4.1.3 独立性与条件概率的关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

4．1.3　独立性与条件概率的关系 课程标准 素养解读 1.了解独立性与条件概率的关系 2．会求相互独立事件同时发生的概率 3．综合应用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件同时发生的概率公式解题 1.通过辨析独立性与条件概率的关系，培养数学抽象素养 2．借助相互独立事件同时发生的概率公式解题，提升数学运算素养 [情境引入] 俗话说：三个臭皮匠顶个诸葛亮，在某次智者挑战大赛中，由甲、乙、丙三人组成“臭皮匠”团队，挑战“诸葛亮”．其中甲、乙、丙能答对某题目的概率分别为50%,40%,30%，而“诸葛亮”能答对该题目的概率是80%.比赛规则：各个选手独立答题，不得商量，团队中只要1人答出该题即为挑战成功． 问题：该挑战能否成功？ [知识梳理] [知识点]　事件的独立性　 1．事件A与B相互独立的充要条件是 P(AB)＝　P(A)P(B)　. 2．当P(B)>0时，A与B独立的充要条件是 P(A|B)＝P(A)． 3．推广：若A与B相互独立，则A与　　，与　B　，与　　也相互独立． 4．拓展：若A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2…An)＝　P(A1)P(A2)…P(An)　. 1.由P(AB)＝P(A)P(B)可以定义A，B相互独立，反之，由A，B相互独立能否推出P(AB)＝P(A)P(B)? 提示：能．结合条件概率的知识可知，P(AB)＝P(A)·P(B|A)，由于A，B相互独立， 因此P(B|A)＝P(B)，故P(AB)＝P(A)P(B)． 2．如果P(A)>0，A与B独立，则P(B|A)＝P(B)成立吗？ 提示：成立．P(B|A)＝＝＝P(B)． [预习自测] 1．判断正误 (1)对于事件A，B，若P(B|A)＝P(A)，则事件A与B相互独立．(　　) (2)事件A，B相互独立，则事件A与也相互独立．(　　) (3)若P( )＝P()P()，则事件与相互独立．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是(　　) A．相互独立事件　　　　 B．互斥事件 C．对立事件 D．不相互独立事件 解析：A　[A1的发生与否对A2不产生影响，故选A.] 3．(教材P58练习AT4改编)已知A与B独立，且P()＝0.7，则P(A|B)＝________. 解析：∵P()＝0.7，∴P(A)＝1－0.7＝0.3， 又A与B独立，所以P(A|B)＝P(A)＝0.3. 答案：0.3 4．张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.6，则预估做对第二道题的概率是________． 解析：设事件Ai(i＝1,2)表示“做对第i道题”，A1，A2相互独立， 由已知得：P(A1)＝0.8，P(A1A2)＝0.6， 由P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)＝0.8×P(A2)＝0.6 解得P(A2)＝＝0.75. 答案：0.75 　　　相互独立事件的判断 [例1]　一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩． [思路点拨]　依定义、公式和条件概率法依次判断． 解：法一：(利用定义) (1)有两个小孩的家庭，考虑男孩、女孩的可能情形为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)， 共有4个元素，由等可能性知概率均为. 这时A＝{(男，女)，(女，男)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB＝{(男，女)，(女，男)}， 于是P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝. 由此可知P(A∩B)≠P(A)P(B)， 所以事件A，B不相互独立． (2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)， 由等可能性知这8个元素的概率均为，这时A中含有6个元素，B中含有4个元素，AB中含有3个元素．于是P(A)＝＝，P(B)＝＝， P(AB)＝，显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立． 从而事件A与B是相互独立的． 法二：(利用条件概率与独立性的关系) (1)由题意可知P(B|A)＝， 又P(B)＝， 故P(B|A)≠P(B)． 所以A与B不相互独立． (2)由题意可知P(B|A)＝＝， 又P(B)＝＝， 故P(B|A)＝P(B)，所以A与B相互独立． 三种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立． (3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断． [变式训练] 1．判断下列各对事件是否是相互独立事件． (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出一个，取出的还是白球”； (3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”． 解：(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件． (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件． (3)法一：记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}， ∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝. ∴P(A∩B)＝P(A)·P(B)， ∴事件A与B相互独立． 法二：由法一可知P(B|A)＝， 又P(B)＝＝， ∴P(B|A)＝P(B)， ∴事件A与B相互独立． 　相互独立事件发生的概率 [例2] 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和.求： (1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率； (3)恰有一人能破译的概率； (4)至多有一人能破译的概率． 解：记“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件B，则A，B相互独立，从而A与，与B，与均相互独立． (1)“两人都破译”为事件AB，则 P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝. (2)“两人都不能破译”为事件 ，则 P＝P( )＝P()·P()＝[1－P(A)]·[1－P(B)] ＝×＝. (3)“恰有一人能破译”为(A )∪( B) 又A 与B互斥， 则P[(A )＋( B)]＝P(A )＋P( B) ＝P(A)·P()＋P()·P(B) ＝×＋×＝. (4)“至多有一人能破译”为事件(A )∪( B)∪( )， 且A ， B， 互斥，故 P[(A )＋( B)＋( )] ＝P(A )＋P( B)＋P( ) ＝P(A)·P()＋P()·P(B)＋P()·P() ＝×＋×＋×＝. 1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生． [变式训练] 2．小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求： (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率． 解：用A，B，C分别表示“这三列火车正点到达”的事件， 则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9， 所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1. (1)由题意得A，B，C之间互相独立， 所以恰好有两列火车正点到达的概率为 P1＝P( BC)＋P(A C)＋P(AB ) ＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P() ＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 P2＝1－P( ) ＝1－P()P()P() ＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994. 　　　利用事件之间的关系求概率 [例3]　在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率． [思路点拨]　由题目可获取以下主要信息：①3个开关并联；②每个开关闭合的概率是0.7，且闭合与否相互独立．解答本题可先作出一个线路图，再分情况讨论． 解：如图所示，记这段时间内开关KA，KB，KC能够闭合为事件A，B，C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P( ) ＝P()P()P() ＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027. 于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能够正常工作的概率是 1－P( )＝1－0.027＝0.973. 即这段时间内线路正常工作的概率是0.973. 解答此类题目时，先分析给的元件间是串联、并联还是串并联混合关系，在此基础上结合事件的相互独立性及互斥事件、对立事件的有关知识，依据“串联通易求，并联断易求”的原则，给予解答． [变式训练] 3．设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：D　[由P(A )＝P(B )，得P(A)P()＝P(B)P()， 即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]， ∴P(A)＝P(B)，又P( )＝， 则P()＝P()＝， ∴P(A)＝.] [当堂达标] 1．已知P(A|B)＝0.6，P(B|A)＝0.3，且A，B相互独立，则P(AB)等于(　　) A．0.18　 B．0.9　　 C．0.3　 D．无法求解 解析：A　[P(A|B)＝0.6，P(B|A)＝0.3且A，B相互独立， ∴P(A)＝0.6，P(B)＝0.3， ∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.3＝0.18.] 2．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B的关系是(　　) A．互斥事件　　　　　 B．对立事件 C．相互独立事件 D．不相互独立事件 解析：C　[由已知，P(A)＝1－＝，P(B)＝1－＝，P(A∩B)＝，满足P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立．] 3．甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果两个气象台预报准确的概率分别是0.8与0.9，那么在一次预报中，两个气象台都能预报准确的概率是________． 解析：所求概率为0.8×0.9＝0.72. 答案：0.72 4．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，则停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________． 解析：依题意得，该选手第2个问题回答错误，第3个、第4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能．由相互独立事件的概率计算公式，得所求概率为1×0.2×0.82＝0.128. 答案：0.128 5．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内，求： (1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率； (2)至少有一个气象台预报准确的概率． 解：记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B. (1)P(A∩B)＝P(A)×P(B)＝×＝. (2)至少有一个气象台预报准确的概率为 P＝1－P(∩)＝1－P()×P()＝1－×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$