18.1 平行四边形的性质 暑假巩固练习2024-2025学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版八年级下册 18.1 平行四边形的性质 暑假巩固 一、利用平行四边形的对边平行且相等求解 1.如图，E是的边的中点，延长交的延长线于点F，若，，则的长是（  ） A.6 B.8 C.10 D.12 2.如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标是（    ） A. B. C. D. 3. 如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE＋AF的值等于(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4.平行四边形的周长为，两邻边之比为，则     ，      ． 5.如图，在ABCD中，∠ABC、∠BCD的角平分线交于边AB上一点E，且BE＝AB，线段CE的长为　   　． 6.如图，在中，垂直平分于点E，，．求的长． 7.如图，在中，的平分线交于点E，交的延长线于点F． (1)若，，求的长； (2)若，求和的度数． 二、利用平行四边形的对边平行且相等证明 1.如图，在中，为对角线，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 2.题目：求证：平行四边形的两组对边分别相等． 已知：如图，四边形是平行四边形． 求证：，． 证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，． 其中，在“”处应补充的步骤依次是（　　） A.， B.， C.， D.， 3.如图，在中，E，F是对角线上的两点，则添加①；②；③；④中任意一个条件，能够使的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，在中，E点是BD的中点，MN经过E点分别与AD、BC相交于点M、N．下列四个结论： ①；②；③A、C、E三点共线；④若，则．其中正确的结论有    ．（写出所有正确结论的序号） 5.如图，在中，，是的中点，是上一点，连接，，，且．给出下列结论：①平分；②；③为等边三角形；④．其中正确的结论为      ．（填序号）． 6.如图，已知四边形是平行四边形． (1)实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于E．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)猜想与证明：试猜想线段，和的数量关系，并加以证明． 7.如图，在平行四边形中，． (1)利用尺规作图，在边上确定点，使点到边，的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求证：点是的中点． 三、利用平行四边形的对角相等求解 1.如图，在▱ABCD中，∠B＝50°，则∠C的度数为（　　） A.40 B.50 C.100 D.130 2. 如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足．如果∠D＝75°，则∠BCE等于(　　) A. 105° B. 15° C. 30° D. 25° 3.如图所示，在▱ABCD中，∠C＝120°，延长BA至点E，延长DA至点F，连接EF，则∠E+∠F的度数为（　　） A.120° B.30° C.50° D.60° 4.如图，平行四边形ABCD中，BD为对角线，∠C＝60°，BE平分∠ABC交DC于点E，连接AE，若∠EAB＝38°，则∠DBE为　    　度． 5.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝53°，则∠BAD＝　     　． 6.如图，在平行四边形ABCD中，∠ADC＝125°，∠CAD＝21°，求∠ACB和∠CAB的度数． 7.如图：在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25°，求∠C、∠B的度数． 四、利用平行四边形的对角相等证明 1.平行四边形两邻角的角平分线相交所成的角是（　　） A.锐角 B.直角 C.钝角 D.锐角或钝角 2.如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，AB=BH，直线BF交线段AD的延长线于G，下面结论①∠A=∠BHE；②BD=BE；③∠BDE=45°；④∠BHD=∠BDG，其中正确的个数是（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，四边形是平行四边形，E、F分别是边、上的点，且． 求证：． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴……， 在和中， ∴．省略号表示的是（    ） A.， B.， C.， D.， 4.如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是      ．（只需写一种情况） 5.为平行四边形的对角线，，于点，于点，、相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是      ． 6.如图，在中，E，G，H，F分别是，，，上的点，且，．求证：． 7.如图，在中，点在的延长线上，点在的延长线上，满足．连接，分别与，交于点，． 求证：． 五、求平行线间的距离 1.如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB=5 cm，BC=3 cm，那么平行线a，b之间的距离为（　　） A.5 cm B.4 cm C.3 cm D.不能确定 2.如图，在中，，，，则与间的距离为（    ） A.5 B.10 C. D.26 3.如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON，EA=3，D为OM上的一个动点，C是DA延长线与BC的交点，BCOM，则CD的最小值是（    ） A.6 B.8 C.10 D.12 4.如图，在正方形网格中，若每个小正方形的边长为1，则直线、之间的距离为      ． 5.如图，，点为直线上的任意一点，三角形的面积为6，，则直线与的距离为      ． 6.如图，直线、被直线所截并分别交于点、，，于点，． （1）求证：； （2）若，求直线与直线的距离． 7.如图，已知，请完成下列问题： (1)请用直尺和圆规作出的平分线，交于点P； (2)过点C作直线AB的垂线，交直线AB于点D；过点C作直线AB的平行线EF； (3)那么直线AB与直线EF之间的距离是线段________的长度． 六、利用平行线间的距离解决问题 1.如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论：①；②；③；④．其中，正确的个数为（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，将面积为5的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边长的两倍，那么图中的四边形的面积是（    ） A.15 B.20 C.25 D.30 3.如图，是直线上一动点，，是直线上的两个定点，且直线，对于下列各值：点到直线的距离；的周长；的面积；的度数其中不会随点的移动而变化的是（    ） A. B. C. D. 4.如图，在中，，，，点P为上一点，连接，以，为邻边作，连接，则的长的最小值为      ． 5.如图所示，，，相交于点，若面积为2，面积为3，则的面积为         ． 6.如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，的顶点都在格点上． (1)将平移，使得格点M、N在的内部，画出平移后的图形； (2)利用格点画出的高线，中线； (3)若的面积与的面积相等，满足条件的格点P有__________个． 7.如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点称为格点，，，均在格点上，则是格点三角形． (1)在图1中，画出与全等的格点（找到一个即可）． (2)在图2中，直接写出的面积为______，在网格内找出满足和面积相等的所有格点E (3)在图3中，只用无刻度的直尺作出边上的高（提示：利用格点构造全等三角形，保留作图痕迹，不写求作过程．） 七、利用平行四边形的对角线互相平分求解 1.如图，的周长为，对角线与相交于点，交于，连接，则的周长为（   ） A. B. C. D. 2.如图，平行四边形的对角线交于点O，若，则的长为（    ） A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图，平行四边形的周长为，的周长比的周长多6，则为（    ） A.7 B.9 C. D. 4.如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长是36，，则四边形的周长为        ． 5.如图，O是的对角线的交点．已知的周长为59，，，则      ． 6.如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，，当时，求的面积． 7.如图在平行四边形中，，，．求的长． 八、利用平行四边形的对角线互相平分证明 1.如图O为对角线、的交点，经过点O且与边、分别交于点E、F，则图中的全等三角形最多有（   ） A.2对 B.3对 C.5对 D.6对 2.如图所示，在平行四边形中，对角线交于点O，下列结论中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 3.如图，平行四边形的对角线、交于点O，平分交于点E，，，连接OE．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，在平行四边形中（），直线经过其对角线的交点，且分别交，于点，，交，的延长线于点，．下列结论：①；②；③．其中一定正确的是      （填序号）． 5.如图，EF过对角线的交点O，交于点E，交于点F．则①；②若，，则；③；④图中共有4对全等三角形；⑤．其中正确结论的有         （填序号）． 6.如图，的对角线和相交于点O，过点O且与的延长线交于点E，与的延长线交于点F，连接． (1)求证：． (2)若，求四边形的周长． 7.如图，已知的对角线交于点O，过点O且与分别相交于点E、F． (1)求证：； (2)若，求的长． 华东师大版八年级下册 18.1 平行四边形的性质 暑假巩固（参考答案） 一、利用平行四边形的对边平行且相等求解 1.如图，E是的边的中点，延长交的延长线于点F，若，，则的长是（  ） A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的边的中点， ∴， 在和中， ∴； ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：B． 2.如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∵的顶点的坐标分别是， ∴， ∴顶点D的坐标为． 故选：A． 3. 如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE＋AF的值等于(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD＝BC＝8，CD＝AB＝6， ∴∠F＝∠DCF， ∵CF平分∠BCD，∴∠FCB＝∠DCF， ∴∠F＝∠FCB， ∴BF＝BC＝8， 同理：DE＝CD＝6， ∴AF＝BF－AB＝2，AE＝AD－DE＝2， ∴AE＋AF＝4， 故选C. 4.平行四边形的周长为，两邻边之比为，则     ，      ． 【答案】 ； 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 故答案为：①；②． 5.如图，在ABCD中，∠ABC、∠BCD的角平分线交于边AB上一点E，且BE＝AB，线段CE的长为　   　． 【答案】3 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC、∠BCD的角平分线交于边AB上一点E， ∴∠ABE＝∠CBE，∠DCE＝∠BCE， ∴∠EBC+∠ECB＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE＝∠ABE，∠DEC＝∠BCE＝∠DCE， ∴AB＝AE，DE＝DC， ∴AD＝BC＝2， ∴CE3， 故答案为：3． 6.如图，在中，垂直平分于点E，，．求的长． 【答案】解：如图，过点C作交的延长线于点F，连接， ∵四边形是平行四边形，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 7.如图，在中，的平分线交于点E，交的延长线于点F． (1)若，，求的长； (2)若，求和的度数． 【答案】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 二、利用平行四边形的对边平行且相等证明 1.如图，在中，为对角线，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， 即． 故选：B． 2.题目：求证：平行四边形的两组对边分别相等． 已知：如图，四边形是平行四边形． 求证：，． 证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，． 其中，在“”处应补充的步骤依次是（　　） A.， B.， C.， D.， 【答案】D 【解析】连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∴在“”处应补充的步骤依次是，． 故选：D． 3.如图，在中，E，F是对角线上的两点，则添加①；②；③；④中任意一个条件，能够使的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当时，由可证，所以① 符合题意； 当时，可得，即，由可证，所以②符合题意； 当时，不能判定，所以③不符合题意； 当时，由可证，所以④符合题意． ∴满足题意的有3个． 故选：C． 4.如图，在中，E点是BD的中点，MN经过E点分别与AD、BC相交于点M、N．下列四个结论： ①；②；③A、C、E三点共线；④若，则．其中正确的结论有    ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点， ∴BE=DE，AD∥BC，AD=BC， ∴∠MDE=∠NBE，∠DME=∠BNE， ∴∆DME≅∆BNE， ∴DM=BN， ∴AM=CN，故①正确； 由图可得：BM>AB≠AD=BC， 故②错误； 连接AE、CE， 四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点， ∴BE=DE， ∴∆ADE≅∆CBE， ∴AE=CE，∠AED=∠CEB， 点A、E、C三点共线，故③正确； 如图所示：过点D、E两点向BC作垂线分别为Q和P点， ∵E是BD的中点，且点E为平行四边形对角线的交点， ∴DQ=2EP， ， ， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 5.如图，在中，，是的中点，是上一点，连接，，，且．给出下列结论：①平分；②；③为等边三角形；④．其中正确的结论为      ．（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故①正确， 延长和交于M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由（1）知：， ∴， ∵；故②正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确， ∵， ∴不是等边三角形，故③错误， ∴正确的结论为① ② ④， 故答案为：①②④． 6.如图，已知四边形是平行四边形． (1)实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于E．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)猜想与证明：试猜想线段，和的数量关系，并加以证明． 【答案】解：（1）如图所示，射线即为所求作图形， （2），证明如下： 四边形是平行四边形， ， ，， ， ∵平分， ， ， ， ， ． 7.如图，在平行四边形中，． (1)利用尺规作图，在边上确定点，使点到边，的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求证：点是的中点． 【答案】解：（1）如图所示：点即为所求． （2）四边形是平行四边形， ，， ， 是的平分线， ， ， ， ∵， ∴， ∴，即点是的中点． 三、利用平行四边形的对角相等求解 1.如图，在▱ABCD中，∠B＝50°，则∠C的度数为（　　） A.40 B.50 C.100 D.130 【答案】D 【解析】∵平行四边形ABCD，∠B＝50°， ∴AB∥CD， ∴∠C+∠B＝180°， ∴∠C＝130°， 故选：D． 2. 如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足．如果∠D＝75°，则∠BCE等于(　　) A. 105° B. 15° C. 30° D. 25° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D＝75°， ∵CE⊥AB， ∴∠BCE＝90°－∠B＝15°. 故选B. 3.如图所示，在▱ABCD中，∠C＝120°，延长BA至点E，延长DA至点F，连接EF，则∠E+∠F的度数为（　　） A.120° B.30° C.50° D.60° 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠FAD＝∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣120°＝60°， ∴∠E+∠F＝∠FAD＝60°． 故选：D． 4.如图，平行四边形ABCD中，BD为对角线，∠C＝60°，BE平分∠ABC交DC于点E，连接AE，若∠EAB＝38°，则∠DBE为　    　度． 【答案】22 【解析】在平行四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD， ∴∠ABC+∠C＝180°， ∵∠C＝60°， ∴∠ABC＝120°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝60°， ∴△CBE是等边三角形， ∴CE＝CB＝BE， ∵BC＝AD， ∴BE＝AD， ∵∠ADC＝∠BED＝120°， 在△DEA和△EDB中， ， ∴△DEA≌△EDB（SAS）， ∴∠DAE＝∠EBD， ∵∠DAE＝∠DAB﹣∠EAB＝60°﹣38°＝22°， ∴∠DBE＝22°． 故答案为：22． 5.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝53°，则∠BAD＝　     　． 【答案】127° 【解析】∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°， 又∵∠EAF＝53°， ∴∠C＝360°﹣53°﹣90°﹣90°＝127°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠C＝127°． 故答案为：127°． 6.如图，在平行四边形ABCD中，∠ADC＝125°，∠CAD＝21°，求∠ACB和∠CAB的度数． 【答案】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝125°， ∴AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝125°， ∴∠ADC+∠DAB＝180°，则∠DAB＝180°﹣125°＝55°． 又∵∠CAD＝21°， ∴∠CAB＝∠DAB﹣∠CAD＝55°﹣21°＝34°． 综上所述，∠ABC、∠CAB的度数分别是125°、34°． 7.如图：在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25°，求∠C、∠B的度数． 【答案】解　∵∠BAD的平分线AE交DC于E，∠DAE＝25°， ∴∠BAD＝50°. ∴在平行四边形ABCD中， ∠C＝∠BAD＝50°， ∠B＝180°－∠C＝130°. 四、利用平行四边形的对角相等证明 1.平行四边形两邻角的角平分线相交所成的角是（　　） A.锐角 B.直角 C.钝角 D.锐角或钝角 【答案】B 【解析】如图，∵平行四边形的对边平行， ∴平行四边形的两邻角的角互补， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∴∠2+∠4＝90°， ∴两邻角的角平分线相交所成的角是直角． 故选：B． 2.如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，AB=BH，直线BF交线段AD的延长线于G，下面结论①∠A=∠BHE；②BD=BE；③∠BDE=45°；④∠BHD=∠BDG，其中正确的个数是（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，AB=BH， ∴AB=CD=BH，∠A=∠C， ∵DE⊥BC于E，BF⊥CD于F， ∴∠C+∠CBF=∠C+∠CDE=90°， ∴∠CBF=∠CDE， 在△BEH和△DEC中， ∴△BEH≌△DEC， ∴∠BHE=∠C， ∴∠A=∠BHE；所以①正确； ∵△BEH≌△DEC， ∴BE=DE， ∴△BDE为等腰直角三角形， ∴BD=BE，∠BEH=∠BDE=45°，所以②③正确； ∵∠BHD=90°+∠EBH，∠BDG=90°+∠BDE， ∵∠BDE＞∠EBH， ∴∠BDG＞∠BHD，所以④错误； 综上，①②③正确． 故选：C． 3.如图，四边形是平行四边形，E、F分别是边、上的点，且． 求证：． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴……， 在和中， ∴．省略号表示的是（    ） A.， B.， C.， D.， 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中，…， ∴． 故选：B． 4.如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是      ．（只需写一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 ， 所以补充： △AEG≌△CFH， 故答案为：（答案不唯一）. 5.为平行四边形的对角线，，于点，于点，、相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是      ． 【答案】②③ 【解析】四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， ， ， ，故②正确； 又， ， ，， ，故正确； 点不一定是的中点， 不一定等于， 不一定等于，故错误， ， ， ， ， ，故错误， 故答案为：． 6.如图，在中，E，G，H，F分别是，，，上的点，且，．求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． 7.如图，在中，点在的延长线上，点在的延长线上，满足．连接，分别与，交于点，． 求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 在与中，， ， ． 五、求平行线间的距离 1.如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB=5 cm，BC=3 cm，那么平行线a，b之间的距离为（　　） A.5 cm B.4 cm C.3 cm D.不能确定 【答案】B 【解析】∵AC⊥b， ∴△ABC是直角三角形， ∵AB=5 cm，BC=3 cm， ∴AC===4（ cm）， ∴平行线a、b之间的距离是：AC=4 cm． 故选：B． 2.如图，在中，，，，则与间的距离为（    ） A.5 B.10 C. D.26 【答案】B 【解析】∵四边形为平行四边形， ∴，与互相平分， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 故与间的距离为10； 故选：B． 3.如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON，EA=3，D为OM上的一个动点，C是DA延长线与BC的交点，BCOM，则CD的最小值是（    ） A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】A 【解析】∵OB平分∠MON，AE⊥ON于点E，CD⊥OM， ∴AD=AE=3， ∵BC∥OM， ∴∠DOA=∠B， ∵A为OB中点， ∴AB=AO， 在△ADO与△ABC中， ∴△ADO≌△ABC(SAS), ∴AC=AD=3， ∴， 故选A． 4.如图，在正方形网格中，若每个小正方形的边长为1，则直线、之间的距离为      ． 【答案】3 【解析】由于每个小正方形的边长为1， 所以直线、之间的距离为3， 故答案为：3． 5.如图，，点为直线上的任意一点，三角形的面积为6，，则直线与的距离为      ． 【答案】3 【解析】作PM⊥AB于M， ∵AB//CD， ∴PM的长就是两平行线间的距离， ∵三角形PAB的面积为6，AB=4， ∴AB•PM=6，即×4PM＝6， ∴PM=3． 故答案为：3． 6.如图，直线、被直线所截并分别交于点、，，于点，． （1）求证：； （2）若，求直线与直线的距离． 【答案】解：（1）∵， ∴ （两直线平行，同位角相等）， 又∵， ∴； （2）由（1）已证， 又于点，则， ∴， 从而， 又∵且， ∴， 于是直线与直线的距离为即为． 7.如图，已知，请完成下列问题： (1)请用直尺和圆规作出的平分线，交于点P； (2)过点C作直线AB的垂线，交直线AB于点D；过点C作直线AB的平行线EF； (3)那么直线AB与直线EF之间的距离是线段________的长度． 【答案】解：（1）如图所示，为的平分线； （2）如图所示，，； （3）直线与直线之间的距离是线段的长度． 六、利用平行线间的距离解决问题 1.如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论：①；②；③；④．其中，正确的个数为（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，故①②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， 故③正确； ∵， ∴与是等底等高的三角形， ∴， ∴，故④正确， ∴① ② ③ ④正确． 故选：D． 2.如图，将面积为5的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边长的两倍，那么图中的四边形的面积是（    ） A.15 B.20 C.25 D.30 【答案】B 【解析】如图连接， 由平移的性质可得三角形的面积等于三角形的面积， 由平移的定义可得平移距离，， ∴， 由可得、间的距离相等， ∴三角形、三角形和三角形等高， ∴三角形的面积等于三角形的面积，三角形的面积等于2倍三角形的面积， ∵四边形的面积=三角形的面积+三角形的面积+三角形的面积， ∴四边形的面积， 故选：B． 3.如图，是直线上一动点，，是直线上的两个定点，且直线，对于下列各值：点到直线的距离；的周长；的面积；的度数其中不会随点的移动而变化的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】直线， 点到直线的距离不会随点的移动而变化；故符合题意； 、的长度随点的移动而变化， 的周长会随点的移动而变化，故不符合题意； 点到直线的距离不变，的大小不变， 的面积不变，故符合题意； 直线，之间的距离不随点的移动而变化，的大小随点的移动而变化， 故不符合题意； 综上所述，不会随点的移动而变化的是． 故选：． 4.如图，在中，，，，点P为上一点，连接，以，为邻边作，连接，则的长的最小值为      ． 【答案】 【解析】，，， ， 四边形为平行四边形， ，，， 点P为上一点， 要的长的最小，即， 平行线之间的距离处处相等， 即等于到的距离， 记到的距离为， ， 即，解得， 的长的最小值为， 故答案为：． 5.如图所示，，，相交于点，若面积为2，面积为3，则的面积为         ． 【答案】 【解析】面积为2，面积为3， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 6.如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，的顶点都在格点上． (1)将平移，使得格点M、N在的内部，画出平移后的图形； (2)利用格点画出的高线，中线； (3)若的面积与的面积相等，满足条件的格点P有__________个． 【答案】解：（1）如图，即为所求； （2）如图，高线，中线即为所求； （3）如图，点即为所求． 满足条件的格点P有4个． 故答案为：4. 7.如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点称为格点，，，均在格点上，则是格点三角形． (1)在图1中，画出与全等的格点（找到一个即可）． (2)在图2中，直接写出的面积为______，在网格内找出满足和面积相等的所有格点E (3)在图3中，只用无刻度的直尺作出边上的高（提示：利用格点构造全等三角形，保留作图痕迹，不写求作过程．） 【答案】解：（1）如图所示，即为所求； （2）由题意得，， 如图所示，点和点即为所求； （3）如图所示，即为所求； 取格点E、F、G，D， 易证，则， 由，推出，即， 即可得到， 又有，则，则直线于的交点即为H点．   七、利用平行四边形的对角线互相平分求解 1.如图，的周长为，对角线与相交于点，交于，连接，则的周长为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵的周长为8， ∴， ∴的周长， ∴的周长为， 故选：B． 2.如图，平行四边形的对角线交于点O，若，则的长为（    ） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【解析】四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， 故选：A． 3.如图，平行四边形的周长为，的周长比的周长多6，则为（    ） A.7 B.9 C. D. 【答案】A 【解析】∵平行四边形， ∴， 由题意知，平行四边形的周长为， 的周长为，的周长为， ∴，整理得，， 得，， 解得，， 故选：A． 4.如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长是36，，则四边形的周长为        ． 【答案】24 【解析】四边形为平行四边形，对角线的交点为， ，，，， ， 在和中，， ， ，， 平行四边形的周长为36， ， 四边形的周长， 故答案为：24． 5.如图，O是的对角线的交点．已知的周长为59，，，则      ． 【答案】28 【解析】∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵的周长为59， ∴， ∴． 故答案为：28. 6.如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，，当时，求的面积． 【答案】解：（1）四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中，， ， ； （2） ， ， 在中，， 四边形是平行四边形， ； （3） ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ． 7.如图在平行四边形中，，，．求的长． 【答案】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵，， ∴在中，， 又∵由平行四边形性质可得， ． ； 在中，， ∴． 八、利用平行四边形的对角线互相平分证明 1.如图O为对角线、的交点，经过点O且与边、分别交于点E、F，则图中的全等三角形最多有（   ） A.2对 B.3对 C.5对 D.6对 【答案】D 【解析】共6对，有，，，，，， 理由是：∵四边形是平行四边形， ∴，， ，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 而，， ∴， 同理，， 故选：D． 2.如图所示，在平行四边形中，对角线交于点O，下列结论中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，， 但无法得到，，， 故A、C、D错误，不符合题意； 故选：B． 3.如图，平行四边形的对角线、交于点O，平分交于点E，，，连接OE．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】在中，，，平分， ， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ，即， ，故①正确； ， ， ， 故平分，故②正确； 依据中，，即可得到， 故③错误； 是中点， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， 垂直平分，故④正确． 综上所述，①、②、④正确． 故选：C． 4.如图，在平行四边形中（），直线经过其对角线的交点，且分别交，于点，，交，的延长线于点，．下列结论：①；②；③．其中一定正确的是      （填序号）． 【答案】② 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∵不一定等于， 故①不一定正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 根据题意得：和不全等， ∴与不全等，故③不正确， ∴ 综上所述，②正确． 故答案为：②. 5.如图，EF过对角线的交点O，交于点E，交于点F．则①；②若，，则；③；④图中共有4对全等三角形；⑤．其中正确结论的有         （填序号）． 【答案】①②③⑤ 【解析】∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵O为中点， ∴， ∴，故③正确； 由已知条件得，图中全等的三角形有，，故④不正确； ∵， ∴, ∴，故⑤正确． 故答案为①②③⑤． 6.如图，的对角线和相交于点O，过点O且与的延长线交于点E，与的延长线交于点F，连接． (1)求证：． (2)若，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的周长； 答：四边形的周长为． 7.如图，已知的对角线交于点O，过点O且与分别相交于点E、F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】（1）证明：∵的对角线交于点O， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$