3.1.2函数的单调性第1课时课件——2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.1.2 函数的单调性 第1课时 整体概览 （1）本节将要研究哪类问题？ （2）本节研究的起点是什么？目标是什么？ 问题1　阅读课本本节内容，回答下列问题： 情景与探究 　　我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究 的课题．德国心理学家艾宾浩斯曾经对 记忆保持量进行了系统的实验研究，并 给出了类似右图所示的记忆规律． 　　如果我们以x表示时间间隔（单位：h），y表示记忆保持量（单位：%），则不难看出，上图中，y是x的函数，记这个函数为y＝f（x）． 这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？ 新知探究 单调性的定义： 一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，且I⊆D： （1）如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称y＝f（x）在I上是增函数（也称在I上单调递增），如图（1）所示； （2）如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称y＝f（x）在I上是减函数（也称在I上单 调递减），如图（2）所示； 新知探究 【想一想】你能否说　　 在定义域内是减函数？为什么？ 不能；不符合减函数的定义． 新知探究 【练一练】下图函数y＝f（x）的图象，请指出函数y＝f（x）的单调增区间和单调减区间． 从图象可以发现：函数y＝f（x）在[－6，－4]上是增函数，在[－4，－2]上是减函数，在[－2，1]上是增函数，在[1，3]上是减函数，在[3，6]上是增函数． 单调增区间为：[－6，－4]，[－2，1]，[3，6]； 单调减区间为：[－4，－2]，[1，3]． 新知探究 问题2　可以说该函数的减区间为[－4，－2]∪[1，3]吗？ 不能 问题3　图象上的最高点和最低点对应的函数值有什么特征呢？ 新知探究 最值的定义： 一般地，设函数f（x）的定义域为D，且x0∈D： 如果对任意x∈D，都有f（x）≤f（x0），则称f（x）的最大值为f（x0），而x0称为f（x）的最大值点； 如果对任意x∈D，都有f（x）≥f（x0），则称f（x）的最小值为f（x0），而x0称为f（x）的最小值点． 最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点． 新知探究 说明：如果函数有最值而且函数的单调性容易求出，则可利用函数的单调性求出函数的最值点和最值． 新知探究 例1　求证：函数f（x）＝－2x在R上是减函数． 证明：任取x1，x2∈R且x1＜x2，则x1－x2＜0，那么 f（x1）－f（x2）＝（－2x1）－（－2x2）＝2（x2－x1）＞0， 从而f（x1）＞f（x2）． 因此，函数f（x）＝－2x在R上是减函数． 10 新知探究 证明单调性的解题步骤 ： （1）任取x1，x2∈I且x1＜x2 ； （2）判断f（x1）与f（x2）的大小关系（常用作差法讨论f（x1）－f（x2）的符号，其中可能用到因式分解、配方等方法）； （3）下结论，即指出函数在集合I上的单调性． 新知探究 例2　判断函数f（x）＝3x＋5，x∈[－1，6]的单调性，并求这个函数的最值． 解：任取x1，x2∈[－1，6]且x1＜x2，则x1－x2＜0，那么 f（x1）－f（x2）＝（3x1＋5）－（3x2＋5）＝3（x1－x2）＜0， 所以这个函数是增函数． 因此，当－1≤x≤6时，有f（－1）≤f（x）≤f（6）， 从而这个函数的最小值为f（－1）＝2，最大值为f（6）＝23． 12 新知探究 例2的结论也可由不等式的知识得到： 因为－1≤x≤6，所以 －3≤3x≤18，2≤3x＋5≤23， 即f（－1）≤f（x）≤f（6），其余同上． 新知探究 例3　判断函数　　　 在（－∞，0）上的单调性，并证明． 证明：任取x1，x2∈且x1＜x2，则x1－x2＜0，那么 解： 函数　　　 在（－∞，0）上是减函数． 从而f（x1）＞f（x2）． 因此，函数在上是减函数． 14 归纳小结 问题4　回顾本节课，你有什么收获？ （1）函数的单调性的定义是什么？ （2）可以利用函数的单调性解决哪些问题？ 作业：教科书练习B 1~5 作业布置 再 见 $$