3.1.2 第2课时 排列数的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

第2课时　排列数的应用 课程标准 素养解读 1.进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解题方法 2．能应用排列知识解决简单的实际问题 1.通过排列知识解决实际问题，提升逻辑推理的素养 2．借助排列数公式计算，提升数学运算的素养 [情境引入] 上海影城是国内和东南亚最大的影城，共有九座风格各异的电影放映厅，SR立体声音响效果撼人．第一放映厅：总共有1 080座，红色基调热烈辉煌，22 m×10.5 m银幕雄居全国之冠．上海影城建筑风格独特典雅，环境恢宏气派，功能设施齐全，作为世界九大电影节之一——上海国际电影节的主会场，已成为上海标志性的文化建筑． 某次电影展，有12部参赛影片，影展组委会两天在某一影院播映这12部电影，每天6部，其中有2部电影要求不在同一天放映，共有多少种不同的排片方案？ [知识梳理] [知识点一]　排列及其应用　 1．排列数公式 A＝　n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)　(n，m∈N＋，m≤n) ＝　　. A＝　n(n－1)(n－2)…2·1　＝　n！　(读作n的阶乘)．另外我们规定0！＝　1.　 2．应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤 3．求解排列应用题的主要方法有： (1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算； (2)特殊元素(或位置)优先安排的方法； (3)合理分类与准确分步的方法； (4)相邻问题捆绑处理的方法； (5)不相邻问题插空处理的方法； (6)分排问题直排处理的方法； (7)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法； (8)定序问题除法处理的方法； (9)正难则反，等价转化的策略； (10)复杂排列问题通过试验、画简图等直观化的处理方法． [预习自测] 1．某班下午有三节课，欲从语文、数学、英语、物理、化学中任选三科来安排，则不同排课法的种数是(　　) A．15　　 B．A　　　 C．35　　 D．53 解析：B　[把下午三节课看成“3个位置”，把语文、数学、英语、物理、化学看成“5个元素”，分别用A，B，C，D，E来表示，一种排课法可看作是从A，B，C，D，E中取出3个按顺序分给三节课，分配的时候有顺序之分，故所有不同排课法的种数是A.] 2．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有(　　) A．24种 B．48种 C．96种 D．144种 解析：C　[由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步， ∴从第一个位置和最后一位置选一个位置把A排列，有A＝2种方法， ∵程序B和C实施时必须相邻， ∴把B和C看作一个元素，同除以 A外的3个元素排列，注意 B和 C 之间还有一个排列，共有AA＝48种方法，根据分步乘法计数原理知共有2×48＝96种编排方法，故选C.] 3．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面旗，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示________种不同的信号． 解析：分三类完成： 第1类，挂1面旗，可以表示A种不同的信号； 第2类，挂1面旗，可以表示A种不同的信号； 第3类，挂3面旗，可以表示A种不同的信号； 根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15(种)． 答案：15 　无限制条件的排列问题 [例1] (1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ (2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ [思路点拨]　(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，每人得到的书不同，属于求排列 数问题； (2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，每人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算． 解：(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法． (2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法． 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取． [变式训练] 1．将4位司机、4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，每辆汽车分别有1位司机和1位售票员，则共有________种不同的分配方案． 解析：解决这个问题可以分为两步： 第1步，把4位司机分配到4辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有A种方法； 第2步，把4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，也有A种方法． 由分步乘法计数原理知，分配方案共有A·A＝576(种)． 　特殊元素或特殊位置问题 [例2] 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端． [思路点拨]　特殊元素甲、乙优先安排，或先安排特殊位置左、右两端． 解：(1)法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A·A＝480种． 法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人中选2个人站，有A种站法，然后其余4人有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A·A＝480种． 法三：若对甲没有限制条件共有A种站法，甲在两端共有2A种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有A－2A＝480种． (2)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A种，根据分步乘法计数原理，共有A·A＝48种站法． (3)法一：甲在左端的站法有A种，乙在右端的站法有A种，且甲在左端而乙在右端的站法有A种，共有A－2A＋A＝504种站法． 法二：以元素甲分类可分为两类：a.甲站右端有 A种，b.甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有A·A·A，故共有A＋A·A·A＝504种站法． “特殊”优先原则 常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，解题原则是谁“特殊”谁优先．一般从以下三种思路考虑： (1)以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素；(2)以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置；(3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．以上三种思路可以简化为下图． 一般地，当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分步解决；若相互影响，则先分类，然后在每一类中再分步解决． [变式训练] 2．从6名运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，求满足下列条件的参赛方法数： (1)甲不能跑第一棒和第四棒； (2)甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒． 解：(1)法一：(元素分析法)： 从人(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类： 第一类，甲不参赛，有A种参赛方法． 第二类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有A种方法，然后安排其他三棒，有A种方法，此时有AA种参赛方法． 综上，甲不跑第一棒和第四棒的参赛方法有A＋AA＝240(种)． 法二：(位置分析法)： 从位置的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，这两棒可以从除甲以外的5人中选2人，有A种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A种方法． 所以甲不跑第一棒和第四棒的参赛方法有AA＝240(种)． 法三：(间接法)： 不考虑对甲的约束，6个人占4个位置，有A种安排方法，甲跑第一棒或第四棒的参赛方法有2A种，所以甲不跑第一棒和第四棒的参赛方法有A－2A＝240(种)． (2)法一：(元素分析法)： 从人(元素)的角度考虑，优先考虑乙，可分为如下两类： 第一类，乙参加比赛，此时优先考虑乙，分为两种情况： (ⅰ)乙跑第一棒，有A＝60(种)方法； (ⅱ)乙不跑第一棒，有A种方法(跑第二棒或第三棒)． 此时按甲是否参赛，又分为两类： ①甲参赛，有AA种方法； ②甲不参赛，有A种方法． 故此时(乙不跑第一棒)共有A(AA＋A)＝96(种)方法． 由分类加法计数原理，得乙参加比赛共有60＋96＝156(种)方法． 第二类，乙不参赛，①若甲参赛，先考虑甲，有A种方法，此时共有AA种方法；②若甲不参赛，则有A种方法． 从而乙不参赛时共有AA＋A＝96(种)方法． 综上，共有156＋96＝252(种)参赛方法． 法二：(位置分析法)： 从位置的角度考虑，第一棒与第四棒为特殊位置，优先考虑第一棒，分为如下两类： 第一类，第一棒为乙，则第四棒无限定条件，共有A种安排方法． 第二类，第一棒不为乙，则第一棒有A种安排方法，第四棒(不能为乙和已跑第一棒的人)有A种安排方法，其余两棒共有A种安排方法，从而第一棒不为乙共有AAA种安排方法． 由分类加法计数原理，得共有A＋AAA＝252(种)参赛方法． 　　元素“相邻”与“不相邻”问题 [例3] 3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数． (1)全体站成一排，男、女各站在一起； (2)全体站成一排，男生必须站在一起； (3)全体站成一排，男生不能站在一起； (4)全体站成一排，男、女各不相邻． [思路点拨]　相邻元素，一般用“捆绑法”，不相邻元素，一般用“插空法”． 解：(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A种排法； 女生必须站在一起是女生的全排列，有A种排法； 全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法． 由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288种排队方法． (2)三个男生全排列有A种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A种排法．故有A·A＝720种排队方法． (3)先安排女生，共有A种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A种排法， 故共有A·A＝1 440种排法． (4)排好男生后让女生插空， 共有A·A＝144种排法． 1．求解相邻问题的方法——“捆绑法” “捆绑法”是较为简单的求解相邻问题的方法，其模型为：将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同的排法种数．其解题方法如下． 先将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有A种排法；再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有A种排法．根据分步乘法式计数原理可知，符合条件的排法共有A·A种． 2．求解不相邻问题的方法——“插空法” 解决不相邻问题常用“插空法”，其模型为将n个不同的元素排成一排，其中k个元素互不相邻(k≤n－k＋1)，求不同的排法种数．其解题方法如下： (1)将没有要求的(n－k)个对象排成一排，其排列方法有A种；(2)将要求互不相邻的k个对象插入(n－k＋1)个空中，其排列方法有A种．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有A·A种． [变式训练] 3．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种． (1)一个唱歌节目开头，另一个压台； (2)2个唱歌节目互不相邻； (3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻． 解：(1)先排唱歌节目有A种排法，再排其他节目有A种排法，所以共有A·A＝1 440种排法． (2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A种插入方法，所以共有A·A＝30 240种排法． (3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A种排法，故所求排法共有：A·A·A＝2 880种排法． 　　排列中的定序问题 [例4] (1)东京夏季奥运会因为2020年的新型冠状病毒肺炎疫情由2020年夏季改为2021年夏季举办，其中将设置4×100米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出 2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场．若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者蛙泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队参赛的安排共有(　　) A．144种　 B．8种　　 C．24种　 D．12种 (2)7个人排成一排． ①甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？ ②甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？ [思路点拔]　先排无顺序的，再按要求确定元素的顺序 解：(1)B　[由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有2种安排方法，其他两名运动员有A＝2种安排方法，共计2×2＝4种方法， 若甲承担自由泳，则乙运动员有2种安排方法，其他两名运动员有A＝2种安排方法，共计2×2＝4种方法， 所以中国队共有4＋4＝8种不同的安排方法．] (2)①甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有＝2 520(种)不同的排法． ②甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左自右顺序的排法种数占全体全排列种数的.故有＝840(种)不同的排法． 定序问题的解题策略 这类问题的解法是采用分类法．n个不同元素的全排列有A种排法，m个不同元素的全排列有A种排法．因此A种排法中，关于m个元素的不同分法有A类，而且每一分类的排法数是一样的．当这m个元素顺序确定时，共有种排法． [变式训练] 4．7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？ 解析：7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同的站法，所以共有2＝420(种)不同的站法． [当堂达标] 1．6位学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为(　　) A．36 B．120 C．240 D．720 解析：D　[不同的排法有A＝6×5×4×3×2×1＝720 (种)．] 2．某单位安排7位员工在10月1日到7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有(　　) A．504种 B．960种 C．1 008种 D．1 108种 解析：C　[依题意，满足甲、乙两人安排在相邻两天的方案共有AA＝1 440(种)，其中满足甲、乙两人安排在相邻两天且丙安排在10月1日的方案共有AA＝240(种)，满足甲、乙两人安排在相邻两天且丙安排在10月1日、丁安排在10月7日的方案共有AA＝48(种)． 因此，满足题意的方案共有1 440－2×240＋48＝1 008(种)．] 3．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个． 解析：先排奇数位有A种，再排偶数位有A种，故共有AA＝144个． 答案：144 4．用0,1,2,3,4,5这六个数字组成一个无重复数字的六位数，要求偶数互不相邻，且0和5必须相邻，则满足条件的六位数的个数为________．(用数字作答) 解析：根据题意分情况讨论：(1)先将数字0和5捆绑在一起，且5排在0的前面，再和数字1,3进行排列，共有A种排法，排好后形成4个空，最后将数字2,4插空，因为偶数不能相邻，所以2,4不能插入与0相邻的空里，故有A种排法． 因此，满足此条件的六位数的个数为AA＝36. (2)先将数字0和5捆绑在一起，且0排在5的前面，再和数字1,3进行排列，因为0不能排在最前面，所以共有AA种排法，最后将数字2,4插空，同(1)，共有A种排法． 因此，满足此条件的六位数的个数为AAA＝24. 综上，满足条件的六位数的个数为36＋24＝60. 答案：60 5．排一张5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单． (1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ (2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 解：(1)先排歌唱节目有A种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放入舞蹈节目，共有A种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有A·A＝43 200(种)． (2)先排舞蹈节目有A种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入．所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有A·A＝2 880(种)． 学科网（北京）股份有限公司 $$