精品解析：福建省仙游第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷

仙游一中2024-2025学年度高一下学期第一次月考 数学试题卷 （本试卷共4页 考试时间120分钟 总分150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 下列不能化简为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加减法及运算性质，即可得到答案. 详解】对于A，，故A不符合题意； 对于B，，故B不符合题意； 对于C，，故C不符合题意； 对于D，，故D符合题意. 故选：D． 2. 在中，内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理以及余弦定理计算可得，再由平方关系以及三角形内角取值可得结果. 【详解】因为，则由正弦定理得． 由余弦定理可得，即， 根据正弦定理得， 所以． 又为三角形内角，则，则． 故选：C． 3. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】代入投影向量公式，结合数量积公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为， ，解得. 故选：A. 4. 已知向量不共线，且，若与反向共线，则实数λ的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设，然后将，代入化简，可得，从而可求出实数λ的值. 【详解】解：由于与反向共线，则存在实数k使， 于是， 整理得． 由于不共线，所以有，整理得， 解得或． 又因为，故． 故选：B． 5. 空中有一气球（近似看成一个点），其在地面的射影是点，在点的正西方点测得它的仰角为，同时在点的南偏东的点，测得它的仰角为，若两点间的距离为266米，那么测量时气球到地面的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 266米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设米，利用直角三角形的性质得米，米，在中，由余弦定理建立方程求解即可. 详解】设米，由题意知：平面，平面，平面， 所以，又，则米，米， 在中，由余弦定理得：， 即，即，解得， 故测量时气球到地面的距离是米. 故选：A. 6. 如图所示，中，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，把为基底，用它表示，再由余弦定理可求，从而由平面向量的数量积求解即可. 【详解】由题意， ， . 在中，由余弦定理得. 所以 . 故选：A. 7. 我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求其面积的公式，求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积”翻译成公式，即，其中，，分别为中角，，的对边，为的面积．现有面积为的满足，则其内切圆的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知根据正弦定理可得，设，，，，代入题目中所给公式可求得，，，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理可知， 设，则，，， 所以，解得， 所以，，， 设内切圆的半径为， 由，得. 故选：. 8. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用正弦定理和余弦定理的应用求出的值，再由正弦定理可得，，结合三角函数关系式的恒等变换把变形成正弦型函数，进一步利用性质和角的范围即可求出结果. 【详解】锐角中，内角，，对边分别为，，， 由正弦定理可得，所以，整理得， 所以，由于，所以， 又，利用正弦定理：得：，， 又为锐角三角形，故， 所以 ， 由于，故， 所以. 故选：D 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的几何图形，利用平面向量的线性运算逐项计算判断. 【详解】在正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且． 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，， 若，则，不合题意，D错误． 故选：AC 10. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法错误的是（ ） A. 点、，与向量共线的单位向量为 B. 非零向量和满足，则与的夹角为 C. 已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则 D. 向量，，则在上的投影向量的坐标为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据共线向量及单位向量的概念运算即可判断；对于B，利用向量数量积的运算法则，结合夹角公式即可判断；对于C，检验的情况即可判断；对于D，利用投影向量的公式即可判断. 【详解】对于A，因为、，则，， 所以与向量共线的单位向量为，故A错误； 对于B，因为，所以， 则，化简得， 所以，即， 又， 所以， 因为，所以，故B正确； 对于C，因为，， 当时，，得， 经检验，当时，、同向共线，即此时、的夹角不为锐角，故C错误； 对于D，因为，， 所以在上的投影向量的坐标为，故D正确. 故选：AC. 11. 的内角的对边分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则角 B. 存在，使成立 C. 若，则为等腰或直角三角形 D. 若，则有两解 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理、二倍角公式、解三角形的知识进行判断. 【详解】选项A：由正弦定理得： 又余弦定理得 故又故故选项A正确， 选项B：因为在中，故故选项B错误， 选项C：当时，或即或故为等腰或直角三角形，故选项C正确， 选项D：又则若，则有两解正确，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若与的夹角是钝角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标表示及平行坐标公式判断钝角即可求出参数范围. 【详解】因为与夹角为钝角， 可以得出，解得：， 且不平行，则， 即且，即. 故答案为： 13. 在中，内角，，所对的边分别是，，，若，则是______三角形． 【答案】等腰三角形或直角三角形. 【解析】 【分析】由已知式运用余弦定理将其化成，利用正弦定理，得到，即得或，即可确定三角形形状. 【详解】由余弦定理，，则，同理可得，， 由可得，化简得，, 由正弦定理得，则, 而， 则得或，即或， 故是等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形. 14. 在中，，为的中点，，为上一点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连接，从而可得为中点，，再根据，可得，再由余弦定理及数量积的运算律求解即可. 【详解】解：取中点，连接，如图所示： 则有， 又因为， 所以，所以∥， 又因为为中点，所以为中点， 所以， 所以， 又因为为的中点，， 所以， 平方，得， 即， 解得， 在中，由余弦定理可得：， 所以， 在中，由余弦定理可得：， 将两边平方， 得， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. （1）用、表示； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，再由即可得解； （2）利用平面向量的共线定理到，进而得到，再利用平面向量的基本定理即可得解. 【小问1详解】 因为，则，所以， 因为为的中点，故. 【小问2详解】 因为、、三点共线，则，，， 所以存在，使得，即， 所以， 又因，且、不共线， 所以，则， 所以，故. 16. 在中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且，. （1）若，求的值； （2）若的面积为b，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，可得，再代入，得，可求，进而可得的值； （2）由三角形面积可得，再由余弦定理得，由同角三角函数的关系可得，计算可求得的值. 【小问1详解】 ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，∴， ∵且，∴， ∵，∴，∴或， 当时，，∴， 当时，，∴. 17. 如图，在四边形ABCD中，，，，，. （1）求及AD的长度； （2）求BC的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用平方关系求出，， 由于， 借助和角公式求出即可．再用正弦定理求出即可； （2）在中，由正弦定理求出，再用余弦定理求出即可. 【小问1详解】 因为，，，， 所以，， 由于，又，∴， ∴， 则 ， ∴， 所以. 在中，由正弦定理得， 所以，所以. 【小问2详解】 在中，由正弦定理得，可得，解得. 由于，， 在中，由余弦定理可得 . 18. 已知，，． （1）求； （2）当为何值时，与垂直？ （3）求向量与的夹角的正切值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由可得，根据向量模的运算求解即可； （2）由与垂直可得，计算即可； （3）根据向量夹角的求解公式计算出夹角的余弦值，再求正切值即可. 【小问1详解】 依题意，， 所以， 所以； 【小问2详解】 若与垂直， 则， 解得； 【小问3详解】 ，设向量与的夹角为， 则，而， 所以， 所以. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式及正弦定理求解即得. （2）由费马点的定义，利用三角形面积公式及数量积的定义计算即得. （3）由费马点的定义，利用余弦定理及勾股定理建立关系，再利用基本不等式求解即得. 【小问1详解】 在中，1，即， 则，由正弦定理得， 所以直角三角形，即. 【小问2详解】 由（1）知，则的三个角都小于， 由费马点定义知：， 设，，，由得： ，整理得， 所以. 【小问3详解】 由点为的费马点，得， 设，，，，，， 则由，得； 由余弦定理得， ， ， 由，得， 整理得，而，，则， 当且仅当，即时取等号， 又，即有，而，解得， 所以实数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 仙游一中2024-2025学年度高一下学期第一次月考 数学试题卷 （本试卷共4页 考试时间120分钟 总分150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 下列不能化简为的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，内角的对边分别为，若，则（ ） A B. C. D. 3. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知向量不共线，且，若与反向共线，则实数λ的值为（ ） A 1 B. C. 1或 D. 或 5. 空中有一气球（近似看成一个点），其在地面的射影是点，在点的正西方点测得它的仰角为，同时在点的南偏东的点，测得它的仰角为，若两点间的距离为266米，那么测量时气球到地面的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 266米 D. 米 6. 如图所示，中，，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求其面积的公式，求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积”翻译成公式，即，其中，，分别为中角，，的对边，为的面积．现有面积为的满足，则其内切圆的半径是（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，则（ ） A. B. C. D. 10. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法错误是（ ） A. 点、，与向量共线的单位向量为 B. 非零向量和满足，则与的夹角为 C. 已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则 D. 向量，，则在上的投影向量的坐标为 11. 的内角的对边分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则角 B. 存在，使成立 C. 若，则为等腰或直角三角形 D. 若，则有两解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若与的夹角是钝角，则实数的取值范围是______． 13. 在中，内角，，所对的边分别是，，，若，则是______三角形． 14. 在中，，为中点，，为上一点，且，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. （1）用、表示； （2）求的值. 16. 在中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且，. （1）若，求值； （2）若的面积为b，求的值. 17. 如图，在四边形ABCD中，，，，，. （1）求及AD的长度； （2）求BC的长度. 18. 已知，，． （1）求； （2）当为何值时，与垂直？ （3）求向量与的夹角的正切值． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$