4.2.3 第1课时 n次独立重复试验与二项公布-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

4.2.3　二项分布与超几何分布 第1课时　n次独立重复试验与二项公布 课程标准 素养解读 1.理解n次独立重复试验的模型 2．理解二项分布 3．能利用n次独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的应用问题 1.通过学习n次独立重复试验及二项分布，体会数学抽象的素养 2．借助二项分布解题，提高数学运算的素养 [情境引入] 种植n粒棉花种子，每一粒种子可能出苗，也可能不出苗，其中出苗率是67%； 射击n次，每一次射击可能击中目标，也可能击不中目标，而且当射击条件不变时，可以认为每次击中目标的概率p是不变的． 这样的试验每次都仅有两种对立状态，且每次试验相互独立完成．这就是瑞士数学家雅·伯努利在概率论上作出的重要贡献．那么n次独立重复试验是什么？如何求在n次试验中，该事件恰好发生k次的概率？ [知识梳理] [知识点一]　n次独立重复试验　 1．伯努利试验：我们把只包含两个　可能结果　的试验叫做伯努利试验． 2．定义：在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是　相互独立　的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验． 1.独立重复试验必须具备哪些条件？ 提示：(1)每次试验的条件完全相同，相同事件的概率不变； (2)各次试验结果互不影响； (3)每次试验结果只有两种，这两种结果是对立的． [知识点二]　二项分布　 1．一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0,1，…，k，…，n}， 而且P(X＝k)＝　Cpkqn－k　，k＝0,1，…，n， 因此X的分布列如下表所示. X 0 1 … k … n P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0 注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作　X～B(n，p)　. 2．确定一个二项分布模型的步骤： ①明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； ②确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性； ③设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p)． 2.判断一个随机变量是否服从二项分布的关键是什么？ 提示：判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于它是否同时满足以下三个条件． ①对立性：在一次试验中，事件A发生与否必居其一． ②重复性：试验可以独立重复地进行，且每次试验事件A发生的概率都是同一常数p. ③X的取值从0到n，中间不间断． 由上可以发现 ，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式，二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布． [预习自测] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)． (1)依次投掷四枚质地不同的骰子，点数1出现2次的试验是4重伯努利试验．(　　) (2)若随机变量X～B(n，p)，则X＝1,2…，n.(　　) (3)若随机变量X～B(n，p)，则P(X＝k)＝ C(1－p)k·pk.(　　) 提示：(1)×.因为骰子的质地不同，点数1出现的概率不同，因此不是4重伯努利试验． (2)×.X＝0,1,2，…，n. (3)×.P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 2．某次抽奖活动中，参与者每次抽到中奖的概率均为，现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概率为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：C　[某次抽奖活动中，参与者每次抽中奖的概率均为，现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概率为P＝C×2＝.] 3．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)等于(　　) A．C2×　　　　　 B．C2× C.2× D.2× 解析：C　[P(X＝3)＝2×.] 　　　独立重复试验的概率 [例1]　在图书室中只存放技术书和数学书，任一读者借技术书的概率为0.2，而借数学书的概率为0.8，设每人只借一本书，有5名读者依次借书，求至多有2人借数学书的概率． [思路点拨]　读者借一本书只有两种结果，一个读者借一本书可看作是一次独立重复试验，因此可用独立重复试验的概率公式求解． 解：记一个读者借一本数学书为事件A，借技术书为事件，因此一个读者借一本书可看作是独立重复试验，其中P(A)＝0.8，P()＝0.2，故所求概率为P＝C×0.80×0.25＋C×0.81×0.24＋C×0.82×0.23≈0.057 9.即至多有2人借数学书的概率约为0.057 9. 1．独立重复试验的判断 要判断n次独立重复试验中A发生的次数X是否服从二项分布，关键是看试验是否为独立重复试验，独立重复试验的特点为：(1)每次试验是在相同的条件下进行的．(2)每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验是相互独立的．(3)基本事件的概率可知，且每次试验保持不变．(4)每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生． 2．独立重复试验概率求法的三个步骤 [变式训练] 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，求： (1)甲恰好击中目标2次的概率； (2)乙至少击中目标2次的概率； (3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率． 解：(1)甲恰好击中目标2次的概率为C3＝. (2)乙至少击中目标2次的概率为 C2＋C3＝. (3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件． P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝C2·C3＋C3·C3＝＋＝. 　求二项分布的分布列 [例2] 某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现在连续射击4次，求击中目标的次数X的概率分布列． [思路点拨]　本题是一个独立重复试验问题，其击中目标的次数X的概率分布列属二项分布，可直接由二项分布得出． 解：在独立重复射击中，击中目标的次数X服从二项分布，X～B(n，p)． 由已知，n＝4，p＝0.8， P(X＝k)＝C·0.8k·(0.2)4－k，k＝0,1,2,3,4. ∴P(X＝0)＝C·0.80·(0.2)4＝0.001 6， P(X＝1)＝C·0.81·(0.2)3＝0.025 6， P(X＝2)＝C·0.82·(0.2)2＝0.153 6， P(X＝3)＝C·0.83·(0.2)1＝0.409 6， P(X＝4)＝C·0.84·(0.2)0＝0.409 6. 所以X的概率分布列为： X 0 1 2 3 4 P 0.001 6 0.025 6 0.153 6 0.409 6 0.409 6 1．解决二项分布问题的两个关注点 (1)对于公式P(X＝k)＝ Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式． (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． 2．求二项分布的分布列的一般步骤 (1)判断所述问题是否是相互独立试验． (2)建立二项分布模型． (3)求出相应概率． (4)写出分布列． [变式训练] 现有10道题，其中6道甲类题、4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率； (2)已知所取的3道题中有2道甲类题、1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率是，答对每道乙类题的概率是，且各题答对与否相互独立，用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列． 解：(1)设事件A：“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有：“张同学所取的3道题都是甲类题”． 因为P()＝＝， 所以P(A)＝1－P()＝. (2)X所有可能的取值为0,1,2,3. P(X＝0)＝C×0×2×＝， P(X＝1)＝C×1×1×＋C0×2×＝， P(X＝2)＝C×2×0×＋C1×1×＝， P(X＝3)＝C×2×0·＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 　　　独立重复试验与二项分布的综合应用 [例3]　甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3个答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． (1)求随机变量ξ的分布列； (2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)． [思路点拨]　(1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n＝3，p＝. (2)AB表示事件A，B同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分． 解：(1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且 p(ξ＝0)＝C3＝， P(ξ＝1)＝C2＝， p(ξ＝2)＝C2＝， p(ξ＝3)＝C3＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P (2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以 AB＝C∪D，且C，D互斥， 又P(C)＝C2× ＝， P(D)＝C3＝， 由互斥事件的概率公式得 P(AB)＝P(C)＋P(D) ＝＋＝＝. 对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解． [变式训练] 实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)． (1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率； (2)求按比赛规则甲获胜的概率． 解：(1)甲、乙两队实力相当，所以每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. 记事件A＝“甲打完3局才能取胜”， 记事件B＝“甲打完4局才能取胜”， 记事件C＝“甲打完5局才能取胜”． ①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜．所以甲打完3局取胜的概率P(A)＝C×3＝. ②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负．所以甲打完4局才能取胜的概率P(B)＝C×2××＝. ③甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负，所以甲打完5局才能取胜的概率P(C)＝C×2×2×＝. (2)设事件D＝“按比赛规则甲获胜”， 则D＝A＋B＋C. 因为事件A，B，C两两互斥，所以P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝， 故按比赛规则甲获胜的概率为. [当堂达标] 1．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：B　[播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为 C2×＝.] 2．某学生通过英语听力测试的概率为，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：B　[记“恰有1次获得通过”为事件A， 则P(A)＝C·2＝.] 3．从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为________． 解析：P＝C×(0.1)2×(1－0.1)2＝0.048 6. 答案：0.048 6 4．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X表示取到次品的次数，则P(X≥2)＝________. 解析：因为是有放回地取产品，所以每次取产品(试验)取得次品(成功)的概率为， 从中取3次(做3次试验)，X为取得次品(成功)的次数，则X～B， ∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝ C×2×＋C3＝. 答案： 5．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响． (1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率； (2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率． 解：(1)记“甲射击3次，至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验． 故P(A1)＝1－P(1)＝1－3＝. (2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则 P(A2)＝C×2＝，P(B2)＝C×1×＝. 由于甲、乙射击相互独立，故 P(A2B2)＝×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$