3.3 第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

第2课时　二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用 课程标准 素养解读 1.掌握二项式系数的性质及其应用 2．了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明 3．掌握二项式定理的应用 1.通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养 2．借助杨辉三角的学习，提升数学抽象的素养 [情境引入] 杨辉三角 杨辉三角是一个由数学排列成的三角形数表，一般形式如下： 1 1　1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　6　4　1 1　5　10　10　5　1 1　6　15　20　15　6　1 杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和． 杨辉，字谦光，钱塘(今杭州)人，我国南宋时期杰出的数学家，与秦九韶、李冶、朱世杰并称宋元四大数学家，他在我国古代数学史和数学教育史上占有十分重要的地位． 杨辉对幻方的研究源于一个小故事．当时杨辉是台州的地方官，一次外出巡游，碰到一孩童挡道，杨辉问明原因方知是一孩童在地上做一道数学题，杨辉一听来了兴趣，下轿来到孩童旁问是什么算题．原来这个孩童在算一位老先生的一道趣：把1到9的数字分行排列，不论竖着加、横着加，还是斜着加，结果都等于15.杨辉看到这个算题时想起来他在西汉学者戴编纂的《大戴礼》一书中也见过．杨辉想到这儿，和孩童一起算了起来，直到午后，两人终于将算式摆出来了．后来，杨辉随孩童来到老先生家里，与老先生谈论起数学问题来．老先生说：“北周的甄弯注《数术记遗》一书中写过‘九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．’”杨辉听了，这与自己与孩童摆出来的完全一样，便问老先生：“你可知这个九宫图是如何造出来的？”老先生说不知道．杨辉回到家中，反复琢磨．一天，他终于发现一条规律，并总结成四句话：“九子斜排，下下对易，左右相更，四维挺”出，就是说：先把1～9九个数依次斜排，再把上1下9两数对调，左7右3两数对调，最后把四面的2、4、6、8向外面挺出，这样三阶幻方就填好了．杨辉研究出三阶幻方(也叫络书或九宫图)的构造方法后，又系统的研究了四阶幻方至十阶幻方，在这几种幻方中杨辉只给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法．但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准备无误，可见他已经掌握了高阶幻方的构成规律． 结合杨辉三角与二项展开式中二项式系数，你能发现什么联系？ [知识梳理] [知识点一]　杨辉三角具有的性质　 1.每一行都是　对称　的，且两端的数都是1； 2．从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数　之和　. 3．对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．这一性质可直接由　C＝C　得到．直到r＝将函数 f(x)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴． 4．增减性与最大值 (1)当k＜时，C随k的增加而　增大　，当k＞时，C 随k的增加而　减小　. 1.二项式的系数取得最大值的项的系数一定是系数中最大的吗？ 提示：不一定．如果项的系数中还有其他的常数，则该项的系数不一定最大． 2．C，C，C之间有什么关系？ 提示：C＝C＋C. [知识点二]　二项式系数的性质　 1.C＋C＋C＋…＋C＝2n； 2．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 3.C＋C＋C…＝？C＋C＋C5…＝？ 提示：C＋C＋C…＝C＋C＋C…＝2n－1. [预习自测] 1．判断正误 (1)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)．(　　) (2)二项式展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和．(　　) (3)二项展开式项的系数是先增后减的．(　　) (4)杨辉三角中每行两端的数都是1.(　　) 提示：(1)×，二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关。 (2)×.在二项式(a＋b)n中只有当a，b的系数都为1时，展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和． (3)×.二项式系数是随n的增加先增后减的，二项式项的系数和a，b的系数有关． (4)√.根据杨辉三角的特点可知． 2．(＋)n的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是(　　) A．第8项　　　　　 B．第9项 C．第8项和第9项 D．第11项和第12项 3．(2x－1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________． 解析：令展开式左、右两边x＝1，得各项系数和为1；各二项式系数之和为26＝64. 答案：1　64 4．(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8＝________. 解析：由题意可知a8是x8的系数，所以a8＝C·22＝180. 答案：180 　　求二项展开式中有关系数的和 [例1] 在二项式(2x－3y)9展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和． [思路点拨]　设出展开式的形式，再适当赋值． 解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. (1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29. (2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令x＝1，y＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1， 令x＝1，y＝1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59. 将两式相加，可得 a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，即为所有奇数项系数之和． (4)法一：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9， 令x＝1，y＝－1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59； 法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9展开式中各项系数和，令x＝1，y＝1得， |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59. 1．解决二项式系数和问题思维流程 2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差． [变式训练] 1.设(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 021·x2 021(x∈R)． (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 021的值； (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 021的值； (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 021|的值． 解：(1)令x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 021＝(－1)2 021＝－1.① (2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 021＝32 021.② ①－②得 2(a1＋a3＋…＋a2 021)＝－1－32 021， ∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝. (3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r， ∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 021| ＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＝32 021. 　　求二项展开式中有关系数最大的项 [例2] (1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． [思路点拨]　根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性，确定出二项式系数最大的项． 解：T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C25＝C26⇒n＝8. ∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C·(2x)4＝1 120x4. 设第r＋1项系数最大，则有 ⇒5≤r≤6.∴r＝5或r＝6. ∵r∈， ∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6. (1)二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论． ①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大． ②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第r＋1项最大，应用解出r，即得出系数的最大项． (3)理解运算对象，选择运算方法，求得运算结果．通过运算促进数学思维发展，提升数学运算的核心素养． [变式训练] 2．已知二项式(＋2x)n. (1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数； (2)若展工式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解：(1)由题意，得C＋C＝2C， 所以n2－21n＋98＝0， 所以n＝7或n＝14. 当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，T4的系数为C×()4×23＝，T5的系数为C×()3×24＝70. 故展开式中二项式系数最大项的系数分别为，70.当n＝14，展开式中二项式系数最大的项是T8，所以T8的系数为C×()7×27＝3 432. 故展开式中二项式系数最大项的系数为3 432. (2)由题意知C＋C＋C＝79， 解得n＝12或n＝－13(舍去)． 设展开式中第(r＋1)项的系数最大． 由于(＋2x)12＝()12(1＋4x)12， 则 所以9.4≤r≤10.4. 又r∈，所以r＝10， 所以系数最大的项为T11， 且T11＝()12·C·(4x)10＝16 896x10. 与“杨辉三角”有关的问题 [例3] 如图所示，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值． [思路点拨]　由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第17项是C，第18项是C，第19项是C. 解：S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C ＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C＋C)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C ＝＋C＝＋220＝274. “杨辉三角”问题解决的一般方法 [变式训练] 3．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3. 第0行1 第1行1　1 第2行1　2　1 第3行1　3　3　1 第4行1　4　6　4　1 第5行1　5　10　10　5　1 … …… …　　… … 解析：由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以C∶C＝2∶3，即＝，解得n＝34，所以第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3. 答案：34 　　　 利用二项式定理解决带队问题或求余数问题 [例4] (1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除； (2)求9192被100除所得的余数． [思路点拨]　(1)1110－1＝(1＋10)10－1展开求证便可； (2)9192＝(100－9)92,992＝(10－1)92展开求解便可． 解　(1)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1 ＝(1010＋C·109＋C·108＋…＋C·10＋1)－1 ＝1010＋C·109＋C·108＋…＋102 ＝100(108＋C·107＋C·106＋…＋1)， ∴1110－1能被100整除． (2)9192＝(100－9)92＝C·10092－C·10091·9＋C10090·92－…＋C992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数． ∵992＝(10－1)92＝C·1092－C·1091＋…＋C·102－C·10＋1，前91项能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81. 1．利用二项式定理解决整除问题的基本思路 利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除．因此，一般先将被除式化为含有相关除式的二项式，再展开，此时常采用“配凑法”“消去法”，结合整除的有关知识来处理． 2．利用二项式定理求余数的注意点 求余数时，要注意余数的范围，即余数大于零且小于除数．利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意进行转化． [变式训练] 4．(1)求证32n＋2－8n－9(n∈N＋)能被64整除； (2)求230－3除以7的余数． 解　(1)证明：32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝C8n＋1＋C8n＋…＋C－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋C·8＋1－8n－9＝C8n－1＋C＋8n＋…＋C82. 该式第一项都含因式82，故能被64整除． (2)230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3 ＝C710＋C79＋…＋C7＋C－3＝7×(C79＋C78＋…＋C)－2. 又∵余数不能为负数(需转化为正数)，∴230－3除以7的余数为5. [当堂达标] 1．观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是(　　) 1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　a　4　1 1　5　10　10　5　1 A．8　　　　　　　　 B．6 C．4 D．2 解析：B　[由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6.] 2．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是(　　) A．第8项 B．第7项 C．第9项 D．第10项 解析：C　[由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．] 3．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是(　　) A．1 B．－1 C．215 D．315 解析：B　[令x＝1即得各项系数和，∴各项系数和为－1.] 4．已知(＋2x)n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项的系数为________． 解析：由C＋C＋C＝37，得1＋n＋n(n－1)＝37. 解得n＝8(负值舍去)，则第5项的二项式系数最大， T5＝C××(2x)4＝x4，该项的系数为. 答案： 5．求(1－3x)12的展开式中： (1)各项二项式系数之和； (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和； (4)各项系数和； (5)各项系数绝对值和； (6)奇数项系数和与偶数项系数和． 解：(1)各项二项式系数和为C＋C＋C＋…＋C＝212＝4 096. (2)奇数项二项式系数和为C＋C＋C＋…＋C＝211＝2 048. (3)偶数项二项式系数和为C＋C＋C＋…＋C＝211＝2 048. (4)(1－3x)12＝C－C·3x＋C(3x)2－C(3x)3＋…＋C(3x)12，令x＝1，得各项系数和为(1－3)12＝4 096. (5)令x＝－1，得各项系数的绝对值和为(1＋3)12＝412＝16 777 216. (6)令奇数项系数和为A，偶数项系数和为B. 令x＝1得A＋B＝212；令x＝－1得A－B＝412. ∴A＝(212＋412)＝8 390 656， B＝(212－412)＝－8 386 560. 学科网（北京）股份有限公司 $$