18.1 平行四边形的性质 暑假巩固练习 2024-2025学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版八年级下册 18.1 平行四边形的性质 暑假巩固 一、利用平行四边形的对边平行且相等求解 1.如图，E是的边的中点，延长交的延长线于点F，若，，则的长是（  ） A.6 B.8 C.10 D.12 2.平行四边形ABCD的周长为36 cm，AB﹣BC＝2 cm，则AD、CD的长度分别是（　　） A.12 cm，6 cm B.8 cm，10 cm C.6 cm，12 cm D.10 cm，8 cm 3. 如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE＋AF的值等于(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4.如图，在平行四边形中，的平分线交的延长线于点E，，，则的长为       ． 5.如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1∶2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为________． 6.如图，在中，已知，，平分交边于点E，求的长． 7.如图，在中，垂直平分于点E，，．求的长． 二、利用平行四边形的对边平行且相等证明 1.题目：求证：平行四边形的两组对边分别相等． 已知：如图，四边形是平行四边形． 求证：，． 证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，． 其中，在“”处应补充的步骤依次是（　　） A.， B.， C.， D.， 2.如图，等腰中，，点是底边上的一动点（不与点重合），过点分别作的平行线，交于点，则下列数量关系一定正确的是（    ） A. B. C. D. 3.在中，延长AB到E，使，连结DE交BC于F，则下列结论不一定成立的是（    ） A. B. C. D. 4.如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论：①BO＝OH；②DF＝CE；③DH＝CG；④AB＝AE；正确的是     ．（填序号） 5.如图所示，在中，、是对角线上的两点，要使，还需添加一个条件为      ．（只需添加一个即可） 6.如图，已知，是的角平分线，交于点． (1)求证：； (2)若点是的中点，，求的度数． 7.如图，四边形是平行四边形，点在边上，点在线段上，且，，求证：． 三、利用平行四边形的对角相等求解 1.如图，在平行四边形ABCD中，BA＝BD，∠AEB＝90°，若∠C＝70°，则∠DAE＝（　　） A.10° B.20° C.30° D.40° 2.在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　） A.1：2：3：4 B.1：2：2：1 C.1：2：1：2 D.1：1：2：2 3.如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝130°，则∠DCM的度数是（　　） A.50° B.65° C.70° D.130° 4.如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F.若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________． 5.已知在▱ABCD中，∠A比∠B大40°，那么．∠C的度数是 　      　． 6. 如图，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，若BG＝DE，并且∠AEF＝70°.求∠AGB的度数． 7.如图，在平行四边形ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E．若∠A＝46°，求∠CBE的度数． 四、利用平行四边形的对角相等证明 1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，小明给出如下结论： ①AB=CD，②AB=BC，③∠A=∠C，④ ∠ABC=60°，⑤∠A+∠B=180°，其中正确的个数有（   ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，将平行四边形折叠，使顶点恰落在边上的点处，折痕为，那么下列说法不正确的是（    ） A. B. C. D. 3.如图，四边形是平行四边形，E、F分别是边、上的点，且． 求证：． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴……， 在和中， ∴．省略号表示的是（    ） A.， B.， C.， D.， 4.如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是      ．（只需写一种情况） 5.为平行四边形的对角线，，于点，于点，、相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是      ． 6.如图，四边形是平行四边形，，，，垂足分别为E，F．证明：． 7.如图，在中，点在的延长线上，点在的延长线上，满足．连接，分别与，交于点，． 求证：． 五、求平行线间的距离 1.已知直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上，且AB＝4 cm，AC＝5 cm，AD＝6 cm，则m与n之间的距离（    ） A.等于5 cm B.等于6 cm C.等于4 cm D.小于或等于4 cm 2.如图，已知，分别平分和，于点M，且，则之间的距离为（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 3.如图，四边形是平行四边形，点在边上，，，垂足分别为、，则平行线与之间的距离是（    ） A.的长 B.的长 C.的长 D.的长 4.如图，已知DG⊥BC，AC⊥BC，CD⊥AB，EF⊥AB，则DG与AC间的距离是线段        的长，CD与EF间的距离是线段        的长． 5.如图，在平行四边形中，，，则与之间的距离为      ． 6.如图，直线，与，分别相交于点A，，且，交直线于点． (1)若∠1=58°，求的度数； (2)若，，，求直线与的距离． 7.如图，已知，请完成下列问题： (1)请用直尺和圆规作出的平分线，交于点P； (2)过点C作直线AB的垂线，交直线AB于点D；过点C作直线AB的平行线EF； (3)那么直线AB与直线EF之间的距离是线段________的长度． 六、利用平行线间的距离解决问题 1.如图，，，点在上，，的面积为6，则的面积为（    ） A.6 B.12 C.16 D.20 2.如图，，，，那么图中和面积相等的三角形（不包括）有（  ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，在中，点分别在、、上，连接、，且，，．若四边形的面积为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 4.如图，已知，、交于点O，若，，则        ． 5.如图，直线，点A、B位于直线a上，点C、D位于直线b上，且，若的面积为8，则四边形的面积为     ． 6.如图①，我们知道若直线．则三角形与三角形的面积相等；反之，若三角形与三角形的面积相等，则也可得到直线，利用此知识解答以下问题： 如图②，已知，，P，Q分别是线段上的点，，，E，F分别是线段上的点，，连接，若三角形的面积是4． (1)求四边形的面积； (2)求证：． 7.按下列要求画图并填空． (1)过点B画直线的垂线，交直线于点D， (2)过点B画直线的平行线； (3)直线和直线的距离是线段_______的长； (4)若平分且，则_______． 七、利用平行四边形的对角线互相平分求解 1.如图，在▱中，，，，则的周长是(    ) A. B. C. D. 2.如图，在中，对角线，相交于点，，，，则的面积是（     ） A. B. C. D. 3.如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是（   ） A.5 B.10 C.15 D.20 4.如图，在中，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交于点E、F，则四边形周长的最小值是          ． 5.如图，在平行四边形中，为的中点，过点且分别交、于点、．如果，那么的长为        . 6.如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，，当时，求的面积． 7.如图，在中，对角线、交于点，于点，若的周长为，求的周长． 八、利用平行四边形的对角线互相平分证明 1.如图，在中，对角线与相交于点O，则下列结论错误的是（    ） A.和平行且相等 B. C. D. 2.证明：平行四边形对角线互相平分， 已知：四边形是平行四边形，如图所示． 求证：，． 以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是（　　） ∴，． ∵四边形是平行四边形． ∴，． ∴． ∴，． A. B. C. D. 3.如图，在中，对角线与相交于点，点，在上，添加一个条件使，这个条件不可以是（    ） A. B. C. D. 4.如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论： ① CF=AE；②OE=OF；③ 图中共有四对全等三角形；④四边形ABCD是平行四边形；其中正确结论的是                     ． 5.如图，EF过对角线的交点O，交于点E，交于点F．则①；②若，，则；③；④图中共有4对全等三角形；⑤．其中正确结论的有         （填序号）． 6.如图，在中，对角线，交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，连接，． (1)求证：与互相平分； (2)，，，求的面积． 7.在①；②；③这三个条件中，选择一个合适的条件补充在下面横线上，并完成证明过程． 已知：如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点，点、在上，且 (填写序号)． 求证：． 华东师大版八年级下册 18.1 平行四边形的性质 暑假巩固（参考答案） 一、利用平行四边形的对边平行且相等求解 1.如图，E是的边的中点，延长交的延长线于点F，若，，则的长是（  ） A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的边的中点， ∴， 在和中， ∴； ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：B． 2.平行四边形ABCD的周长为36 cm，AB﹣BC＝2 cm，则AD、CD的长度分别是（　　） A.12 cm，6 cm B.8 cm，10 cm C.6 cm，12 cm D.10 cm，8 cm 【答案】B 【解析】∵ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD． ∵ABCD的周长为36 cm，∴AB+BC＝18 cm． 又AB﹣BC＝2 cm， ∴AB＝10 cm，BC＝8 cm． ∴AD＝8 cm，CD＝10 cm． 故选：B． 3. 如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE＋AF的值等于(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD＝BC＝8，CD＝AB＝6， ∴∠F＝∠DCF， ∵CF平分∠BCD，∴∠FCB＝∠DCF， ∴∠F＝∠FCB， ∴BF＝BC＝8， 同理：DE＝CD＝6， ∴AF＝BF－AB＝2，AE＝AD－DE＝2， ∴AE＋AF＝4， 故选C. 4.如图，在平行四边形中，的平分线交的延长线于点E，，，则的长为       ． 【答案】5 【解析】∵平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线交的延长线于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 5.如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1∶2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为________． 【答案】8或10 【解析】如图所示： ①当AE＝1，DE＝2时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝3，AB＝CD，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE＝1， ∴平行四边形ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝8， ②当AE＝2，DE＝1时，同理得：AB＝AE＝2， ∴平行四边形ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝10. 6.如图，在中，已知，，平分交边于点E，求的长． 【答案】解：平分， ， 四边形是平行四边形，且，， ，， ， ， ， ， 的长是． 7.如图，在中，垂直平分于点E，，．求的长． 【答案】解：如图，过点C作交的延长线于点F，连接， ∵四边形是平行四边形，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 二、利用平行四边形的对边平行且相等证明 1.题目：求证：平行四边形的两组对边分别相等． 已知：如图，四边形是平行四边形． 求证：，． 证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，． 其中，在“”处应补充的步骤依次是（　　） A.， B.， C.， D.， 【答案】D 【解析】连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∴在“”处应补充的步骤依次是，． 故选：D． 2.如图，等腰中，，点是底边上的一动点（不与点重合），过点分别作的平行线，交于点，则下列数量关系一定正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∴一定正确的是， 故选：． 3.在中，延长AB到E，使，连结DE交BC于F，则下列结论不一定成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠E=∠CDF，（故A成立）； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB，CD∥BE， ∴∠C=∠CBE， ∵BE=AB， ∴CD=EB， 在△CDF和△BEF中， ， ∴△DCF≌△EBF（AAS）， ∴EF=DF，（故B成立）； ∵△DCF≌△EBF， ∴CF=BF=BC， ∵AD=BC， ∴AD=2BF，（故C成立）； ∵AD≠BE， ∴2CF≠BE，（故D不成立）； 故选：D． 4.如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论：①BO＝OH；②DF＝CE；③DH＝CG；④AB＝AE；正确的是     ．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠H＝∠HBG， ∴BH是∠ABC的角平分线 ∵∠HBG＝∠HBA， ∴∠H＝∠HBA， ∴AH＝AB， 同理可证BG＝AB， ∴AH＝BG， ∵AD＝BC， ∴DH＝CG，故③正确， ∵AH＝AB，∠OAH＝∠OAB， ∴BO＝OH，故①正确， ∵DF∥AB， ∴∠DFH＝∠ABH， ∵∠H＝∠ABH， ∴∠H＝∠DFH， ∴DF＝DH， 同理可证EC＝CG， ∵DH＝CG， ∴DF＝CE，故②正确， 无法证明AB＝AE， 故答案为：①②③． 5.如图所示，在中，、是对角线上的两点，要使，还需添加一个条件为      ．（只需添加一个即可） 【答案】或或或等 【解析】添加DF=BE． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴∠ADF=∠CBE， ∵DF=BE， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， 另外还可以添加或或等； 故答案：DF=BE或或或等． 6.如图，已知，是的角平分线，交于点． (1)求证：； (2)若点是的中点，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵平分， ∴． ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴，又， ∴． ∴． 7.如图，四边形是平行四边形，点在边上，点在线段上，且，，求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， ， ， ， ． 三、利用平行四边形的对角相等求解 1.如图，在平行四边形ABCD中，BA＝BD，∠AEB＝90°，若∠C＝70°，则∠DAE＝（　　） A.10° B.20° C.30° D.40° 【答案】B 【解析】∵平行四边形ABCD， ∴BA＝CD，AD∥BC， ∵BA＝BD， ∴BD＝CD， ∴∠DBC＝∠C＝70°， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC＝70°， ∵∠AEB＝90°， ∴∠AED＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣70°＝20°， 故选：B． 2.在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　） A.1：2：3：4 B.1：2：2：1 C.1：2：1：2 D.1：1：2：2 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°， 即∠A和∠C的数相等，∠B和∠D的数相等，且∠B+∠C＝∠A+∠D， 故选：C． 3.如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝130°，则∠DCM的度数是（　　） A.50° B.65° C.70° D.130° 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠BCD＝130°， ∴∠DCM＝180°﹣∠BCD＝180°﹣130°＝50°． 故选：A． 4.如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F.若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________． 【答案】36° 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得∠D′＝∠D＝52°， ∠EAD′＝∠DAE＝20°， ∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°， ∠AED′＝180°－∠EAD′－∠D′＝108°， ∴∠FED′＝108°－72°＝36°. 5.已知在▱ABCD中，∠A比∠B大40°，那么．∠C的度数是 　      　． 【答案】110 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°， 又∵∠A﹣∠B＝40°， ∴∠B＝70°，∠A＝110°， ∴∠C＝∠A＝110°． 故答案为：110． 6. 如图，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，若BG＝DE，并且∠AEF＝70°.求∠AGB的度数． 【答案】解　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D， 又∵BG＝DE， 在△ABG和△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，BG＝DE， ∴△ABG≌△CDE， ∴∠AGB＝∠CED， ∵∠CED＝∠AEF＝70°， ∴∠AGB＝70°. 7.如图，在平行四边形ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E．若∠A＝46°，求∠CBE的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠A+∠ADC＝180°， ∵∠A＝46°， ∴∠ADC＝∠ABC＝134°， ∵DF平分∠ADC， ∴∠CDFADC＝67°， ∴∠AFD＝∠CDF＝67°， ∵DF∥BE， ∴∠ABE＝∠AFD＝67°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝134°﹣67°＝67°． 四、利用平行四边形的对角相等证明 1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，小明给出如下结论： ①AB=CD，②AB=BC，③∠A=∠C，④ ∠ABC=60°，⑤∠A+∠B=180°，其中正确的个数有（   ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】根据平行四边形的边的性质，可以得出“对边平行且相等”，得不出邻边相等，故①正确，②错误；由“对边平行”，可得AD∥BC，由“两直线平行，同旁内角互补”，可得A+∠B=180°，故⑤正确； 根据平行四边形的角的性质，可以得出“对角相等”，得不出角的具体度数，故③正确，④错误； 综上，正确的有①③⑤，3个正确的结论． 故选C． 2.如图，将平行四边形折叠，使顶点恰落在边上的点处，折痕为，那么下列说法不正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】四边形是平行四边形， ， 由折叠可得， ， ，故A选项正确，不合题意； ， ， 由折叠可得， ， ，故B选项正确，不合题意； 与不一定相等， 不一定成立，故C选项错误，符合题意； ，， 四边形是平行四边形， ，故D选项正确，不合题意． 故选：C． 3.如图，四边形是平行四边形，E、F分别是边、上的点，且． 求证：． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴……， 在和中， ∴．省略号表示的是（    ） A.， B.， C.， D.， 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中，…， ∴． 故选：B． 4.如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是      ．（只需写一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 ， 所以补充： △AEG≌△CFH， 故答案为：（答案不唯一）. 5.为平行四边形的对角线，，于点，于点，、相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是      ． 【答案】②③ 【解析】四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， ， ， ，故②正确； 又， ， ，， ，故正确； 点不一定是的中点， 不一定等于， 不一定等于，故错误， ， ， ， ， ，故错误， 故答案为：． 6.如图，四边形是平行四边形，，，，垂足分别为E，F．证明：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ，                ，， ，        ， ． 7.如图，在中，点在的延长线上，点在的延长线上，满足．连接，分别与，交于点，． 求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 在与中，， ， ． 五、求平行线间的距离 1.已知直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上，且AB＝4 cm，AC＝5 cm，AD＝6 cm，则m与n之间的距离（    ） A.等于5 cm B.等于6 cm C.等于4 cm D.小于或等于4 cm 【答案】D 【解析】∵直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上， 且AB＝4 cm，AC＝5 cm，AD＝6 cm， ∴AB＜AC＜AD， ∴m与n之间的距离小于或等于4 cm， 故选：D． 2.如图，已知，分别平分和，于点M，且，则之间的距离为（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】C 【解析】过点作交于，延长交于，如图： ，， ， 分别平分和，，， ， ， 之间的距离为6， 故选C． 3.如图，四边形是平行四边形，点在边上，，，垂足分别为、，则平行线与之间的距离是（    ） A.的长 B.的长 C.的长 D.的长 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形，， ∴的长为平行线与之间的距离． 故选：B． 4.如图，已知DG⊥BC，AC⊥BC，CD⊥AB，EF⊥AB，则DG与AC间的距离是线段        的长，CD与EF间的距离是线段        的长． 【答案】CG；DE 【解析】由题可知：DG∥AC,CD∥EF, ∴DG与AC间的距离是线段CG，CD与EF间的距离是线段DE. 5.如图，在平行四边形中，，，则与之间的距离为      ． 【答案】 【解析】作，则， 又∵， ， ， ， ， ， ， ∴与之间的距离为， 故答案为：．=. 6.如图，直线，与，分别相交于点A，，且，交直线于点． (1)若∠1=58°，求的度数； (2)若，，，求直线与的距离． 【答案】解：（1）∵， ∴∠BAC=90°， ∵∠1=58°， ∴∠ABC=90°-58°=32°, ∵, ∴∠2=∠ABC=32°． （2）如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 所以线段AD的长度等于a与b之间的距离， 因为AB⊥AC， 所以AB·AC=BC·AD， 所以AD= ， 所以a与b的距离为． 7.如图，已知，请完成下列问题： (1)请用直尺和圆规作出的平分线，交于点P； (2)过点C作直线AB的垂线，交直线AB于点D；过点C作直线AB的平行线EF； (3)那么直线AB与直线EF之间的距离是线段________的长度． 【答案】解：（1）如图所示，为的平分线； （2）如图所示，，； （3）直线与直线之间的距离是线段的长度． 六、利用平行线间的距离解决问题 1.如图，，，点在上，，的面积为6，则的面积为（    ） A.6 B.12 C.16 D.20 【答案】C 【解析】∵，， ∴． ∵， ∴的边上的高和的边上的高长度相同． 设的边上的高和的边上的高为． 根据题意，得，． ∴． 故选：C． 2.如图，，，，那么图中和面积相等的三角形（不包括）有（  ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∴与面积相等的三角形为：、， 故选：B． 3.如图，在中，点分别在、、上，连接、，且，，．若四边形的面积为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】过点作于点， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4.如图，已知，、交于点O，若，，则        ． 【答案】4 【解析】∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 5.如图，直线，点A、B位于直线a上，点C、D位于直线b上，且，若的面积为8，则四边形的面积为     ． 【答案】 【解析】∵直线，， ∴， ∵的面积为8， ∴的面积为12， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 6.如图①，我们知道若直线．则三角形与三角形的面积相等；反之，若三角形与三角形的面积相等，则也可得到直线，利用此知识解答以下问题： 如图②，已知，，P，Q分别是线段上的点，，，E，F分别是线段上的点，，连接，若三角形的面积是4． (1)求四边形的面积； (2)求证：． 【答案】解：（1）如图所示，连接交于O，连接， ∵，和等高（分别以为底）， ∴， 同理可得； ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴； （2）如图所示，连接， 由（1）得，， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 7.按下列要求画图并填空． (1)过点B画直线的垂线，交直线于点D， (2)过点B画直线的平行线； (3)直线和直线的距离是线段_______的长； (4)若平分且，则_______． 【答案】解：（1）如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求； （3）直线和直线的距离是线段的长． 故答案为：； （4）， ， 平分， ， ， ， ， ． 故答案为：． 七、利用平行四边形的对角线互相平分求解 1.如图，在▱中，，，，则的周长是(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】四边形是平行四边形，，， ，， ， 的周长为． 故选：A． 2.如图，在中，对角线，相交于点，，，，则的面积是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵，，， ∴，， ∵，即， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选C． 3.如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是（   ） A.5 B.10 C.15 D.20 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴在中，由勾股定理可得， ， ∴． 故选：B． 4.如图，在中，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交于点E、F，则四边形周长的最小值是          ． 【答案】12 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴, ∴， ∵, ∴, ∴, ∴四边形周长为， ∴当取最小值时，四边形周长的最小，即, 如图：过A点作,即的长为的最小值， ∵， ∴，即的最小值为2， ∴四边形周长的最小值为． 故答案为12． 5.如图，在平行四边形中，为的中点，过点且分别交、于点、．如果，那么的长为        . 【答案】8 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8. 6.如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，，当时，求的面积． 【答案】解：（1）四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中，， ， ； （2） ， ， 在中，， 四边形是平行四边形， ； （3） ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ． 7.如图，在中，对角线、交于点，于点，若的周长为，求的周长． 【答案】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长为：， ∵的周长为， ∴的周长为． 八、利用平行四边形的对角线互相平分证明 1.如图，在中，对角线与相交于点O，则下列结论错误的是（    ） A.和平行且相等 B. C. D. 【答案】C 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴和平行且相等，，，故A，B，C正确； ∵与不一定相等，故C错误． 故选C． 2.证明：平行四边形对角线互相平分， 已知：四边形是平行四边形，如图所示． 求证：，． 以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是（　　） ∴，． ∵四边形是平行四边形． ∴，． ∴． ∴，． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， 故答案为：． 3.如图，在中，对角线与相交于点，点，在上，添加一个条件使，这个条件不可以是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】在中，，，，，则， A.∵，则， ∴， 又∵，， ∴，故A选项不符合题意； B.∵，，， ∴，故B选项不符合题意； C.而，，，不能证明三角形全等，故C选项符合题意； D.∵， ∴，则， 又∵，， ∴，故D选项不符合题意； 故选：C． 4.如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论： ① CF=AE；②OE=OF；③ 图中共有四对全等三角形；④四边形ABCD是平行四边形；其中正确结论的是                     ． 【答案】①②④ 【解析】∵DE=BF，∴DF=BE． 在Rt△DCF和Rt△BAE中，∵CD=AB，DF=BE， ∴Rt△DCF≌ Rt△BAE（HL），∴FC=EA，故①正确； ∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴AE∥FC． ∵FC=EA，∴四边形CFAE是平行四边形，∴EO=FO，故②正确； ∵Rt△DCF≌Rt△BAE，∴∠CDF=∠ABE，∴CD∥AB． ∵CD=AB，∴四边形ABCD是平行四边形，故④正确； 由以上可得出：△CDF≌△BAE，△CDO≌△BAO，△CDE≌△BAF，△CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE，△DOA≌△COB等．故③错误． 故答案为①②④． 5.如图，EF过对角线的交点O，交于点E，交于点F．则①；②若，，则；③；④图中共有4对全等三角形；⑤．其中正确结论的有         （填序号）． 【答案】①②③⑤ 【解析】∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵O为中点， ∴， ∴，故③正确； 由已知条件得，图中全等的三角形有，，故④不正确； ∵， ∴, ∴，故⑤正确． 故答案为①②③⑤． 6.如图，在中，对角线，交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，连接，． (1)求证：与互相平分； (2)，，，求的面积． 【答案】（1）证明：∵在中，点是对角线，的交点， ， ，， ， 在和中， ， （）， ． ，， 与互相平分． （2）解：在中，， ， ． 由勾股定理得 ， ， ． ，， ，即， ， ∴． 7.在①；②；③这三个条件中，选择一个合适的条件补充在下面横线上，并完成证明过程． 已知：如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点，点、在上，且 (填写序号)． 求证：． 【答案】解：若②， ， ， 即， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ； ∴， 若③， 四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ， ， ∴， 故答案为：②或③． 学科网（北京）股份有限公司 $$