4.1.3 独立性与条件概率的关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础过关] 1．设A，B，C为三个随机事件，其中A与B互斥，B与C相互独立，则下列命题一定成立的是(　　) A．A与B相互独立　　　 B．A与C互斥 C．B与C互斥 D.与相互独立 解析：D　[注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别，前者指的是不可能同时发生的事件，后者指的是两个事件中，一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响．因为B与C相互独立，由两事件相互独立的性质易知D正确．] 2．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：B　[设“两个零件中恰有一个一等品”为事件A，因为事件相互独立， 所以P(A)＝×＋×＝.] 3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中，满足xy＝4的概率为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：C　[满足xy＝4的所有可能如下： x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1. ∴所求事件的概率为 P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1) ＝×＋×＋×＝.] 4．从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A＝“取到的两个数之和为偶数”，事件B＝“取到的两个数均为偶数”，则P(B|A)等于(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：B　[因为P(A)＝＝，P(AB)＝＝， 所以P(B|A)＝＝.] 5．甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能获冠军．若每局两队获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：D　[根据已知条件，可知甲队要获得冠军可分为甲队直接胜一局，或乙队先胜一局，甲队再胜一局．甲队直接胜一局，其概率为P1＝；乙队先胜一局，甲队再胜一局，其概率为P2＝×＝.由概率加法公式可得甲队获胜的概率为P＝＋×＝.] 6．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是(　　) A.　　　B.　　　C.　　 D．1 解析：C　[设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”． 根据题意，知事件A和B相互独立． 且P(A)＝，P(B)＝. 记“有且只有一人通过听力测试”为事件C， 则C＝A＋B，且A和 B互斥． 故P(C)＝P(A＋B) ＝P(A)＋P(B) ＝P(A)P()＋P()P(B) ＝×＋×＝.] 7．甲、乙、丙三人各自向同一飞靶射击，设击中飞靶的概率分别为0.4,0.5,0.8.若只有一人击中，则飞靶被击落的概率是0.2；若有两人击中，则飞靶被击落的概率是0.6；若三人都击中，则飞靶一定被击落．则飞靶被击落的概率为________． 解析：设甲、乙、丙三人击中飞靶分别为事件A，B，C. 依题意知，A，B，C相互独立，故所求概率为 P＝[P(A )＋P(B)＋P( C)]×0.2＋[P(AB )＋P(AC)＋P(BC)]×0.6＋P(ABC)×1 ＝(0.4×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.8)×0.2＋(0.4×0.5×0.2＋0.4×0.5×0.8＋0.6×0.5×0.8)×0.6＋0.4×0.5×0.8 ＝0.492. 答案：0.492 8．甲、乙两名同学参加一项射击比赛，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．已知甲、乙两人射击互不影响，且命中率分别分和p.若甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为，则p的值为________． 解析：设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，则P(A)＝，P()＝1－＝，P(B)＝p，P()＝1－p.依题意得×(1－p)＋×p＝，解得p＝. 答案： 9．一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率是________，问题得到解决的概率是________． 解析：设“甲解决这道难题”为事件A，“乙解决这道难题”为事件B，则A，B相互独立． 所以两人都未解决的概率为 P( )＝×＝. 问题得到解决的概率为 P(A)＋P(B)＋P(AB)＝1－P( )＝1－＝. 答案：　 10．要生产一种产品，甲机床的废品率为0.04，乙机床的废品率为0.05，从甲机床、乙机床生产的产品中各任取一件，求： (1)至少有一件废品的概率； (2)恰有一件废品的概率． 解：分别记从甲机床、乙机床生产的产品取一件是废品为事件A，B，则事件A，B相互独立． (1)设至少有一件废品为事件C，则P(C)＝1－P( )＝1－P()P()＝1－(1－0.04)×(1－0.05)＝0.088. (2)设恰有一件废品为事件D，则P(D)＝P(A )＋P(B)＝0.04×(1－0.05)＋(1－0.04)×0.05＝0.086. 11．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与. (1)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率； (2)甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少命中一次的概率． 解：(1)设“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B. 则P(A)＝，P(B)＝，P()＝，P()＝. 所以甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝. (2)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球两次均未命中”为事件E. 则P(E)＝P( )＝P()P()P()P()＝22＝. 所以甲、乙两人在罚球线各投球两次，至少命中一次的概率为1－P(E)＝1－＝. [能力提升] 12．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125. (1)求甲、乙、丙三台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； (2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率． 解：(1)设“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C.由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A，B，C是相互独立事件． 由已知得P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05， P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1， P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125， 解得P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5. 所以甲、乙、丙三台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为0.2,0.25,0.5. (2)设A的对立事件为，B的对立事件为，C的对立事件为， 则P()＝0.8，P()＝0.75，P()＝0.5， 于是P(A∪B∪C)＝1－P( )＝1－P()P()P()＝0.7. 所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7. 13．面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是，，.求： (1)他们都研制出疫苗的概率； (2)他们都失败的概率； (3)他们能够研制出疫苗的概率． (4)只有一个机构研制出疫苗的概率． (5)至多有一个机构研制出疫苗的概率． 解：令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. (1)他们都研制出疫苗，即事件A，B，C同时发生，故 P(A∩B∩C)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝. (2)他们都失败即事件，，同时发生， 故P(∩∩)＝P()P()P() ＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C)) ＝ ＝××＝. (3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率 P＝1－P(∩∩)＝1－＝. (4)只有一个机构研制出疫苗，该事件为 ( C∪ B ∪A )，故所求事件的概率为 P＝P( C＋ B ＋A )＝P()P()P(C)＋P()P(B)P()＋P(A)P()P() ＝(1－P(A))(1－P(B))P(C)＋(1－P(A))P(B)(1－P(C))＋P(A)(1－P(B))(1－P(C)) ＝××＋××＋× ＝××＋××＋×× ＝＋＋＝. (5)至多有一机构研制出该疫苗，即事件 ( ∪A ∪ B ∪ C)发生，故所求事件的概率为P( ∪A ∪B ∪ C) ＝P( )＋P(A )＋P(B )＋P( C) ＝P()P()P()＋P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C) ＝××＋××＋××＋××＝＋＋＋＝. [素养培优] 14．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积． (1)求学生小张选修甲的概率； (2)记“函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率． 解：(1)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x，y，z， 则 解得 所以学生小张选修甲的概率为0.4. (2)由函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数，得ξ＝0.当ξ＝0时，表示小张选修三门课或三门课都不选． 所以P(A)＝P(ξ＝0)＝xyz＋(1－x)(1－y)(1－z)＝0.4×0.6×0.5＋(1－0.4)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.24， 即事件A的概率为0.24. 学科网（北京）股份有限公司 $$