4.2.4 第1课时 离散型随机变量的均值-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础过关] 1．随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 0.2 0.5 m 则X的均值是(　　) A．2　　　　　 B．2.1 C．2.3 D．随m的变化而变化 解析：B　[因为0.2＋0.5＋m＝1，所以m＝0.3，所以E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.] 2．设X为随机变量，且X～B，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X＝2)＝(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：D　[因为X～B，所以E(X)＝＝2，所以n＝6，所以P(X＝2)＝C×2×4＝.] 3．设ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：D　[E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝， E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.] 4．已知ξ～B，η～B，且E(ξ)＝15，则E(η)等于(　　) A．5　　 B．10　　　C．15　　 D．20 解析：B　[因为E(ξ)＝n＝15，所以n＝30， 所以η～B，所以E(η)＝30×＝10.] 5．(多选)已知随机变量X的分布列如下表： X －1 0 1 P a b 记“函数f(x)＝3sinπ(x∈R)是偶函数”为事件A，则(　　) A．P(A)＝　　　　　 B．E(X)＝ C．E(X)＝－2a D．E(X2)＝ 解析：ACD　[因为函数f(x)＝3sinπ(x∈R)是偶函数． 所以π＝＋kπ，k∈Z， 于是X＝2k＋1，k∈Z，又因为X＝－1,0,1，所以事件A表示X＝±1， 所以P(A)＝a＋b＝1－＝， E(X)＝(－1)×a＋0×＋1×b＝b－a＝－2a，随机变量X2的可能取值为0,1， P(X2＝0)＝，P(X2＝1)＝， 所以E(X2)＝0×＋1×＝.故选ACD.] 6．(多选)已知甲盒中有2个红球、1个黄球，乙盒中有1个红球、2个黄球．从甲、乙两个盒中各取1个球放入原来为空的丙盒中．现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记红球的个数为Xi(i＝1,2,3)(甲、乙、丙三个盒子取出的分别对应i＝1,2,3)，则 (　　) A．X1，X2，X3的所有取值分别为0,1 B．X1，X2，X3服从两点分布 C．E(X1)<E(X3)<E(X2) D．E(X1)>E(X3)>E(X2) 解析：ABD　[依题意，X1的所有取值为0,1.其中P(X1＝0)＝×＝，P(X1＝1)＝×1＋×＝，所以随机变量X1的分布列为： X1 0 1 P X1服从两点分布，所以E(X1)＝，同理，X2的所有取值为0,1.P(X2＝1)＝×＝，P(X2＝0)＝×＋×1＝，所以随机变量X2的分布列为： X2 0 1 P X2服从两点分布，所以E(X2)＝，X3的所有取值为0,1，P(X3＝0)＝×＋××1＝，P(X3＝1)＝×＋××1＝，所以随机变量X3的分布列为： X3 0 1 P X3服从两点分布，所以E(X3)＝，所以E(X1)>E(X3)>E(X2)．] 7．设10件产品有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为________． 解析：设查得次品数为X，由题意知X服从超几何分布且N＝10，M＝3，n＝2.∴EX＝n·＝2×＝. 答案： 8．已知某一随机变量X的分布列如下表： X 3 b 8 P 0.2 0.5 a 且E(X)＝6，则a＝________，b＝________. 解析：由0.2＋0.5＋a＝1，得a＝0.3.又由E(X)＝3×0.2＋b×0.5＋8×a＝6，得b＝6. 答案：0.3　6 9．掷骰子游戏：规定掷出1点，甲盒中放一球，掷出2点或3点，乙盒中放一球，掷出4点，5点或6点，丙盒中放一球，共掷6次，用x，y，z分别表示掷完6次后甲、乙、丙盒中球的个数．令X＝x＋y，则E(X)＝________. 解析：将每一次掷骰子看作一次实验，实验的结果分丙盒中投入球(成功)或丙盒中不投入球(失败)两种，且丙盒中投入球(成功)的概率为，z表示6次实验中成功的次数，则z～B，∴E(z)＝3， 又x＋y＋z＝6，∴X＝x＋y＝6－z， ∴E(X)＝E(6－z)＝6－E(z)＝6－3＝3. 答案：3 10．甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环．将他们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示． (1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率； (2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)． 解：(1)由图乙可知P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35， 所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25. 同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15， P(X甲＝9)＝0.3， 所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35. P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65. (2)因为E(X甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8， E( X乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7， 则有E(X甲)>E(X乙)，所以估计甲的水平更高． 11．某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，且三道题目之间相互独立．求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值． 解：根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，则X的可能取值为－4,1,3,6. ∴P(X＝－4)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝××＋××＋××＝， P(X＝6)＝××＝＝. ∴X的分布列为 X －4 1 3 6 P ∴E(X)＝(－4)×＋1×＋3×＋6×＝. [能力提升] 12．某商店试销某种商品20天，获得如下数据： 日销售量(件) 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率． (1)求当天商店不进货的概率； (2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和均值． 解：(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商店销售量为0件)＋P(当天商店销售量为1件)＝＋＝. (2)由题意知X的可能取值为2,3，P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝＝， P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝＋＋＝.故X的分布列为 X 2 3 P 所以X的均值为E(X)＝2×＋3×＝. 13．已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36,24,24.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠质量调查． (1)应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？ (2)若抽取的7人中有3人睡眠不足，4个睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的学生人数，求随机变量X的分布列与数学期望． 解：(1)由已知，甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个兴趣小组中分别抽取3人，2人，2人． (2) 随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. 则P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)， 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. [素养培优] 14．随着小汽车的普及，驾驶证已经成为现代人“必考”的证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名)，其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费．某驾校对以往2 000名学员第1次参加科目二考试情况进行了统计，得到表格： 考试情况 男学员 女学员 第1次考科目二人数 1 200 800 第1次通过科目二人数 960 600 第1次未通过科目二人数 240 200 以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试． (1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率； (2)若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X，求X的分布列与数学期望． 解：记事件Ai表示男学员在第i次考科目二时通过，事件Bi表示女学员在第i次考科目二时通过，则P(Ai)＝，P(B i)＝(其中i＝1,2,3,4,5)． (1)记事件M表示这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费，则 P(M)＝P(A1B1＋A11B2＋1A2B1＋1A21B2) ＝P(A1B1)＋P(A11B2)＋P(1A2B1)＋P(1A21B2) ＝×＋××＋××＋×××＝. (2)X的可能取值为400,600,800,1 000,1 200. P(X＝400)＝P(A3B3)＝×＝， P(X＝600)＝P(A33B4＋3A4B3)＝××＋××＝， P(X＝800)＝P(3A43B4＋A334＋34B3)＝×××＋××＋××＝， P(X＝1 000)＝P(3A434＋343B4)＝×××＋×××＝， P(X＝1 200)＝P(3434)＝×××＝. 可得X的分布列如表所示. X 400 600 800 1 000 1 200 P 故E(X)＝400×＋600×＋800×＋1 000×＋1 200×＝510.5. 学科网（北京）股份有限公司 $$