3.1.2 函数的单调性（题型专练）数学人教B版2019必修第一册

3.1.2 函数的单调性 题型一 单调性的定义理解 1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知函数的定义域为，“”是“函数在区间是严格增函数”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 2．（22-23高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一上·全国·课后作业）若是上的严格增函数，令，则是上的（    ） A．严格增函数 B．严格减函数 C．先是严格减函数后是严格增函数 D．先是严格增函数后是严格减函数 4．（20-21高一·全国·课后作业）若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2020·山东·高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 题型二 利用函数图象求单调区间 6．（2025高一·全国·专题练习）画出函数的图象，根据图象写出函数的单调减区间 . 7．（23-24高一上·北京·期中）函数的单调递减区间是 ． 8．（2025高三下·全国·专题练习）函数的图象如图所示，其单调递增区间是（    ）    A． B． C． D． 9．（2025高二上·黑龙江·学业考试）如图所示，函数的单调递减区间为（    ） A． B．和 C． D． 题型三 函数的单调性判断与证明 10．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 11．（24-25高一上·全国·课前预习）求证：函数在上是减函数，在上是增函数 12．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若，求不等式的解集． 13．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知函数． (1)求m的值； (2)用定义法证明：函数在上是减函数； (3)若在上有两个不同的实根，求实数a的取值范围． 题型四 复合函数的单调性 14．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 16．（19-20高一上·安徽合肥·阶段练习）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在区间上单调递增，在区间上单调递减 D．在区间上单调递减，在区间上单调递增 18．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 题型五 利用单调性解不等式 19．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 20．（21-22高一上·全国·课后作业）若函数在R上是增函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（21-22高一上·浙江·期中）已知函数，则满足不等式的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（21-22高一上·福建福州·阶段练习）函数在R上为减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六 利用单调性比较大小 23．（24-25高一上·天津东丽·期中）已知在上是减函数，，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．以上都可能 24．（2023高一·全国·课后作业）已知是函数的增区间，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 25．（22-23高一上·江苏南通·期中）若函数在R上是增函数，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型七 图像法求函数的最值 26．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的部分图象如下，则下列说法中正确的是（    ） A．在区间内，的最小值为 B．在区间内，的最大值为 C．在区间内，的最小值为 D．在区间内，的最大值为 题型八 利用单调性求函数的最大(小)值 27．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 28．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断并证明函数的单调性； (2)求函数的最大值与最小值. 29．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值. 题型一 由函数的单调性求参数的取值范围 1．（2025高三·全国·专题练习）“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 3．（24-25高一上·重庆·期中）若函数满足对任意实数，都有成立，则 ，实数的取值范围是 题型二 根据函数的最值求参数 4．（24-25高一上·全国·课前预习）函数在上的最大值为，则 . 5．（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 6．（24-25高一上·江西吉安·期末）设函数，其中表示中的最大者，若在区间上的最大值为7，最小值为4，则区间长度的最大值和最小值分别为（    ） A．3，1 B．4，1 C．5，2 D．7，2 7．（24-25高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 8．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知函数存在最小值，则的取值范围是 . 9．（24-25高三上·青海·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为5，则 . 题型三 函数不等式恒成立、能成立问题 10．（24-25高二下·天津河西·期末）已知函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求a，b的值； (2)若存在，使对任意的都成立，求实数t的取值范围. 11．（24-25高一下·吉林白城·期末）已知函数，若且满足.则实数的取值范围为 ． 12．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递减； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 13．（22-23高一下·海南海口·期末）已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是 ． 14．（24-25高二下·浙江宁波·期末）设函数，函数. (1)若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的最大值. 15．（2025·天津河北·模拟预测）已知函数，，（） (1)当时，求的值； (2)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 1．（2026高三·全国·专题练习）设函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数，对任意，，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·山东济宁·期末）已知函数的最小值为1，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·天津·期中）已知函数，若在单调递增，则m的范围为 . 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数，当时，的最大值为6，则实数 8．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中．对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为 ． 9．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数，其中. (1)若在区间上具有单调性，求的取值范围； (2)当时，函数的最大值为，求实数的值. 10．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知关于的不等式. (1)是否存在实数m，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围. 11．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数． (1)若的解集为，求，的值； (2)若，求不等式的解集； (3)在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.2 函数的单调性 题型一 单调性的定义理解 1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知函数的定义域为，“”是“函数在区间是严格增函数”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】利用单调性的定义及充分、必要条件的定义即可. 【详解】显然由推不出函数单调，个别情况推不出整体的单调性，不满足充分性； 反之函数在区间是严格增函数，可知，满足必要性. 即“”是“函数在区间是严格增函数”的必要不充分条件. 故选:B 2．（22-23高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性的性质逐一判断即可. 【详解】解：因为函数是上的增函数，函数是上的减函数， 所以函数是上的增函数， 函数是上的减函数， 函数，的单调性无法判断. 故选：B. 3．（21-22高一上·全国·课后作业）若是上的严格增函数，令，则是上的（    ） A．严格增函数 B．严格减函数 C．先是严格减函数后是严格增函数 D．先是严格增函数后是严格减函数 【答案】A 【分析】由函数的单调性的定义判断可得选项. 【详解】解：因为是R上的严格增函数，所以由复合函数单调性法则可得，也是R上的严格增函数， 所以是R上的严格增函数. 故选：A. 4．（20-21高一·全国·课后作业）若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性的等价条件进行判断即可． 【详解】解：由函数的单调性定义知，若函数在给定的区间上是增函数，则，与同号，由此可知，选项A，B，D都正确. 若，则，故选项C不正确. 故选：C. 5．（2020·山东·高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 【答案】C 【分析】利用函数单调性定义即可得到答案. 【详解】对于任意两个不相等的实数，，总有成立， 等价于对于任意两个不相等的实数，总有. 所以函数一定是增函数. 故选：C 题型二 利用函数图象求单调区间 6．（2025高一·全国·专题练习）画出函数的图象，根据图象写出函数的单调减区间 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，结合图形即可求解. 【详解】， 作出函数的图象，如图所示， 由图象可知函数的单调递减区间是. 故答案为：. 7．（23-24高一上·北京·期中）函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质作出函数图象，即可得函数单调区间. 【详解】函数的图象即为的图象位于x轴下方部分对折至x轴上方，其余部分不变， 据此可得函数的图象，如图所示： 由图可知函数的单调递减区间是. 故答案为：. 8．（2025高三下·全国·专题练习）函数的图象如图所示，其单调递增区间是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据题干图象求出单调递增区间即可. 【详解】由题图可知，函数的单调递增区间为. 故选：C 9．（2025高二上·黑龙江·学业考试）如图所示，函数的单调递减区间为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象判断单调区间即可. 【详解】由函数图像可知函数在和上单调递减，在上单调递增， 故选：B 题型三 函数的单调性判断与证明 10．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为1，最小值为. 【分析】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【详解】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 11．（24-25高一上·全国·课前预习）求证：函数在上是减函数，在上是增函数 【答案】证明见解析 【分析】根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证明 【详解】对于任意的，且， . ， ，，. ，即. 函数在上是增函数. 对于任意的，且，有. ， ，，. ，即. 函数在上是减函数. 12．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)在R上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）令得，再令并结合已知确定的值； （2）由得，讨论、，并结合及已知即可证； （3）首先求得，再依据单调性解不等式求解集. 【详解】（1）令，则，故，可得， 令，则， 当，则，即，与题设不符， 所以； （2）在R上单调递减，证明如下： 当时，；当时，， 由（1）知， 由， 当，即，，， 所以，即在上单调递减， 当，则，，， 所以，即在上单调递减， 综上，结合，易知在R上单调递减，得证. （3）令，则，故，即， 所以，则， 由（2）知，，即，可得或， 所以不等式解集为. 13．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知函数． (1)求m的值； (2)用定义法证明：函数在上是减函数； (3)若在上有两个不同的实根，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）将代入函数解析式中即可求得的值； （2）任取，利用作差法证明即可； （3）分析函数在上的单调性和最值，发现当时，单调递减；当时，单调递增，计算的值，由此可得函数在上的图象，进而得到实数a的取值范围. 【详解】（1）因为，将代入函数，可得， 解得． （2）设，则 ， 因为，所以，则， 又，所以，即， 所以函数在上是减函数． （3）在上有两个不同的实根，等价于函数与直线在上有两个交点， 因为，由基本不等式可知，当且仅当即时取等号， 即当时，， 由对勾函数性质可知当时，单调递减；当时，单调递增， 又， 因为函数与直线在上有两个交点， 所以实数a的取值范围是. 题型四 复合函数的单调性 14．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的减区间. 【详解】对于函数，由可得或 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数， 外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为. 故选：A. 15．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【详解】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 16．（19-20高一上·安徽合肥·阶段练习）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，求得函数的定义域，本题即求在定义域内的单调减区间，利用二次函数的性质可得在定义域 内的单调减区间． 【详解】令，求得，故函数的定义域为， 本题即求在内的减区间． 利用二次函数的性质开口向下，对称轴，可得在内的减区间为， 即函数的单调减区间为， 故选:B． 17．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在区间上单调递增，在区间上单调递减 D．在区间上单调递减，在区间上单调递增 【答案】D 【分析】求函数定义域，然后由复合函数单调性得到单调区间. 【详解】，令，解得， 则的定义域为， 令，当时，， 则在时单调递增， 当时，单调递减，单调递减； 当时，单调递增，单调递增． 故选：D. 18．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数在上单调递增，则在上单调递增，根据复合函数的单调性“同增异减”求出函数在定义域内的递减区间即可． 【详解】因为函数在上单调递增，所以在上单调递增， 设， 由，解得或， 所以在上单调递减， 所以的单调减区间为. 故选：B. 题型五 利用单调性解不等式 19．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域与单调性将原不等式化为，从而可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的增函数， 由，得， 解得，即， 故选：B 20．（21-22高一上·全国·课后作业）若函数在R上是增函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用函数单调性的定义，列不等式进行求解即可. 【详解】∵函数在R上是增函数，且， ∴由函数单调性的定义可知，， 解得， ∴实数的取值范围是． 故选：C． 21．（21-22高一上·浙江·期中）已知函数，则满足不等式的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出的图象，数形结合得到，且，求出x的取值范围. 【详解】画出的图象，如下： 显然要满足，则要，且， 解得：. 故选：C 22．（21-22高一上·福建福州·阶段练习）函数在R上为减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用函数单调性的定义进行求解. 【详解】∵函数在R上是减函数，且， ∴由函数单调性的定义可知，， 解得， ∴实数的取值范围是． 故选：A． 题型六 利用单调性比较大小 23．（24-25高一上·天津东丽·期中）已知在上是减函数，，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．以上都可能 【答案】C 【分析】由减函数的性质求解即可； 【详解】因为在上是减函数， 所以，若，则， 故选：C. 24．（2023高一·全国·课后作业）已知是函数的增区间，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性的定义判断即可. 【详解】因为是函数的增区间，所以，故A正确； 由于无法确定、的取值情况，故无法判断的符号，故B、C、D错误； 故选：A 25．（22-23高一上·江苏南通·期中）若函数在R上是增函数，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一次函数性质求解， 【详解】由题意得，即， 而在R上是增函数，则， 故选：B 题型七 图像法求函数的最值 26．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的部分图象如下，则下列说法中正确的是（    ） A．在区间内，的最小值为 B．在区间内，的最大值为 C．在区间内，的最小值为 D．在区间内，的最大值为 【答案】C 【分析】根据函数的单调性及最值的定义，逐一判断即可. 【详解】解：对于A，在区间内，由于区间左端点取不到， 所以没有最小值，A错误； 对于B，在区间内，因为区间右端点取不到， 则没有最大值，B错误； 对于C，在区间内，的最小值为，C正确； 对于D，在区间内，因为区间端点取不到， 则没有最大值，D错误． 故选：C. 题型八 利用单调性求函数的最大(小)值 27．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先求函数单调性，即可得最值. 【详解】根据题意，函数的定义域为， 且由于在区间上单调递增， 在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以． 故选：D． 28．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断并证明函数的单调性； (2)求函数的最大值与最小值. 【答案】(1)减函数，证明见解析 (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）定义法证明单调性：任取且，通过与的关系判断函数的单调性； （2）根据函数单调性求最值. 【详解】（1）函数在区间上是减函数，证明如下： 任取且， ， 因为且， 所以，，， 所以，即， 所以是上的减函数. （2）由（1）知是上的减函数， 所以，. 29．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)在上是增函数，证明见解析 (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证明； （2）根据函数的单调性求函数的最值. 【详解】（1）在上是增函数，证明如下： 任取且， . ， ，， ，即， 在上为增函数. （2）由（1）知，在上为增函数， 则，. 题型一 由函数的单调性求参数的取值范围 1．（2025高三·全国·专题练习）“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的概念，以及二次函数的单调性可得结果. 【详解】充分性：当时，， 易知函数在区间上单调递减． 必要性：若在区间上单调递减， 则需，即， 故“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件． 故选：A. 2．（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可. 【详解】已知函数， 当时，单调递增，所以最大值为； 当且时，在上单调递增； 所以要使函数在上单调递增， 则，解得或(舍去). 故答案为：. 3．（24-25高一上·重庆·期中）若函数满足对任意实数，都有成立，则 ，实数的取值范围是 【答案】 【分析】令即可求解，再根据已知可得函数是单调递增函数，利用分段函数的单调性的求法即可求解． 【详解】由已知可得：，又由已知可得函数是单调递增函数， 所以有：，解得， 故答案为：；． 题型二 根据函数的最值求参数 4．（24-25高一上·全国·课前预习）函数在上的最大值为，则 . 【答案】 【分析】按照和分类判断出函数在上的单调性，即可得出函数的最值，利用最值列式求解即可. 【详解】易知，是由向左平移1个单位得到， 当时，即在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以，解得，与矛盾； 当时，即在上单调递增， 所以在上单调递增，所以，解得. 故答案为：. 5．（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【详解】函数， 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意， 所以实数. 故选：C 6．（24-25高一上·江西吉安·期末）设函数，其中表示中的最大者，若在区间上的最大值为7，最小值为4，则区间长度的最大值和最小值分别为（    ） A．3，1 B．4，1 C．5，2 D．7，2 【答案】B 【分析】根据函数定义求得其解析式，画出函数图象根据最值即可得出区间长度的取值范围. 【详解】由题意得其图象如下图所示： 令得； 令得或1. 当，时，取得最大值4； 当，时，取得最小值1. 所以的最大值和最小值分别为4，1. 故选：B 7．（24-25高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 【答案】或3 【分析】根据给定条件，按分类讨论求出最小值即可得解. 【详解】当时，在上单调递增， 当时，，解得，因此； 当时，，，解得或，无解； 当时，在上单调递减， 当时，，解得，因此， 所以或. 故答案为：或3 8．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知函数存在最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分、、三种情况讨论，分别说明函数的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】当时，在上单调递增， 且当时，显然不存在最小值，故舍去； 当时，，则当时， 所以的最小值为，符合题意； 当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，， 当时，则在上单调递减， 要使函数存在最小值，则，解得，此时； 综上可得的取值范围是. 故答案为： 9．（24-25高三上·青海·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为5，则 . 【答案】3 【分析】化简函数，根据函数的解析式判断函数的单调性，再根据最值，即可求解. 【详解】因为在区间上是减函数，所以，解得. 故答案为：3 题型三 函数不等式恒成立、能成立问题 10．（24-25高二下·天津河西·期末）已知函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求a，b的值； (2)若存在，使对任意的都成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次函数的性质列方程组即可求解； （2）原题条件等价于对任意的都成立，进一步列不等式组即可求解. 【详解】（1）因为，且， 可知的图象开口向上，对称轴为，可知在上单调递增， 则，解得. （2）由（Ⅰ）得， 因为存在，使对任意的都成立， 由（Ⅰ）可知：在内单调递增，则， 可得，即对任意的都成立， 因为可得，解得， 故实数的取值范围为. 11．（24-25高一下·吉林白城·期末）已知函数，若且满足.则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】按函数图象对称轴与区间关系分类求出函数最小值，进而建立不等式求解. 【详解】函数图象的对称轴为， 当，即时，函数在上单调递增， 因此，解得，则； 当，即时，函数在上单调递减， 因此，解得，则； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，解得，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 12．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递减； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对进行赋值，计算即可求得答案； （2）利用函数的单调性定义结合题设条件推理证明即得； （3）利用（1）已得将不等式等价变形得到，再利用函数的单调性得到，求出函数的最小值，代入求解关于的一元二次不等式即可. 【详解】（1）由，取，可得：， 又当时，，则， 再取，可得：； （2）， ，且，则，依题， 则， 即在上单调递减； （3）由已知， 又由（1）得，则有， 因在上单调递减，则恒成立， 即恒成立，又， 则，解得， 故实数的取值范围为. 13．（22-23高一下·海南海口·期末）已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数恒过定点，对称轴为，开口向上， 又当时，恒成立，则或， 整理得到或， 解得或或，所以， 故答案为：. 14．（24-25高二下·浙江宁波·期末）设函数，函数. (1)若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）转化为，由基本不等式得到，由函数单调性得到，从而得到不等式，求出答案； （2）参变分离得到，变形后，由基本不等式求出的最大值，从而求出答案. 【详解】（1）对于任意的，总存在，使得， 即， 其中，， 当且仅当，即时，等号成立， 故， 因为是减函数，所以当时，， 所以，解得. （2）时，可得，， 即， 因为，分离参数可得 ， 由题意，不等式在存在解集，则 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以，解得， 所以的最大值为1. 15．（2025·天津河北·模拟预测）已知函数，，（） (1)当时，求的值； (2)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）将自变量代入求函数值即可； （2）由题设恒成立，结合求参数范围； （3）问题化为在，，有成立，求出，讨论对称轴与区间位置关系列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，则； （2）由题设恒成立，即恒成立， 所以，只需，可得； （3）由题设，在，，有成立， 对于，，易知， 对于，， 当，时，，显然，满足； 当，时，，只需，可得； 当，时，，只需，无解； 综上，. 1．（2026高三·全国·专题练习）设函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意有，作出函数的图象，利用图象得函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】因为 ，所以，， 则，即， 的函数图象如图所示：    由函数图象可知当时，且在上单调递减， 所以等价于，即， 解得，即. 故选：A. 2．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】由于函数是定义在上的减函数， 所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 3．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数，对任意，，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数在给定区间上恒成立，可求参数的取值范围，再进行判断. 【详解】由得： . 设，则在上恒成立， 则. 所以. 故的最小值为：. 故选：C 4．（24-25高二下·山东济宁·期末）已知函数的最小值为1，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两段讨论，当时利用一次函数的单调性得到最小值，当时，利用均值不等式得到最小值. 【详解】（1）当时，，当时，单调递增，当时，不合题意， 当时，，合题意， 当时，单调递减，，得， 所以，的取值范围为； （2）当时，，当且仅当时，等号成立， 所以，当时，的最小值为； 综上，要使得在上的最小值为，的取值范围为， 故选：A. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算得，，由题意得，根据集合间的包含关系可得结果. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以在上是增函数， 因为，所以， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：. 6．（24-25高一上·天津·期中）已知函数，若在单调递增，则m的范围为 . 【答案】. 【分析】由题意，结合二次函数性质得单调区间，进一步结合已知即可列不等式求解. 【详解】由题意， 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 若在单调递增， 则或，解得或. 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数，当时，的最大值为6，则实数 【答案】0或1 【分析】根据二次函数的性质，求得其对称轴，由对称轴与区间中点的位置进行分类讨论，建立方程，可得答案. 【详解】由二次函数，则其对称轴为直线， 当时，的最大值为， 分解因式可得，解得或，故取； 当时，的最大值为， 分解因式可得，解得或，故取. 综上所述，或. 故答案为：或. 8．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中．对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意知，根据函数的单调性求出函数的最值，列出不等式即可求解. 【详解】由题意知， 的对称轴为， 所以在上单调递减，， 在上单调递减，， 所以，解得. 故实数的取值范围是． 故答案为：. 9．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数，其中. (1)若在区间上具有单调性，求的取值范围； (2)当时，函数的最大值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用二次函数的开口方向和对称轴得到答案； （2）根据对称轴和区间的关系，分三种情况讨论，由最大值是得到的值. 【详解】（1）因为二次函数的图象开口向下，对称轴为，且在上具有单调性， 所以，当在上单调递减时，；当在上单调递增时，. 所以，实数的取值范围是． （2）二次函数的图象开口向下，对称轴为， ①当时，在单调递减，此时， 因为当时，函数的最大值为，即， 解得或，所以； ②当时，在单调递增，在单调递减， 此时，无解，所以不存在 ③当时，在单调递增， 此时， 因为当时，函数的最大值为， 所以，解得或，所以 综上所述，或. 10．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知关于的不等式. (1)是否存在实数m，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围. 【答案】(1)不存在 (2) (3) 【分析】（1）将不等式转换，讨论的取值得到结果 （2）将原式转化为，通过换元分析得出的取值范围. （3）将原式堪称关于的一次函数，保证和的值大于零即可. 【详解】（1）原不等式等价于， 当时，不恒成立， 当时，不等式对于恒成立， 则需且，无解， 所以不存在实数对任意恒成立. （2）因为，所以， 设，则， 所以， 设， 显然在上单调递增， 当时，，，且， 所以，所以的取值范围是. （3）设， 当时，恒成立， 当且仅当，即， 解得或， 所以的取值范围是. 11．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数． (1)若的解集为，求，的值； (2)若，求不等式的解集； (3)在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据不等式解集得到方程的两根为1，2，代入后得到方程组，求出答案； （2）变形为，分，，，和五种情况，得到不等式的解集； （3）只需，换元后，由基本不等式求出函数最小值，进而得到，求出答案. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为1，2， 所以解得 （2）因为，所以． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，不等式可化为，解集为或； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为； ⑤当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. （3）由（1）知不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，，故实数的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$