4.3.1 第1课时 相关关系与回归直线方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

4．3　统计模型 4．3.1　一元线性回归模型 第1课时　相关关系与回归直线方程 课程标准 素养解读 1.了解变量间的相关关系 2．会根据散点图判断数据是否具有相关关系 3．了解最小二乘法的思想，会求回归直线方程，掌握回归方程的性质 1.通过回归直线方程及相关关系的学习，体会数学建模与直观想象的素养 2．借助回归直线方程的求法，培养数学运算的素养 [情境引入] 如果刑警在案发现场提取到罪犯的脚印，那将获得一条重要的破案线索，你能说明一下其中的原因吗？ [知识梳理] [知识点一]　相关关系　 如果两个变量之间确实有一定的关系，但没有达到可以　互相决定　的程度，它们之间的关系带有一定的　随机性　，像这样两个变量之间的关系，统计学上都称为相关关系． 1.相关关系与函数关系有什么区别和联系？ 提示：相关关系与函数关系辨析 分类 函数关系 相关关系 特征 变量之间的关系具有确定性，当一个变量确定后，另一个变量就确定了 变量之间确实有一定的关系，但没有达到可以互相决定的程度，它们之间的关系带有一定的随机性 [知识点二]　线性相关　 1．散点图 一般地，如果收集到了变量x和变量y的n对数据(简称为成对数据)，如下表所示. 序号i 1 2 3 … n 变量x x1 x2 x3 … xn 变量y y1 y2 y3 … yn 则在平面直角坐标系xOy中描出点(xi，yi)，i＝1,2,3，…，n，就可以得到这n对数据的散点图． 2．线性相关：如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知，变量x与变量y之间的关系可以近似地用　一次　函数来刻画，则称x与y线性相关． 3．正相关和负相关 若x与y线性相关，如果一个变量增大，另一个变量大体上也　增大　，则称这两个变量正相关；如果一个变量增大，另一个变量大体上　减少　，则称这两个变量负相关． 2.正相关与负相关是对所有具有相关关系的两个变量而言的，对吗？ 提示：不对，正相关与负相关是针对线性相关关系而言的． [知识点三]　回归直线方程　 1．一般地，已知变量x与y的n对成对数据(xi，yi)，i＝1,2,3，…，n.任意给定一个一次函数y＝bx＋a，对每一个已知的xi，由直线方程可以得到一个估计值i＝bxi＋a， 如果一次函数＝x＋能使残差平方和，即 　(1－y1)2＋(2－y2)2＋…＋(n－yn)2＝ (yi－i)2　 取得最小值，则＝x＋称为y关于x的回归直线方程(对应的直线称为回归直线)．因为是使得　平方和　最小，所以其中涉及的方法称为　最小二乘法　. 其中，回归系数＝　＝　 ＝　－　. ＝　(x1＋x2＋…＋xn)＝xi　； ＝　(y1＋y2＋…＋yn)＝yi　. 3.线性回归方程＝＋x中的实际意义是什么？ 提示：表示x每增加1个单位时，的变化量，即x每增加1个单位时，相应地平均增加个单位．[知识点四]　回归直线方程：＝x＋的性质　 (1)回归直线一定过点(，)． (2)回归系数的实际意义 ①是回归方程的　斜率　； ②当x增大一个单位时，增大　　个单位． 4.y与x正负相关的充要条件分别是什么？ 提示：当>0时，y与x正相关，反之也成立，同理<0是y与x负相关的充要条件． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)现实生活中的两个变量要么是函数关系，要么是相关关系．(　　) (2)散点图能准确判定两个变量是否具有线性相关关系．(　　) (3)回归直线不一定过样本中的点，但一定过样本点的中心．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．(多选)在下列各变量之间的关系中，属于相关关系的是(　　) A．汽车的重量和百公里耗油量． B．正n边形的边数与内角度数之和． C．一块农田的小麦产量与施肥量． D．家庭的经济条件与学生的学习成绩． 解析：AC　[汽车的重量越大，百公里耗油量会越多．在合适的范围内，农田的施肥量越大，小麦产量一般会越多．A、C是相关关系．B是函数关系．D中家庭经济条件与学生的学习成绩之间不是相关关系，也不是函数关系．] 3．如图是一组数据(x，y)的散点图，经最小二乘法计算，y与x之间的经验回归方程为＝x＋1，则＝________. 解析：＝＝2， ＝＝2.6， 将(2,2.6)代入＝x＋1，解得＝0.8. 答案：0.8 　　　变量间相关关系的判断 [例1]　(1)下列关系中，属于相关关系的是________．(填序号) ①扇形的半径与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③出租车费与行驶的里程； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． [思路点拨]　依据相关关系的概念判断 解析：在①中，扇形的半径与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；③为确定的函数关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系． 答案：②④ (2)下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据： 施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480 ①将上述数据制成散点图． ②你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量具有什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？ [思路点拨]　画出散点图进行判断． 解：①散点图如图． ②从图中可以发现当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的散点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系．结合实际可知，水稻产量只是在一定范围内随着施化肥量的增加而增长． 两个变量是否相关的两种判断方法 1．根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断． 2．利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响． [变式训练] 1．(1)下列两个变量之间，是相关关系的有(　　) ①角度与它的余弦值；②人的体重与视力；③正n边形的边数和它的内角度数之和；④圆心角的大小与所对的圆弧长；⑤光照时间和果树亩产量；⑥收入水平与购买能力；⑦正方体的棱长与体积． A．①④⑥　　　　　 B．②⑤⑥⑦ C．⑤⑥ D．③⑤⑦ 解析：C　[①③④⑦是函数关系；②没有关系；⑤⑥是相关关系．] (2)为10对中国父子测量身高(英寸)如下： 父亲身高 (x) 60 62 64 65 66 67 68 70 72 74 儿子身高 (y) 63.6 65.2 66 65.5 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70 试根据上述资料： (1)画出散点图； (2)变量x和y之间是否具有线性关系？ (3)常说，父亲高，儿子肯定不矮，你赞成这种说法吗？ 解：(1)图略．　(2)由散点图可知，变量x和y之间有线性相关关系． (3)赞成．父亲的身高与儿子的身高是相关关系． 　求回归直线方程 [例2] 在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间的一组观察值如下表. x(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 y(μm) 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 (1)画出散点图； (2)求y与x之间的回归方程； (3)利用回归方程预测时间为100 s时腐蚀深度为多少． [思路点拨]　根据求回归方程的方法求解． 解：(1)散点图如图所示． (2)从散点图中，我们可以看出y与x的样本点分布在一条直线附近，因而求经验回归直线方程有意义． ＝(5＋10＋15＋…＋120)＝， ＝(6＋10＋10＋…＋46)＝， xiyi＝5×6＋10×10＋15×10＋…＋120×46＝13 910， x＝52＋102＋152＋…＋1202＝36 750， 所以＝＝ ≈0.304. ＝－＝－0.304×＝5.36. 故腐蚀深度与腐蚀时间之间的回归方程为＝0.304x＋5.36. (3)根据(2)求得的回归方程，当腐蚀时间为100 s时，＝5.36＋0.304×100＝35.76(μm)，即腐蚀时间为100 s时腐蚀深度为35.76 μm. 求回归方程的一般步骤 (1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1,2，…，n)． (2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系． (3)计算，，x，xiyi. (4)代入公式计算，，公式为 (5)写出回归方程＝x＋. [变式训练] 2．下表是某种产品销售收入与销售量之间的一组数据： 销售量x(吨) 2 3 5 6 销售收入y(万元) 7 8 9 12 (1)画出散点图； (2)求出线性回归方程； (3)根据线性回归方程估计销售量为9吨时的销售收入． 解：(1)在坐标系中描出点(2,7)，(3,8)，(5,9)，(6,12)，散点图如图． (2)＝＝4，＝＝9， xiyi＝14＋24＋45＋72＝155， x＝4＋9＋25＋36＝74， ∴＝＝1.1，＝9－1.1×4＝4.6， ∴要求的线性回归方程为＝1.1x＋4.6. (3)当x＝9时，＝1.1×9＋4.6＝14.5. 故当销售为9吨时，估计销售收入为14.5万元． 　　　回归直线方程的性质及应用 [例3]　(多选题)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中正确的是(　　) A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点中心(，) C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg [思路点拨]　根据回归直线方程的性质逐一判断． 解析：ABC　[当x＝170时，＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg，故D错误，ABC均正确．] 1．相关关系的正、负相关类同于函数的增、减性，与其斜率有关，必要时可画散点图以增强直观性． 2．由回归方程得出的函数值不一定是准确值，只是个估计值． [变式训练] 3．(1)工人月工资y(单位：元)关于劳动生产率x(单位：千元)的回归方程为＝650＋80x，下列说法中正确的个数是(　　) ①劳动生产率为1 000元时，工资为730元； ②劳动生产率提高1 000元，则工资提高80元； ③劳动生产率提高1 000元，则工资提高730元； ④当月工资为810元时，劳动生产率约为2 000元． A．1　　　 B．2　　　　 C．3　　　 D．4 解析：C　[代入方程计算可判断①②④正确．] (2)已知x，y的取值如下表： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 若从散点图可以看出y与x线性相关，且线性回归方程为＝0.95x＋，则等于(　　) A．3.25　　 B．2.6　　　 C．2.2　　 D．0 解析：B　[∵点(，)在回归直线上， 计算得＝＝2， ＝＝4.5， ∴4.5＝0.95×2＋，∴＝2.6.] [当堂达标] 1．下面变量之间是相关关系的是(　　) A．出租车费与行驶的里程 B．房屋面积与房屋价格 C．人的身高与体重 D．铁的体积与质量 解析：C　[C是相关关系，A，B，D是函数关系．] 2．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其线性回归方程可能是(　　) A.＝－10x＋200　　　　　　 B.＝10x＋200 C.＝－10x－200 D.＝10x－200 解析：A　[因为y与x负相关，所以排除B，D，又因为C项中，x>0时，y<0不合题意，所以C错．] 3．某产品的广告费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如下表，根据下表可得回归方程＝x＋中的＝10.6，据此模型预报广告费用为10万元时，销售额约为________万元. 广告费用x(万元) 4 3 2 5 销售额y(万元) 49 26 39 58 A.112.1万元　　　　　 B．113.1万元 C．111.9万元 D．113.9万元 解析：把样本点的中心代入回归方程得＝5.9，所以广告费用为10万元时，估计销售额约为10.6×10＋5.9＝111.9(万元)． 答案：C 4．某人对一地区人均工资x(千元)与该地区人均消费y(千元)进行统计调查，发现y与x有相关关系，并得到线性回归方程＝0.66x＋1.562.若该地区的人均消费水平为7.675千元，则估计该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．(精确到0.1%) 解析：当y＝7.675时，x≈9.262， 所以该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为×100%≈82.9%. 答案：82.9% 5．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据. x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生 产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解：(1)由题设所给数据，可得散点图如图． (2)由对照数据，计算得：x＝86， ＝＝4.5，＝＝3.5， 已知xiyi＝66.5， 所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为 ＝＝＝0.7. ＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 因此，所求的线性回归方程为＝0.7x＋0.35. (3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)． 学科网（北京）股份有限公司 $$