4.2.5 正态分布-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础过关] 1．已知随机变量X～N(1，σ2)，若P(0<X<3)＝0.5，P(0<X<1)＝0.2，则P(X<3)＝(　　) A．0.4　　 B．0.6　　　C．0.7　　 D．0.8 解析：D　[由题意可得P(1<X<3)＝0.5－0.2＝0.3. ∵随机变量X～N(1，σ2)，∴P(X<3)＝0.3＋0.5＝0.8.] 2．设随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，若P(X>m)＝0.3，则P(X>8－m)＝(　　) A．0.2　　　　　 B．0.3 C．0.7 D．与σ的值有关 解析：C　[∵随机变量X服从正态分布N(4，σ2)， ∴正态曲线的对称轴是直线x＝4. ∵P(X>m)＝0.3，由正态曲线的对称性得， P(X<8－m)＝P(X>m)＝0.3，故P(X>8－m)＝1－0.3＝0.7.] 3．某工厂生产的零件外直径(单位：cm)服从正态分布N(10,0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75 cm和9.35 cm，则可认为(　　) A．上午生产情况异常，下午生产情况正常 B．上午生产情况正常，下午生产情况异常 C．上午、下午生产情况均正常 D．上午、下午生产情况均异常 解析：B　[∵零件外直径服从正态分布N(10,0.04)，∴根据3σ原则，产品外直径在[10－3×0.2,10＋3×0.2]即[9.4,10.6]之外时为异常． ∵9.4<9.75<10.6,9.35<9.4，∴可认为上午生产情况正常，下午生产情况异常，故选B.] 4．某市高三学生有30 000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ(单位：分)服从正态分布N(100，σ2)，已知P(80≤ξ≤100)＝0.45，若用分层随机抽样的方法取200份试卷对成绩进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取(　　) A．5份　 B．10份　　 C．15份　 D．20份 解析：B　[由题意知P(ξ≥100)＝0.5，P(100≤ξ≤120)＝P(80≤ξ≤100)＝0.45，∴P(ξ>120)＝P(ξ≥100)－P(100≤ξ≤120)＝0.05，故应从120分以上的试卷中抽取的试卷的份数为200×0.05＝10.] 5．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩X(单位：分)服从正态分布，其概率密度函数为f(x)＝，则下列说法正确的是(　　) A．这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．这次考试的数学成绩的标准差为10 解析：ACD　[由函数解析式知这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10，故A，D正确．因为函数图象关于直线x＝80对称，所以分数在120分以上的人数与分数在40分以下的人数相同；分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故B错误，C正确．] 6．(多选)如图是正态分布N(0,1)的正态曲线图，下列选项中表示图中阴影部分面积的为(　　) (注：Φ(a)＝P(X≤a)) A.－Φ(－a)　　　　　 B．Φ(1－a) C．Φ(a)－ D．Φ(0) 解析：AC　[∵Φ(－a)＝P(X≤－a)， ∴图中阴影部分的面积为－P(X≤－a)＝－Φ(－a)，又根据性质Φ(－a)＋Φ(a)＝1，可得－Φ(－a)＝－[1－Φ(a)]＝Φ(a)－.∴A，C正确．] 7．某种零件的尺寸X(单位：cm) 服从正态分布N(3,1)，则不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数的________． 解析：属于区间(μ－2σ，μ＋2σ)，即区间(1,5)的取值概率约为95.4%，故不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数1－95.4%＝4.6%. 答案：4.6% 8．设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，在某项测量中，已知ξ在(－∞，－1.96]内取值的概率为0.025，则P(|ξ|<1.96)＝________. 解析：法一：∵ξ～N(0,1)， ∴P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96) ＝Φ(1.96)－Φ(－1.96)＝1－2Φ(－1.96)＝0.950. 法二：因为曲线的对称轴是直线x＝0， 所以由图知 P(ξ>1.96)＝P(ξ≤－1.96)＝Φ(－1.96)＝0.025， ∴P(|ξ|<1.96)＝1－0.025－0.025＝0.950. 答案：0.95 9．(2020·山西省长治市期末)据调查统计，某校男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(174,9)．若该校有男生3 000人，则估计该校男生身高在[174,180]范围内的人数为________． 解析：因为身高X～N(174,9)，所以μ＝174，σ＝3. 所以μ－2σ＝174－2×3＝168，μ＋2σ＝174＋2×3＝180， 所以身高在[168,180]范围内的概率约为0.954 5. 因为μ＝174，所以身高在[168,174]和[174,180]范围内的概率相等，均约为0.477 25. 故该校男生身高在[174,180]范围内的人数约为3 000×0.477 25≈1 432. 答案：1 432 10．设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)． (1)求c的值： (2)求P(－4<x<8)． 解：(1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)， 又P(X>c＋1)＝P(x<c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，所以c＝2. (2)P(－4<x<8)＝P(2－2×3<x<2＋2×3)≈95.4%. 11．已知某地农村务工人员年平均收入服从μ＝8 000，σ＝500的正态分布． (1)求此地农村务工人员年平均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比； (2)如果要使此地农村务工人员年平均收入在(μ－a，μ＋a)内的概率不少于0.95，则a至少有多大？ 解：设X表示此地农村务工人员年平均收入， 则X～N(8 000,5002)． (1)P(8 000<X<8 500) ＝Φ－Φ ＝Φ(1)－Φ(0)＝0.841 3－0.5＝0.341 3. 即此地农村务工人员年平均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比为34.13%. (2)∵P(μ－a<X<μ＋a) ＝Φ－Φ＝2Φ－1≥0.95， ∴Φ≥0.975，查表得≥1.96. ∴a≥980， 即a的值至少为980. [能力提升] 12．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求： (1)成绩不及格的人数占多少？ (2)成绩在80～90分的学生占多少？ 解：(1)设学生的得分情况为随机变量X， X～N(70,102)，则μ＝70，σ＝10. 分析成绩在60～80的学生的比为 P(70－10<X≤70＋10)＝0.682 6. 所以成绩不及格的学生的比为 (1－0.682 6)＝0.158 7， 即成绩不及格的学生占15.87%. (2)成绩在80～90的学生比为 [P(70－2×10<X≤70＋2×10)－P(70－10<X≤70＋10)] ＝(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 即成绩在80～90的学生占13.59%. 13．某大型电器企业为了解组装车间职工的工作情况，从中随机抽取100名职工进行测试，得到频数分布表如下表所示. 日组装个数 [155,165) [165,175) [175,185) [185,195) [195,205) [205,215] 人数 6 12 34 30 10 8 (1)现从参与测试的日组装个数少于175的职工中任意选取3人，求至少有1人日组装个数少于165的概率． (2)由频数分布表可以认为，此次测试得到的日组装个数Z服从正态分布N(μ，169)，μ近似为这100人日组装个数的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表)． (i)若组装车间有20 000名职工，求日组装个数超过198的职工人数； (ii)为鼓励职工提高技能，企业决定对日组装个数超过185的职工日工资增加50元，若在组装车间所有职工中任意选取3人，求这三人增加的日工资总额的期望． 附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 解：(1)设至少有1人日组装个数少于165为事件A，则P(A)＝1－＝. (2)这100人日组装个数的平均值为(160×6＋170×12＋180×34＋190×30＋200×10＋210×8)＝185，所以μ＝185. 因为σ2＝169，所以σ＝13. (i)易知μ＋σ＝198，所以P(X>198)＝P(X>μ＋σ)＝[1－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈＝0.158 65，所以日组装个数超过198的人数为0.158 65×20 000＝3 173. (ii)因为μ＝185，所以日组装个数在185以上的概率为0.5. 设这3人中日组装个数超过185的人数为ξ，这3人增加的日工资总额为η，则η有50ξ，且ξ～B(3,0.5)，所以E(ξ)＝3×0.5＝1.5，所以E(η)＝50E(ξ)＝75. [素养培优] 14．零部件生产水平是评判一个国家高端装备制造能力的重要标准之一，其中切割加工技术是一项重要技术．某精密仪器制造商研发了一种切割设备，用来生产高精度的机械零件，经过长期生产检验，可以认为该设备生产的零件尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．某机械加工厂购买了该切割设备，在正式投入生产前进行了试生产，从试生产的零件中任意抽取10件作为样本，记样本的尺寸为xi(i＝1,2,3，…，10，单位：mm)，测得的数据如下表： 100.03 100.4 99.92 100.52 99.98 100.35 99.92 100.44 100.66 100.78 用样本的平均数作为μ的估计值，用样本的标准差s作为σ的估计值． (1)按照技术标准的要求，若样本尺寸均在[μ－3σ，μ＋3σ](单位：mm)范围内，则认定该设备质量合格，根据数据判断该切割设备的质量是否合格． (2)该机械加工厂将该切割设备投入生产，对生产的零件制定了如下两种销售方案(假设每种方案对销售量没有影响)． 方案1：每个零件均按70元定价销售． 方案2：若零件的实际尺寸在[99.7,100.3](单位：mm)范围内，则该零件为A级零件，每个零件定价100元，否则为B级零件，每个零件定价60元． 哪种销售方案的利润更大？请根据数据计算说明． 附：x≈100 601.8，样本方差s2＝ (xi－)2＝(x－n 2)． 若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5. 解：(1)根据题意知，样本的平均数＝xi＝×(100.03＋100.4＋99.92＋100.52＋99.98＋100.35＋99.92＋100.44＋100.66＋100.78)＝100.3， 方差s2＝ (xi－)2＝(x－10 2)≈×(100 601.8－10×100.32)＝0.09，所以μ＝100.3，σ＝0.3.因为样本尺寸xi∈[99.4,101.2]，所以该切割设备的质量合格． (2)若采用方案2，则可设生产的零件售价为随机变量ξ，则ξ可以取60,100. 由(1)知，该设备生产的零件尺寸X～N(100.3,0.32)，所以P(ξ＝100)＝P(99.7≤X≤100.3)＝P(μ－2σ≤X≤μ)≈×0.954 5＝0.477 25， P(ξ＝60)＝1－P(ξ＝100)≈1－0.477 25＝0.522 75. 所以随机变量ξ分布列如下. ξ 60 100 P 0.522 75 0.477 25 所以ξ的数学期望为E(ξ)≈60×0.522 75＋100×0.477 25＝79.09. 因为79.09>70，即采用方案2时每个零件的平均售价高于采用方案1时的定价，所以方案2的利润更大． 学科网（北京）股份有限公司 $$