4.2.4 第2课时 离散型随机变量的方差-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础过关] 1．已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 0.5 x y 若E(X)＝，则D(X)等于(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：B　[由分布列的性质得x＋y＝0.5， 又E(X)＝，所以2x＋3y＝，解得x＝，y＝，所以D(X)＝2×＋2×＋2×＝.] 2．如果X是离散型随机变量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)和D(X1)分别是(　　) A．E(X1)＝12，D(X1)＝1 B．E(X1)＝7，D(X1)＝1 C．E(X1)＝12，D(X1)＝2 D．E(X1)＝7，D(X1)＝2 解析：D　[E(X1)＝2E(X)－5＝12－5＝7，D(X1)＝4D(X)＝4×0.5＝2.] 3．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ck·n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(X)＝24，则D(X)的值为(　　) A.　　 B．8　　　C．12　　 D．16 解析：B　[由题意可知X～B， 所以n＝EX＝24，所以n＝36. 所以DX＝n××＝×36＝8.] 4．已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1,2.若0<p1<p2<，则(　　) A．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) B．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2) C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2) 解析：A　[根据已知得ξi(i＝1,2)服从两点分布，由两点分布的均值和方差知E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，因为0<p1<p2<，所以E(ξ1)＝p1<p2＝E(ξ2)，D(ξ1)－D(ξ2)＝p1－p－(p2－p)＝(p1－p2)[1－(p1＋p2)]，已知p1<p2，p1＋p2<1，所以D(ξ1)－D(ξ2)<0，即D(ξ1)<D(ξ2)．] 5．(多选)已知离散型随机变量X的分布列如下表，则(　　) X －1 0 1 P A.P(X＝0)＝　　　　　 B．E(X)＝－ C．D(X)＝ D．D(X2)＝ 解析：ABD　[由X的分布列可知P(X＝0)＝，所以A正确； 根据离散型随机变量分布列的期望与方差的计算公式可得，E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－， 所以D(X)＝2×＋2×＋2×＝，所以B正确，C不正确； 因为P(X2＝0)＝，P(X2＝1)＝， 所以E(X2)＝，所以D(X2)＝2×＋2×＝，所以D正确．故选ABD.] 6．(多选)已知随机变量X的分布列如下表，则下列说法正确的是(　　) X x y P y x A.存在x，y∈(0,1)，E(X)> B．对任意x，y∈(0,1)，E(X)≤ C．对任意x，y∈(0,1)，D(X)≤E(X) D．存在x，y∈(0,1)，D(X)> 解析：BC　[依题意可得x＋y＝1，E(X)＝2xy， 又2xy≤＝，所以E(X)≤， 当且仅当x＝y＝时取等号，∴A错误，B正确； D(X)＝(x－2xy)2y＋(y－2xy)2x＝(1－2y)2x2y＋(1－2x)2y2x＝[(1－2y)2x＋(1－2x)2y]yx＝[(2x－1)2x＋(1－2x)2y]yx＝(1－2x)2(x＋y)yx＝(1－2x)2yx， ∵0<x<1，∴－1<2x－1<1，∴0<(2x－1)2<1， ∴D(X)<yx，即D(X)<E(X)，∴C正确； ∵D(X)＝(1－2x)2yx<xy≤＝， 当且仅当x＝y＝时取等号．∴D错误． 故选BC.] 7．已知随机变量ξ的分布列如下表，则随机变量ξ的方差D(ξ)的最大值为________. ξ 0 1 2 P y 0.4 x 解析：由题意知y＝0.6－x，因为E(ξ)＝0.4＋2x，E(ξ2)＝0.4＋4x，所以D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2＝0.4＋4x－(0.4＋2x)2＝－4x2＋2.4x＋0.24＝－4(x－0.3)2＋0.6，当x＝0.3时，D(ξ)max＝0.6. 答案：0.6 8．已知离散型随机变量X的分布列如下表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________. X －1 0 1 2 P a b c 解析：由题意知解得 答案：　 9．一次测试有25道选择题，每题选对得4分，选错或不选得0分，满分为100分，某考生选对每道题的概率为0.8，则考生在这次考试中成绩的均值为________，标准差为________． 解析：设答对题数为X，成绩为4X，先分析X； ∵X～B(25,0.8)∴E(X)＝25×0.8＝20. ∴E(4X)＝80.∴D(X)＝25×0.8×(1－0.8)＝4， D(4X)＝42D(X)＝64，∴σ(X)＝＝8. 答案：80　8 10．已知η的分布列为 η 0 10 20 50 60 P (1)求η的方差； (2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)． 解：(1)∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16， ∴D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384， (2)∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1 536. 11．已知X的分布列如下. X －1 0 1 P a ①求X2的分布列； ②计算X的方差； ③若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 解：①由分布列的性质，知＋＋a＝1， 故a＝，从而X2的分布列为 X2 0 1 P ②由①知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.故X的方差D(X)＝2×＋2×＋2×＝. ③E(Y)＝4E(X)＋3＝4×＋3＝2， D(Y)＝16D(X)＝11. [能力提升] 12．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令X＝x·y. 求：(1)X所取各值的概率； (2)随机变量X的数学期望与方差． 解：(1)P(X＝0)＝＝； P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝； P(X＝4)＝＝. (2)X的分布列如下： X 0 1 2 4 P 所以E(X)＝1，D(X)＝. 13．为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，某校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求： (1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率； (2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的均值和方差． 解：(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A， 则P(A)＝＝. 所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为. (2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 因此E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. D(X)＝×2＋×2＋×2＋×2＋×2＝. [素养培优] 14．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成，至少正确完成其中2道题便可通过面试．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能正确完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其均值和方差； (2)请分析甲、乙两人谁通过面试的可能性大． 解：(1)设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的所有可能取值为1,2,3， P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝. 所以甲正确完成面试的题数ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P 所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2， D(ξ)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝. 设乙正确完成面试的题数为η，则η的所有可能取值为0,1,2,3， P(η＝0)＝C3＝， P(η＝1)＝C12＝＝， P(η＝2)＝C21＝＝， P(η＝3)＝C3＝. 所以乙正确完成面试的题数η的分布列为 η 0 1 2 3 P 所以E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2， D(η)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝. (2)因为P(ξ≥2)＝＋＝， P(η≥2)＝＋＝， 所以P(ξ≥2)>P(η≥2)． 综上所述，甲通过面试的可能性大． 学科网（北京）股份有限公司 $$