4.3.1 第1课时 相关关系与回归直线方程（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

4．3　统计模型 4．3.1　一元线性回归模型 第1课时　相关关系与回归直线方程 课程标准 核心素养目标 1．结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法． 2．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 1．了解变量间的相关关系．(数学抽象) 2．会根据散点图判断数据是否具有相关关系．(直观想象、数学运算) 3．会求回归直线方程，并掌握回归直线方程的性质．(数学运算) 1．线性相关 (1)散点图 一般地，如果收集到了变量x和变量y的n对数据(简称为成对数据)，如下表所述． 序号i 1 2 3 … n 变量x x1 x2 x3 … xn 变量y y1 y2 y3 … yn 则在直角坐标系xOy中描出点(xi，yi)，i＝1，2，3，…，n，就可以得到这n对数据的散点图． (2)x与y线性相关 如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知，变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称x与y线性相关． (3)正相关、负相关 如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正相关；如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关． [微练1]下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是(　　) A．瑞雪兆丰年 B．上梁不正下梁歪 C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧 D　解析：选项A，B，C中描述的变量间都具有相关关系，而选项D是迷信说法，没有科学依据． [微练2]以下四个散点图中，两个变量的关系呈线性相关的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．③④ B　解析：①③中的点分布在一条直线附近，两个变量的关系呈线性相关． [微练3]从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为__________． 答案：正相关 2．回归直线方程与最小二乘法 (1)一般地，已知变量x与y的n对成对数据(xi，yi)，i＝1，2，3，…，n，任意给定一个一次函数y＝bx＋a，对每一个已知的xi，由直线方程可以得到一个估计值i＝bxi＋a， 如果一次函数＝x＋能使(y1－1)2＋(y2－2)2＋…＋(yn－n)2＝(yi－i)2 取得最小值，则＝x＋称为y关于x的回归直线方程(对应的直线称为回归直线).因为是使得平方和最小，所以其中涉及的方法称为最小二乘法． (2)，的计算方法 ＝＝，＝－. 其中，称为回归系数，它实际上也是回归直线方程的斜率，指的是x1，x2，x3，…，xn的平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)＝xi；指的是y1，y2，y3，…，yn的平均数，即＝yi. [微练4]已知工厂加工零件的个数x与花费时间y(单位：h)之间的回归直线方程为＝0.01x＋0.5，则加工200个零件大约需要________小时． 2.5　解析：将x＝200代入回归直线方程＝0.01x＋0.5，得＝2.5. 3．回归直线方程：＝x＋的性质 (1)回归直线一定过点(，)． (2)回归系数的实际意义 ①是回归方程的斜率； ②当x增大一个单位时，增大个单位． y与x正相关的充要条件是>0，y与x负相关的充要条件是<0. [微练5]已知x与y之间的一组数据． x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 若y与x线性相关，则y与x的回归直线方程＝x＋必过点(　　) A．(2，2) B．(1.5，0) C．(1，2) D．(1.5，4) D　解析：∵＝＝1.5，＝＝4，∴回归直线必过点(1.5，4).故选D． [微练6]已知回归直线的斜率的估计值是1.23，且过定点(4，5)，则回归直线方程是________. ＝1.23x＋0.08　解析：回归直线的斜率的估计值为1.23，即＝1.23，又回归直线过定点(4，5)，故＝5－1.23×4＝0.08，所以＝1.23x＋0.08. 知识点一　相关关系的判定 下列两个变量之间是相关关系的是(　　) A．圆的面积与半径之间的关系 B．球的体积与半径之间的关系 C．角度与它的正弦值之间的关系 D．降雪量与交通事故的发生率之间的关系 D　解析：由题意知A表示圆的面积与半径之间的关系S＝πr2，B表示球的体积与半径之间的关系V＝，C表示角度与它的正弦值之间的关系y＝sin α，都是确定的函数关系，只有D是相关关系，故选D． 函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种不确定关系，具有随机性；函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 下列两个变量间的关系不是函数关系的是(　　) A．正方体的棱长与体积 B．角的度数与它的正切值 C．单产为常数时，土地面积与粮食总产量 D．日照时间与水