专题2.1 认识一元二次方程（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（北师大版 ）

专题2.1 认识一元二次方程 目录 一.知识梳理与题型精析 1 知识点（一）一元二次方程的定义 1 【题型1】一元二次方程的判断 1 【题型2】由一元二次方程的定义求参数 3 知识点（二）一元二次方程的一般形式 3 【题型3】化为一元二次方程的一般式 4 知识点（三）一元二次方程的解（根） 5 【题型4】判断是否为一元二次方程的解 5 【题型5】由一元二次方程的解求参数 6 【题型6】一元二次方程解的估算 7 二．同步练习 10 1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 10 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 16 一.知识梳理与题型精析 知识点（一）一元二次方程的定义 1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数次数的最高次数是2次的整式方程，叫做一元二次方程. 2.构成一元二次方程必须同时满足三个条件：①原方程是整式方程；②整理后的方程只含有一个未知数；③整理后的方程含未知数的最高次数是2. 【题型1】一元二次方程的判断 【例题1】（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程，其中满足，求这个一元二次方程． 【答案】或 【分析】本题考查了一次二次方程的定义和非负数的性质，几个非负数的和为0时，那么这几个非负数分别等于0．根据非负数的性质列式求出a，b，c的值，然后代入方程即可． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这个一元二次方程为或。 【变式1】（24-25八年级上·广西百色·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程，解题关键是掌握只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 解：A． 方程中含分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B． 方程仅含未知数，且最高次数为2，是整式方程，符合定义，是一元二次方程，故此选项符合题意； C． 方程含两个未知数和，不是一元方程，故此选项不符合题意； D． 方程未明确，当时不是二次方程，因此不满足条件，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．熟记相关定义即可． 解：由题意得：， ∴， 故答案为：． 【题型2】由一元二次方程的定义求参数 【变式1】（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】若是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一般地，形如（a、b、c是常数，且）的方程叫做一元二次方程．由此可解． 解：由题意知， 解得， ， 故答案为：1． 知识点（二）一元二次方程的一般形式 一般形式 项及项的系数 二次项为 二次项系数为 一次项为一次项系数为 常数项为 特点 方程左边是关于未知数的二次整式，一般按未知数幂降幂排列，方程右边为0. 【题型3】化为一元二次方程的一般式 【例题3】（24-25八年级下·江西宜春·期中）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： ，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中、、分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式，找出，，的值即可． 解：方程整理得：， 则，，的值分别是，，． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程整理成一元二次方程的一般形式，即可确定、、的值，即可求解． 解：， ∴， ∴，，， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·广东江门·期中）方程化为一般形式后，当二次系数为正数时，一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及有关概念，先移项，得到其一般式，由此得到答案． 解：， 移项，得， 它的一次项系数是， 故答案为：． 知识点（三）一元二次方程的解（根） 概念 使方程左右两边相等的未知数的值叫这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 判断一个数是不是一元二次方程的解（根）的方法（代入检验法） 若一元二次方程有解，则这个解一定有两个 【题型4】判断是否为一元二次方程的解 【例题4】（24-25九年级上·北京丰台·期末）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程即可得到答案． 解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可． 解：∵， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是或， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）请写出一个关于的一元二次方程，使它的一个根为： （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程的解的定义写出一个满足方程的解即可． 解：一元二次方程的一个根为， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型5】由一元二次方程的解求参数 【例题5】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． （1）判断方程是否为美妙方程，并说明理由． （2）已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 【答案】（1）是，理由见分析；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． （1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 解：（1）解：是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2）解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 【变式1】（24-25八年级下·安徽池州·期末）若关于x的一元二次方程的一个解为，则a的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，由题意可得，，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵关于x的一元二次方程的一个解为， ∴，， 解得， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期末）关于x的一元二次方程不含x的一次项，则（　　） A．3 B．1 C．0 D．4 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，理解一元二次方程的基本定义是解题关键．根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数即可． 解：∵一元二次方程，即不含x的一次项， ∴， ∴， 故选A． 【题型6】一元二次方程解的估算 【例题6】 （22-23七年级下·云南昆明·期末）无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： （1）结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； （2）请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 【答案】（1）；（2）求得的整数部分，即可得到． 【分析】（）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可； （）根据材料二即可总结得出； 本题考查了解一元二次方程，无理数的估算，解题的关键是理解题目给出的方法，熟练进行计算． 解：（1）解：（）我们知道面积是的正方形的边长是， ∵， ∴设，可画出如图示意图： 由图中面积计算，， ∵， ∴， ∵是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程， 解得， ∴； （2）解：估算（为开方开不尽的数）的一般方法：求得的整数部分，即可得到． 【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（   ） 20 22.5 25 26.25 27.5 28.78 30 0 31.25 75 101.5625 131.25 164.0625 200 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似根，根据，则，进行作答即可． 解：∵，且， ∴， 即在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是， 故选：C 【变式2】（22-23八年级下·安徽合肥·期中）探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为 ． 【答案】3 【分析】观察图表，确定的值为0时的范围，然后确定对应的的范围，进而可得结果． 解：由图表可知，， ∴对应的的范围为， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解．解题的关键在于理解一元二次方程的解的含义． 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程．对各选项逐一判断即可． 解：选项A：方程中含有两个未知数和，不符合“一元”条件，排除． 选项B：方程可整理为，仅含未知数，且最高次数为2，是整式方程，符合定义． 选项C：方程中含分式，不是整式方程，排除． 选项D：方程为一次方程，最高次数为1，排除． 故选：B． 2．（24-25九年级上·广西钦州·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（   ） A． B． C． D．2，10 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a、b、c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．先移项，再根据一元二次方程的定义作答即可． 解：原方程为， 移项得：，此时二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， 故选：A． 3．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项．根据一元二次方程的一般形式“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项”进行判断即可得． 解：方程是一元二次方程，二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 则说法错误的是C， 故选：C． 4．（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（    ） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程定义，根据一元二次方程的定义，方程的最高次数为2，且二次项系数不为0，列方程求解即可得到答案，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键． 解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得或；且， ， 故选：C． 5．（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 6．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解可以是（   ） 1.9 2 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0 0.44 0.69 0.96 1.25 1.56 1.89 2.24 2.61 A．1.93 B．2 C．2.73 D．2.81 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根据表格，找出使的值最接近的x的值即可． 解：由表可知，当时，，当时，， ∵原方程为， ∴一元二次方程的一个解在范围内， ∴一元二次方程的一个近似解可以是， 故选：C． 二、填空题 7．（24-25九年级上·吉林·期中）一元二次方程的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式求解即可得． 解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·广东江门·期中）把一元二次方程：，化成一般式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般式为：，经过移项、整理后将一元二次方程化成一般式即可． 解：， 移项，得， 整理后，得， 即把一元二次方程化成一般式是：， 故答案为：． 9．（2025·广东珠海·一模）若是方程的一个根，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的意义，求代数式的值，正确理解一元二次方程根的意义是解题的关键．根据一元二次方程根的意义，得到，整理得，然后将变形后即可求得答案． 解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意二次项系数不为零；根据二次项系数不为零即可求解． 解：∵关于的方程（为常数）是一元二次方程， ∴， ∴； 故答案为：． 11．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代入求值是关键．将代入方程求出值即可． 解：关于的一元二次方程的一个根为， ， 解得 故答案为： 12．（2023八年级下·全国·专题练习）根据表格对应值： 0 1 2 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 【答案】 【分析】结合表格可知：当时，；当时，；所以方程的一个解x的范围为：． 解：由表格可知： 当时，； 当时，； ∴方程的一个解x的范围为：． 故答案为：． 【点拨】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当时，；当时，． 三、解答题 13．（24-25九年级下·全国·假期作业）方程． （1）当取何值时是一元二次方程？ （2）当取何值时是一元一次方程？ 【答案】（1）；（2）或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． 解：（1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 14．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 【答案】二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 解：， ， ∴该方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 15．（2025·重庆·模拟预测）先化简，再求值： ．其中m是方程的根． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解． 解：                      ． ∵是方程的根， ∴， ∴原式． 16．（24-25九年级上·江苏无锡·期中） 已知关于x的一元二次方程其中a、b、c分别是的三条边长． 若是方程的根，请判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由见分析 【分析】此题考查了一元二次方程的解，等腰三角形的定义．把代入一元二次方程得到，即可判断三角形的形状． 解：是等腰三角形，理由如下， 依题意，将代入得 ∴即 ∴是等腰三角形 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．由一元二次方程的定义分别判断各选项即可． 解：A. 方程含两个未知数和，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B. 整理为，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； C. 方程右边含，分母含未知数，不是整式方程，故本选项不符合题意； D. 展开后，化简为，是一元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·辽宁·期末）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 解：将化为的形式为， 故，，， 故选：A． 3．（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 4．（24-25八年级上·山东淄博·期中）若实数x满足，则的值为（   ） A． B． C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，等式的性质，由可得，，代入代数式，计算求解即可． 解：∵， ∴， 故选：D． 5．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解． 利用表格中的数据得到时，，时，；于是可判断一元二次方程的一个解在与之间，更接近，故可得解． 解：∵时，，时，； ∴一元二次方程的一个解为，更接近， ∴方程的一个近似解是． 故选：C． 6．（24-25八年级下·广西南宁·期末）在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程（）的图解，若，则的值为（    ） A．10 B．12 C．8 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 设设，则，由勾股定理得，然后根据求出m，根据即可求出a． 解：∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 二、填空题 7．（24-25九年级下·江西吉安·阶段练习）若关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），特别要注意的条件．根据题意列出关于m的等式求解即可． 解：根据题意可知 解得． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于x的方程的根是和3，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键：使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根． 根据一元二次方程的解的定义可得，解方程组即可求出、的值，进而可求出的值． 解：和是关于x的方程的根， ， 解得：， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】此题考查了方程解的定义，把方程变为，进而根据方程解的定义可得或，解之即可求解，理解方程解的定义是解题的关键． 解：方程可变为， ∵方程的解是，， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 10．（23-24九年级下·江苏连云港·自主招生）已知a是一元二次方程的一个解，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程得：，从而求出，的值，再整体代入是代数式进行计算即可． 解：把代入方程得：， ，， ， 故答案为：2． 11．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）x、y为方程的两个实数根．若，，求的值 ． 【答案】18 【分析】本题考查了一元二次方程解（根）的意义，先根据根的意义得，，进而得，，再代入化简得，最后将，整体代入求值即可． 解：∵x、y为方程的两个实数根， ∴，， ∴，， ， ∵，， ∴原式． 故答案为：18． 12．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则c的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解，先解一元一次方程得出，再结合题意得出是一元二次方程的解，代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：解方程可得：， ∵关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”， ∴是一元二次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（2023·广东广州·一模）已知． （1）化简； （2）若为方程的一个解，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据分式的运算法则，对分式进行通分、合并、约分化简即可； （2）依题意将代入方程整理可得即可求解． 解：（1）解： ． （2）是方程的解， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了分式的化简求值；解题的关键是熟练掌握分式的运算法则正确化简． 14．（23-24九年级上·全国·课后作业）解答 （1）填表： （2）观察表格，一元二次方程的根有哪些？ 【答案】（1）见分析；（2）和 【分析】（1）将的值代入求得代数式的值即可； （2）找到的的值即可． 解：（1）解：填表： （2）观察表格，一元二次方程的根有和． 【点拨】考查了代数式求值及一元二次方程的解的知识，解题的关键是代人的值正确的求得的值． 15．（22-23九年级上·河北唐山·期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）请判断方程是不是倍根方程，并说明理由； （2）若是倍根方程，则___________． 【答案】（1）是，理由见分析；（2）4或16 【分析】（1）根据题意和题目中的方程，求得方程的解，据此即可判定； （2）根据题目中的方程和题意，利用分类讨论的方法可以求得n的值． 解：（1）解：方程是倍根方程， 理由如下： 由方程， 解得，， ， 方程是倍根方程； （2）解：由方程， 解得，， 方程是倍根方程， 或， 得或， 故或， 故答案为：4或16． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． 16．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，然后完成相应任务． 方程两边同时除以，得，即． 因为， 所以． 任务： （1）已知方程，则____________． （2）若是方程的根，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得，进而得到，再两边平方求解即可． 解：（1）解：， 两边同时除以x（），得 ， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵m是方程的根， ∴， 两边同时除以（），得 ， ∴， ∴， ∴ ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 认识一元二次方程 目录 一.知识梳理与题型精析 1 知识点（一）一元二次方程的定义 1 【题型1】一元二次方程的判断 1 【题型2】由一元二次方程的定义求参数 2 知识点（二）一元二次方程的一般形式 2 【题型3】化为一元二次方程的一般式 2 知识点（三）一元二次方程的解（根） 2 【题型4】判断是否为一元二次方程的解 3 【题型5】由一元二次方程的解求参数 3 【题型6】一元二次方程解的估算 3 二．同步练习 5 1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 5 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 6 一.知识梳理与题型精析 知识点（一）一元二次方程的定义 1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数次数的最高次数是2次的整式方程，叫做一元二次方程. 2.构成一元二次方程必须同时满足三个条件：①原方程是整式方程；②整理后的方程只含有一个未知数；③整理后的方程含未知数的最高次数是2. 【题型1】一元二次方程的判断 【例题1】（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程，其中满足，求这个一元二次方程． 【变式1】（24-25八年级上·广西百色·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【题型2】由一元二次方程的定义求参数 【变式1】（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若是关于的一元二次方程，则 ． 知识点（二）一元二次方程的一般形式 一般形式 项及项的系数 二次项为 二次项系数为 一次项为一次项系数为 常数项为 特点 方程左边是关于未知数的二次整式，一般按未知数幂降幂排列，方程右边为0. 【题型3】化为一元二次方程的一般式 【例题3】（24-25八年级下·江西宜春·期中）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（24-25九年级上·广东江门·期中）方程化为一般形式后，当二次系数为正数时，一次项系数是 ． 知识点（三）一元二次方程的解（根） 概念 使方程左右两边相等的未知数的值叫这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 判断一个数是不是一元二次方程的解（根）的方法（代入检验法） 若一元二次方程有解，则这个解一定有两个 【题型4】判断是否为一元二次方程的解 【例题4】（24-25九年级上·北京丰台·期末）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【变式1】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 【变式2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）请写出一个关于的一元二次方程，使它的一个根为： （写出一个即可） 【题型5】由一元二次方程的解求参数 【例题5】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． （1）判断方程是否为美妙方程，并说明理由． （2）已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 【变式1】（24-25八年级下·安徽池州·期末）若关于x的一元二次方程的一个解为，则a的值是 ． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期末）关于x的一元二次方程不含x的一次项，则（　　） A．3 B．1 C．0 D．4 【题型6】一元二次方程解的估算 【例题6】 （22-23七年级下·云南昆明·期末）无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： （1）结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； （2）请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（   ） 20 22.5 25 26.25 27.5 28.78 30 0 31.25 75 101.5625 131.25 164.0625 200 A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级下·安徽合肥·期中）探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为 ． 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西钦州·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（   ） A． B． C． D．2，10 3．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 4．（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（    ） A． B． C．2 D．不能确定 5．（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 6．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解可以是（   ） 1.9 2 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0 0.44 0.69 0.96 1.25 1.56 1.89 2.24 2.61 A．1.93 B．2 C．2.73 D．2.81 二、填空题 7．（24-25九年级上·吉林·期中）一元二次方程的一次项系数是 ． 8．（24-25九年级上·广东江门·期中）把一元二次方程：，化成一般式是 ． 9．（2025·广东珠海·一模）若是方程的一个根，则的值为 10．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ． 11．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 12．（2023八年级下·全国·专题练习）根据表格对应值： 0 1 2 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 三、解答题 13．（24-25九年级下·全国·假期作业）方程． （1）当取何值时是一元二次方程？ （2）当取何值时是一元一次方程？ 14．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 15．（2025·重庆·模拟预测）先化简，再求值： ．其中m是方程的根． 16．（24-25九年级上·江苏无锡·期中） 已知关于x的一元二次方程其中a、b、c分别是的三条边长． 若是方程的根，请判断的形状，并说明理由． 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁·期末）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 4．（24-25八年级上·山东淄博·期中）若实数x满足，则的值为（   ） A． B． C．2024 D．2025 5．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·广西南宁·期末）在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程（）的图解，若，则的值为（    ） A．10 B．12 C．8 D．14 二、填空题 7．（24-25九年级下·江西吉安·阶段练习）若关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 8．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于x的方程的根是和3，则 ． 9．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 10．（23-24九年级下·江苏连云港·自主招生）已知a是一元二次方程的一个解，则代数式的值是 ． 11．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）x、y为方程的两个实数根．若，，求的值 ． 12．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则c的值为 ． 三、解答题 13．（2023·广东广州·一模）已知． （1）化简； （2）若为方程的一个解，求的值． 14．（23-24九年级上·全国·课后作业）解答 （1）填表： （2）观察表格，一元二次方程的根有哪些？ 15．（22-23九年级上·河北唐山·期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）请判断方程是不是倍根方程，并说明理由； （2）若是倍根方程，则___________． 16．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，然后完成相应任务． 方程两边同时除以，得，即． 因为， 所以． 任务： （1）已知方程，则____________． （2）若是方程的根，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$