4.2.3 第2课时 超几何分布-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

第2课时　超几何分布 课程标准 素养解读 1.理解超几何分布的概念 2．理解超几何分布与二项分布的关系 3．会用超几何分布解决一些简单的实际问题 1.通过学习超几何分布，体会数学抽象的素养 2．借助超几何分布解题，提高数学运算素养 [情境引入] 在新型肺炎期间，青岛市招募的100名医学服务志愿者中，男同志有45人，现要选派20人去市南区协助做好社区人员排查登记，其中男同志不少于10人的概率是多少？ [知识梳理] [知识点]　超几何分布　 1．定义：一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M<N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝　　，k＝t，t＋1，…，s， 这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布． 2．记法：X～H(N，n，M)． 3．分布列：如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表所示. X 0 1 … k … s P … 　　 … 　　 1.不放回抽取和有放回抽取有何不同？ 提示：抽取次数不同，不放回抽取只抽取一次，一次抽取n个，有放回抽取要抽取n次，每次抽取一个；概率模型不同，不放回抽取服从超几何分布，有放回抽取服从二项分布． 2．怎样理解r是M与n中的较小者？ 提示：在超几何分布中，确定X的可能取值的关键是确定它的最小值和最大值，具体如下： 注意：在超几何分布中，随机变量X的最大值r未必是次品件数M，当抽取的产品的件数n不大于总体中次品的件数M(即n≤M)时，r＝n；当抽取的产品的件数n大于总体中次品的件数M(即n>M)时，r＝M.故X的最大值r是M与n中的较小者．同理，可推测m的取值规律． 3．利用超几何分布公式计算概率时有什么规律？ 提示：因为公式中都是组合数，用组合数公式展开后，要先约分再进行运算，这样可以简化运算的过程． [预习自测] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)． (1)将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X服从超几何分布．(　　) (2)盒中有4个白球和3个黑球，有放回地摸取3个球，黑球的个数X服从超几何分布．(　　) (3)某射手的命中率为0.8，现对目标射击3次，命中目标的次数X服从超几何分布．(　　) 答案：(1)×正面向上的次数X服从二项分布． (2)√由超几何分布的定义，黑球的个数X服从超几何分布．　(3)×命中目标的次数X服从二项分布． 2．在10个村庄中，有4个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选6个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为(　　) A．N＝10，M＝4，n＝6　 B．N＝10，M＝6，n＝4 C．N＝14，M＝10，n＝4 D．N＝14，M＝4，n＝10 解析：A　[根据超几何分布概率模型知N＝10，M＝4，n＝6.] 3．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 解析：D　[若随机变量X表示任取10个球中红球的个数，则X服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布．取到10个球中恰有6个红球，即X＝6，P(X＝6)＝(注意袋中球的个数为80＋20＝100)．] 　　　超几何分布的辨析 [例1]　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布； (2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布； (3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布； (4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布； (5)现有100台MP3播放器未经验测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布． [思路点拨]　根据超几何分布的定义判断． 解：(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题． (3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布． (5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率公布，所以不属于超几何分布问题． 判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：(1)总体是否可分为两类明确的对象；(2)是否为不放回抽样；(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数． [变式训练] 1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，则X是否服从超几何分布？ 解：不服从超几何分布． 因为随机变量X是否服从超几何分布，关键是看随机变量X的分布列是否由P(X＝k)＝确定，对应的N，M，n是多少． 本题随机变量X的可能取值为3,4,5,6. 不妨探讨“X＝4”与“X＝5”两种情况： “X＝4”对应事件“取出的3个球中恰好取到4号球和1,2,3号球中的2个”，其概率P(X＝4)＝； “X＝5”对应事件“取出的3个球中恰好取到5号球和1,2,3,4号球中的2个”，其概率P(X＝5)＝. 显然仅从“X＝4”与“X＝5”两种情况就可看出随机变量X的分布不是由P(X＝k)＝确定的，所以随机变量X不服从超几何分布． 　超几何分布的概率及其分布列 [例2] 袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球． (1)求得分X的分布列； (2)求得分大于6分的概率． [思路点拨]　 　→→ 解：(1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8. P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝， P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝. 故所求分布列为 X 5 6 7 8 P (2)根据随机变量的分布列可以得到大于6分的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝. 求超几何分布的分布列的步骤 [变式训练] 2．10件工艺品中，有3件二等品，7件一等品，现从中抽取5件，求抽得二等品件数X的分布列． 解：X的可能取值为0,1,2,3. 由题意知X服从超几何分布， 所以P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 　　　超几何分布与二项分布间的联系 [例3]　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]．由此得到样本的频率分布直方图如图． (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列． [思路点拨]　(1)结合频率分布直方图求解(1)； (2)结合超几何分布及古典概型求X的分布列； (3)先分析Y服从什么分布，再选择相应公式求解． 解：(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)． (2)重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，且X～H(40,2,12)． ∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P (3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝. 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B， P(Y＝k)＝C2－kk， 所以P(Y＝0)＝C·2＝， P(Y＝1)＝C··＝， P(Y＝2)＝C·2＝. ∴Y的分布列为 Y 0 1 2 P 在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布. 区别 ①当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布； ②当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布 联系 在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布，如本例(2) [变式训练] 3．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站开展了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与关注生态文明建设的调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)．由调查数据得到的频率分布直方图如图所示． (1)求这200人年龄的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)； (2)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽取2人的概率； (3)若从所有参与调查的人(人数很多)中任意选出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数为X，求X的分布列． 解：(1)由10×(0.010＋0.015＋a＋0.030＋0.010)＝1， 得a＝0.035，平均数为20×0.1＋30×0.15＋40×0.35＋50×0.3＋60×0.1＝41.5. 设中位数为x，则10×0.010＋10×0.015＋(x－35)×0.035＝0.5，∴x≈42.1. (2)由题意知，从第1,2组抽取的人数分别为2,3. 设第2组中恰好抽取2人的事件为A，则P(A)＝＝. (3)从所有参与调查的人中任意选出1人，此人关注环境治理和保护问题的概率为. 易知X的所有可能取值为0,1,2,3， ∴P(X＝0)＝C3＝， P(X＝1)＝C12＝， P(X＝2)＝C21＝， P(X＝3)＝C3＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P [当堂达标] 1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A的概率为(　　) A.　　　　　　 B. C．1－ D. 解析：D　[设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数．则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝ ＋.] 2．盒子里共有7个除了颜色外完全相同的球，其中有4个红球3个白球，从盒子中任取3个球，则恰好取到2个红球1个白球的概率为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：B　[由题意得所求概率为P＝＝＝.] 3．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋内任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则P(X＝1)＝________. 解析：P(X＝1)＝＝. 答案： 4．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝________. 解析：易知P(X＝1)＝＝. 答案： 5．在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道试题进行测试，至少答对2道试题才算及格，求该考生答对试题数X的分布列，并求该考生及格的概率． 解：因为X＝1,2,3，P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 该考生及格的概率为 P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$