4.1.2 第2课时 全概率公式、贝叶斯公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

第2课时　全概率公式、贝叶斯公式 课程标准 素养解读 1.理解并掌握全概率公式 2．了解贝叶斯公式 3．会用全概率公式及贝叶斯公式解题 1.通过学习全概率公式及贝叶斯公式，体会逻辑推理的数学素养 2．借助全概率公式及贝叶斯公式解题，提升数学运算的素养 [情境引入] 有三个罐子，1号装有2红1黑球，2号装有3红1黑球，3号装有2红2黑球．某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率． 问题：如何求取得红球的概率？ [知识梳理] [知识点一]　全概率公式　 (1)P(B)＝　P(A)P(B|A)＋P()P(B|)　； (2)定理1：若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…An＝Ω； ③P(Ai)>0，i＝1,2，…，n. (3)全概率公式求概率的关注点 ①实质：为了求复杂事件的概率，往往可以把它分解成若干个互斥的简单事件之和，然后利用条件概率和乘法公式，求出这些简单事件的概率，最后利用概率可加性，得到最终结果． ②应用：把事件B看作某一过程的结果，把A1，A2，…，An…看作该过程的若干个原因，根据历史资料，每一原因发生的概率(即P(An))已知，而且每一原因对结果的影响程度(即P(B|An))已知，则可用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B))． 全概率公式体现了哪种数学思想？ 提示：　全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可． [知识点二]　贝叶斯公式　 (1)一般地，当0<P(A)<1且P(B)>0时，有P(A|B)＝ ＝　　 (2)定理2：若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1，2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③1>P(Ai)>0，i＝1,2，…，n.则对Ω中的任意概率非零的事件B，有 P(Aj|B)＝＝　　 [预习自测] 1．判断正误 (1)P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)．(　　) (2)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(|A)．(　　) (3)P(A|B)＝＝.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．已知事件A，B，且P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)等于(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：C　[P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) ＝×＋×＝.故选C.] 3．质量调查发现，某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率为(　　) A．99.5%　　　　　 B．88.5% C．98.5% D．87.5% 解析：B　[设Ai(i＝1,2,3)分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B：是优质品，则P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%，所以，由全概率公式可知，P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3) ＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%.] 4．现有8道4选1的单选题，学生李明对其中的6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.8，没有思路的题只好任意选一个答案，猜对答案的概率为0.25，李明从这8道题中任选1题，则他做对该题的概率为________． 解析：设A：李明选的是有思路的题，B：答对该题，则P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，所以，由全概率公式可知，P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()·P(B|)＝×＋×＝. 答案： 　　　全概率公式及其应用 [例1]　某投篮小组共有20名投手，其中一级投手4人，二级投手8人，三级投手8个，一、二、三级投手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.4.求任选一名投手能通过选拔进入比赛的概率． [思路点拨]　把样本空间分为一、二、三级三种情况，求出每一种情况下的概率，然后根据互斥事件的概率加法公式求解． 解：问题实际上涉及到两个部分：第一，选出的投手不知道是哪个级别的，由全概率公式知，都应该考虑到，才为全面．第二，某个级别的投手能通过选拔进入比赛的概率这是已知道的，记为：Ai＝“选出的i级投手”，i＝1,2,3，则A1，A2，A3构成一个完备事件组，有： A1∪A2∪A3＝Ω，且AiAj＝，i≠j，i、j＝1,2,3 由题意：P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝. 令B＝“选出的投手能通过选拔进入比赛”． 则：P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝×0.9＋×0.7＋×0.4＝62%. 即任选一名选手能通过选拔进入比赛的概率为62%. 全概率公式的适用范围及步骤 什么样的问题适合用全概率公式求解？所研究的事件试验前提或前一步骤有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． 运用全概率公式的一般步骤如下： (1)求出样本空间Ω的一个划分A1，A2，…，An； (2)求P(Ai)(i＝1,2，…，n)； (3)求P(B|Ai)＝(i＝1,2，…，n)； (4)求目标事件的概率P(B)． 可以形象地把全概率公式看成“由原因推结果”． [变式训练] 1．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 解：(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为 C＝＝28， 这2个产品都是次品的事件数为C＝3. ∴这2个产品都是次品的概率为. (2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥． P(B1)＝＝，P(B2)＝＝， P(B3)＝＝，P(A|B1)＝， P(A|B2)＝，P(A|B3)＝， ∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋ P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝. 　贝叶斯公式及其应用 [例2] 甲盒装有1个白球2个黑球，乙盒装有3个白球2个黑球，丙盒装有4个白球1个黑球，采取掷一骰子决定选盒，出现1、2或3点选甲盒，4、5点选乙盒，6点选丙盒，在选出的盒里随机摸出一个球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得一个白球，求此球来自乙盒的概率． [思路点拨]　先求出摸得白球的概率，再求此球来自乙盒的概率． 解：设A1＝{摸出的球来自甲盒}， A2＝{摸出的球来自乙盒}， A3＝{摸出的球来自丙盒}， B＝{摸得白球}， 则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝， P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝， 于是由贝叶斯公式可知白球来自乙盒的概率为 P(A2|B)＝ ＝＝. 1．贝叶斯公式的应用 把事件B看作某一过程的结果， 把A1，A2，…，An…看作该过程的若干个原因，根据历史资料，每一原因发生的概率即P(An)已知，而且每一原因对结果的影响程度(即P(B|An))已知，如果已知事件B已经发生，要求此时是由第i个原因引起的概率，则用贝叶斯公式(即求P(Ai|B))． 2．利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算P(A)，即P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)； 第二步：计算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解； 第三步：代入P(B|A)＝求解． [变式训练] 2．某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？ 解：设Ai＝第i条流水线生产的产品，i＝1,2,3,4；B＝抽到不合格品， ∴P(A1)＝0.15；P(A2)＝0.20；P(A3)＝0.30；P(A4)＝0.35. ∴P(B|A1)＝0.05；P(B|A2)＝0.04；P(B|A3)＝0.03；P(B|A4)＝0.02； (1)P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝0.0315. 　　　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 [例3]　同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起． (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？ [思路点拨]　首先分清是全概率还是贝叶斯概率，然后选择公式求解． 解：设事件A表示“取到的产品为正品”，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”， 由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5， P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8. (1)由全概率公式得： P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86. (2)由贝叶斯公式得 P(B1|A)＝＝≈0.220 9， P(B2|A)＝＝≈0.314 0， P(B3|A)＝＝≈0.465 1. 由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大． 若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么： (1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式； (2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效． [变式训练] 3．假定具有症状S＝{S1，S2，S3，S4}的疾病有d1，d2，d3三种，现从20 000份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数字： 疾病 人数 出现S症状人数 d1 7 750 7 500 d2 5 250 4 200 d3 7 000 3 500 试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？ 解：以A表示事件“患有出现S中的某些症状”， Di表示事件“患者患有疾病di”(i＝1,2,3)，由于该问题观察的个数很多，用事件的频率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知 P(D1)＝＝0.387 5，P(D2)＝＝0.262 5， P(D3)＝＝0.35，P(A|D1)＝≈0.967 7， P(A|D2)＝＝0.8，P(A|D3)＝＝0.5. 从而P(A)＝P(A|D1)P(D1)＋P(A|D2)P(D2)＋P(A|D3)P(D3)＝0.387 5×0.967 7＋0.262 5×0.8＋0.35×0.5≈0.76.由贝叶斯公式得 P(D1|A)＝＝≈0.493 4， P(D2|A)＝＝ ≈0.276 3， P(D3|A)＝＝ ≈0.230 3， 从而推测病人患有疾病d1较为合理． [当堂达标] 1．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为(　　) A．0.21　 B．0.06　　 C．0.94　 D．0.95 解析：D　[令B＝取到的零件为合格品，Ai＝零件为第i台机床的产品，i＝1,2.由全概率公式得： P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2) ＝×0.96＋×0.93＝0.95.故选D.] 2．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为(　　) A．0.08　 B．0.1　　 C．0.15　 D．0.2 解析：A　[以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品， P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝， P(B|A1)＝，P(B|A2)＝， P(B|A3)＝； 则由全概率公式，所求概率为 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋× ＝0.08.] 3．设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2,3,4,5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：A　[设Ai：取到第i号袋子，i＝1,2,3,4,5. B：取到白球，由贝叶斯公式得 ＝＝.] 4．某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别有2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组在比赛中射中目标的概率为________． 解析：设B＝{该小组在比赛中射中目标}， Ai＝{选i级射手参加比赛}，(i＝1,2,3,4)． 由全概率公式，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝ ×0.85＋×0.64＋×0.45＋×0.32＝0.527 5. 答案：0.527 5 5．某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%、35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65、0.70和0.85，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率． 解：设A1：药材来自甲地，A2：药材来自乙地，A3：药材来自丙地，B：抽到优等品． P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.35，P(A3)＝0.25， P(B|A1)＝0.65，P(B|A2)＝0.7，P(B|A3)＝0.85，P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)P(A3)＝0.65×0.4＋0.7×0.35＋0.85×0.25＝0.717 5. 学科网（北京）股份有限公司 $$