4.3.1 第1课时 相关关系与回归直线方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础过关] 1．有四组变量：①汽车的质量和百公里耗油量；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况；④正方形的边长和面积．其中两个变量为正相关的是(　　) A．②③　　　　　 B．②④ C．①② D．①④ 解析：C　[①汽车的质量和百公里耗油量具有相关关系，一般地，质量越大，耗油量越大，故为正相关；②平均日学习时间和平均学习成绩具有相关关系，一般地，学习时间越多，成绩越好，故为正相关；③某人每日吸烟量和其身体健康情况具有相关关系，且为负相关；④正方形的边长和面积具有函数关系．] 2．(多选题)下列各图中所示的两个变量具有相关关系的是(　　) 解析：BC　[A为函数关系；B，C为相关关系(B为线性相关关系，C为非线性相关关系)；D中，因为点的分布比较分散，没有规律，所以两变量之间无相关关系．] 3．两个变量负相关时，散点图的特征是(　　) A．点散布在从左下角到右上角的区域内 B．点散布在某带形区域内 C．点散布在某圆形区域内 D．点散布在从左上角到右下角的区域内 解析：D　[有负相关关系的各点整体呈递减趋势，因此点应该散布在从左上角到右下角的区域内．] 4．已知x与y之间的一组数据 x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 若y与x线性相关，则y与x的回归直线＝x＋必过点(　　) A．(2,2)　　　　　 B．(1.5,0) C．(1,2) D．(1.5,4) 解析：D　[∵＝＝1.5， ＝＝4， ∴回归直线必过点(1.5,4)．故选D.] 5．已知线性回归方程为＝x＋，其中＝3且样本点的中心为(1,2)，则线性回归方程为(　　) A.＝x＋3 B.＝－2x＋3 C.＝－x＋3 D.＝x－3 解析：C　[回归直线一定过样本点的中心．] 6．某公司由于改进了经营模式，经济效益与日俱增．统计了2020年10月到2021年4月的纯收益y(单位：万元)的数据，如下表： 月份 10 11 12 1 2 3 4 月份代号t 3 4 5 6 7 8 9 纯收益y 66 69 73 81 89 90 91 已知y关于t的回归方程为＝4.75t＋51.36，请估计该公司2021年6月的纯收益为(　　) A．94.11万元 B．98.86万元 C．103.61万元 D．108.36万元 解析：C　[将2021年6月份代号t＝11代入回归方程，得＝4.75×11＋51.36＝103.61.故选C.] 7．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，且过定点(4,5)，则线性回归方程是________． 解析：回归直线的斜率的估计值为1.23， 即＝1.23，又回归直线过定点(4,5)， ∴＝5－1.23×4＝0.08，∴＝1.23x＋0.08. 答案：＝1.23x＋0.08 8．为了了解家庭收入x(单位：千元)与月储蓄y(单位：千元)的关系，从某居民区随机抽取10个家庭进行统计，根据统计数据的散点图知x与y之间具有线性相关关系，其经验回归方程为＝0.3x－0.4，若该居民区某家庭的月收入为7千元，据此估计该家庭的月储蓄为________千元． 解析：将x＝7代入＝0.3x－0.4，得＝1.7，因此该家庭的月储蓄约为1.7千元． 答案：1.7 9．若根据5名儿童的年龄x(岁)和体重y(kg)的数据用最小二乘法得到体重关于年龄的回归方程是＝2x＋18，已知这5名儿童的年龄分别是3,5,2,6,4，则这5名儿童的平均体重是________kg. 解析：由题意得＝＝4， 由于回归直线过样本点的中心(，)， 所以＝2＋18＝2×4＋18＝26， 故这5名儿童的平均体重是26 kg. 答案：26 10．已知变量x，y有如下对应数据. x 1 2 3 4 y 1 3 4 5 (1)作出散点图； (2)用最小二乘法求关于x，y的回归方程． 解：(1)散点图如图所示． (2)＝＝，＝＝， xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， x＝1＋4＋9＋16＝30， ＝＝， ＝－×＝0， 所以＝x即为所求的回归方程． 11．判断下图中的两个变量，具有相关关系的是(　　) 解析：B　[A，C是函数关系，D中两个变量几乎没有关系．故选B.] [能力提升] 12．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得xi＝80，yi＝20，xiyi＝184，x＝720. (1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程＝x＋； (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关； (3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 解：(1)由题意，n＝10，xi＝80，yi＝20， ∴＝＝8，＝＝2. 又x－102＝720－10×82＝80， xiyi－10＝184－10×8×2＝24， ＝－＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求线性回归方程为＝0.3x－0.4. (2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关． (3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 13．某种产品的广告费用支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应数据： x/百万元 2 4 5 6 8 y/百万元 30 40 60 50 70 (1)画出散点图； (2)求回归方程； (3)试预测广告费用支出为10百万元时，销售额多大？ 解：(1)散点图如图所示： (2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算： i 1 2 3 4 5 合计 xi 2 4 5 6 8 25 yi 30 40 60 50 70 250 xiyi 60 160 300 300 560 1 380 x 4 16 25 36 64 145 所以＝＝5，＝＝50，x＝145，xiyi＝1 380. 于是可得＝＝＝6.5，＝－＝50－6.5×5＝17.5. 所以所求的回归方程为＝6.5x＋17.5. (3)根据上面求得的回归方程，当广告费用支出为10百万元时，＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)， 即广告费用支出为10百万时，销售额大约为82.5百万元． [素养培优] 14．某公司的生产部门调研发现，该公司第二，三季度的月用电量y与月份x线性相关，且数据统计如下： 月份 4 5 6 7 8 9 月用电量(千瓦时) 6 16 27 55 46 56 但核对电费报表时发现一组数据统计有误． (1)请指出哪组数据有误，并说明理由； (2)在排除有误数据后，求月用电量与月份之间的回归方程＝x＋，并预测统计有误那个月份的用电量．(结果精确到0.1) 解：(1)作散点图如图所示．因为用电量与月份之间线性相关，所以散点图的样本点分布在经验回归直线附近比较窄的带状区域内，而点(7,55)离其他点所在区域较远，故(7,55)这组数据有误． (2)排除(7,55)这一组有误数据后，计算得＝6.4，＝30.2. ＝－≈－33.67， 所以回归方程为＝9.98x－33.67， 当x＝7时，≈36.2， 即7月份的用电量大约为36.2千瓦时． 学科网（北京）股份有限公司 $$