19.2 菱形 暑假巩固练习2024-2025学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版八年级下册 19.2 菱形 暑假巩固 一、利用菱形的性质求角度 1.如图，在菱形中，直线分别交、、于点M、N和O，且，连接，若，则为(　　)    A. B. C. D. 2.如图，在菱形中，连接，以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点E．再分别以点A，E为圆心，大于的长为半径在上方画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G．若，则的度数为(　　)    A.30° B. C. D.15° 3.如图，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，若经过点与相交于，，则(　　)    A. B. C. D. 4.如图，菱形中，，则        ．    5.已知菱形为对角线上一点（点不与重合），若是等腰三角形，则的度数为      度． 6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F在DE延长线上，且AF=AE，若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数． 7.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠CAD，分别交OD，CD于F，E两点，求∠AFO的度数． 二、利用菱形的性质求线段的长 1.如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形．若点A的坐标是，则点C的坐标是(　　) A. B. C. D. 2.如图，菱形的对角线、交于点O，，，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是(　　) A.3 B.4 C.5 D.7 3.如图，菱形中，，的度数是度数的2倍，则对角线长为(　　) A. B. C. D. 4.如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B、M处固定．已知菱形的边长为，要使两排挂钩的距离（即）为，则之间的距离是           ．    5.如图，E是菱形的对角线上一点，过点E作于点F．若，则点E到边的距离为     ． 6.如图，在菱形中，．连接交于点，过点作交延长线于点．，求的长． 7.如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作交的延长线于点E，连结． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的长． 三、利用菱形的性质求面积 1.如图，菱形的边长为，对角线相交于点O，且，则菱形的面积为(　　)    A.5 B. C.2 D.4 2.如图，菱形的边长是5，对角线相交于点，若，则菱形的面积是(　　) A.6 B.12 C.24 D.48 3.如图，在菱形中，对角线、交于点，，，是菱形的外角，点是的角平分线上任意一点，连接、，则的面积等于(　　) A.6 B.9 C.12 D.无法确定 4.已知在菱形中，，对角线与相交于点O，若，则该菱形的面积为        ．（结果保留根号） 5.如图，某市计划在一片空地上修建一个边长为的菱形公园，顶点作为主要出入口．为小路的中点，、是两条主要通道，要在它们的交点以及点处建两个休息亭，使得这两个休息亭到出入口的距离相等，则计划建造的这个菱形公园的面积为      ．    6.如图，四边形是菱形，于点，于点．    (1)求证：； (2)若，，求菱形的面积． 7.如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点D作对角线的垂线交的延长线于点E．      (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求菱形的面积． 四、菱形中的动点问题 1.如图，菱形中，，，E，F，P分别是，，上的动点，的最小值等于（　　） A.1 B. C. D. 2.如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 3.如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，P是对角线上的动点，且．若，，则的最小值是(　　)    A.2 B.3 C.4 D. 4.在菱形ABCD中，∠C=120°，点E是AD边的中点，点P是对角线BD上的动点，则当PA+PE的值最小时，∠APB=     ． 5.如图，四边形是菱形，，，，分别为和上的两个动点（点不与点，重合），连接，，则的最小值为        ． 6.如图，在菱形中，，，点E是边的中点，点M是边上的一个动点（且不与点A重合），延长交的延长线于点N，连接，． (1)求证：； (2)当为何值时，四边形是矩形？并说明理由． 7.在中，，点D为射线上一动点（点D不与B，C重合），以为边作菱形，使，连接． (1)如图1，当点D在线段上时，直接写出线段与的数量关系； (2)如图2，当点D在线段BC的延长线上，且时，求证：． 五、用定义判定菱形 1.如图，在中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，当四边形为菱形时，则a的值为(　　)    A.1 B.2 C.3 D.4 2.依据所标数据，下列一定为菱形的是(　　) A. B. C. D. 3.汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（　　） A.正方形 B.等腰梯形 C.菱形 D.矩形 4.如图，在矩形中，，点M、N分别在边上，连．若，则四边形的形状是       ． 5.如图，在矩形中，、分别是、中点，连接、、、分别交于点、，四边形是      ． 6.如图，在▱ABCD中，BD＝AD，延长CB到点E，使BE＝BD，连接AE．求证：四边形AEBD是菱形． 7.如图，延长平行四边形ABCD的边AD，AB．作CE⊥AB交AB的延长线于点E，作CF⊥AD交AD的延长线于点F，若CE＝CF． 求证：四边形ABCD是菱形． 六、添加一个条件是菱形 1.已知平行四边形的对角线相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是(　　) A. B. C. D. 2.在四边形中，，，添加下列条件后仍然不能推得四边形为菱形的是(　　) A. B. C. D. 3.如图，在中，、分别为边、的中点，点、在上，且，若添加一个条件使四边形是菱形，则下列可以添加的条件是　　 A. B. C. D. 4.如图，在中，D为上一点，，．请你再添加一个适当的条件：        ，使四边形为菱形． 5.如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，平分．给出下列两个条件：①，②；从二者中选择一个作为补充条件，使四边形是菱形，这个条件是       ．（填写序号） 6.如图，的对角线与相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点P．    (1)证明四边形为平行四边形； (2)给添加一个条件，使得四边形为菱形，并说明理由． 7.如图，中，，是边，的点，，添加下列条件之一使成为菱形．①；②；③．    (1)添加的条件是：______．（填序号） (2)添加条件后，请证明为菱形． 七、综合利用菱形的判定与性质进行求解 1.如图，平行四边形的对角线相交于点，，，则四边形的面积为（　　） A.48 B.15 C.24 D.12 2.在中，用直尺和圆规作图的痕迹如图所示．若，则(　　) A.10 B.8 C.6 D.4 3.如图，四边形中，，，，连接，的平分线交分别于点，，若，，则的长为(　　) A.8 B. C. D. 4.如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点．若，，则的长为        ． 5.如图，①以点A为圆心长为半径画弧分别交的两边、于点B、；②以点B为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③分别连接、、，若，则的大小为    °． 6.已知：如图，矩形的对角线相交于点，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)已知矩形的面积为20，求四边形的面积． 7.如图，已知，直线垂直平分，与边交于点，连接，过点作交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形， (3)若，，则菱形的面积是多少？ 八、综合利用菱形的判定与性质进行证明 1.如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确的个数为(　　)    A.1 B.2 C.3 D.4 2.四边形中，，点P，Q是对角线BD上不同的两点，若四边形是菱形，则下列说法中不正确的是(　　) A. B. C. D. 3.如图，在平行四边形ABCD中，，，以点A为圆心AB长为半径画弧交边AD于点F：以点B为圆心AB长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，BF和EF．下列结论不正确的是(　　) A. B. C. D. 4.如图，是的边的垂直平分线，垂足点为点O，与的延长线交于点E，连接，，，则下列结论：①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的结论有     （填写所有正确结论的序号）． 5.如图，在四边形中，，交于点，过四边形的顶点作，且，线段交于点，交于点，若三点共线，则以下说法：四边形为菱形； ； ； ，正确的有      ． 6.如图，AD是∠BAC的平分线，DE平行AB交AC于点E，DF平行AC交AB于点F，延长FE交BC的延长线于点G．    求证：（1）AG＝DG； （2）∠GAC＝∠B． 7.如图，在平行四边形中，，E，F是对角线上的点，且，连接，，，．求证：四边形是菱形．    华东师大版八年级下册 19.2 菱形 暑假巩固（参考答案） 一、利用菱形的性质求角度 1.如图，在菱形中，直线分别交、、于点M、N和O，且，连接，若，则为(　　)    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， 故选：C． 2.如图，在菱形中，连接，以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点E．再分别以点A，E为圆心，大于的长为半径在上方画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G．若，则的度数为(　　)    A.30° B. C. D.15° 【答案】B 【解析】由作图可知， ∵菱形， ∴，， ∴，， ∴，， 故选：B． 3.如图，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，若经过点与相交于，，则(　　)    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】四边形为菱形，，， ， 菱形绕点逆时针旋转得到菱形， ， ． 故选：B． 4.如图，菱形中，，则        ．    【答案】 【解析】∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5.已知菱形为对角线上一点（点不与重合），若是等腰三角形，则的度数为      度． 【答案】或 【解析】如图， ∵是菱形，， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， 当时， ∴， ∴， 当时， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或． 6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F在DE延长线上，且AF=AE，若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数． 【答案】解：四边形是菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， 又， ． 7.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠CAD，分别交OD，CD于F，E两点，求∠AFO的度数． 【答案】解：∵在菱形ABCD中，∠ABC=120°， ∴∠BAD=60°， ∵对角线AC、BD交于点O， ∴∠BAC=∠CAD=30°，∠DOA=90°， ∵AE平分∠CAD， ∴∠OAF=15°， ∴∠AFO的度数为：90°-15°=75°． 二、利用菱形的性质求线段的长 1.如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形．若点A的坐标是，则点C的坐标是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】过点A作，如图： ∵点A的坐标是， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 则， ∴点C的坐标是， 故选：C. 2.如图，菱形的对角线、交于点O，，，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是(　　) A.3 B.4 C.5 D.7 【答案】C 【解析】∵四边形是菱形， ，，， ，， ，， 绕着点C旋转得到， ，，， ， ． 故选：C． 3.如图，菱形中，，的度数是度数的2倍，则对角线长为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵四边形是菱形， ∴， ∵的度数是度数的2倍， ∴， ∴， ∴， 故选：A. 4.如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B、M处固定．已知菱形的边长为，要使两排挂钩的距离（即）为，则之间的距离是           ．    【答案】36 【解析】如图，设与交于点O，    则，， ， ， ， 故答案为：36． 5.如图，E是菱形的对角线上一点，过点E作于点F．若，则点E到边的距离为     ． 【答案】4 【解析】∵四边形为菱形， ∴平分， ∵E为上的一点，， ∴点E到的距离， 故答案为：4． 6.如图，在菱形中，．连接交于点，过点作交延长线于点．，求的长． 【答案】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 7.如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作交的延长线于点E，连结． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 三、利用菱形的性质求面积 1.如图，菱形的边长为，对角线相交于点O，且，则菱形的面积为(　　)    A.5 B. C.2 D.4 【答案】D 【解析】∵菱形的边长为，对角线相交于点O， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：D． 2.如图，菱形的边长是5，对角线相交于点，若，则菱形的面积是(　　) A.6 B.12 C.24 D.48 【答案】C 【解析】∵四边形是菱形 ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3.如图，在菱形中，对角线、交于点，，，是菱形的外角，点是的角平分线上任意一点，连接、，则的面积等于(　　) A.6 B.9 C.12 D.无法确定 【答案】A 【解析】四边形是菱形， ，，，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：A． 4.已知在菱形中，，对角线与相交于点O，若，则该菱形的面积为        ．（结果保留根号） 【答案】 【解析】如图，∵四边形为菱形， ∴， ∵， 设，则， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 故答案为：. 5.如图，某市计划在一片空地上修建一个边长为的菱形公园，顶点作为主要出入口．为小路的中点，、是两条主要通道，要在它们的交点以及点处建两个休息亭，使得这两个休息亭到出入口的距离相等，则计划建造的这个菱形公园的面积为      ．    【答案】 【解析】如图，连接交于点，则，    为的中点， )， )， ， ， ， ， ， )， )， )， 在中，由勾股定理得， ， 菱形公圆的面积为 ． 故答案为：． 6.如图，四边形是菱形，于点，于点．    (1)求证：； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，，    ，， ， 在和中， ， ； （2）解：设菱形的边长为， ，， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ，即， 解得， 菱形的边长是5． ∴菱形的面积为. 7.如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点D作对角线的垂线交的延长线于点E．      (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， 又 ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ， 菱形中，，， 菱形的面积． 四、菱形中的动点问题 1.如图，菱形中，，，E，F，P分别是，，上的动点，的最小值等于（　　） A.1 B. C. D. 【答案】B 【解析】作点F关于的对称点G，连接，作于，作交于， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴点G在上，，， ∵， ∴最小值为：， 故选B． 2.如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】连接， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 当时，值最小， 此时，， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 3.如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，P是对角线上的动点，且．若，，则的最小值是(　　)    A.2 B.3 C.4 D. 【答案】D 【解析】过作于，过作于，    ∵菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴当、、三点共线且与垂直时最小，最小值为菱形的高， ∵， ∴, ∵，， ∴， ∴， 即的最小值是， 故选：D． 4.在菱形ABCD中，∠C=120°，点E是AD边的中点，点P是对角线BD上的动点，则当PA+PE的值最小时，∠APB=     ． 【答案】60° 【解析】如图，连接AC，CE，AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴，AO=CO，，AB=BC=CD=AD，， ∴AP=CP， ， ∵∠BCD=120°， ∴∠ADC=∠ABC=60°， ∴△ABC和△ACD都是等边三角形， 又∵点E为AD的中点， ∴CE⊥AD， ∵CP+PE≥CE，AP=CP， ∴当C，P，E三点共线时，PA+PE的值最小，等于CE的长， 此时，∠ADP=∠DAP=30°， ∴∠APB=30°+30°=60°． 故答案为：60°． 5.如图，四边形是菱形，，，，分别为和上的两个动点（点不与点，重合），连接，，则的最小值为        ． 【答案】 【解析】如下图，设交于点，过点作于点，交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ， 当点在同一直线上，且时，取最小值，即的长度， ∵菱形的面积， 即，解得， ∴的最小值为． 故答案为：． 6.如图，在菱形中，，，点E是边的中点，点M是边上的一个动点（且不与点A重合），延长交的延长线于点N，连接，． (1)求证：； (2)当为何值时，四边形是矩形？并说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴． ∵E为的中点， ∴. 在和中， ， ∴． （2）解：当时，四边形是矩形． 理由如下： 由（1）知， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵在菱形中，，M为的中点， ∴． 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形． 7.在中，，点D为射线上一动点（点D不与B，C重合），以为边作菱形，使，连接． (1)如图1，当点D在线段上时，直接写出线段与的数量关系； (2)如图2，当点D在线段BC的延长线上，且时，求证：． 【答案】解：（1）四边形是菱形， ， ， ， ， ≌， ． （2）四边形是菱形， ， ， ， ， ≌， ， ，， ∴由勾股定理，得， ， ． 五、用定义判定菱形 1.如图，在中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，当四边形为菱形时，则a的值为(　　)    A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】四边形是平行四边形， ，，， 将线段水平向右平得到线段， ， 四边形为平行四边形， 当时，为菱形， 此时． 故选：B. 2.依据所标数据，下列一定为菱形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A.对角不相等，故选项A中的图形不是菱形，不符合题意； B.同旁内角互补，则左右的两边平行，故该四边形是平行四边形，又由图可知四边相等，故该四边形是菱形，符合题意； C.只能得到四边形的三条边的长度相等，不知道第四条边的长度，故不能判断是菱形，不符合题意； D.的图形，只能判断为平行四边形，但不能判断是菱形，不符合题意； 故选：B． 3.汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（　　） A.正方形 B.等腰梯形 C.菱形 D.矩形 【答案】C 【解析】过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同， 所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF． ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．又AE＝AF． ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 故选：C． 4.如图，在矩形中，，点M、N分别在边上，连．若，则四边形的形状是       ． 【答案】菱形 【解析】∵四边形是矩形， ∴四边形是平行四边形， 设 ∴平行四边形是菱形， 故答案为：菱形． 5.如图，在矩形中，、分别是、中点，连接、、、分别交于点、，四边形是      ． 【答案】菱形 【解析】四边形是菱形；理由如下： 如图，连接， 四边形为矩形， ∴ADBC，， 又，分别为，中点， ∴AEBF，，EDBF，， 四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， BEFD，即MEFN， 同理可证ENMF， 四边形为平行四边形， 四边形为平行四边形，为直角， ∴四边形为矩形， ，互相平分于点，且AF=BE， ， 四边形为菱形； 故答案为：菱形． 6.如图，在▱ABCD中，BD＝AD，延长CB到点E，使BE＝BD，连接AE．求证：四边形AEBD是菱形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵BD＝AD，BE＝BD， ∴AD＝BE， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵BD＝AD， ∴四边形AEBD是菱形． 7.如图，延长平行四边形ABCD的边AD，AB．作CE⊥AB交AB的延长线于点E，作CF⊥AD交AD的延长线于点F，若CE＝CF． 求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠CBE＝∠A，∠CDF＝∠A， ∴∠CBE＝∠CDF， ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠CEB＝∠CFD， 在△CBE与△CDF中， ， ∴△CBE≌△CDF， ∴CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 六、添加一个条件是菱形 1.已知平行四边形的对角线相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图所示， A．，不能判断平行四边形是菱形，故A不符合题意； B．，不能判断平行四边形是菱形，故B不符合题意； C．， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， 四边形是菱形，故C符合题意； D．，不能判断平行四边形是菱形，故D不符合题意； 故选：C． 2.在四边形中，，，添加下列条件后仍然不能推得四边形为菱形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A．添加，∵，∴四边形是平行四边形， ∵，∴是菱形，故该选项不符合题意； B．添加，∵，∴四边形是平行四边形， ∵，∴是菱形，故该选项不符合题意； C．添加，∵，∴，不能得出四边形是菱形，故该选项符合题意； D．添加，连接，如图，    ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 则是菱形， 故该选项不符合题意； 故选∶C． 3.如图，在中，、分别为边、的中点，点、在上，且，若添加一个条件使四边形是菱形，则下列可以添加的条件是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】可以添加的条件是， 理由：四边形是平行四边形， ，， 、分别为边、的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 即， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 连接交于， ，， ， 四边形是菱形， 故选：D． 4.如图，在中，D为上一点，，．请你再添加一个适当的条件：        ，使四边形为菱形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 ，． 四边形是平行四边形， ， 四边形为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）， 故答案为：（答案不唯一）． 5.如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，平分．给出下列两个条件：①，②；从二者中选择一个作为补充条件，使四边形是菱形，这个条件是       ．（填写序号） 【答案】② 【解析】∵平分， ∴ 若，则有： ∴ ∴， ∵， ∴， 又 ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形， 故答案为②． 6.如图，的对角线与相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点P．    (1)证明四边形为平行四边形； (2)给添加一个条件，使得四边形为菱形，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：添加条件，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． 7.如图，中，，是边，的点，，添加下列条件之一使成为菱形．①；②；③．    (1)添加的条件是：______．（填序号） (2)添加条件后，请证明为菱形． 【答案】解：（1）添加能使成为菱形． 故答案为：①； （2），，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 七、综合利用菱形的判定与性质进行求解 1.如图，平行四边形的对角线相交于点，，，则四边形的面积为（　　） A.48 B.15 C.24 D.12 【答案】C 【解析】四边形是平行四边形， ，， 又， ， ，即， 四边形是菱形， 四边形的面积为， 故选：C． 2.在中，用直尺和圆规作图的痕迹如图所示．若，则(　　) A.10 B.8 C.6 D.4 【答案】B 【解析】如图，连接，设交点为O， 由尺规作图得：是的角平分线，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形， ， 在中， ， ． 故选：B． 3.如图，四边形中，，，，连接，的平分线交分别于点，，若，，则的长为(　　) A.8 B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，连接， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 故选：C． 4.如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点．若，，则的长为        ． 【答案】 【解析】如图，设交于点，连接, 由作图可知：，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，， 在中，， ， 故答案为：． 5.如图，①以点A为圆心长为半径画弧分别交的两边、于点B、；②以点B为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③分别连接、、，若，则的大小为    °． 【答案】30 【解析】由作图方法可知，， ∴四边形是菱形， ， ， 故答案为：30． 6.已知：如图，矩形的对角线相交于点，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)已知矩形的面积为20，求四边形的面积． 【答案】解：（1）四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵四边形为矩形，面积为20， ∴， ∵， ∴， ∴． 7.如图，已知，直线垂直平分，与边交于点，连接，过点作交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形， (3)若，，则菱形的面积是多少？ 【答案】（1）证明：∵直线垂直平分， ∴， ∵， ∴，， 在与中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵为线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形； （3）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的面积是． 八、综合利用菱形的判定与性质进行证明 1.如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确的个数为(　　)    A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，故②正确； ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴，故③正确； ∵四边形BDFC是菱形， ∴， ∴， ∴，故④错误． ∴正确的结论为①②③， 故选：C． 2.四边形中，，点P，Q是对角线BD上不同的两点，若四边形是菱形，则下列说法中不正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图，连接AC， ∵， ∴，． ∵四边形APCQ是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴AD=BC，，故A正确，不符合题意． ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵， ∴平行四边形ABCD是菱形． ∴，，故B、C正确，不符合题意． ∵当AP=BP时，， ∴D选项不一定成立，故该选项符合题意． 故选D． 3.如图，在平行四边形ABCD中，，，以点A为圆心AB长为半径画弧交边AD于点F：以点B为圆心AB长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，BF和EF．下列结论不正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由作图可知：AB=BE，AF=AB， ∴AB=BE=AF， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ADBC，即AFBE， ∴四边形ABEF为平行四边形， ∵AB=AF， ∴四边形ABEF是菱形， ∴AB=EF，AE⊥BF，∠AEB=∠AEF，故A、B、C选项都不符合题意； 而∠ABC≠90° ，∴四边形ABEF不是矩形，∴AE≠BF，故D选项符合题意． 故选：D． 4.如图，是的边的垂直平分线，垂足点为点O，与的延长线交于点E，连接，，，则下列结论：①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的结论有     （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②③ 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故②正确， ∴，， ∵， ∴，故③正确， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵，故④错误； 综上分析可知：①②③正确； 故答案为：①②③． 5.如图，在四边形中，，交于点，过四边形的顶点作，且，线段交于点，交于点，若三点共线，则以下说法：四边形为菱形； ； ； ，正确的有      ． 【答案】 【解析】∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故正确； ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； 连接，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴，故错误； ∴正确的有， 故答案为：． 6.如图，AD是∠BAC的平分线，DE平行AB交AC于点E，DF平行AC交AB于点F，延长FE交BC的延长线于点G．    求证：（1）AG＝DG； （2）∠GAC＝∠B． 【答案】证明：（1）∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AEDF是平行四边形，∠DAF＝∠ADE， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAF＝∠DAE， ∴∠DAE＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∴四边形AEDF是菱形， ∴EF是AD的垂直平分线， ∵延长FE交BC的延长线于点G， ∴AG＝DG； （2）∵AG＝DG，AE＝DE， ∴∠GAD＝∠GDA，∠EAD＝∠EDA， ∵∠GAC＝∠GAD﹣∠EAD，∠GDE＝∠GDA﹣∠EDA， ∴∠GAC＝∠GDE， ∵DE∥AB， ∴∠GDE＝∠B， ∴∠GAC＝∠B． 7.如图，在平行四边形中，，E，F是对角线上的点，且，连接，，，．求证：四边形是菱形．    【答案】证明：如图，设交于点O，    ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $$