专题2.2 用配方法求解一元二次方程（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（北师大版 ）

专题2.2 用配方法求解一元二次方程 目录 一.知识梳理与题型精析 1 知识点（一）直接开平方法解一元二次方程 1 【题型1】用直接开平方法解一元二次方程 1 【题型２】用直接开平方法解含参数的一元二次方程 2 知识点（二）用配方法解一元二次方程 2 【题型３】配方法正误辨析 3 【题型４】用配方法解一元二次方程 3 知识点（三）配方法的应用 3 【题型５】配方法的应用——比较大小 3 【题型６】配方法的应用——求字母的值或取值范围 4 【题型７】配方法的应用——求最值 4 【题型８】配方法的应用——配方法证明 5 二．同步练习 5 1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 5 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 7 3. 直通中考（选择题３题，填空题３题，解答题２题） 9 一.知识梳理与题型精析 知识点（一）直接开平方法解一元二次方程 1.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 2.直接开平方法的三种形式： ; ; . 【题型1】用直接开平方法解一元二次方程 【例题1】（2３-2４九年级·江苏·假期作业）解关于的方程： ． 【变式1】（24-25九年级下·全国·假期作业）若方程有解，则的取值范围是 ． 【变式2】（24-25九年级上·吉林·期中）用适当方法解方程： 【变式３】（22-23八年级下·上海宝山·阶段练习）解方程：． 【题型２】用直接开平方法解含参数的一元二次方程 【例题２】（24-25八年级下·上海·期中）解关于x的方程：． 【变式1】（22-23八年级下·上海青浦·期中）解关于的方程：． 【变式2】（23-24八年级下·上海青浦·期末）解关于的方程：． 知识点（二）用配方法解一元二次方程 （1）配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 解一元二次方程： 解：方程的两边同除以，得． 　　移项，得． 　　方程的两边同加上，得， 　　即． 　　若， 　　可得，或 　　∴，或． 我们也可以简单地表示为． （2）用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　　①把原方程化为的形式； 　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 【题型３】配方法正误辨析 【例题３】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）用配方法解方程时，则下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）用配方法解方程，应在方程两边同时加上（    ） A．9 B．6 C．36 D．3 【变式2】（23-24九年级上·河北邯郸·期末）若关于 的一元二次方程 配方后得到方程 ，则 的值为 ． 【题型４】用配方法解一元二次方程 【例题４】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）解方程： （1）（用配方法） （2）（用配方法） 【变式1】（22-23九年级上·河南信阳·期中）方程的根是 ． 【变式2】（24-25九年级下·全国·假期作业）解方程：． 知识点（三）配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 【题型５】配方法的应用——比较大小 【例题５】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知． （1）若，请求出x的值； （2）请比较A与B的大小，并说明理由． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）已知，（x为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若m为实数，，，则比较P，Q的大小可得： ． 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 【题型６】配方法的应用——求字母的值或取值范围 【例题６】已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围． 【变式1】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）对于取任意实数，多项式的值是一个正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22九年级·江苏·假期作业）已知多项式A＝x2﹣x+（3），若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是 ． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 【题型７】配方法的应用——求最值 【例题７】（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是4． （1）求代数式的最小值； （2）求代数式的最大值； 【变式1】（2023·河北石家庄·一模）已知，，下列结论正确的是（ ） A．的最大值是0 B．的最小值是 C．当时，为正数 D．当时，为负数 【变式2】（23-24八年级上·四川眉山·期中）运用配方法求：（二次三项式的最值）． 对于多项式，当＝ 时，它的最小值为 ． 对于多项式，当＝ 时，它的最大值为 ． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 【题型８】配方法的应用——配方法证明 【例题８】（24-25九年级上·全国·阶段练习）用配方法证明： （1）对于任意的实数，都有：． （2）不论取任意实数，多项式的值总大于的值． 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）用配方法证明：不论为何值，代数式的值恒大于零． 【变式2】（23-24九年级上·四川宜宾·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： ； ∵无论取何实数，都有，∴，即的最小值为2． 请利用上述知识解决以下问题： （1）求代数式的最小值． （2）证明：无论取何实数，二次根式 都有意义． 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D．或 2．（23-24九年级上·广东河源·期中）用配方法解一元二次方程时，应当在方程的两边同时加上（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）已知方程可以配方成，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）把整式表示成的形式，则的最小值为（    ） A．5 B．2.5 C．7 D．3.5 6．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）关于x的一元二次方程的解是 ． 8．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）若关于x的一元二次方程的常数项等于0，则a的值为 ． 9．（24-25八年级下·安徽亳州·阶段练习）用配方法解方程时，若将方程化为的形式，则 ． 10．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）把一元二次方程化为（，为常数）后，则 ． 11．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）多项式的最大值是 ，此时 ． 12．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）多项式加上一个单项式以后可以配方成为（其中p为常数），那么所加的单项式是 ． 三、解答题 13．（2025九年级上·全国·专题练习）已知一元二次方程，请你选取一个适当的的值，使方程能用直接开平方法求解，并解出这个方程． 14．（2025九年级上·全国·专题练习）用配方法解方程： （1）． （2）； 15．（2025·河北唐山·二模）课堂上老师设计了一种运算：．例如，． （1）已知x为非零实数，计算：； （2）将任意x的值代入进行运算，发现运算结果总是不超过12，请验证这个结论． 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）对于方程，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（   ） A．l B．3 C． D．2.5 3．（24-25九年级上·全国·期中）如果将方程配方成的形式，则的值为（   ） A． B．10 C．5 D．9 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若关于x的一元二次方程有一根为2025，则关于x的一元二次方程的其中一个根必为（    ） A．2022 B．2024 C．2025 D．2028 5．（24-25八年级下·江苏南通·期末）平面直角坐标系中，P点坐标为，且实数，满足则点到原点的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．（24-25九年级上·全国·课后作业）若与互为相反数，则x的值为 ． 8．（24-25八年级上·上海闵行·期中）多项式的最小值为 ． 9．（22-23八年级下·辽宁本溪·开学考试）平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，点C在x轴上，且，则点C坐标为 10．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）若实数a、b满足，则的值为 ． 11．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数a，b满足，则的最小值 ． 12．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知直角三角形的两条直角边的长是一元二次方程的两根，则该直角三角形的斜边的长等于 ． 三、解答题 13．（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）解方程： （1） （2） 14．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有一个根为0，求实数a的值； （2）当时，等腰的底边长和腰长分别是该一元二次方程的两个根．请用配方法解此方程，并求出的周长． 15．（24-25九年级上·广西河池·期中）用配方法完成下列推理过程． 解： ； ；   ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 16．（24-25八年级下·广西崇左·期末）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 3. 直通中考（选择题３题，填空题３题，解答题２题） 一、单选题 1．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 3．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 二、填空题 4．（2025·贵州·中考真题）一元二次方程 的根是 ． 5．（2023·江苏连云港·中考真题）若（为实数），则的最小值为 ． 6．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 三、解答题 7．（2024·四川攀枝花·中考真题）解方程：． 8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 用配方法求解一元二次方程 目录 一.知识梳理与题型精析 1 知识点（一）直接开平方法解一元二次方程 1 【题型1】用直接开平方法解一元二次方程 1 【题型２】用直接开平方法解含参数的一元二次方程 3 知识点（二）用配方法解一元二次方程 4 【题型３】配方法正误辨析 5 【题型４】用配方法解一元二次方程 6 知识点（三）配方法的应用 8 【题型５】配方法的应用——比较大小 8 【题型６】配方法的应用——求字母的值或取值范围 10 【题型７】配方法的应用——求最值 11 【题型８】配方法的应用——配方法证明 14 二．同步练习 15 1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 15 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 23 3. 直通中考（选择题３题，填空题３题，解答题２题） 33 一.知识梳理与题型精析 知识点（一）直接开平方法解一元二次方程 1.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 2.直接开平方法的三种形式： ; ; . 【题型1】用直接开平方法解一元二次方程 【例题1】（2３-2４九年级·江苏·假期作业）解关于的方程： ． 【答案】， 【分析】变形后利用直接开方法解方程即可． 解：整理得：， ∴， ∴或， ∴，． 【点拨】本题考查了直接开方法解一元二次方程，解题关键是熟记直接开平方法的解方程的步骤，准确进行计算即可． 【变式1】（24-25九年级下·全国·假期作业）若方程有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据完全平方数是非负数得到关于的不等式，解不等式即可求解，掌握完全平方数是非负数是解题的关键． 解：∵方程有解， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·吉林·期中）用适当方法解方程： 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可． 解： ， ， ∴． 【变式３】（22-23八年级下·上海宝山·阶段练习）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了高次方程的解法，运用直接开配方法进行解答即可，掌握直接开配方法是解题的关键． 解： 或 ∴，． 【题型２】用直接开平方法解含参数的一元二次方程 【例题２】（24-25八年级下·上海·期中）解关于x的方程：． 【答案】当时，，当时，方程无实数根 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 先变形，再利用直接开平方法求解可得． 解：， 整理得：，即， 当时，， 当时，方程无实数根． 【变式1】（22-23八年级下·上海青浦·期中）解关于的方程：． 【答案】 【分析】此题考查解一元二次方程，先将方程化为一般形式，再利用直接开平方法求出方程的根． 解：移项整理得：， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴原方程的解是：． 【变式2】（23-24八年级下·上海青浦·期末）解关于的方程：． 【答案】当时，原方程无解，当时，或 【分析】本题考查了解一元二次方程，由题意得出，再分情况：当时，当时，分别求解即可得出答案． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，原方程无解， 当时，或． 知识点（二）用配方法解一元二次方程 （1）配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 解一元二次方程： 解：方程的两边同除以，得． 　　移项，得． 　　方程的两边同加上，得， 　　即． 　　若， 　　可得，或 　　∴，或． 我们也可以简单地表示为． （2）用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　　①把原方程化为的形式； 　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 【题型３】配方法正误辨析 【例题３】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）用配方法解方程时，则下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．本题中先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以，接着把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 解： 移项得：， 方程两边同时除以得：， 两边同时加上可得：， 用完全平方公式分解因式得： 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）用配方法解方程，应在方程两边同时加上（    ） A．9 B．6 C．36 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握完全平方式． 要使方程左边配成一个完全平方式，在二次项系数为1的情况下，左右两边应该加上一次项系数一半的平方． 解：用配方法解方程， 两边都加上9， 得， 得． 故选：A． 【变式2】（23-24九年级上·河北邯郸·期末）若关于 的一元二次方程 配方后得到方程 ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法，代数式求值，先对方程配方得，再跟方程对照得到，，得到，，代入算式计算即可求解，掌握配方法是解题的关键． 解：方程移项得，， 配方得，， 即， ∵一元二次方程 配方后得到方程 ， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型４】用配方法解一元二次方程 【例题４】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）解方程： （1）（用配方法） （2）（用配方法） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）先化系数为，再根据配方法解方程即可． 解：（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴ ∴， ∴， 解得． 【变式1】（22-23九年级上·河南信阳·期中）方程的根是 ． 【答案】当时，，；当时，；当时，无解 【分析】根据配方法求方程的根即可得到答案． 解：， 移项得， 二次项系数化为1得， 配方得， 因式分解得， 根据二次根式被开方式要非负，分三类讨论求解： ①当时， 直接开平方得， 此时方程的根是，； ②当时，， 此时方程的根是； ③当时，被开方式为负， 此时方程无解； 故答案为：当时，，；当时，；当时，无解． 【点拨】本题考查配方法解一元二次方程，由于题中并未明确判别式的符号，根据判别式的符号分类讨论求解是解决问题的关键． 【变式2】（24-25九年级下·全国·假期作业）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，先去括号得到，再在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方即可求解． 解：， ， ， ， ， 解得：，． 知识点（三）配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 【题型５】配方法的应用——比较大小 【例题５】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知． （1）若，请求出x的值； （2）请比较A与B的大小，并说明理由． 【答案】（1）x的值为；（2），理由见分析． 【分析】本题考查了直接开平方法和配方法的应用． （1）根据列方程求解即可； （2）求出，然后利用配方法即可求解． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：x的值为； （2）解：，理由如下：∵ ， 又对于任意的x部有， ∴． ∴． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）已知，（x为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将变形为，再结合非负性判断即可． 解：， ， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若m为实数，，，则比较P，Q的大小可得： ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减、完全平方公式，利用作差法和配方法求解即可． 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 【题型６】配方法的应用——求字母的值或取值范围 【例题６】已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围． 【答案】5<c <9 【分析】由a2+b2=10a+8b-41，得a，b的值，然后利用三角形的三边关系求得c的取值范围即可． 解：∵满足a2+b2=10a+8b-41， ∴a2-10a+25+b2-8b+16=0， ∴（a-5）2+（b-4）2=0， ∵（a-5）2≥0，（b-4）2≥0， ∴a-5=0，b-4=0， ∴a=5，b=4； ∴5-4＜c＜5+4， ∵c是最长边， ∴5＜c＜9． 【点拨】考查了配方法的应用、非负数的性质及三角形的三边关系，解题的关键是对方程的左边进行配方，难度不大． 【变式1】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）对于取任意实数，多项式的值是一个正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，将式子变形为，再由并结合题意可得，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：， ∵对于取任意实数，多项式的值是一个正数，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（21-22九年级·江苏·假期作业）已知多项式A＝x2﹣x+（3），若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据配方法可进行求解． 解：∵A＝x2﹣x+（3）＝x2﹣x+（3）＝（x）2（3）， 若x取任何实数，A的值都不是负数， ∴（3）≥0， 解得：； 故答案为：． 【点拨】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 【题型７】配方法的应用——求最值 【例题７】（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是4． （1）求代数式的最小值； （2）求代数式的最大值； 【答案】（1）；（2）5 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值，把式子变成完全平方与一个常数的和的形式． （1）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答； （2）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答． 解：（1）解：， ， ， 的最小值为． （2）解：， ， ， 的最大值为5． 【变式1】（2023·河北石家庄·一模）已知，，下列结论正确的是（ ） A．的最大值是0 B．的最小值是 C．当时，为正数 D．当时，为负数 【答案】B 解：本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键利用配方法表示出，以及时，用含的式子表示出，确定的符号，进行判断即可． 【分析】解：∵，， ∴ ； ∴当时，有最小值； 当时，即：， ∴， ∴， ∴，即是非正数； 故选项错误，不符合题意，选项正确，符合题意； 故选B． 【变式2】（23-24八年级上·四川眉山·期中）运用配方法求：（二次三项式的最值）． 对于多项式，当＝ 时，它的最小值为 ． 对于多项式，当＝ 时，它的最大值为 ． 【答案】 1 1 7 【分析】本题考查配方法，根据配方法即可求出答案． 解： 当时，多项式有最小值，最小值是1． ， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值是7． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 【题型８】配方法的应用——配方法证明 【例题８】（24-25九年级上·全国·阶段练习）用配方法证明： （1）对于任意的实数，都有：． （2）不论取任意实数，多项式的值总大于的值． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了配方法的应用，掌握并灵活运用配方法成为解题的关键． （1）对不等式的左边进行配方即可证明结论； （2）先根据题意列出不等式，然后通过移向让不等式的右边为零，然后对不等式的左边配方即可证明结论． 解：（1）证明：∵，， ∴， ∴对于任意的实数，都有：． （2）证明：由题意可得：，即， ∵，， ∴，即不论取任意实数，不等式恒成立， ∴不论取任意实数，多项式的值总大于的值． 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）用配方法证明：不论为何值，代数式的值恒大于零． 【答案】见分析 【分析】把含的项提取2后，配方，整理为与原来的代数式相等的形式即可． 解：， ， ， 为非负数， 为正数， 的值恒大于零． 【点拨】本题考查配方法的应用；若证明一个代数式的值为非负数，需把这个代数式整理为一个完全平方式与一个正数的和的形式． 【变式2】（23-24九年级上·四川宜宾·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： ； ∵无论取何实数，都有，∴，即的最小值为2． 请利用上述知识解决以下问题： （1）求代数式的最小值． （2）证明：无论取何实数，二次根式 都有意义． 【答案】（1）代数式的最小值为8；（2）见分析 【分析】（1）先把配方得到，再结合偶次方的非负性可得代数式的最小值； （2）先把被开方数通过配方化为，再结合偶次方的非负性与二次根式有意义的条件可得结论． 解：（1）解：== ∵无论取何实数，都有，∴， ∴代数式的最小值为8． （2）证明：= ∵无论取何实数，都有，∴ ∴无论取何实数，二次根式 都有意义． 【点拨】本题考查的是配方法的应用，代数式的最值，偶次方的非负性的应用，二次根式有意义的条件，掌握以上基础知识是解本题的关键． 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由关于的一元二次方程的一个根是，得，然后求出的值即可． 解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴， 解得：， 故选：． 2．（23-24九年级上·广东河源·期中）用配方法解一元二次方程时，应当在方程的两边同时加上（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．此题可根据配方法，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行求解即可． 解：由题意得：方程两边同时加上4． 故选：C． 3．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程——配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤，并能灵活运用是解决此题的关键．将方程通过配方法转化为完全平方形式，需移项后加上一次项系数一半的平方． 解：， 移项：将常数项移到方程右边，得到， 配方：方程两边加上一次项系数一半的平方，即加1：， 化简：左边写成完全平方形式，右边计算得：， 因此，配方后的方程为选项B． 故选：B． 4．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）已知方程可以配方成，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤．利用配方法判断出可得结论． 解：， ， ， 又可以配方成， ， ． 故选：B． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）把整式表示成的形式，则的最小值为（    ） A．5 B．2.5 C．7 D．3.5 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算，先利用整式的混合运算法则，结合完全平方公式将化简，因为把整式表示成的形式，得出，故，即可作答． 解：∵ ， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 当时，则有最小值，且为． 故选：A． 6．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解． 解：∵，且无论x取任何实数，代数式都有意义， ∴， ∴． 故选：A 二、填空题 7．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）关于x的一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是掌握直接开平方法．移项可得，再用直接开平方法求解． 解：， ∴， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 8．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）若关于x的一元二次方程的常数项等于0，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义可得，再根据题意得到，即可求出的值． 解：关于x的一元二次方程的常数项等于0， 且， 且， ． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·安徽亳州·阶段练习）用配方法解方程时，若将方程化为的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以2，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得m、n的值，进而可得答案． 解： ， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）把一元二次方程化为（，为常数）后，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，将配方得出，从而可得，，代入代数式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵， ∴， ∴，即， ∵把一元二次方程化为， ∴，， ∴， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）多项式的最大值是 ，此时 ． 【答案】 2 【分析】本题考查的是利用配方法求解代数式的最值，把原代数式化为，从而可得答案. 解： ； ∴当时，多项式的最大值是． 故答案为：，2 12．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）多项式加上一个单项式以后可以配方成为（其中p为常数），那么所加的单项式是 ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可． 解：∵多项式加上一个单项式可以配方为（其中p为常数）， ∴所加的单项式是， 故答案为：． 【点拨】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 三、解答题 13．（2025九年级上·全国·专题练习）已知一元二次方程，请你选取一个适当的的值，使方程能用直接开平方法求解，并解出这个方程． 【答案】取时， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键掌握开平方法解方程，先选择的值，再利用直接开平方法解方程即可． 解：根据一元二次方程可知，当时可用直接开平方法， ∴， 则，即， ， 解得：． 14．（2025九年级上·全国·专题练习）用配方法解方程： （1）． （2）； 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据配方法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可． （2）利用配方法解一元二次方程即可． 解：（1）解： 或 ∴，． （2）解：， ， 配方得， ∴ ∴ ∴， ∴，． 15．（2025·河北唐山·二模）课堂上老师设计了一种运算：．例如，． （1）已知x为非零实数，计算：； （2）将任意x的值代入进行运算，发现运算结果总是不超过12，请验证这个结论． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，同底数幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，合并同类项，以及配方法的应用． （1）根据新定义运算代入计算即可． （2）根据新定义运算可得，再进一步结合配方法证明即可 解：（1）解：； （2）证明： ， ∵， ∴， ∴， 即无论x为何值，运算结果都不超过12． 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． 分别计算各选项中的方程的解，然后判断作答即可． 解：由题意知，A中方程无实数根，故不符合要求； B中方程有两个相等的实数根，故符合要求； C中方程无实数根，故不符合要求； D中方程有两个不相等的实数根，，故不符合要求； 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）对于方程，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（   ） A．l B．3 C． D．2.5 【答案】B 【分析】本题考查的是配方法解一元二次方程，先利用配方法解方程，再根据方程有三个实数根判断出方程根的情况，进而可得出结论． 解：原方程可化为， 整理得为， 解得， 若，则方程有四个实数根， 方程必有一个根等于0， ， ， 解得． 故选：B． 3．（24-25九年级上·全国·期中）如果将方程配方成的形式，则的值为（   ） A． B．10 C．5 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，先移项，再添项配方得到，求出，，再代入求出答案即可． 解：， 移项，得， 配方，得， ， 所以，， ∴． 故选：A． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若关于x的一元二次方程有一根为2025，则关于x的一元二次方程的其中一个根必为（    ） A．2022 B．2024 C．2025 D．2028 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根、解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．代入到方程，整理得到，再利用配方法解方程即可得出答案． 解：由题意得，， 代入到方程，得， 整理得：， ， ， ， ， 解得：，， 关于x的一元二次方程的其中一个根必为2022． 故选：A． 5．（24-25八年级下·江苏南通·期末）平面直角坐标系中，P点坐标为，且实数，满足则点到原点的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标，勾股定理，配方法，算术平方根，熟练掌握配方法是解题的关键．由点到原点的距离为：，结合逐步整理，最后将被开方数配方进行求解即可． 解：∵P点坐标为， ∴点到原点的距离为：， ∵， ∴ ， 故选：B． 6．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，理解取整的定义是解题的关键． 解： ， ， 时, 解得 ； 时，解得 或 （舍）； 时， 解得 或（舍）； 时，方程无解； 综上所述：方程的解为：或 或 故选C． 二、填空题 7．（24-25九年级上·全国·课后作业）若与互为相反数，则x的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意，得，然后利用配方法解方程即可． 本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 解：根据题意，得， 即， 配方，得， 两边同时开平方，得， 解得，． 8．（24-25八年级上·上海闵行·期中）多项式的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程配方法的应用，运用配方法进行配方是解题的关键．根据配方法进行求解即可． 解：， ， ， ， 当时，多项式的最小值为． 故答案为：． 9．（22-23八年级下·辽宁本溪·开学考试）平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，点C在x轴上，且，则点C坐标为 【答案】或 【分析】此题考查了勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是正确列出方程． 设，根据得到，然后代入得到，解方程求出，，进而求解即可． 解：∵点C在x轴上， ∴设 ∵ ∴ ∴ ∴， ∴点C坐标为或． 故答案为：或． 10．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）若实数a、b满足，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查配方法的应用，非负数的性质，通过配方得到，根据非负数的性质得到，，求得的值即可得出结论． 解：∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：1. 11．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数a，b满足，则的最小值 ． 【答案】1 【分析】由已知等式变形表示出，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出最小值即可． 解：， ， ，即， ， ， 当，即时，的最小值为 故答案为： 【点拨】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 12．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知直角三角形的两条直角边的长是一元二次方程的两根，则该直角三角形的斜边的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理及二次根式的应用，求得方程的两个根是关键．解一元二次方程，求得方程的两根，由勾股定理求得斜边的长． 解：解方程， 得：，， 即：直角三角形的两直角边分别和， 由勾股定理得斜边长为：． 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）解方程： （1） （2） 【答案】（1）无解；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）先去分母，化为整式方程，再求解，注意检验； （2）利用配方法求解． 解：（1）解：， ， 解得：， 经检验：是增根，舍去， ∴该分式方程无解； （2）解： 或， 解得：． 14．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有一个根为0，求实数a的值； （2）当时，等腰的底边长和腰长分别是该一元二次方程的两个根．请用配方法解此方程，并求出的周长． 【答案】（1）或；（2），，周长为10 【分析】本题主要考查了方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的定义以及三角形三边关系等知识点，分类讨论是解答（2）的关键． （1）将代入原方程可得出关于a的一元二次方程，解方程求出a的值； （2）先求解方程的解，再结合等腰三角形的定义和三角形的三边关系求解即可． 解：（1）解：该一元二次方程有一个根为0， 把代入方程得， 或． （2）解：当时，方程为， 整理得， 配方得，解得，， 若底边长为4，腰长为2，因为，不能构成三角形； 若底边长为2，腰长为4，因为，能构成三角形， 此时周长为； 所以的周长为10． 15．（24-25九年级上·广西河池·期中）用配方法完成下列推理过程． 解： ； ；   ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 【答案】；；； ；（1）；；（2） ；；（3）此方程无实数根 【分析】利用配方法得，然后分三种情况讨论：（1）当时，（2）当时，（3）当时，分别求解即可． 本题主要考查利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的过程，并进行分类讨论是解题的关键． 解： ， ， ， ， （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ，； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为：，； （3）当时，此方程无实数根． 故答案为：；；； ；（1）；；（2） ；． 16．（24-25八年级下·广西崇左·期末）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 【答案】（1）A；（2）；（3）4． 【分析】本题主要考查利用完全平方公式、运用配方法解一元二次方程、运用配方法求最值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． （1）根据运算过程即可解答； （2）结合配方法将原式变形为，再利用直接开平方法计算即可； （3）利用配方法将原式化简为，结合，即有，则当时，代数式的最小值是4． 解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A． （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以； （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4． 3. 直通中考（选择题３题，填空题３题，解答题２题） 一、单选题 1．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 根据利用完全平方公式的特征求解即可； 解： 故选B． 2．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 3．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 二、填空题 4．（2025·贵州·中考真题）一元二次方程 的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； 根据题意，先移项，然后利用直接开平方法即可求解． 解： ，， 故答案为：，． 5．（2023·江苏连云港·中考真题）若（为实数），则的最小值为 ． 【答案】 【分析】运用配方法将变形为，然后根据非负数的性质求出的最小值即可． 解： = = = ∵为实数， ∴ ∴的最小值为, 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程 中不要改变式子的值． 6．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 三、解答题 7．（2024·四川攀枝花·中考真题）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 先移项，再用直接开平方法求解即可． 解：， ， 或， 解得：或， ∴原方程的根为：，． 8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 【答案】， 【分析】直接开方可得或，然后计算求解即可． 解：∵ ∴或 解得，． 【点拨】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$