4.2.4 第1课时 离散型随机变量的均值-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

4.2.4　随机变量的数字特征 第1课时　离散型随机变量的均值 课程标准 素养解读 1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值 2．掌握两点分布、二项分布、超几何分布的均值 3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题 1.通过学习离散型随机变量的均值，体会数学抽象的素养 2．借助数学期望公式解决问题，提升数学运算的素养 [情境引入] 某人从家乘汽车到单位，途中有三个交通岗亭，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，且概率都为0.4，你能求出此人上班途中遇红灯次数的期望值吗？ [知识梳理] [知识点一]　均值或数学期望　 1．定义：一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 则称E(X)＝　x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　＝　　为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望)． 2．意义：它刻画了X的　平均取值　. 3．性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝ax＋b(a≠0)， 则E(Y)＝　aE(x)＋b　. 随机变量的均值与样本的平均值有什么区别和联系？ 提示：随机变量的均值是常数，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．因此，我们常用样本的平均值来估计总体的均值． [知识点二]　两点分布、二项分布及超几何分布的均值　 1．若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)＝　p　. 2．若X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝　np　； 3．若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X～H(N，n，M)，则E(X)＝　　. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　　) (2)随机变量的均值与样本的平均值相同．(　　) (3)若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的均值E(X)＝(　　) A.　　 B．2　　　 C.　　 D．3 解析：A　[E(X)＝1×＋2×＋3×＝.] 3．已知离散型随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P a 设Y＝6X＋1，则Y的均值E(Y)＝________. 解析：由已知得＋＋a＝1，解得a＝， 则E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－. 则E(Y)＝6E(X)＋1＝6×＋1＝0. 答案：0 　　　离散型随机变量的均值公式及性质 [例1]　(1)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求： (Ⅰ)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (Ⅱ)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值． [思路点拨]　(1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率； (2)先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值． 解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数． (Ⅰ)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝. (Ⅱ)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且 P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝.从而知ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. (2)已知随机变量X的分布列如表： X －2 －1 0 1 2 P m (Ⅰ)求m的值； (Ⅱ)求E(X)； (Ⅲ)若Y＝2X－3，求E(Y)． [思路点拨]　直接利用公式求解． 解：(Ⅰ)由随机变量分布列的性质， 得＋＋＋m＋＝1，解得m＝. (Ⅱ)E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－. (Ⅲ)由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b， 得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－. 1．求离散型随机变量X的均值的一般步骤 2．对于aX＋b型的随机变量的求均值的方法 (1)利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b； (2)先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解． [变式训练] 1．离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，则a＋b等于________． 解析：易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3.① 由分布列的性质，得(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1.② 由①②，得a＝，b＝0.所以a＋b＝. 答案： 　二项分布及超几何分布的均值 [例2] 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主是否购买保险相互独立． (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求随机变量X的均值． [思路点拨] (1)→ (2)→ 解：设事件A表示该地1位车主购买甲种保险，事件B表示该地1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险，事件C表示该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种，事件D表示该地1位车主甲、乙两种保险都不购买． (1)由题意知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A∪B， 则P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.8. 故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8. (2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2. 由题意知，X～B(100,0.2)， 所以X的均值E(X)＝100×0.2＝20. 常见的三种分布的均值 1．设p为一次试验中成功的概率，则 (1)两点分布E(X)＝p； (2)二项分布E(X)＝np. 2．超几何分布E(X)＝，其中X～H(N，n，M)． 熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度． [变式训练] 2．在5件产品中含有2件次品，从这5件产品中选出3件所含的次品数设为X，则X的均值为________． 解析：方法一：X可能取的值是0,1,2. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝.所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 方法二：由题意，N＝5，M＝2，n＝3，故EX＝＝＝. 答案： 　离散型随机变量的均值实际应用 [例3]　十八大以来，党中央提出要在2020年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”(新型农村合作医疗)推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准，提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如表1所示： 表1　新农合门诊报销比例 医院类别 村卫生室 镇卫生室 二甲医院 三甲医院 门诊报销比例 60% 40% 30% 20% 根据以往的数据统计，李村一个结算年度内门诊就诊人次情况如表2所示： 表2　李村一个结算年度内门诊就诊情况统计表 医院类别 村卫生室 镇卫生室 二甲医院 三甲医院 一个结算年度内各门诊就诊 人次占李村总就诊人次的比例 70% 10% 15% 5% 已知一个结算年度内每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊就诊的平均费用分别为50元、100元、200元、500元，且李村一个结算年度内去门诊就诊总人次为2 000. (1)李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？ (2)如果将李村这个结算年度内各门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度内每人次用于门诊实付费用(报销后个人应承担部分)X的分布列与期望． [思路点拨] →→→ 解：(1)由表2可得李村一个结算年度内去村卫生室、镇卫生室、二甲医院、三甲医院门诊就诊的人次分别为2 000×70%＝1 400,2 000×10%＝200，2 000×15%＝300,2 000×5%＝100， 而去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，所以去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次为100×80%＝80. 设从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次为事件A， 则P(A)＝＝. (2)由题意可得X的可能取值为 50－50×60%＝20,100－100×40%＝60， 200－200×30%＝140,500－500×20%＝400. P(X＝20)＝0.7，P(X＝60)＝0.1， P(X＝140)＝0.15，P(X＝400)＝0.05. 可得X的分布列如表所示. X 20 60 140 400 P 0.7 0.1 0.15 0.05 所以可得期望E(X)＝20×0.7＋60×0.1＋140×0.15＋400×0.05＝61. 1．实际生活中的均值问题 均值在实际生活中有着广泛的应用．对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计． 2．概率模型的三个解答步骤 (1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型以及可能用到的事件类型和公式． (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值． (3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论． [变式训练] 3．某销售公司在当地A，B两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价为每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足，则食品厂以每件250元补货，若销售有剩余，则食品厂以每件150元回收．现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了A，B两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据： 销售件数 8 9 10 11 频数 20 40 20 20 以频率代替概率，记X表示这两家超市每日共销售该食品的件数，n表示销售公司每日共需购进该食品的件数． (1)求X的分布列； (2)以销售该食品所得利润的期望为决策依据，在n＝19与n＝20之中选一个，应选用哪个？ 解：(1)易知一家超市销售该食品的件数为8,9,10,11的概率分别为，，，， X的所有可能取值为16,17,18,19,20,21,22， P(X＝16)＝×＝， P(X＝17)＝××2＝， P(X＝18)＝×＋××2＝， P(X＝19)＝××2＋××2＝， P(X＝20)＝×＋××2＝＝， P(X＝21)＝××2＝， P(X＝22)＝×＝. ∴X的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P (2)当n＝19时，记Y1为A，B两家超市销售该食品所得的利润，则Y1的分布列为 Y1 1 450 1 600 1 750 1 900 1 950 2 000 2 050 P E(Y1)＝1 450×＋1 600×＋1 750×＋1 900×＋1 950×＋2 000×＋2 050×＝1 822. 当n＝20时，记Y2为A，B两家超市销售该食品所得的利润，则Y2的分布列为 Y2 1 400 1 550 1 700 1 850 2 000 2 050 2 100 P E(Y2)＝1 400×＋1 550×＋1 700×＋1 850×＋2 000×＋2 050×＋2 100×＝1 804. E(Y1)>E(Y2)，故应选n＝19. [当堂达标] 1．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为(　　) A．0　　　 B.　　　 C．1　　 D．－1 解析：A　[因为P(X＝1)＝，P(X＝－1)＝，所以由均值的定义是E(X)＝1×＋(－1)×＝0.] 2．若随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 则E(X)＝(　　) A．0　　 B．－1　　　 C．－　　 D．－ 解析：C　[E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.] 3．某射手射击所得环数X的分布列如下表： X 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知E(X)＝8.9，则y＝________. 解析：由题意知 解得y＝0.4，x＝0.2. 答案：0.4 4．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C·k·300－k(k＝0,1,2，…，300)，则E(X)＝__________. 解析：由P(X＝k)＝C·k·300－k， 可知X～B， ∴E(X)＝300×＝100. 答案：100 5．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及数学期望． 解：X可取的值为1,2,3， 则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝， 则P(X＝3)＝××1＝. 抽取次数X的分布列为 X 1 2 3 P E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$