， 是边的中点， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的知识，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 74．（2024·上海杨浦·一模）如图，已知在菱形中，，将菱形绕点旋转，点、、分别旋转至点、、，如果点恰好落在边上，设交边于点，那么的值是 ． 【答案】 【分析】过点A作于点M，则，设则，根据旋转的性质，得，则，证明三点共线，再证明，延长二线交于点，接着即可． 【详解】过点A作于点M，菱形， 则， 设则，连接， 根据旋转的性质，菱形，得， ，，，， ∵， ∴， ∴，， 延长交于点， ∵菱形， ∴， ∴, ∵, ∴, ∴, ∵ ∴重合，G，D，F三点共线， 延长二线交于点， 则， ∵ ∴， ∴， 解得， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数，勾股定理，旋转性质，等腰三角形的三线合一行，三角形相似的判断和性质，熟练掌握菱形的性质，三角函数，三角形相似的判定是解题的关键． 75．（2024·上海杨浦·三模）如图，已知在中，，是边上的一点（不与点、重合），是边延长线上一点，，延长交边于点． (1)求证：； (2)如果，且，求的余切值； (3)连接，当平分时，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角可得，，再根据，，即可证明； （2）先证明，再证明，即有，根据，，可得，进而可得， ，问题随之得解； （3）过点F作，交于点N，与交于点O，先证明，设，，，即有，证明，可得，则有，，进而可得，，再证明，可得，进而得方程，解方程即可求解． 【详解】（1）∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）过点A作于点N，如图， ∵在中，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵； （3）过点F作，交于点N，与交于点O，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ， ∵， ∴， 解得：（负值舍去），经检验，是原方程的根， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，余切，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的应用等知识，作出合理的辅助线，构造相似三角形，是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 25.2 求锐角的三角比的值 知识点一 锐角三角函数 对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A是锐角A的函数.同样地cos A ,tan A，cot A也是锐角A的函数，即锐角A的正弦、余弦、正切、余切都是∠A的锐角三角函数. 知识点二 30°,45°,60°角的三角函数值 三角比的值 角度 提示 根据上表可直接求得特殊角的锐角三角函数值，并用来计算,反过来,已知一个特殊角的锐角三角函数值,可求出相应的锐角. 知识点三 三角函数值的计算 逆用特殊三角函数值进行混合运算，运算顺序与之前学习的有理数运算顺序一致，注意符号和去括号错误，运算结束不要忘记检查. 题型一、求角的正弦值 解题技巧提炼 先确定好在哪一个直角三角形中，然后利用对边比斜边的关系求出角的正弦值. 1．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）已知在中，，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海静安·期末）如果直线与轴正半轴的夹角为锐角，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏苏州·二模）如图，的顶点都在方格纸的格点上，则 ． 4．（2024·上海·三模）用如图的方法可以较简便地计算出的值，请你仿照这种方法，求：的值． 5．（2024·上海杨浦·三模）如图，已知矩形，为对角线，点、分别是与的重心，连接、，如果，那么 ． 题型二、已知正弦值求边长 解题技巧提炼 根据已知条件，将与所求边长有关的正弦关系表示出来，再利用比例的性质求出边长. 6．（2023·上海·一模）在中，，，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，在中，，，那么下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 8．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）在中，，，，那么边的长为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，．    (1)求的长． (2)若点D在边上，且，求的值． 10．（22-23九年级上·上海黄浦·阶段练习）如图，四边形中，，平分，交于点，，那么 ． 题型三、求角的余弦值 解题技巧提炼 根据已知条件，首先确定好所求余弦值对应的角在哪一个直角三角形中，再利用邻边比斜边表示余弦值. 11．（2023·上海奉贤·一模）在中，如果，，那么的值是 ． 12．（2023·上海崇明·一模）在中，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 13．（2023·上海长宁·一模）在中，，已知，，那么的余弦值为（ ） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，，D是边的中点，过点D作，垂足为E，如果，那么 ． 15．（2024·上海静安·三模）已知：中，，平分，，，的余弦值为 ． 题型四、已知余弦求边长 解题技巧提炼 根据所给余弦值，找到对应直角三角形，有些时候可能需要相似寻找对应角，或其他等量代换进行换角，再根据余弦关系求出线段长度. 16．（2023·上海虹口·一模）如图，在中，已知，，，那么的长为（    ） A． B． C．4 D．5 17．（23-24九年级上·上海闵行·期中）在中，，，如果，那么 ． 18．（23-24九年级上·上海崇明·期中）在中，，，，那么 ． 19．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，中，，，D是边的中点，连结．    (1)已知，求的长； (2)求的值． 20．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，中，，，.点、分别在边、上，，那么的长为 .（用含的代数式表示）    题型五、求角的正切值 解题技巧提炼 角的正切值是对边比邻边，先确定直角三角形，再去寻找对边与邻边进而求值. 21．（23-24九年级上·上海闵行·阶段练习）在中，，，，下列说法正确的是（    ） A．的正切值为 B．的正弦值为 C． D． 22．（23-24九年级上·上海崇明·期末）在直角坐标平面内有一点，点A与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知中，，，，那么的值（   ） A． B． C． D． 24．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在矩形中，，将矩形绕点旋转，的对应边与边相交于点，连接，当点是中点时， ． 25．（2024·上海长宁·三模）如图，在直角梯形中 ，，， ． (1)求梯形的面积； (2)连接，求的正切值． 题型六、已知正切值求边长 解题技巧提炼 解题步骤： 第1步：先定直角三角形; 第2步：找准对边、邻边; 第3步：将边长代入正切公式进而求解. 26．（21-22九年级上·上海青浦·期末）在△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=2，AC=3，那么BC= ． 27．（22-23九年级上·上海青浦·期中）中，，，那么三边是（　　） A． B． C． D． 28．（23-24九年级上·上海闵行·阶段练习）在中，，，，那么的面积为 ． 29．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）在中，，，，那么 ． 题型七、特殊三角形的三角函数 解题技巧提炼 特殊三角函数值需要记忆背诵，熟知30°、45°、60°的三角函数值. 30．（2023·上海杨浦·一模）计算： ． 31．（2024·上海静安·三模）下列实数中，不是有理数的是（    ） A． B． C． D． 32．（2024·上海·模拟预测）计算： 33．（2024·上海·模拟预测）因式分解： 34．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）计算：． 35．（2024·上海·模拟预测）函数的定义域为 ． 题型八、特殊角三角函数值的混合运算 解题技巧提炼 特殊三角函数值的混合运算也是需要遵循匀运算顺序，也可以利用运算定律. 36． （22-23九年级上·上海青浦·期中）计算： 37． （2023·上海崇明·一模）计算： 38． （23-24九年级上·上海闵行·期中）计算： 39．（23-24九年级上·上海宝山·期中）计算： . 40．（23-24九年级下·上海·阶段练习）计算：． 题型九、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 解题技巧提炼 将三角恒等式进行化简，求出内角的大小，从而判断三角形形状，多考直角三角形、等边三角形（包括等腰三角形）. 41．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 42．（19-20九年级上·广东梅州·期末）在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 43．（22-23九年级上·甘肃嘉峪关·期末）在中，，则的形状是 ． 44．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）若，则以为内角的的形状是 ． 题型十、根据特殊角三角函数值求角的度数 解题技巧提炼 熟练掌握330°、45°、60°的正切值、正弦值、余弦值是解题的关键. 45．（22-23九年级上·上海崇明·期中）如果为一锐角，且，那么的度数是 ． 46．（22-23九年级上·上海松江·期中）在中，与是锐角，且，，那么 度． 47．（2023·上海金山·一模）已知是锐角，且，那么 ． 48．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）如果锐角的正切值为，那么锐角为 度 题型十一、已知角度比较三角函数值的大小 解题技巧提炼 锐角三角函数值的大小变化规律:当角度在 0°~90°范围内变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)，余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大). 49．（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）已知，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 50．（21-22九年级上·上海虹口·阶段练习）比较、、和的大小，并由小到大排列： ． 51．（21-22九年级上·上海静安·期末）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 52．（2023·上海静安·一模）如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 题型十二、根据三角函数值判断锐角的取值范围 解题技巧提炼 （1） 根据特殊三角函数的值来逆推角度； （2） 利用函数增减性确定对应边界值，从而求出取值范围. 53．（22-23九年级上·上海静安·期中）如果锐角的正切值是，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 54．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知是锐角，且，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 55．（23-24九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 题型十三、利用同角三角函数关系求值 解题技巧提炼 平方关系：； 正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即或． 56．（22-23九年级上·上海·期中）已知为锐角，且，那么的正切值为（    ） A． B． C． D． 57．（21-22九年级上·上海虹口·阶段练习）已知，则 ． 58．（21-22九年级上·上海闵行·期中）已知，且，则 ． 59．（21-22九年级上·上海宝山·期末）如图，已知是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 60．（2024·上海松江·二模）如图，已知矩形中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，连接，过点作，交边于点（点与点不重合）． 　　 (1)当是的中点时，求证：； (2)当的长度取不同值时，在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； (3)延长交边于点，连接，与能否相似，若能相似，求出此时的长；若不能相似，请说明理由． 61．（2024·浙江杭州·一模）如图，在等腰三角形中．，．点D，E在边上，点F，G分别在和边上．若四边形为正方形，则（    ） A． B． C． D． 题型十四、求证同角三角函数关系式 解题技巧提炼 平方关系：； 正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即或． 62．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 63．（2024·甘肃武威·模拟预测）如图，在中，，请验证的结论． 64．（2020·上海黄浦·一模）对于锐角，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 65．（22-23九年级下·福建福州·期中）（1）如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，为的（保出作图痕迹，不写作法）． （2）根据（1）中所画图形证明．    题型十五、互余两角三角函数的关系 解题技巧提炼 在中，，可知,所以互余， 即,. 66．（2023·四川成都·一模）已知，则的值约为（    ） A． B． C． D． 67．（21-22九年级上·上海虹口·阶段练习）计算 68．（22-23九年级下·上海普陀·期中）在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 69．（2024·上海·模拟预测） （选填“”或“”或“”）． 题型十六、三角函数综合 解题技巧提炼 参数法求锐角三角函数值 将已知锐角三角函数值转化为直角三角形中两条边的长度的比,通过设参数表示出两条边的长，再利用勾股定理表示出第三条边的长，最后根据锐角三角函数的定义求未知的锐角三角函数值 70．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）在中，，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 71．（23-24九年级上·上海长宁·期末）在中，，如果，那么等于（） A． B． C． D． 72．（2023·上海金山·二模）如图，已知在中，，，点、分别是、的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求的正弦值； (2)求线段的长． 73．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知在中，是边上的高，是边的中点，，．求：    (1)线段的长； (2)的余切值． 74．（2024·上海杨浦·一模）如图，已知在菱形中，，将菱形绕点旋转，点、、分别旋转至点、、，如果点恰好落在边上，设交边于点，那么的值是 ． 75．（2024·上海杨浦·三模）如图，已知在中，，是边上的一点（不与点、重合），是边延长线上一点，，延长交边于点． (1)求证：； (2)如果，且，求的余切值； (3)连接，当平分时，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$