3.1.3 第1课时 组合与组合数-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

3．1.3　组合与组合数 第1课时　组合与组合数 课程标准 素养解读 1.理解组合与组合数的概念 2．会推导组合数公式，并会应用公式求值 3．理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明 1.通过学习组合与组合数的概念，培养数学抽象的素养 2．借助组合数公式及组合数的性质进行计算，培养数学运算的素养. [情境引入] 某国际会议中心有A、B、C、D、E等5种不同功能的会议室，且每种功能的会议室又有大、中、小和特小等4种型号，总共20个会议室．现在有一个国际学术会议需要选择3种不同功能的6个会议室，并且每种功能的会议室选2个型号．试问会议中心的工作人员有多少种安排会议室的方法？ 提示：会议中心的工作人员有C(C)3＝2 160种安排会议室的方法。 [知识梳理] [知识点一]　组合的概念　 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象　并成一组　，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合． 组合概念的两个要点 (1)取出的对象是不同的； (2)“只取不排”，即取出的m个对象与顺序无关，无序性是组合的特征性质． (1)组合对元素有何要求？ 提示：组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的。 (2)组合是有放回抽取还是无放回抽取？ 提示：无放回抽取，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出。 [知识点二]　组合数的概念、公式　 定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数 表示 C(n，m∈N且m≤n) 组合数公式 乘积式 C＝＝ 组合数的性质 (1)C＝C (2)C＋C＝C 阶乘式 C＝ 组合数的两个性质在计算组合数时有何作用？ 提示：第一个性质中，若m＞，通常不直接计算C，而改为计算C，这样可以减少计算量；第二个性质是根据需要将一个组合数拆解成两个组合数或者把两个组合数合成一个组合数，在解题中要注意灵活运用． [预习自测] 1．判断正误． (1)从3,5,7,11中任取两个数相除属于组合问题．(　　) (2)由于组合数的两个公式都是除法公式，所以结果不一定是整数．(　　) (3)区别组合与排列的关键是看问题元素是否与顺序有关．(　　) 提示：(1)×.由于两个数相除与顺序有关，所以是排列问题． (2)×.C是从n个元素中取m个元素的情况的种数，故C一定是正整数． (3)√.组合与排列不同之处是组合选出的元素没有顺序而排列有顺序． 2．若C＝28，则n＝(　　) A．9　　 B．8　　　 C．7　　 D．6 解析：B　[C＝＝28，即n＝8.] 3．(一题两空)C＝________，C＝________. 解析：C＝＝153， C＝＝18. 答案：153　18 4．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________． 解析：从四个数中任取两个数的取法为C＝6. 答案：6 　对组合概念的理解 [例1] 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)设集合A＝则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ (2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ (3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ (4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？ [思路点拨]　区分排列与组合问题，关键是利用排列与组合的定义，组合是“只选不排、并成一组，与顺序无关．” 解：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题． (2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题． (3)因为一种分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题． (4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题． 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． [变式训练] 1.判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数． (1)10人相互通一次电话，共通多少次电话？ (2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，先进行多少场次？ (3)从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表，有多少种选法？ 解：(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为C＝45. (2)是组合问题，因为每两支球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为C＝45. (3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别，组合数为C＝120. (4)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为A＝720. 　组合数公式的应用 [例2] (1)计算C－C·A； (2)解方程3C＝5A (3)解不等式：2C＜3C. [思路点拨]　根据题目特点，选择适当的组合数公式进行求解 解：(1)原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0. (2)由排列数和组合数公式，原方程可化为 3·＝5·， 则＝，即为(x－3)(x－6)＝40. ∴x2－9x－22＝0， 解得x＝11或x＝－2. 经检验知x＝11是原方程的根，x＝－2是原方程的增根． ∴方程的根为x＝11. (3)∵2C＜3C，∴2C＜3C， ∴2×＜3×. ∴＜.∴x＜. ∵∴x≥2，∴x＝2,3,4,5. ∴不等式的解集为. 关于组合数公式的选取技巧 (1)涉及具体数字的可以直接用C＝·＝＝C进行计算． (2)涉及字母的可以用阶乘式C＝计算． (3)计算时应注意利用组合数的性质C＝C简化运算． [变式训练] 2．(1)式子可表示为(　　) A．A　　　　 B．C C．101C D．101C (2)求值：C＋C (1)D　[分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n＋100，最小的为n，故 ＝101 ＝101C] (2)解：由组合数定义知： 所以4≤n≤5，又因为n∈N， 所以n＝4或5. 当n＝4时，C＋C＝C＋C＝5； 当n＝5时，C＋C＝C＋C＝16. 简单的组合问题 [例3] 某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个，从其中任取10个进行检验，那么(各题列出算式即可，不必计算最后结果) (1)一共有多少种抽取结果？ (2)全部抽到一等品的结果有多少种？ (3)抽不到一等品的结果有多少种？ (4)恰抽到5个一等品的结果有多少种？ (5)恰抽到1个一等品、2个二等品的结果有多少种？ (6)至少抽到1个一等品的结果有多少种？ [思路点拨]　由于本题中对部分元素是“只取不排”，故是组合问题．解题时应准确理解各关键词的含义． 解：(1)这批产品一共有100＋80＋30＝210个，从其中任取10个进行检验，共有C种抽取结果． (2)这批产品中有一等品100个，取出10个一等品，共有C种抽取结果． (3)抽不到一等品，相当于从二等品和三等品中抽取10个进行检验．而二等品和三等品共有80＋30＝110个，所以抽不到一等品的抽取结果共有C种． (4)恰抽取5个一等品，剩下的5个产品从二等品和三等品中抽取． 分步计数：先抽取5个一等品，再抽取5个非一等品． 根据乘法计数原理，一共有C·C种抽取结果． (5)恰抽到1个一等品，2个二等品，剩下的7个产品从三等品中抽取． 分步计数：先抽取1个一等品，再抽取2个二等品，最后抽取7个三等品． 根据乘法计数原理，一共有C·C·C种抽取结果． (6)“抽取的10个产品中，至少有一个一等品”是“没有抽到一等品”的反面，因此，用所有的抽取结果数减去没有抽到一等品的结果数即可． 所以至少抽到一个一等品的结果共有C－C种． 1．解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关． 2．要注意两个计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用．在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏． [变式训练] 3．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是C＝＝56. (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C＝＝21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝35. [当堂达标] 1．下列四个问题属于组合问题的是(　　) A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 解析：C　[A、B、D项均为排列问题，只有C项是组合问题．] 2．若A＝12C，则n等于(　　) A．8 B．5或6 C．3或4 D．4 解析：A　[A＝n(n－1)(n－2)，C＝n(n－1)， 所以n(n－1)(n－2)＝12×n(n－1)． 由n∈N＋，且n≥3，解得n＝8.] 3．某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门，若要求两类课程中至少各选1门，则不同的选法共有(　　) A．15种 B．30种 C．45种 D．90种 解析：C　[分两类，A类选修课选1门，B类选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有C·C＋C·C＝45(种)选法．] 4．五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；如果是有向线段，共有________条． 解析：从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有C＝10(条)．再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A＝20.所以有向线段共有20条． 答案：10　20 5．解方程式：C＝C. 解：由原方程及组合数性质可知， 3n＋6＝4n－2或3n＋6＝18－(4n－2)， 所以n＝2或n＝8，而当n＝8时， 3n＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去． 因此n＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$